精品解析：2026年浙江省舟山市属校 九年级3月份学科素养监测 数学 试题卷 （一模）

2025学年第二学期九年级3月份学科素养监测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷I、卷II的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上“注意事项”． 卷I（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解答即可． 【详解】解：的相反数是符号相反的． 2. 如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】物体的左视图是光线从左往右而得到的正投影，据此分析小正方体的排数和每排的小正方体层数，即可解答． 【详解】解：该几何体左视图的小正方形有两排，左边一排是三层，右边一排是一层， 故符合题意的为选项B． 3. 某颗人造卫星的轨道高度大约是13400000米．数据13400000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，A计算错误； B、∵幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘，∴，B计算错误； C、∵与不是同类项，不能合并，∴C计算错误； D、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，D计算正确． 5. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 6. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 7. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 8. 如图，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵平行于轴的直线交反比例函数的图象于点， ∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 在第一象限时，当时，， 在第三象限时，恒成立，符合题意， ∴当时，的取值范围是或． 9. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得，，则，进而根据折叠的性质得出，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠 ∴ ∴ ∵，即 ∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠， ∴ ∵，故C不正确，D选项正确 故选：D． 10. 图，在四边形中，，，，点从点向点运动，连接，过点作交于点，连接，设，的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，可证明四边形是正方形，是等腰直角三角形，，设，利用平角的定义及直角三角形两锐角互余得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出，，利用三角形面积公式得出，利用二次函数的性质即可判断与之间函数关系的图象． 【详解】解：过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于， ∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴四边形是正方形，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵，， ∴与之间函数关系的图象是开口向上的抛物线，且最大值为，与轴交点坐标为， ∴C选项符合题意． 【点睛】本题考查 动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质，正确得出是解题关键． 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 若代数式的值是，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出分式方程求解的值，再检验即可．注意分式有意义的条件，分母不能为． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， 检验当时，， 因此是原分式方程的解． 13. 一组数据3，2，6，7，4，6的中位数是____________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，把一组数据按照从小到大的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解；把这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，4，6，6，7，处在最中间的两个数分别为4，6， ∴中位数为， 故答案为：5． 14. 已知关于的方程的一个根为，则方程的另一个根_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积是”是解题的关键． 15. 如图，在中，点在上，以点为圆心，长为半径作圆与相切于点．若，，则弧的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据相切得，由，得，进而得，最后由弧长公式计算弧的长． 【详解】解：连接，如图所示， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长交于点F，则____，____． 【答案】 ①. ##度 ②. ## 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质可求得；延长到，使，连接，作于点，设正方形的边长为1，推出是等腰直角三角形，在中，解直角三角形求得，，，推出是等边三角形，求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 延长到，使，连接，作于点， 设正方形的边长为1， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握其基础知识，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据负整数指数幂、三角函数值、绝对值计算即可． 【详解】解： ． 18. 解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 【答案】；；；见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定不等式组的解集， 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得： 在数轴上表示如下： 所以不等式组的解集为：， 故答案为：；； 19. 如图，在中，，点是边上的一点，过点作交延长线于点，连接，若，． （1）求证：； （2）求． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则，然后通过“”证明， （）由，则，又，则，通过勾股定理，所以，由线段和差得出，然后通过即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 【小问2详解】 解：由（）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表． 体重情况统计表 组别 体重 频数（人数） 类 类 类 类 根据以上信息，解答下列问题： （1）_______，________； （2）在扇形统计图中，类所对应的圆心角度数是_______°； （3）若该校八年级共有名学生，估计体重在及以上的学生有多少人? 【答案】（1）， （2） （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，频数统计表，样本估计总体，熟练掌握利用扇形统计图和频数统计表得出相关数据是解题的关键． （1）利用类的频数和占总体百分比求出被抽取的总人数，再利用类占总体百分比求出类的频数，最后即可求出类的频数； （2）利用类占总体百分比乘以即可； （3）利用样本估计总体即可求出． 【小问1详解】 解：由题意得被抽取的总人数为（人）， ∴类的频数为（人）， ∴类的频数为（人）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：类所对应的圆心角度数是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：估计体重在及以上的学生有（人）． 21. 已知平行四边形，在平行四边形内作菱形． 小亮的作法：如图1，连接，分别以为圆心大于的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点，连接，则四边形即为菱形． （1）判断小亮的作法是否正确，并说明理由； （2）小丽说，作平行四边形一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗？请你在图2中作出图形（保留作图痕迹）． 【答案】（1）小亮的作法正确，理由见解析； （2）小丽的作法错误；见解析． 【解析】 【分析】（1）设与交于点，由作图方法可知，垂直平分，则，证明，推出，据此可得结论； （2）先根据角平分线的尺规作图方法作图，再根据平行四边形的对边平行，结合平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，同理可得，进一步可证明，则四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明，则无法证明是菱形，据此可得结论． 【小问1详解】 解：小亮的作法正确，理由如下： 设与交于点． 由作图方法可知，垂直平分， ∴， 四边形是平行四边形， ∴，即． ， ∴， ∴， ∴ 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：作图如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明， ∴无法证明是菱形， ∴小丽的作法不正确． 22. 甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： （1）填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ （2）请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； （3）①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 【答案】（1）40；160；240 （2） （3）①144；②或或 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合图象先计算当时，甲车的速度，即可得到对应的路程，其余两空可直接由图象获取数据； （2）利用待定系数法，分，，时，分别求解即可； （3）先求得乙车的时，，然后分，，，时，根据两车的距离列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，当时，甲车的速度为， ∴甲车离开A地时，离A地的距离为， 由图象可知，甲车离开A地和时，离A地的距离分别为和； ∴填表如下： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240 【小问2详解】解：当时，设乙车的与的函数关系式为， 代入，得，则； ∵， 则当时，此时； 当，设乙车的与的函数关系式为， 代入和，得， 解得， 综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为； 【小问3详解】 解：①由（2）可知，； ②令， 解得， 当时，两车相遇， 当时，甲车的速度为， 根据题意得：， 解得： 当时，甲、乙两车相距； 当时， 根据题意得：， 解得； 当时， 根据题意得：， 解得 综上所述，当或或时，两车相距． 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值； （3）当自变量x满足时，y的最大值为m，最小值为n，且，求t的值． 【答案】（1） （2）3 （3）3或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用函数图象平移的规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数表达式，再求得时的m值即可； （3）分，，三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点， ∴，，则， ∴该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将该函数图象向上平移m个单位后，所得函数表达为， ∵所得图象与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，， ∴抛物线上，横坐标为5的点的对称的点的横坐标为， ∴当时，最大值，最小值， 由得， 解得，（舍去）； 当时，最大值，最小值， ∴不满足，不符合题意； 当时，最大值为，最小值为， 由得， 解得，（舍去）， 综上，t的值为3或． 24. 如图1，在中，直径垂直弦，连结，弦平分分别交于点与的延长线交于点． （1）求证：； （2）如图1，当时，求； （3）如图2，当时，求． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理得，由圆周角定理得，进而可证； （2）连接，利用圆的内接四边形的性质和相似三角形的判定定理得到，利用（1）的结论得到，利用相似三角形的性质得到，，则G为AH的黄金分割点，利用黄金分割的知识解答即可； （3）连结，利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质得到，则；利用全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理得到四边形为菱形，再利用圆周角定理和等边三角形的判定定理得到，为直径，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 证明：直径弦 又 【小问2详解】 连接， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ， ∴， ， ， ， 为的黄金分割点， ； 【小问3详解】 连结，如图， ∵直径垂直弦， ∴垂直平分， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴ ∴四边形为菱形， ∴， ∴垂直平分， ∴，为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级3月份学科素养监测 数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷I、卷II的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上“注意事项”． 卷I（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 2026的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 某颗人造卫星的轨道高度大约是13400000米．数据13400000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 8. 如图，平行于轴的直线交反比例函数的图象于点．当时，的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 9. 如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 图，在四边形中，，，，点从点向点运动，连接，过点作交于点，连接，设，的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 因式分解：_____． 12. 若代数式的值是，则___________． 13. 一组数据3，2，6，7，4，6的中位数是____________． 14. 已知关于的方程的一个根为，则方程的另一个根_____． 15. 如图，在中，点在上，以点为圆心，长为半径作圆与相切于点．若，，则弧的长为___________． 16. 如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长交于点F，则____，____． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：__________， 由不等式②得：__________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为__________． 19. 如图，在中，，点是边上的一点，过点作交延长线于点，连接，若，． （1）求证：； （2）求． 20. 为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表． 体重情况统计表 组别 体重 频数（人数） 类 类 类 类 根据以上信息，解答下列问题： （1）_______，________； （2）在扇形统计图中，类所对应的圆心角度数是_______°； （3）若该校八年级共有名学生，估计体重在及以上的学生有多少人? 21. 已知平行四边形，在平行四边形内作菱形． 小亮的作法：如图1，连接，分别以为圆心大于的长为半径画弧，连接两弧交点与平行四边形两边交于点，连接，则四边形即为菱形． （1）判断小亮的作法是否正确，并说明理由； （2）小丽说，作平行四边形一组对角的角平分线可以得到菱形，你认为小丽的作法正确吗？请你在图2中作出图形（保留作图痕迹）． 22. 甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的时间（单位：）之间的函数图象如图所示． 请结合图象信息，解答下列问题： （1）填表： 甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8 甲车离A地的距离（单位：） ______ 160 ______ ______ （2）请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式； （3）①图中的值为___________； ②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值． 23. 在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数）的对称轴为直线，且过点． （1）求该二次函数的表达式； （2）若将该函数图象向上平移m个单位后，所得图象与x轴只有一个交点，求m的值； （3）当自变量x满足时，y的最大值为m，最小值为n，且，求t的值． 24. 如图1，在中，直径垂直弦，连结，弦平分分别交于点与的延长线交于点． （1）求证：； （2）如图1，当时，求； （3）如图2，当时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $