精品解析：浙江省舟山市定海区金衢山五校联考2025年初中数学毕业生第一次质量监测模拟试卷

浙江省舟山市定海区金衢山五校联考2025年初中数学毕业生 第一次质量监测模拟试卷 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列两个数中，互为相反数的是（ ） A 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解我国中学生课外阅读的情况，应采用全面调查的方式 B. 一组数据，，，，，，的中位数和众数都是 C. 抛掷一枚硬币次，一定有次“正面朝上” D. 若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲组数据比乙组数据稳定 4. 小莉用几个体积是1立方厘米的正方体摆成了一个几何体．如图是从不同方向看到的图形．这个几何体的体积是（　　）立方厘米． A 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 海平面上，有一个灯塔，测得海岛在灯塔北偏东方向上，同时测得海岛在灯塔北偏东的方向上，则灯塔的位置可以是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 下列各式在实数范围内不能分解因式的是（ ） A. B. C. D. 7. 在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在等腰直角三角形中，．在边，上分别取点D和点E，使，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知中，，点为边上任一点，以为圆心，为半径的与交于点，连接并延长交于点，连接，若，当最大时，若的半径为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数 的图象与一次函数的图象交于点，．则下列各式的值最大的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分） 11. 用提公因式法分解因式时，提取的公因式是______ 12. 如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为________． 13. （植树问题）圆湖周围每隔米栽棵树，共栽了棵，圆湖的周长是_____． 14. 实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为________． 15. 如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第n个等边三角形的边长等于_________． 16. 如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，则直线的表达式为______． 三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. （1）计算：． （2）请你先化简，再从中选择一个合适的数代入，求出这个代数式的值． 18. 阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图1，已知矩形中，，，点P是对角线的中点，点O为射线上的一个动点，连接，以为半径作． （1）如图2，当与相切时，求半径长； （2）当点O运动到何处，半径最小？ （3）在点O的运动过程中，与的三条边有四个交点，求的取值范围． 20. 丰富的社会实践活动不仅能让同学们理解生活服务社会，更能帮助同学们树立正确的劳动态度与价值观．为迎接“五一劳动节”，学校将开展以下四项实践活动：A．博物馆小小解说员，B．汽车南站送祝福，C．地铁小义工，D．警营岗位体验，并让同学们自主选择其中一项参加．以下是从全校学生中随机抽取部分学生进行调查的相关统计图（缺少部分信息）． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求抽取的学生中选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数，并补全条形统计图． （2）求扇形统计图中“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数． （3）若该校共有2000名学生，请根据抽样调查的结果，估计该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有多少人？ 21. 有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA=OC，h（cm）表示熨烫台的高度． （1）如图2﹣1．若AB=CD=110cm，∠AOC=120°，求h的值； （2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到lcm）． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．） 22. 【情境再现】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边上，且，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边上，且，，求的长． 23. 已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； （3）如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 24. 如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上． （1）求证：； （2）若，，求的值； （3）在（2）的条件下，在中，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间为秒，连接，若与以点，，为顶点的三角形相似，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省舟山市定海区金衢山五校联考2025年初中数学毕业生 第一次质量监测模拟试卷 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列两个数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义和化简绝对值逐项排除即可．本题考查绝对值、相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：A、，，故和不互为相反数，原选项不符合题意； B、，，故和不互为相反数，原选项不符合题意； C、和不互为相反数，原选项不符合题意； D、，，故和互为相反数，原选项符合题意； 故选：D 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此即可求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解我国中学生课外阅读的情况，应采用全面调查的方式 B. 一组数据，，，，，，的中位数和众数都是 C. 抛掷一枚硬币次，一定有次“正面朝上” D. 若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，则甲组数据比乙组数据稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查，众数，中位数，概率的意义，方差的意义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 为了解我国中学生课外阅读的情况，应采用抽样调查的方式，故该选项不正确，不符合题意； B. 一组数据，，，，，，，重新排列为，，，，，，，的中位数是，众数都是，故该选项不正确，不符合题意； C. 抛掷一枚硬币次，可能有次“正面朝上”，故该选项不正确，不符合题意； D. 若甲组数据的方差是，乙组数据的方差是，,则甲组数据比乙组数据稳定，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了抽样调查，众数，中位数，概率的意义，方差的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4. 小莉用几个体积是1立方厘米的正方体摆成了一个几何体．如图是从不同方向看到的图形．这个几何体的体积是（　　）立方厘米． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据上面看到的图形确定下层正方体的个数，根据正面和左面看到的图形确定上层正方体的个数，即得． 本题主要考查了由三视图推断小正方体的个数．解决问题的关键是熟练掌握由俯视图掌握小正方体的堆叠方式，由另两种视图确定小正方体的个数． 【详解】观察从三个方向看到的图形，从上面看到的图形由4个正方体排成两行三列，下层有4个正方体；从正面看到的图形有两层，上层左列只有1个正方体；从左面看到的图形有两层，上层后行只有1个正方体． 可得该几何体如图所示， ， 由5个体积是1立方厘米的正方体摆成， ∴这个几何体的体积是5立方厘米． 故选：B． 5. 海平面上，有一个灯塔，测得海岛在灯塔北偏东方向上，同时测得海岛在灯塔北偏东的方向上，则灯塔的位置可以是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是方向角，解题关键是熟记方向角的定义． 根据方向角的定义解答可得，也可作出以A为基准的南偏西、以点B为基准的南偏西方向的交点即为灯塔所在位置． 【详解】解：由题意知：若海岛A在灯塔北偏东方向上、海盗B在灯塔北偏东方向上， 如图所示，灯塔的位置可以是点， 故选：A． 6. 下列各式在实数范围内不能分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 将选项中的代数式配方，然后利用平方差公式分解求解判断即可． 【详解】A． ， ∴不符合题意； B． ∴不符合题意； C． ∴不能继续分解，故符合题意； D． ∴不符合题意； 故选：C． 7. 在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设小长方形花圃的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形花圃长为，宽为， 根据题意可得：， 解得：， ， 一个小长方形花圃的面积为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8. 如图，在等腰直角三角形中，．在边，上分别取点D和点E，使，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键．证明，，再证明，可得，求解，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，已知中，，点为边上任一点，以为圆心，为半径的与交于点，连接并延长交于点，连接，若，当最大时，若的半径为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，可证明，得，则，可知当最大时，则最大，再由，，证明，说明的形状不变，则为定值，再由，推导出，可知当时，，此时的值最大，所以于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，则最大， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的形状不变， ∴为定值， ∵， ∴， ∴当时，，此时的值最大， ∴， 故选：A． 10. 已知反比例函数 的图象与一次函数的图象交于点，．则下列各式的值最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键．先求出，，将点，代入一次函数得，，求得，再求出，，最后求解并比较即可． 【详解】解：将点，代入一次函数得． ， ，， 将点，代入一次函数得， ， 解得（舍去）， ，， 最大， 故选：B 二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分） 11. 用提公因式法分解因式时，提取的公因式是______ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法分解因式，正确找到最大公因式是解题的关键．利用提公因式法分解因式即可得到答案． 【详解】解：． ∴提取的公因式是． 故答案为：． 12. 如图是一个正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率． 【详解】解：设正方形的边长为2a，则圆的直径为2a， 故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为=， 故答案为． 【点睛】本题考查了几何概率的知识，求米落入指定区域的概率．着重考查了正方形、圆面积公式和几何概型的计算等知识. 13. （植树问题）圆湖周围每隔米栽棵树，共栽了棵，圆湖的周长是_____． 【答案】米##1200m 【解析】 【分析】本题考查了植树问题，根据封闭图形的植树的“棵数间隔数”即可求解，解题的关键是掌握封闭图形植树问题的解答方法． 【详解】解：由题意得，圆湖的周长是（米）， 故答案为：米． 14. 实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得， ， 故答案为：． 15. 如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，，在内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…则第n个等边三角形的边长等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点D，由直线求出，，从而得到和的长度，然后根据含30度角直角三角形的性质得出，从而求出，再根据勾股定理得出，从而得到，，，依此类推，第n个等边三角形的边长等于． 【详解】解：如图，过点作轴于点D， ∵直线与x、y轴交于B、C两点， ∴当时，，当时，， ∴点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴第1个等边三角形的边长， 同理：第2个等边三角形的边长， 第3个等边三角形的边长，……， 由此发现：第n个等边三角形的边长等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理和规律推理，正确总结出规律是解题关键． 16. 如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，则直线的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式．求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可． 【详解】解：， 顶点的坐标为， 令，则， 的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的表达式为， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分） 17. （1）计算：． （2）请你先化简，再从中选择一个合适的数代入，求出这个代数式的值． 【答案】（1）；（2），当时，原式；当x时，原式 【解析】 【分析】（1）先运用零指数和负指数二次根式的性质计算，然后合并解题； （2）先把分式化简，然后选取适当的数代入求分式的值即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 当时，原式 ； 当时，原式． 【点睛】本题考查实数的混合运算和分式的化简求值，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 18. 阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用，配方法解一元二次方程； （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，，把原方程化为，然后求解． 【小问1详解】 解：设，则， ∴， 解得：或（舍去）， 即， 解得． 【小问2详解】 设，则， 则， ∴， 解得：（舍）或， 即， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：． 19. 如图1，已知矩形中，，，点P是对角线的中点，点O为射线上的一个动点，连接，以为半径作． （1）如图2，当与相切时，求的半径长； （2）当点O运动到何处，的半径最小？ （3）在点O的运动过程中，与的三条边有四个交点，求的取值范围． 【答案】（1）的半径为 （2）当时，半径最小 （3）的取值范围为或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，根据，求出即可； （2）利用垂线段最短解决问题即可； （3）求出三种特殊位置，经过点C时，与相切时，经过点A时，即可的取值范围． 【小问1详解】 四边形是矩形， ， ， 点P是对角线的中点， ， 与相切， ， ， ， ， 即的半径为； 小问2详解】 如图，当时，的值最小， ， ， ， ， ， 即的半径为； 【小问3详解】 经过点C时，如图所示，此时有三个交点，过点O作交于点G， 此时， ， ， ， ， ； 当与相切时，此时有三个交点，由（1）得， ， 此时的取值范围为； 当经过点A时，如图所示，此时有三个交点，过点O作交于点H， 此时， ， ， ， ， ， 此时的取值范围为， 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 20. 丰富的社会实践活动不仅能让同学们理解生活服务社会，更能帮助同学们树立正确的劳动态度与价值观．为迎接“五一劳动节”，学校将开展以下四项实践活动：A．博物馆小小解说员，B．汽车南站送祝福，C．地铁小义工，D．警营岗位体验，并让同学们自主选择其中一项参加．以下是从全校学生中随机抽取部分学生进行调查的相关统计图（缺少部分信息）． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求抽取的学生中选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数，并补全条形统计图． （2）求扇形统计图中“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数． （3）若该校共有2000名学生，请根据抽样调查的结果，估计该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有多少人？ 【答案】（1）80人，作图见解析 （2） （3）680人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，用样本估计总体，扇形统计图，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）先计算出总抽取人数，即可计算出选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数，补全条形统计图即可； （2）“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数：，计算即可； （3）该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有：，计算即可． 【小问1详解】 由统计图可知抽取学生人数为（人） 所以选B活动的人数为（人） 如图， 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 （人）． 21. 有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA=OC，h（cm）表示熨烫台的高度． （1）如图2﹣1．若AB=CD=110cm，∠AOC=120°，求h的值； （2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到lcm）． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．） 【答案】（1）55；（2）150cm． 【解析】 【分析】（1）作BE⊥AC于E，利用等腰三角形的性质求得∠OAC，然后解直角三角形即可求解； （2）作BE⊥AC于E，利用等腰三角形的性质求得∠OAC，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）过点B作BE⊥AC于E， ∵OA=OC，∠AOC=120°， ∴∠OAC=∠OCA==30°， ∴h=BE=AB•sin30°=110×=55； （2）过点B作BE⊥AC于E， ∵OA=OC，∠AOC=74°， ∴∠OAC=∠OCA==53°， ∴AB=BE÷sin53°=120÷0.8=150（cm）， 即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形，弄清题中的数据是解本题的关键． 22. 【情境再现】 （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边上，且，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在矩形中，（k为常数），点E、F、G、H分别在矩形的边上，且，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E、F分别在边上，且，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出：，，再根据垂直得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得出； （2）过点D作 交的延长线于点G，过点C作于点H，可得，，由（1）同理可得，进而得出，根据相似三角形的性质得出，进而得出答案； （3）过点D作 交的延长线于点G，过点C作于点H，得出四边形为矩形，由（2）同理可得：，根据，得出，，进而得出，根据，求出，再求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴ 【小问2详解】 证明：过点D作交于点M，过点A作交于点N， ∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ∴，， 由（1）同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点D作 交的延长线于点G，过点C作于点H， ∵， ∴四边形为矩形， 由（2）同理可得：， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； （3）如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可； （3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，，代入函数解析式得： ∴，解得：； ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为； 【小问3详解】 存在： 令， 解得：， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； ②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作轴，则：，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 24. 如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上． （1）求证：； （2）若，，求的值； （3）在（2）的条件下，在中，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止运动，设运动时间为秒，连接，若与以点，，为顶点的三角形相似，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，注意分类讨论；其中相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由矩形的性质及折叠的性质易得，从而可证明； （2）设，则由勾股定理得；由折叠的性质及矩形的性质得：，由此可求得a的值；由即可求得的长； （3）分两种情况：①当时，；②当时，；分别利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴设，则由勾股定理得：， ∵沿折叠为， ∴，，， ∵四边形是矩形，， 即， ∴， 则， ， 由（1）得：， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，，则， ∵， ①当时，，如图， 此时，， 即， ∴； ②当时，，如图， 此时， 即， ∴， 综上，或． 第1页/共1页 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