精品解析：2026年吉林长春市中考一模数学试题

2026年长春市九年级阶段性练习 数学 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是小芳的一幅素描作品，作品里绘制了四个常见几何体．下列给出的几何体中，没有在该作品里绘制的是（ ） A. 棱柱 B. 棱锥 C. 球体 D. 圆锥 3. 如图，在中，点、分别在边、上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 用四舍五入法将130542精确到千位得到的近似数是（ ） A. 131 B. 130 C. D. 5. 若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》（以下简称《技术要求》）国家标准于2026年2月1日起正式实施．《技术要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在中，，，．分别以点和点为圆心、相同长度（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点．连接，则的周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 8. 如图，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算______． 10. 若点在第一象限，则的取值范围是____________． 11. 如图，已知直线，若，则的度数是______． 12. 如图，与都是直角三角形，和都是直角，点在上，如果经顺时针旋转后能与重合，那么的度数是______． 13. 过，两点画一次函数的图象，已知点的坐标为，则点的坐标可以是______．（填一个符合要求的点的坐标即可） 14. 如图，在中，．以的三边为边，在边同侧分别作三个等边三角形：、、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是矩形； ④当为钝角时，若，点到边的距离为1，则五边形的面积为． 上述结论中，正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 一个不透明的口袋中装有1个红球和1个白球，这两个小球除颜色不同外其余均相同，搅匀后从中摸出1个球，放回搅匀，再摸出1个球．用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的球都是红球的概率． 17. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均为格点．仅用无刻度的直尺，按下列要求在给定的网格中画图： （1）在图①中，确定格点，作射线，使； （2）在图②中，确定格点，作射线，使． 18. 今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，若每人种3棵，则剩余20棵；若每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数和这批树苗的数量． 19. 如图，将等腰直角三角尺沿着直线平移到的位置，连结．已知，平移距离．求证：四边形是菱形． 20. 近年来，学生体质健康情况受到广泛关注．国际上常用握力体重指数（，缩写）来综合评价上肢肌肉力量与身体协调性，该指数不仅是体质健康评估的核心项目之一，更被多项权威研究证实与心血管健康和寿命密切相关．握力体重指数计算公式是，例如：某人握力为35公斤，体重为50公斤，则他的．《国家学生体质健康标准》．对初中男生的参考标准为：为优秀；为良好；为及格；为不及格． 某中学为了解九年级男生的握力体重指数（）情况，从该校九年级男生中随机抽取了21名男生进行测试，通过计算得到他们的，并绘制了不完整的条形统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）这21名男生的中位数属于______水平；（填序号） ①优秀； ②良好； ③及格； ④不及格． （3）基于上述统计结果，学校建议小于60的男生进行针对性训练．学生小刚体重为70公斤，为48．接下来他需要通过科学训练，使得能达到“良好”水平，那么小刚的握力至少需要增加______公斤．（假设体重保持不变） 21. 一个有进水管与出水管的容器，前只进水不出水，在随后的既进水又出水，每分的进水量与出水量是两个常数．容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）进水管每分进水______L，出水管每分出水______L； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当容器内的水量是时，求的值． 22. 【问题背景】小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以为边向下作正方形．点、分别在边、上运动，且，连结、．求的最小值． 【问题探究】小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图②，取边的中点，连结． 证明过程缺失 ． ． 请你帮助小明补全上述证明过程． 【问题解决】的最小值为______． 【拓展提升】如图③，在正方形中，，点、分别在边、上运动，且，点在边上，连结、．若，则的最小值为______． 23. 如图，点是直线上一定点，以点为圆心、8为半径作圆，交直线于、两点（点在点的左侧）．点是直线上一动点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，，且．点在射线上，． （1）点到直线的距离是______； （2）当点在射线上时， ①连接．当时，求线段的长； ②当射线所在的直线与相切时，求线段的长； （3）连接、．当是钝角时，直接写出线段长的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．已知抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称．点在直线上，连接、分别交抛物线于点、，设点的横坐标为． （1）求点的坐标； （2）当时，的值为______； （3）当时，求的取值范围； （4）作点关于点的对称点，点关于点的对称点，连结．当线段与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年长春市九年级阶段性练习 数学 本试卷包括三道大题，共6页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，逐项判断即可． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故不符合题意； B、是无限不循环小数，属于无理数，故符合题意； C、是有限小数，属于有理数，故不符合题意； D、是分数，属于有理数，故不符合题意． 2. 如图是小芳的一幅素描作品，作品里绘制了四个常见几何体．下列给出的几何体中，没有在该作品里绘制的是（ ） A. 棱柱 B. 棱锥 C. 球体 D. 圆锥 【答案】D 【解析】 【详解】解：该作品里绘制了棱柱、棱锥、球体，没有圆锥． 3. 如图，在中，点、分别在边、上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中应用三角形内角和定理有，结合可得，同理有，完成计算即可解答． 【详解】解：在中，，， ， 同理，， ． 4. 用四舍五入法将130542精确到千位得到的近似数是（ ） A. 131 B. 130 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用科学记数法表示，再根据近似数的要求将下一位数字四舍五入． 【详解】解： 130542用科学记数法表示为， 精确到千位得到的近似数是． 5. 若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】直接将点的横坐标代入抛物线解析式，得到与的表达式，即可比较大小． 【详解】解：点和点都在抛物线上， 将代入解析式得； 将代入解析式得； ， ． 故选：． 6. 市场监管总局（国家标准委）发布的《中小学生午休课桌椅通用技术要求》（以下简称《技术要求》）国家标准于2026年2月1日起正式实施．《技术要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图，椅座平行于地面，支点到地面的距离为米，靠背的长为米．若，则点到地面的距离的长是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可求，在中，可表示，可证四边形为矩形，则米，则可求． 【详解】解：∵， ∴， 在中， （米）， ∵由题意可知， ∴四边形为矩形， ∴（米）， ∴米． 7. 如图，在中，，，．分别以点和点为圆心、相同长度（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧分别相交于点和点，作直线交于点．连接，则的周长是（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，求出，即可求出结论． 【详解】解：由题意得：是线段的垂直平分线， ， 在中，，，， ， 则的周长． 8. 如图，点在函数的图象上，点是上一点，过点作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数的几何意义可知．利用和同底（）且高之比等于 的关系，求出的面积，进而求出的值． 【详解】解：设点的坐标为， 点在反比例函数的图象上，且轴， ．  点在线段上，且，  点到轴的距离与点到轴的距离（即）之比为． 和同底（底边均为），  ． ，  ．  ，解得． 反比例函数图象在第二象限， ，  ． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 计算______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：． 10. 若点在第一象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查象限内点的符号特征，解一元一次不等式．解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据第一象限内点的坐标符号为，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，已知直线，若，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【详解】， ． 12. 如图，与都是直角三角形，和都是直角，点在上，如果经顺时针旋转后能与重合，那么的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】由旋转得出，再根据直角三角形性质求出结论即可． 【详解】解：顺时针旋转得到． ， ， ． 13. 过，两点画一次函数的图象，已知点的坐标为，则点的坐标可以是______．（填一个符合要求的点的坐标即可） 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解一次函数图象上点的坐标特征． 一次函数图象上点的横纵坐标满足函数解析式，任取一个不等于的值，代入解析式求出对应值，即可得到点的坐标． 【详解】解：， 当时，， 点的坐标可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图，在中，．以的三边为边，在边同侧分别作三个等边三角形：、、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是平行四边形； ③当时，四边形是矩形； ④当为钝角时，若，点到边的距离为1，则五边形的面积为． 上述结论中，正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用等边三角的性质和全等三角形的判定即可证明，即可判断①；同理可证，得到，即可证明四边形是平行四边形，即可判断②；求出，即可判断③；求出，，利用面积和即可判断④． 【详解】解：∵、是三个等边三角形． ∴， ∴， 即， ∴，故①正确； 同理可证，， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形；故②正确； 当时， ∵ ∴， ∴四边形不可能是矩形；故③错误； ∵，， ∴， 过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴五边形的面积为．故④正确． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式乘法法则计算，再把代入化简式计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 一个不透明的口袋中装有1个红球和1个白球，这两个小球除颜色不同外其余均相同，搅匀后从中摸出1个球，放回搅匀，再摸出1个球．用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的球都是红球的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图或者列表，找出所有情况数和满足要求的情况数，运用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图为： 由图可得，共有4种等可能结果，其中两次摸出的球都是红色的情况只有1种，故两次摸出的球都是红球的概率为． 17. 图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均为格点．仅用无刻度的直尺，按下列要求在给定的网格中画图： （1）在图①中，确定格点，作射线，使； （2）在图②中，确定格点，作射线，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用格点构造，根据全等三角形的性质可得； （2）由格点可得和为等腰直角三角形，则，进而得出，，由对顶角相等得，即可证明． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求； 【小问2详解】 解：如图，射线即为所求； 18. 今年植树节，某班同学共同种植一批树苗，若每人种3棵，则剩余20棵；若每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数和这批树苗的数量． 【答案】该班学生人数为45人，这批树苗数量为155棵 【解析】 【分析】先设该班的学生人数为x人，根据题意可知两种种植方式下，树苗的总数量是不变的，从而列出一元一次方程求得学生人数，再将学生人数代入“每人种3棵，则剩余20棵”的表达式中，即可求得这批树苗的数量． 【详解】解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴这批树苗的数量是（棵）， 即该班学生人数为45人，这批树苗数量为155棵． 19. 如图，将等腰直角三角尺沿着直线平移到的位置，连结．已知，平移距离．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平移的性质可得，，则四边形是平行四边形，由等腰直角三角形的性质并结合勾股定理计算可得，即可得证． 【详解】证明：由平移的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 20. 近年来，学生体质健康情况受到广泛关注．国际上常用握力体重指数（，缩写）来综合评价上肢肌肉力量与身体协调性，该指数不仅是体质健康评估的核心项目之一，更被多项权威研究证实与心血管健康和寿命密切相关．握力体重指数计算公式是，例如：某人握力为35公斤，体重为50公斤，则他的．《国家学生体质健康标准》．对初中男生的参考标准为：为优秀；为良好；为及格；为不及格． 某中学为了解九年级男生的握力体重指数（）情况，从该校九年级男生中随机抽取了21名男生进行测试，通过计算得到他们的，并绘制了不完整的条形统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）这21名男生的中位数属于______水平；（填序号） ①优秀； ②良好； ③及格； ④不及格． （3）基于上述统计结果，学校建议小于60的男生进行针对性训练．学生小刚体重为70公斤，为48．接下来他需要通过科学训练，使得能达到“良好”水平，那么小刚的握力至少需要增加______公斤．（假设体重保持不变） 【答案】（1）见解析 （2）② （3） 【解析】 【分析】（1）先求出不及格人数，再补全条形统计图即可； （2）根据中位数的定义作答即可； （3）根据握力体重指数计算公式可知握力（公斤），进而求出小刚的原握力和训练后的握力，即可求出至少需要增加的握力． 【小问1详解】 解：不及格人数为， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：∵21名男生进行测试， ∴中位数为第11名男生， 根据条形统计图可知第11名男生为良好； 【小问3详解】 解：由题意可知握力（公斤）， 小刚的原握力为（公斤）， ∵能达到“良好”水平， ∴小刚训练后的握力至少为（公斤）， ∴小刚的握力至少需要增加（公斤）． 21. 一个有进水管与出水管的容器，前只进水不出水，在随后的既进水又出水，每分的进水量与出水量是两个常数．容器内的水量（单位：L）与时间（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）进水管每分进水______L，出水管每分出水______L； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）当容器内的水量是时，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数图象的信息获取，待定系数法求一次函数解析式． （1）因为前4分钟只进水，所以用4分钟后的水量除以4可得到进水管每分钟进水量；因为4到12分钟既进水又出水，先算出这段时间的水量变化量，结合进水量和时间，可求出出水管每分钟出水量． （2）因为当时，与是一次函数关系，利用待定系数法求解函数关系式． （3）将代入（2）中求得的函数关系式中，求解即可． 【小问1详解】 解：前只进水，总水量为，因此进水管每分钟进水， 到共，既进水又出水，水量从增加到，总增加水量， 设出水管每分钟出水，可得：，解得． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：当时，是的一次函数，设， 由图可知，函数过点和， 代入得： ， 解得， 因此函数关系式为：． 【小问3详解】 解：因为， 所以在范围内， 将代入解析式： ， 解得：． 22. 【问题背景】小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以为边向下作正方形．点、分别在边、上运动，且，连结、．求的最小值． 【问题探究】小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图②，取边的中点，连结． 证明过程缺失 ． ． 请你帮助小明补全上述证明过程． 【问题解决】的最小值为______． 【拓展提升】如图③，在正方形中，，点、分别在边、上运动，且，点在边上，连结、．若，则的最小值为______． 【答案】问题探究：见解析；问题解决；拓展提升： 【解析】 【分析】问题探究：利用正方形的性质和中点性质得，，再由，得，即可由得出，从而由全等三角形的性质得出结论； 问题解决：连接，根据两点之间，线段最短得，当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于，延长、相交于N，利用正方形的性质和勾股定理求得，即可求解； 拓展提升：在正方形下方作正方形，在边上取点M，使，在边上取点N，使，连接，则，，根据两点之间，线段最短得，，所以当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于，利用正方形的性质和勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：问题探究： 证明：如图②，取边的中点，连结． ∵正方形， ∴，， ∵M，分别为边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ， ． 问题解决：如图②，连接， ∵， ∴当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于， 延长、相交于N， ∵正方形，正方形，为边的中点，， ∴正方形， ∴，， ∴ 由勾股定理，得， ∴的最小值为． 拓展提升：在正方形下方作正方形，在边上取点M，使，在边上取点N，使，连接，如图③， 由问题探究可知：，， ∵ ∴当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于， ∵正方形，正方形，，， ∴，，， ∴ 由勾股定理得：， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间，线段最短，利用正方形的对称性质，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，点是直线上一定点，以点为圆心、8为半径作圆，交直线于、两点（点在点的左侧）．点是直线上一动点，将射线绕点逆时针旋转得到射线，，且．点在射线上，． （1）点到直线的距离是______； （2）当点在射线上时， ①连接．当时，求线段的长； ②当射线所在的直线与相切时，求线段的长； （3）连接、．当是钝角时，直接写出线段长的取值范围． 【答案】（1）4 （2）①15；②10 （3） 【解析】 【分析】（1）过点B作于点，结合，可设，则，在中，利用勾股定理解得，进而可得，，即可获得答案； （2）①连接，在中，利用勾股定理解得的长度，结合求解即可；②设射线所在的直线与相切于点，过点作于点，连接，易得，可设，，在中，利用勾股定理解得，进而可得，再证明，可知，利用三角函数解的长度，在中，利用勾股定理解得的长度，进而解得的值，进一步计算的长度即可； （3）令点自点P左侧向右运动，分点B在左侧时、点运动到上、点位于内部、点再次运动到上和点B运动到右侧多种情况，分别判断是是否为钝角，并计算符合题意的线段长的取值范围即可． 【小问1详解】 解：如下图，过点B作于点， ∴， 可设，则， 在中，可得， 即， ∴，解得或（负值舍去）， ∴，， ∴点到直线的距离是4； 【小问2详解】 解：①如下图，连接， 由（1）可知，，， ∵， ∴在中，可得， ∴； ②如下图，设射线所在的直线与相切于点，过点作于点，连接， 则，可设，， ∴在中，可得， ∴， ∵射线所在的直线与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴在中，， ∴，解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：令点自点P左侧向右运动，当点B在左侧时，如下图， 设交于点， ∵为直径， ∴， 此时； 当点运动到上时，如下图，过点B作于点，连接， ∵为直径， ∴， 由（1）可知，，， ∴在中，可得， ∴； 点继续向右运动，当点位于内部时，如下图， 可知，即是钝角； 点继续向右运动，当点再次运动到上时，如下图， 过点B作于点，连接， 此时，且，， ∴在中，可得， ∴， ∴； 点继续向右运动，当点B运动到右侧时，如下图， 设交于点， ∵为直径， ∴， 此时． 综上所述，当是钝角时，线段长的取值范围为． 【点睛】本题综合性强，难度较大，综合运用相关知识，并主要分情况讨论，避免遗漏． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．已知抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称．点在直线上，连接、分别交抛物线于点、，设点的横坐标为． （1）求点的坐标； （2）当时，的值为______； （3）当时，求的取值范围； （4）作点关于点的对称点，点关于点的对称点，连结．当线段与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）先求得抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质即可得出点的坐标； （2）根据轴对称图形的性质可得在对称轴上，即可求解； （3）先求得的中点的坐标，求得临界值，即重合时的值，根据得出点在点的下方，进而求得的范围； （4）先求得分别与重合时的的值，结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线：，点与点关于直线对称， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点和点关于对称轴对称，抛物线关于对称 若点也在对称轴上，则整个图形关于对称，交点和也关于对称，从而 ∴； 【小问3详解】 解：设的中点为， ∵， ∴， 当重合时，， 解得： ∵ ∴点在点的下方，靠近的位置，即 ∴ 【小问4详解】 解：∵点关于点的对称点，点关于点的对称点， 当与点重合时，则是的中点， ∴ 代入 ∴ 解得： 当与点重合时，则是的中点， 由（3）可得 解得： ∵线段与线段有公共点 ∴的取值范围为：或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $