1.4整式的除法培优练习2025-2026学年北师大版七年级数学下册

1.4整式的除法培优练习 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．一道除法运算题：，其中被除式的第二项被墨水弄污了，商的第一项也被墨水弄污了，则被墨水弄污染的内容是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．已知且，则的值为（  ） A． B． C． D．2 5．中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 6．若，则代数式的值为（   ） A．5 B．-5 C．10 D．-10 7．小亮在计算（6x3y﹣3x2y2）÷3xy时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确结果与错误结果的乘积是（　　） A．2x2﹣xy B．2x2+xy C．4x4﹣x2y2 D．无法计算 8．已知被除式是，商式是x，余式是，则除式是（   ） A． B． C． D． 9．若A与的积为，则A为（    ） A． B． C． D． 10．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（    ） A．3 B．23 C．25 D．29 12．在化简题中，◆表示＋，－，×，÷四个运算符号中的某一个．当，时，的值为22，则◆所表示的符号为（    ） A． B． C．＋ D．－ 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分） 13．某科技馆中“数理世界”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题！小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是_____． 账号： 密码：前四位： 后四位：？ 14．已知，则的值为____________． 15．已知实数a、b、c满足 ，则______． 16．一个三位数除以它的各位数字之和，商的最大值是___；商的最小值是___． 三、解答题（共6小题，每题12分，满分72分） 17.若定义表示，表示，求运算的结果 18．计算________．请写出它的计算结果，我们称其为“立方和”公式． 【变式】计算：________．我们称其为“立方差”公式； 【应用】①计算：； ②已知：若在实数范围内有：，试求：的值． 19．两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 20．已知关于的多项式除以，余数为，除以，余数为，求多项式除以的余式． 21．我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数. 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算.因此. (1)的商是______，余式是______. (2)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求值. (3)已知一个长为，宽为的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图）.另有长方形C的一边长为，若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长. 22．已知，． (1)化简和； (2)若，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A B A C D C C 题号 11 12 答案 D B 1．C 【分析】此题考查整式的计算，根据单项式除以单项式、积的乘方，多项式除以单项式法则分别计算即可判断． 【详解】解：A.，故原选项错误； B.，故原选项错误； C.，故原选项正确； D.，故原选项错误； 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式法则可得，进而得到，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，需利用多项式除以单项式的法则，分别计算被除式与商中被污染的项． 【详解】解：∵被除式第一项为，除式为， ∴商的第一项为， 设被除式中被污染的项为， ∵商的中间项为，且， ∴， ∴ ， 综上，被污染的内容为和，对应选项D； 故选：D 4．A 【分析】本题考查整式的乘除法运算，熟练掌握整式的乘除法运算法则是解题的关键，计算过程中为使得计算简便应该先变形要求的整式． 先通过整式的除法求出，再变形要求的整式，最后代入具体值计算即得． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 5．B 【分析】本题主要考查了科学记数法、单项式除法，先把14亿用科学记数法表示，再根据总面积除以总人口计算即可． 【详解】解：14亿 故选：B 6．A 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先简化代数式，发现它等于，然后代入已知条件即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 7．C 【分析】根据整式的除法法则分别计算正确结果和错误结果，再根据整式的乘法计算结果可得． 【详解】解：正确结果为： 原式＝6x3y÷3xy﹣3x2y2÷3xy ＝2x2﹣xy， 错误结果为： 原式＝6x3y÷3xy+3x2y2÷3xy ＝2x2+xy， ∴（2x2﹣xy）（2x2+xy）＝4x4﹣x2y2， 故选C． 【点睛】考查整式的乘、除法，熟练掌握整式的乘法和除法法则是解题的关键． 8．D 【分析】本题考查的是整式除法运算，熟练掌握多项式除以单项式运算法则，是解题的关键．根据除式（被除式余式）商式，列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵被除式是，商式是x，余式是， ∴除式． 故选：D． 9．C 【分析】本题考查的是多项式除以单项式，直接列式利用多项式除以单项式进行计算即可． 【详解】解：∵A与的积为， ∴ ； 故选C 10．C 【分析】根据多项式除以单项式法则逐一判断即可． 【详解】解：A. ，原式计算错误，不合题意； B. ，原式计算错误，不合题意； C. ，计算正确，符合题意； D. ，原式计算错误，不合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 11．D 【分析】先把整式化简，然后由整式的乘法、除法运算进行运算，求出a、b、c的值，即可得到答案． 【详解】解： =； ∵， ∴，，， ∴，，， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简． 12．B 【分析】根据四个选项，依次代入原式，进行化简求值，即可得到答案． 【详解】解：A．若◆所表示的符号为，则原式==，当，时，原式=，不符合题意； B．若◆所表示的符号为，则原式==，当，时，原式=，符合题意； C．若◆所表示的符号为＋，则原式==，当，时，原式=，不符合题意； D．若◆所表示的符号为－，则原式==，当，时，原式=，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，理清运算顺序，正确进行相关计算是解题的关键． 13．1038 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式，掌握知识点是解题的关键． 根据给定的等式，第一个等式表示表达式的值为2076，第二个等式表示表达式的值为2，需要求第三个表达式的值．通过简化第三个表达式和利用前两个等式的值，计算得到结果． 【详解】解：简化第三个表达式： ， 由已知，，则 ． 故答案为：1038． 14．1 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则，系数与同底数幂分别相除，再通过指数对应相等，求出和的值，最后计算． 【详解】解：由已知等式， ，且该式等于 ∴． 由于右边不含， ∴，即：． 解得：． 代入得：． ∴． 解得：． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式的运算法则，解题关键是利用“同底数幂相除，指数相减”的规则，通过等式两边指数对应相等来求解． 15．1 【分析】本题考查了非负数的性质：绝对值，偶次方，代数式求值，根据非负数的性质求出a、b、c的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ， ，，， ，，， ， 故答案为： 16． 【分析】本题考查了三位数的结构，数字之和与商的关系， 设三位数为，得到，当，时，得出商的最大值是；因为，得到当时，商最小，商的最小值是；即可得到答案． 【详解】解：设三位数为， 它与其各位数之和的商为， 当，时， 商的最大值是； ， ，分子有最小值，，分母有最大值， 当时，商最小，商的最小值是； 故答案为：，． 17.解： ． 18．【例题再现】；【变式】；【应用】①2027，②36 【分析】本题主要考查了整式运算，涉及“立方和”公式、“立方差”公式、完全平方公式的应用等， 例题再现：首先根据多项式乘以多项式法则进行运算，然后合并同类项即可； 变式：首先根据多项式乘以多项式法则进行运算，然后合并同类项即可； 应用：①首先根据“立方和”公式计算，再进一步计算即可； ②首先由已知条件可得，再利用完全平方公式可得，根据“立方差”公式将进行变形转换，然后代入求值即可． 【详解】解：例题再现： ， 故答案为：． 变式： ， 故答案为：． 应用：① ； ②∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． 19．(1)，1 (2)能被整除，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． 【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； （2）解：能被整除，理由如下： （3）解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 20． 【分析】根据题意可得 ，为含的多项式，，为含的多项式，把得，把得，把即可求解． 此题考查了整式的除法，弄清因式与积之间的关系，列出等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，为含的多项式， ，为含的多项式， 把得， 把得， 得，， 多项式除以的余式为． 21．(1)，． (2) (3) 【分析】（1）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）根据多项式除以多项式的法则计算． （2）通过面积关系求长方形的边长． 【详解】（1）解：用竖式计算如下， 的商是，余式是． ∴答案为：，． （2）多项式能被整除，则 ∴a+4-（-2）=0，-b-（-2）=0． ∴a=-6，b=2． ∴ab=（-6）2=36． （3）长方形A的周长为：2（x+2+x-2）=4x． 长方形B的周长为：2（x-2+a+x+2+6）=4x+2a+12． ∵长方形B的周长是A周长的2倍． ∴4x+2a+12=8x． ∴a=2x-6． ∴长方形B的面积为：（x+2+6）（x-2+2x-6）=（x+8）（3x-8） =3x2+16x-64． ∴长方形C的面积为：3x2+16x-140． ∴长方形C的另一边长为：（3x2+16x-140）÷（x+10）=3x-14． ∴长方形C的另一边长为：3x-14． 【点睛】本题考查多项式除以多项式，抓住整除的定义找到系数的关系是求解本题的关键． 22．(1)， (2) 【分析】（1）根据平方差公式，去括号，合并同类项，再化简即可，根据通分，分式的除法，完全平方公式、提公因式再化简即可． （2）由（1），可化为，化简得，由于，代入上式即可求得的值． 【详解】（1）化简： ． 化简： ． 故化简可得， ． （2）由（1），可化为， 化简可得， 又∵， 故， 即的值为． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，平方差公式、完全平方公式、提公因式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $