专题10一次函数的图象同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题10一次函数的图象同步讲义 【题型01 正比例函数的图象】.............................................3 【题型02 正比例函数的性质】.............................................5 【题型03 一次函数图象的识别】...........................................7 【题型04 由解析式判断一次函数经过的象限】..............................10 【题型05 由图象象限求一次函数参数范围】................................12 【题型06 一次函数图象与坐标轴交点】....................................13 【题型07 一次函数图象的画法】..........................................16 【题型08 一次函数图象的平移变换】......................................20 【题型09 一次函数增减性的判断】........................................22 【题型10 由增减性求一次函数参数】......................................25 【题型11 由增减性判断自变量变化趋势】..................................27 【题型12 利用增减性比较函数值大小】....................................29 【题型13 一次函数的规律探究问题】......................................32 【解答题5题】..........................................................37 ★知识梳理 知识点01:基本概念 一次函数 一般形式：y=kx+b(k,b 为常数,k0) 当 b=0 时，y=kx 叫做正比例函数，是特殊的一次函数。 一次函数的图象是一条直线，所以画一次函数图象只需要找2 个点，连线即可。 知识点02:一次函数图象的画法（两点法） 对于 y=kx+b： 1.令 x=0，得 y=b，得点 (0,b)（与 y 轴交点）。 2.令 y=0，得 x=−​，得点 (−​,0)（与 x 轴交点）。 3.过这两点画直线，就是 y=kx+b 的图象。 知识点03:k、b 对图象的决定作用（重中之重） 1. 斜率 k 决定增减性、倾斜方向 k>0：直线从左向右上升，y 随 x 增大而增大； k<0：直线从左向右下降，y 随 x 增大而减小。 2. 截距 b 决定与 y 轴交点位置 b>0：直线与 y 轴交于正半轴； b=0：直线过原点（正比例函数）； b<0：直线与 y 轴交于负半轴。 知识点04:一次函数图象经过的象限（必背） k>0,b>0：经过一、二、三象限 k>0,b<0：经过一、三、四象限 k<0,b>0：经过一、二、四象限 k<0,b<0：经过二、三、四象限 口诀：k 正一三走，k 负二四游；b 正交上，b 负交下。 知识点05:正比例函数 y=kx 的特殊性质 图象是过原点的直线； k>0，过一、三象限，y 随 x 增大而增大； k<0，过二、四象限，y 随 x 增大而减小。 知识点06:两条直线的位置关系 设直线 l1:y=k1x+b1​，l2:y=k2x+b2​ k1=k2且 b1b2 ⟹ 平行 k1=k2且 b1=b2⟹ 同一条直线 k1k2 ⟹ 相交 【题型1.正比例函数的图象】 【典例】函数的图象经过第______象限 【答案】一、三 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质，根据正比例函数的图象和性质解答即可求解，掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴函数的图象经过第一、三象限， 故答案为：一、三． 【跟踪专练1】画正比例函数的图象，可以先描出原点和下列四个点中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正比例函数图象经过原点，且需另一个点确定直线方向. 当时，，故点 在函数图象上； 本题考查了正比例函数的图像，熟练掌握正比例函数的图像是解题的关键. 【详解】解：∵ 函数为 ， 当 时，， ∴ 点 在函数图象上； 故选：C. 【跟踪专练2】如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 【答案】/ 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的图象与性质． 先由正比例函数的图象与性质得到，，然后通过取点作垂线求解即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三象限， ∴； ∵直线经过第二、四象限， ∴， 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； 在直线上任取一点，过点作轴，交直线，轴于点， 设，则， ∵，且， ∴； ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意． 【题型2.正比例函数的性质】 【典例】已知正比例函数，当时，则的值为__________． 【答案】3 【分析】本题考查正比例函数的性质，只需将代入函数解析式中计算即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：3． 【跟踪专练1】已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用正比例函数的增减性判断系数的符号，列一元一次不等式求解即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数中，当时，， ∴y随x的增大而减小， ∴， 移项得， ∴． 【跟踪专练2】物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是_______． 【答案】丙 【分析】根据题意，得，故，根据图象，列式比较解答即可． 本题考查了数学与物理的跨学科综合，正确读懂图形，正确处理信息是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 根据图象，得，, 故即； 同理，即； ，即 故丙的电阻最大， 故答案为：丙． 【跟踪专练3】把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，所得的点在直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移，正比例函数的性质．先根据点的平移规律求出平移后点的坐标，再利用点在直线上则坐标满足直线方程的性质，列方程求解的值． 【详解】解：∵点向左平移5个单位时横坐标减5，向上平移4个单位时纵坐标加4 ∴平移后点的坐标为，即 ∵点在直线上 ∴点的横、纵坐标满足，即 去括号得： 移项合并同类项得： 解得： 故选：A． 【题型3.一次函数图象的识别.】 【典例】函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图像，熟悉函数图像及各个象限中的符号是解题的关键. 【详解】解：∵中 ∴函数经过一、三、四象限， 故选：A. 【跟踪专练1】一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的大小，即可得解． 【详解】解：由函数图象经过的象限可知：，，， 直线越陡，越大， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论： ① ； ② ； ③ 当时，； ④． 其中正确的是____________（只填写序号）． 【答案】①④/④① 【分析】此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是掌握正比例函数和一次函数的性质．根据正比例函数和一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：因为正比例函数经过一、三象限， 所以，故①正确； 一次函数经过一、二、四象限， 所以，故②错误； 由图像可得，当时， 故③错误； 正比例函数与一次函数的图象交于点 则 则 故④正确； 故答案为：①④ 【跟踪专练3】在同一坐标系中，一次函数和的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系是解题的关键． 分别根据分析各选项的图像一次函数和的系数，若存在矛盾，则不符合题意，据此即可解答。 【详解】解：A.由得，而由得，存在矛盾，不符合题意； B. 由得，而由得，即，存在矛盾，不符合题意； C.由得，而由得，即，不存在矛盾，符合题意； D. 由得，而由得，即，存在矛盾，不符合题意. 故选C. 【题型4.由解析式判断一次函数经过的象限】 【典例】如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过点__________________． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限②当时，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．根据一次函数的图象与性质进行解答即可． 【详解】解：一次函数， 一次函数图象经过第一、二、三象限， 点A在第四象限， 一次函数的图象不可能经过点A， 故答案为：A． 【跟踪专练1】下列关于一次函数的图象经过的象限为（   ） A． 第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【详解】∵一次函数中，，， ∴函数图象的值随的增大而减小，函数图象与轴交于正半轴， ∴该一次函数的图象经过第一、二、四象限． 【跟踪专练2】.如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象一定不经过点_____．(填“”或“”或“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数解析式可得一次函数图象不经过第一象限，即可求解． 【详解】解：一次函数的，， 一次函数图象不经过第一象限， 一次函数图象不过点． 故答案为：． 【跟踪专练3】一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别根据一次函数和正比例函数的图象判断k和b的符号，然后进行比较求解即可． 【详解】解：一次函数中，，则一次函数图象y随x的增大而增大，故A、B选项符合，C、D选项不符合， 当时，一次函数与y轴交于正半轴，正比例函数的图象在第一、三象限，A选项符合题意； 当时，一次函数与y轴交于负半轴，正比例函数的图象在第二、四象限，B选项不符合题意． 【题型5.由图象象限求一次函数参数范围】 【典例】在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二、三、四象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据一次函数的图象经过二、三、四象限判断出及的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可，根据题意判断出的符号是解答此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴符合该条件的一次函数的表达式为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如果一次函数图象不经过第三象限，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴， 若，直线与y轴交于负半轴，会经过第三象限， ∴， 综上可得，． 【跟踪专练2】若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、解一元一次不等式组，根据一次函数的图像不经过第二象限，可得关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：一次函数的图像不经过第二象限， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式的解集为：． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图像不经过第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，函数值随自变量增大而减小，得，图像不经过第一象限，得，据此求解即可． 本题考查了一次函数的性质． 【详解】解：∵函数y随x增大而减小， ∴， 解得； ∵图像不经过第一象限， ∴， 解得； ∴m的取值范围为， 故选：D． 【题型6.一次函数图象与坐标轴的交点】 【典例】一次函数与x轴的交点坐标是___________． 【答案】 【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，可令，求出的值即可． 【详解】解：令，则， 解得， 所以一次函数与x轴的交点坐标是． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律及函数图象与y轴交点的求法．先根据“左加右减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再令求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵一次函数的图象向右平移2个单位长度， ∴平移后的函数解析式为， 对于，令，则， ∴平移后的图象与y轴的交点坐标为， 故选：A． 【跟踪专练2】若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为_______ ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，得出是解题的关键． 设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，进而可得出的长，再结合直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，可得出关于m的方程，解之即可得出m的值． 【详解】解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴； 当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴m的值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知：直线：与直线：（k是正整数）及x轴围成的三角形的面积为，则的值为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算两直线交点及与x轴交点，画图找出三角形，计算三角形面积，得到计算式，最后利用裂项相消法求出结果． 【详解】联立， 解得， 与交点为点， 与x轴交于点，与x轴交于点，， 函数图像与x轴交点如下图：    直线与直线及x轴围成的三角形的面积为， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查函数交点与坐标轴形成三角形的面积求解，使用合适的方法求出一列数的和是解题的关键．通常计算一列数的和采用裂项法时，公式为． 【题型7.一次函数图象的画法.】 【典例】下面有3个表格、3幅图、3个表达式，将表示同一函数的三种方式的相应字母填到同一条横线上：______、______、______． 【答案】 A，F，G B，E，I C，D，H 【分析】根据函数解析式、列表的特点及一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】y=-2x+1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … 5 3 1 -1 -3 … 对应函数图象如下： y=x-1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -3 -2 -1 0 1 … 对应函数图象如下： y=2x-1如下： x … -2 -1 0 1 2 … y … -5 -3 -1 1 3 … 对应函数图象如下： 故答案为：A，F，G；B，E，I；C，D，H． 【点睛】此题主要考查一次函数图象与性质，解题的关键是熟知画一次函数的图象的方法． 【跟踪专练1】土地沙漠化是人类生存的大敌，某地原有绿地a万公顷，由于人们环保意识不强，植被遭到严重破坏，经观察前段时间土地沙化速度为0.1万公顷年，当人们意识到环境恶化的危害性之后，决定改变环境，以每年0.3万公顷的速度进行绿化，那么年以后该地的绿地面积与时间的关系可用下图中的哪一个来近似地刻画（   ） A．    .B．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】根据题意确定出前段时间沙漠化后的绿地面积不断减少，改变环境后绿地面积在增大，并判断出图象，然后选择答案即可． 【详解】解：原有绿地万公顷，前段时间土地沙化速度为0.1万公顷年， 绿地面积， 为随着时间增大而减小的一条线段， 环境恶化后，以每年0.3万公顷的速度进行绿化， 所以，绿地面积每年以万公顷的速度增加， 为随着的增大而增大的射线， 纵观各选项，只有D选项图形符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象，理清土地沙漠化的变化过程，分决定改变环境前后两段确定函数图象是解题的关键． 【跟踪专练2】计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数和的图象如图所示．根据图象可知方程的解的个数为___________；若m，n分别为方程和的解，则m，n的大小关系是___________．    【答案】 3 【分析】利用函数和的图象交点个数判断方程的解的个数，作出直线，然后通过比较直线与函数和的图象的交点位置判断m、n的大小． 【详解】解：由函数图象可知，函数和的图象有三个交点， 所以方程的解的个数为3； 作直线，如图，函数的图象与直线的交点在的图象与直线的交点的右侧， 则． 故答案为3；．    【点睛】本题考查图象法解方程和不等式，解题的关键是利用图象的交点，解方程和不等式． 【跟踪专练3】如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，作直线、、，求出当时，，，，画出直线，由函数图象并结合即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作直线、、， 当时，，，， ∵， ∴如图，画出直线，结合图象可得，一次函数的图象应为直线， 故选：C． 【题型8.一次函数图象的平移变换】 【典例】将一次函数的图象向右平移2个单位长度，则平移之后的直线解析式为__________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则，对自变量进行变换即可求解． 【详解】解：由题意，将一次函数的图象向右平移个单位长度， 则平移之后的直线解析式为． 【跟踪专练1】将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数平移规则“上加下减”，向上平移时在函数值上加平移单位数．本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的规则是关键． 【详解】解：将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为 ． 故选：C． 【跟踪专练2】将一次函数的图象向上平移4个单位长度，向左平移3个单位长度后得到的函数表达式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键． 根据一次函数图象的平移规律：“上加下减，左加右减”求解即可得． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移4个单位长度，得到，再向左平移3个单位长度，得到， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据平移的距离可以判断出矩形BC边的长，根据的最大值和平移的距离可以求得矩形AB边的长，从而求得面积 【详解】如图：根据平移的距离在4至7的时候线段长度不变， 可知图中, 根据图像的对称性，， 由图（2）知线段最大值为，即 根据勾股定理 矩形的面积为 故答案为：C 【点睛】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键． 【题型9.一次函数增减性的判断】 【典例】已知一次函数，则函数值y随自变量x的增大而______． 【答案】减小 【分析】本题考查了一次函数图象和性质，在中，若，则函数值y随自变量x的增大而增大，若，则函数值y随自变量x的增大而减小，根据一次函数图象和性质即可解题． 【详解】解：一次函数解析式为，且， 函数值y随自变量x的增大而减小， 故答案为：减小． 【跟踪专练1】下列四个函数中，当增大时，值减小的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据一次函数（）的性质，当时，随的增大而减小，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵一次函数的一般形式为（）． ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 对各选项分析： A选项中，随增大而增大． B选项中，随增大而增大． C选项中，随增大而增大． D选项中，随增大而减小． ∴符合题意的是D选项． 故选：D． 【跟踪专练2】函数（m，n为常数，）若，当时，函数有最大值0，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质、解二元一次方程组，分两种情况：当，即时；当，即时；根据一次函数的性质列出二元一次方程组，解方程即可得解． 【详解】解：①当，即时， 当时，y取到最大值，， 整理，得． 联立方程组：． 解得． ②当，即时， 当时，y取到最大值，， 整理，得． 联立方程组：， 解得（舍去）． 综上所述，n的值是． 故答案是：． 【跟踪专练3】已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，由直线方程可知，，因此随增大而减小．由，得，再逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵直线，， ∴随增大而减小． ∵， ∴． A，若，因为，所以或； 当时，由于，无法确定和的符号，例如，若直线与x轴交点在和之间，则，故不能确定的正负 故选项A不符合题意； B，若，则异号，但不能确定的正负，故选项B不符合题意； 对于选项C：若， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴恒成立； 对于选项D，若，则同号，但不能确定的正负，故选项D不符合题意； 故选：C． 【题型10.由增减性求一次函数参数】 【典例】在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是___________． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数增减性与系数的关系是解题关键．根据y随x的增大而减小，得出，即可作答． 【详解】解：根据一次函数的性质，在一次函数中，y随x的增大而减小， 则， 解得， 所以在一次函数中，k的值可以是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 【跟踪专练1】在一次函数的图象上任取不同两点，一定能使，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由给定不等式判断一次函数的增减性，再利用一次函数的性质得到一次项系数的范围，求解得到的取值. 【详解】解：， 且或且， 即和， ∴随的增大而减小， 对于一次函数，当随增大而减小时，一次项系数小于， ， ． 【跟踪专练2】已知一次函数（为常数，且），当（为任意实数）时，函数最大值与最小值的差为，则该函数的表达式是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，由于，y随x增大而减小，当（为任意实数）时，差值为，令其等于即可解出． 【详解】解：， 随着的增大而减小， 在（为任意实数）时， 当时，有最大值， 当时，有最小值， ， 解得：， 函数表达式为． 故答案为：． 【跟踪专练3】当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】A 【分析】根据一次项系数的正负判断函数在上的增减性，再结合最大值为，求解的值． 【详解】解：一次函数的斜率为，分两种情况讨论： ①当时： 函数在上随着的增大而增大，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得． ②当时： 函数在上随着的增大而减小，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得，但不满足，舍去． ③当时： 函数为常函数，最大值为，不符合最大值为，舍去． 综上所述，． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的单调性与最值，解题关键是分斜率正负讨论函数的增减性，再结合区间端点求最值． 【题型11.由增减性判断自变量变化趋势】 【典例】如图，一次函数的图象经过，两点，那么当时，的取值范围是_____．    【答案】 【分析】根据函数图象，找出当时，自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴由图可知，当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握根据函数图象写出不等式解集的方法． 【跟踪专练1】已知直线经过点，．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 【跟踪专练2】已知函数，当自变量的取值范围是时，的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据时，的值随的增大而增大，把代入函数式计算即可求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的值随的增大而增大， ∵， ∴时，取最大值，， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，掌握知识点的应用是解题的关键． 由直线的，则随的增大而增大，当时，，然后根据时，，即，所以，从而求解． 【详解】解：∵直线的， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． ∵当时，，即， ∴，A选项正确，B选项错误； ∵当时，，即， ∴与 1 的大小关系不确定，C选项错误，D选项错误； 故选：． 【题型12.利用增减性比较函数值大小】 【典例】若函数的图象上存在两点，则___________． 【答案】 【分析】先根据一次项系数判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到对应函数值的大小关系． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴． 【跟踪专练1】已知点，都在直线上，则，的大小关系是（    ） A．不能比较 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是关键．本题利用一次函数的性质解题，先根据一次项系数k的符号判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到，的大小关系． 【详解】解：直线中，， 随x的增大而减小， ， ． 故选：D． 【跟踪专练2.】已知整数满足，，对任意一个，都取，中的较小值，则的最大值是________． 【答案】 【分析】联立两个函数的解析式，可求得两函数的交点坐标为，在的范围内；由于m总取中的较小值，且两个函数的图象一个y随x的增大而增大，另一个y随x的增大而减小；因此当m最大时，的值最接近，即当时，m的值最大，因此m的最大值为． 【详解】解：联立两函数的解析式，得：， 解得； 即两函数图象交点为， 在的范围内；由于的函数值随x的增大而增大，的函数值随x的增大而减小； 因此当时，m值最大，的最大值是2． 【跟踪专练3】定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法： ； 的解集为 若点函数的图象上一点，则点到轴的距离最小值是． 以上说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据新定义运算法则并结合一次函数的性质即可判断求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，故正确； 当，即时， 由得，， 解得， ∴不等式无解，该情况不存在； 当，即时， 由得，， 解得， ∴，故正确； 当，即时， ， 当时，， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴点到到轴的距离大于； 当，即时， ， 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴点到到轴的距离大于； ∴点到到轴的距离大于，故正确； ∴说法中正确的个数为个， 故选：． 【题型13.一次函数的规律探究问题】 【典例】如图，正方形，，，按图示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型中点的坐标，根据点坐标的变化找出变化规律“点的坐标为”是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、的坐标，根据点坐标的变化找出点的坐标，依此即可得出结论． 【详解】解：当时，， 点的坐标为． 为正方形， 点的坐标为，点的坐标为． 同理，可得：，，， 点的坐标为， 点的纵坐标为， 点的纵坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知直线：，直线：，点的坐标为，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，过点作x轴的平行线交直线于点，按此法一直依次进行下去，点的坐标为(    )   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确的求出规律是解题的关键．轴，，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，得到，同理，；，即；，求得，于是得到结论． 【详解】解：轴，， 的纵坐标的纵坐标， 在直线上， ， ， ，即的横坐标为， 的横坐标为， 在直线上， ， ， 同理，； ，即； ； ， ， ， 的横坐标为，和的纵坐标为， 在直线上， 故选：B． 【跟踪专练2】《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 【答案】 【分析】由直线的解析式求得，即可求得，把的坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，把的纵坐标代入求得的坐标，进而求得的坐标，即可求得，…..，得到规律，即可求得，然后问题可求解． 【详解】解：把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ∴， 把代入得，， ， 把代入得，， ， ， ……， ∴， ∴； 故答案为． 【跟踪专练3】正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，其面积分别记为，则（    ） 参考公式：． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数找规律问题，找到题中的规律是解题的关键，根据一次函数解析式求出，的坐标，从而找到规律，从而得到，再根据提示即可求得答案． 【详解】解：∵点和点分别在直线和轴上， ∴，， ∴， ∴将代入得， ∴， ∴， 以此类推可得：， ， ∴ ． 故选：A． 【解答题】 1．在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）列表，描点，然后连线即可画出图象； （2）首先得到，，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 0 图象如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴，， ∴． 2．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)判断点是否在函数图像上． 【答案】(1) (2)点不在函数图像上 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键． （1）由题意可设，代入，求出的值，即可求解； （2）代入，求出对应的值，即可判断． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴， 代入，得，， 解得， ∴， 整理得：； （2）解：当时，， ∴点不在函数图像上． 3．如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 【答案】特例探究：（1）4，4，12；（2）；（3）；归纳猜想：， 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 特例探究：（1）当时，则，，令求出点B和点C的坐标，再根据题意分别令和时，即可求出点D和点E的坐标，进而即可求出、和的值； （2）设点的纵坐标为，根据题意求出点B和点C的坐标，再求出和的值，进而即可求解； （3）由（2）进而求出和的值，进而即可求解； 归纳猜想：设P的纵坐标为m，根据题意求出点B和点C的坐标、点D和点E的纵坐标，进而求解即可． 【详解】解：特例探究：（1）当时，则，， 当点的纵坐标为3时，则 解得， 解得， ∴点B为，点C为， ∵过点、作轴的平行线分别交的图象于点、， ∴当时， ， 当时， ， ∴点D为，点E为， ∴，，， 故答案为：4，4，12； （2）设点的纵坐标为，则直线的方程为， 令，得， 解得， ∴点B为， 令，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∴； （3）∵过作轴平行线（），交于D， ∴代入得， ∴点D为， ∴， ∵过作轴平行线（），交于E， ∴代入得， ∴点E为， ∴， ∴， ∴； 归纳猜想：∵，（，），点P在y正半轴上， ∴设P的纵坐标为m（）， ∵点B是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点B为， ∵点C是l与的交点， ∴当时，得 解得， ∴点C为， ∴，， ∴， ∵过点B作y轴平行线（），交于D， ∴点D的纵坐标为， ∴ ∵过点C作y轴平行线（），交于E， ∴点E的纵坐标为， ∴， ∴， 故答案为：，． 4．已知一次函数（为常数，且）． (1)若，且，两点均在该函数的图象上，试比较，的大小； (2)若时，有最小值，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，得一次函数为，故该函数y随x的增大而增大，又，两点均在该函数的图象上进行判断即可； （2）依据题意，当时，y有最小值，分①当时和②当时，分别进行分析计算可以得解 【详解】（1）解：由题意得，， ∴一次函数为，且， ∴该函数y随x的增大而增大， 又∵，两点均在该函数的图象上，且， ∴； （2）解：∵当时，有最小值， ∴①当时，取时，y有最小值， ∴， ∴，符合题意； ②当时，取时，y有最小值， ∴， ∴，符合题意； 综上所述，或． 5．已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点． 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】（1）根据一次函数的性质得到当y随x的增大而增大时，，求解即可； （2）根据一次函数的性质得到函数图象与y轴的交点在x轴的下方时，且，求解即可； （3）把原点代入解析式，求解即可． 【详解】（1）解：∵y随x的增大而增大， ∴， ∴． （2）解：∵一次函数图象与y轴的交点在x轴的下方， ∴，， ∴且． （3）解：∵一次函数图象经过原点， ∴， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10一次函数的图象同步讲义 【题型01 正比例函数的图象】.............................................3 【题型02 正比例函数的性质】.............................................4 【题型03 一次函数图象的识别】...........................................4 【题型04 由解析式判断一次函数经过的象限】...............................5 【题型05 由图象象限求一次函数参数范围】.................................6 【题型06 一次函数图象与坐标轴交点】.....................................7 【题型07 一次函数图象的画法】...........................................7 【题型08 一次函数图象的平移变换】.......................................9 【题型09 一次函数增减性的判断】.........................................9 【题型10 由增减性求一次函数参数】......................................10 【题型11 由增减性判断自变量变化趋势】..................................10 【题型12 利用增减性比较函数值大小】....................................10 【题型13 一次函数的规律探究问题】......................................11 【解答题5题】..........................................................13 ★知识梳理 知识点01:基本概念 一次函数 一般形式：y=kx+b(k,b 为常数,k0) 当 b=0 时，y=kx 叫做正比例函数，是特殊的一次函数。 一次函数的图象是一条直线，所以画一次函数图象只需要找2 个点，连线即可。 知识点02:一次函数图象的画法（两点法） 对于 y=kx+b： 1.令 x=0，得 y=b，得点 (0,b)（与 y 轴交点）。 2.令 y=0，得 x=−​，得点 (−​,0)（与 x 轴交点）。 3.过这两点画直线，就是 y=kx+b 的图象。 知识点03:k、b 对图象的决定作用（重中之重） 1. 斜率 k 决定增减性、倾斜方向 k>0：直线从左向右上升，y 随 x 增大而增大； k<0：直线从左向右下降，y 随 x 增大而减小。 2. 截距 b 决定与 y 轴交点位置 b>0：直线与 y 轴交于正半轴； b=0：直线过原点（正比例函数）； b<0：直线与 y 轴交于负半轴。 知识点04:一次函数图象经过的象限（必背） k>0,b>0：经过一、二、三象限 k>0,b<0：经过一、三、四象限 k<0,b>0：经过一、二、四象限 k<0,b<0：经过二、三、四象限 口诀：k 正一三走，k 负二四游；b 正交上，b 负交下。 知识点05:正比例函数 y=kx 的特殊性质 图象是过原点的直线； k>0，过一、三象限，y 随 x 增大而增大； k<0，过二、四象限，y 随 x 增大而减小。 知识点06:两条直线的位置关系 设直线 l1:y=k1x+b1​，l2:y=k2x+b2​ k1=k2且 b1b2 ⟹ 平行 k1=k2且 b1=b2⟹ 同一条直线 k1k2 ⟹ 相交 【题型1.正比例函数的图象】 【典例】函数的图象经过第______象限 【跟踪专练1】画正比例函数的图象，可以先描出原点和下列四个点中的（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是四个正比例函数的图象，则，，，的大小关系是_____________； 【跟踪专练3】若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A． B． C． D． 【题型2.正比例函数的性质】 【典例】已知正比例函数，当时，则的值为__________． 【跟踪专练1】已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】物理实验中，同学们分别测量电路中通过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是_______． 【跟踪专练3】把点先向左平移5个单位，再向上平移4个单位，所得的点在直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【题型3.一次函数图象的识别.】 【典例】函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【跟踪专练2】如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． 下面有四个结论： ① ； ② ； ③ 当时，； ④． 其中正确的是____________（只填写序号）． 【跟踪专练3】在同一坐标系中，一次函数和的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【题型4.由解析式判断一次函数经过的象限】 【典例】如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过点__________________． 【跟踪专练1】下列关于一次函数的图象经过的象限为（   ） A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【跟踪专练2】.如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象一定不经过点_____．(填“”或“”或“”或“”) 【跟踪专练3】一次函数与正比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【题型5.由图象象限求一次函数参数范围】 【典例】在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第二、三、四象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：________． 【跟踪专练1】如果一次函数图象不经过第三象限，那么（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若一次函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是______． 【跟踪专练3】已知一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图像不经过第一象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6.一次函数图象与坐标轴的交点】 【典例】一次函数与x轴的交点坐标是___________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，则平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则m的值为_______ ． 【跟踪专练3】已知：直线：与直线：（k是正整数）及x轴围成的三角形的面积为，则的值为（        ） A． B． C． D． 【题型7.一次函数图象的画法.】 【典例】下面有3个表格、3幅图、3个表达式，将表示同一函数的三种方式的相应字母填到同一条横线上：______、______、______． 【跟踪专练1】土地沙漠化是人类生存的大敌，某地原有绿地a万公顷，由于人们环保意识不强，植被遭到严重破坏，经观察前段时间土地沙化速度为0.1万公顷年，当人们意识到环境恶化的危害性之后，决定改变环境，以每年0.3万公顷的速度进行绿化，那么年以后该地的绿地面积与时间的关系可用下图中的哪一个来近似地刻画（   ） A．    .B．  B．  C．   D．   【跟踪专练2】计算机可以帮助我们又快又准地画出函数的图象．用“几何画板”软件画出的函数和的图象如图所示．根据图象可知方程的解的个数为___________；若m，n分别为方程和的解，则m，n的大小关系是___________．   . 【跟踪专练3】如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 【题型8.一次函数图象的平移变换】 【典例】将一次函数的图象向右平移2个单位长度，则平移之后的直线解析式为__________． 【跟踪专练1】将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将一次函数的图象向上平移4个单位长度，向左平移3个单位长度后得到的函数表达式是__________． 【跟踪专练3】如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（    ） A． B． C．8 D．10 【题型9.一次函数增减性的判断】 【典例】已知一次函数，则函数值y随自变量x的增大而______． 【跟踪专练1】下列四个函数中，当增大时，值减小的函数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】函数（m，n为常数，）若，当时，函数有最大值0，则_____． 【跟踪专练3】已知，，为直线上的三个点，且，以下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型10.由增减性求一次函数参数】 【典例】在一次函数中，随的增大而减小，则的值可以是___________． 【跟踪专练1】在一次函数的图象上任取不同两点，一定能使，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知一次函数（为常数，且），当（为任意实数）时，函数最大值与最小值的差为，则该函数的表达式是_____． 【跟踪专练3】当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【题型11.由增减性判断自变量变化趋势】 【典例】如图，一次函数的图象经过，两点，那么当时，的取值范围是_____．    【跟踪专练1】已知直线经过点，．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知函数，当自变量的取值范围是时，的最大值为______． 【跟踪专练3】已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型12.利用增减性比较函数值大小】 【典例】若函数的图象上存在两点，则___________． 【跟踪专练1】已知点，都在直线上，则，的大小关系是（    ） A．不能比较 B． C． D． 【跟踪专练2.】已知整数满足，，对任意一个，都取，中的较小值，则的最大值是________． 【跟踪专练3】定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法： ； 的解集为 若点函数的图象上一点，则点到轴的距离最小值是． 以上说法中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【题型13.一次函数的规律探究问题】 【典例】如图，正方形，，，按图示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是______． 【跟踪专练1】如图，已知直线：，直线：，点的坐标为，过点作x轴的平行线交直线于点，过点作y轴的平行线交直线于点，过点作x轴的平行线交直线于点，按此法一直依次进行下去，点的坐标为(    )   A． B． C． D． 【跟踪专练2】《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，则的值为__________． 【跟踪专练3】正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，其面积分别记为，则（    ） 参考公式：． A． B． C． D． 【解答题】 1．在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)若图象与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，求出的面积． 2．已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)判断点是否在函数图像上． 3．如图，一次函数、的图象交于轴上的点，其中为常数且，．点为正半轴上的一点，过点作轴的平行线分别交的图象于点、，过点、作轴的平行线分别交的图象于点、． 【特例探究】当时 （1）若点的纵坐标为3，则　　，　　，　　； （2）求的值； （3）求的值． 【归纳猜想】请运用特殊到一般的数学思想和归纳法进行猜想（不需要证明）： 　　；　　．（用含有的代数式表示） 4．已知一次函数（为常数，且）． (1)若，且，两点均在该函数的图象上，试比较，的大小； (2)若时，有最小值，求的值． 5．已知一次函数． (1)当m为何值时，y随x的增大而增大； (2)当m为何值时，函数图象与y轴的交点在x轴的下方； (3)当m为何值时，函数图象经过原点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $