精品解析：吉林省吉林市第三十中学2021-2022学年九年级下学期学业水平测试数学试题

吉林省吉林市第三十中学2021-2022学年九年级下学期学业水平测试数学试题 数学试题共8页，共计总分120分，考试时间为120分钟，考试结束后将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 在一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0中，常数项是（　　） A. 1 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 3. 反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，随着x值的增大，y值（ ） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 先增大后减小 4. 若抛物线经过点，则该抛物线一定还经过点（ ） A. B. C. D. 5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 6. 如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ） A. 只闭合个开关 B. 只闭合个开关 C. 只闭合个开关 D. 闭合个开关 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 已知点A(a，﹣2)与点B(3，2)关于原点对称，则a＝___． 8. 用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，将原方程变形为（x﹣a）2＝b的形式为____． 9. 如图，点、、在上，，则的大小为______． 10. 已知是关于的方程的一个根，则______． 11. 已知一块蓄电池的电压为定值，电流与电阻之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为______． 12. 如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A和B的坐标分别为（2，0），（0，-4），若将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为______． 14. 如图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面__________． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 已知2是方程的一个根，求常数的值及该方程的另一根． 16. 已知二次函数的图像与轴交于点，与轴的一个交点坐标是． （1）求二次函数的解析式； （2）当为何值时，． 17. 如图，是的直径，，切于点，交于点，． （1）求的度数； （2）求的长． 18. 如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽． 四、解答题：（每小题7分，共28分） 19. 在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4，甲、乙两名同学做摸球游戏游戏规则是：甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则甲胜，否则乙胜． （1）用列表法或画树状图法，求甲胜的概率； （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 20. 如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图： （1）在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰，点C在格点上． （2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C，D两点均在格点上． （3）在图③中，画△ABC，使∠ACB=90°，面积为5，点C在格点上． 21. 如图，四边形中，，，点在上，． （1）求证：． （2）若，，，求长． 22. 如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时，身体离地面最高4.75米，已知OA=1． （1）求该抛物线的解析式． （2）若人梯到起跳点A的水平距离为4米，求人梯BC的高． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b图象与反比例函数图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出△AOB的面积； （3）根据图象直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 24. 与都是等边三角形，连接． （1）如图①，当点在同一条直线上时，则______度； （2）将图①中的绕着点逆时针旋转到如图②的位置．求证：； （3）在将绕点旋转过程中，当点在一条直线上时，若，请直接写出的长． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在矩形中，．对角线相交于点O．动点P、Q从点A同时出发，点P沿向终点D运动，在上的速度是，在上的速度是；点Q沿以的速度向终点D运动．设点P运动的时间为，在运动过程中，点P、点Q经过的路线与围成的图形的面积为． （1）________． （2）当恰好经过点O时，x的值为_______． （3）求y关于r的函数解析式，并写出x的取值范围． 26 如图，已知；抛物线经过点，点，且交x轴于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上有一点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省吉林市第三十中学2021-2022学年九年级下学期学业水平测试数学试题 数学试题共8页，共计总分120分，考试时间为120分钟，考试结束后将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 在一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0中，常数项是（　　） A. 1 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：一元二次方程的常数项是-1， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 反比例函数y＝（x＜0）的图象如图所示，随着x值的增大，y值（ ） A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 先增大后减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小作答． 【详解】解：由解析式知k=1＞0，所以当x＜0时，函数y随着自变量x的增大而减小． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 4. 若抛物线经过点，则该抛物线一定还经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象对称性解答． 【详解】解：由抛物线可知抛物线的对称轴为y轴， ∵抛物线经过， ∴点关于y轴的对称点也在抛物线上， ∴它也经过点． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键． 5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 【答案】B 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 6. 如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ） A. 只闭合个开关 B. 只闭合个开关 C. 只闭合个开关 D. 闭合个开关 【答案】B 【解析】 【分析】观察电路发现，闭合或闭合或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案． 【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路， 只闭合个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意； 闭合个开关，小灯泡发光必然事件，所以D不符合题意； 只闭合个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意； 只闭合个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意． 故选B． 【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 已知点A(a，﹣2)与点B(3，2)关于原点对称，则a＝___． 【答案】﹣3 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答即可． 【详解】解：∵点A（a，﹣2）与点B（3，2）关于原点对称， ∴a＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是Q（﹣x，﹣y）是解题的关键． 8. 用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，将原方程变形为（x﹣a）2＝b的形式为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元二次方程的方法：配方法进行化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查用配方法解一元二次方程，掌握方法是解题关键． 9. 如图，点、、在上，，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理，设，则，构建方程求解即可． 【详解】∵点、、在上， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理，学会利用参数构建方程解决问题是解本题的关键． 10. 已知是关于的方程的一个根，则______． 【答案】2025 【解析】 【分析】把代入方程可得再把化为，再整体代入求值即可. 【详解】解： 是关于的方程的一个根， 故答案为： 【点睛】本题考查的是方程的解，求解代数式的值，掌握“利用整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键. 11. 已知一块蓄电池的电压为定值，电流与电阻之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键． 直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可． 【详解】设， 把代入得：， 解得，， ∴电流I关于电阻R的函数解析式为． 故答案为：． 12. 如下图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键． 根据可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A和B的坐标分别为（2，0），（0，-4），若将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为______． 【答案】（−2，2） 【解析】 【分析】如图，过点C作CH⊥x轴于H．证明△AOB≌△CHA（AAS），推出CH＝OA＝2，AH＝OB＝4，可得结论． 【详解】解：如图，过点C作CH⊥x轴于H． ∵A（2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， ∵∠AHC＝∠AOB＝∠BCA＝90°， ∴∠CAH＋∠BAO＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°， ∴∠CAH＝∠ABO， 在△AOB和△CHA中， ， ∴△AOB≌△CHA（AAS）， ∴CH＝OA＝2，AH＝OB＝4， ∴OH＝AH−OA＝2， ∴C（−2，2）． 故答案为：（−2，2）． 【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 14. 如图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．过作，垂足为，过作，垂足为，可得， 则得到，即可求解． 【详解】解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， 由题意得，， 则若将放置内，且使得点重合，在上，在上， 则， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 已知2是方程的一个根，求常数的值及该方程的另一根． 【答案】，方程另一个根为-2 【解析】 【分析】将x=2代入原方程，可求出c的值，进而可通过解方程求出另一根． 【详解】解：是方程的一个根， ， 解得， ∴方程为．， ∴，， 该方程的另一个根是－2. 【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解和解一元二次方程的方法是解题关键． 16. 已知二次函数的图像与轴交于点，与轴的一个交点坐标是． （1）求二次函数的解析式； （2）当为何值时，． 【答案】（1）y= (x-1)2-9 ；（2）-2<x<4 【解析】 【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得 a，k的值，从而得到抛物线的解析式； （2）根据对称性求出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，最后依据y＜0可求得x的取值范围． 【详解】解：（1）∵y=a(x-1)2+k的图像与y轴交于点C（0，﹣8），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）． ∴，解得，， ∴该函数的解析式为y= (x-1)2-9； （2）令y=0，则(x-1)2-9=0，解得：， ∴点B的坐标为（4，0）． ∴当-2<x<4时，y<0． 【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． 17. 如图，是的直径，，切于点，交于点，． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可知，根据直角三角形的两个锐角互余，可以求出的度数； （2）连结，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以求出，根据弧长公式即可求出的长度． 【小问1详解】 解：是的直径，切于点， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，连结， ，的半径为， 的长为． 18. 如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽． 【答案】1m 【解析】 【分析】根据场地的原长与宽，设小路的宽度为xm，得到草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x），由题意列出方程即可． 【详解】设小路的宽度为xm， 那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x）． 根据题意即可得出方程为： （16﹣2x）（9﹣x）＝112， 解得x1＝1，x2＝16． ∵16＞9， ∴x＝16不符合题意，舍去， ∴x＝1． 答：小路的宽为1m． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，弄清草坪的总长与总宽时关键． 四、解答题：（每小题7分，共28分） 19. 在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4，甲、乙两名同学做摸球游戏游戏规则是：甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则甲胜，否则乙胜． （1）用列表法或画树状图法，求甲胜的概率； （2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1）甲胜的概率为 （2）这个游戏不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有2种，再由概率公式求解即可； （2）共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为奇数的结果有4种，再由概率公式求出乙胜的概率，比较大小即可． 【小问1详解】 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有2种， ∴甲胜的概率为； 【小问2详解】 这个游戏不公平，理由如下： 共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为奇数的结果有4种， ∴乙胜的概率为， 由（1）得：甲胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断以及树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，在6×6的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在格点上．请按要求在图①，图②，图③中画图： （1）在图①中，画等腰△ABC，使AB为腰，点C在格点上． （2）在图②中，画面积为8的四边形ABCD，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形，C，D两点均在格点上． （3）在图③中，画△ABC，使∠ACB=90°，面积为5，点C在格点上． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）因为AB=5，作腰为5的等腰三角形即可（答案不唯一）； （2）作边长为2，高为4的平行四边形即可； （3）根据（1）的结论，作BG边的中线，即可得解． 【详解】解：（1）如图①中，△ABC即为所求作（答案不唯一）； （2）如图②中，平行四边形ABCD即为所求作； （3）如图③中，△ABC即为所求作（答案不唯一）； ∵AB=AG，BC=CG， ∴AC⊥BG， ∵△ABG的面积为， ∴△ABC的面积为5，且∠ACB=90°． 【点睛】本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 如图，在四边形中，，，点在上，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）由，可得出，由同角的余角相等可得出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可求出的长度，结合即可求出的长度． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴的长为． 22. 如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时，身体离地面最高4.75米，已知OA=1． （1）求该抛物线的解析式． （2）若人梯到起跳点A的水平距离为4米，求人梯BC的高． 【答案】（1）；（2）人梯BC的高为米． 【解析】 【分析】（1）根据题意得：抛物线的顶点为（2.5，4.75），A（0，1），可设此抛物线的解析式为，再将A（0，1）代入，即可求解； （2）把x=4代入，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得：抛物线的顶点为（2.5，4.75），A（0，1）， 可设此抛物线的解析式为， 把A（0，1）代入，得 ， 解得 ． ∴ ； （2）当x=4时， ． ∴人梯BC的高为米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确求出二次函数的解析式是解题的关键． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b图象与反比例函数图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数解析式； （2）直接写出△AOB的面积； （3）根据图象直接写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣，y＝﹣x﹣2；（2）S△AOB＝6；（3）﹣4＜x＜0或x＞2． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数的解析式； （2）由（1）求出的一次函数解析式求出AB与x轴的交点坐标（-2,0），从而将△AOB分解为两个底边长为2的三角形，然后结合A、B两点纵坐标求出各自三角形面积，最后相加即可； （3）根据一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围就是对应的一次函数图像在反比例函数图像下方的自变量的取值范围求解即可. 【详解】解：（1）把（﹣4，2）代入y＝得2＝，则m＝﹣8． 则反比例函数的解析式是y＝﹣； 把（n，﹣4）代入y＝﹣得n＝﹣＝2， 则B的坐标是（2，﹣4）． 根据题意得：，， 解得：，，， ∴一次函数的解析式是y＝﹣x﹣2； （2）设AB与x轴的交点是C，则C的坐标是（﹣2，0）． 则OC＝2， S△AOC＝2，S△BOC＝4， 则S△AOB＝6； （3）由函数图象可知x的取值范围时﹣4＜x＜0或x＞2． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式以及反比例函数图像的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 24. 与都是等边三角形，连接． （1）如图①，当点在同一条直线上时，则______度； （2）将图①中的绕着点逆时针旋转到如图②的位置．求证：； （3）在将绕点旋转的过程中，当点在一条直线上时，若，请直接写出的长． 【答案】（1）120 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）首先由等边三角形的性质得到，然后根据邻补角互补求解即可； （2）根据等边三角形的性质，，，，进而得出，，再由全等三角形的性质即可得证； （3）先求出，再分点在和的延长线上，过点作的垂线，构成直角三角形求解，即可得出结论． 【小问1详解】 ∵是等边三角形， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴； 【小问2详解】 证明：与都是等边三角形， ，，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形，， ， 当点在延长线上时，如图③， 过点作于，则， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中， 根据勾股定理得，； 当点在的延长线上时，如图④， 过点作于，则， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中， 根据勾股定理得，； 即满足条件的的长为或． 【点睛】本题考查了图形的变化旋转，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在矩形中，．对角线相交于点O．动点P、Q从点A同时出发，点P沿向终点D运动，在上的速度是，在上的速度是；点Q沿以的速度向终点D运动．设点P运动的时间为，在运动过程中，点P、点Q经过的路线与围成的图形的面积为． （1）________． （2）当恰好经过点O时，x的值为_______． （3）求y关于r的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】（1）4 （2）2 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理可解答即可； （2）证明△DOQ≌△BOP（ASA）可得DQ=BP，再列出方程求出x的值即可； （3）分三种情况：当0≤x≤l时，AP=3xcm，AQ=xcm；当1<x≤3时，BP=2（x-1）（cm），A0=xcm，AB=3cm；当3<x≤4时，QD=（4-x）cm，PD=3-3（x-3）=（12-3x）cm，由三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∵AB=3cm，AC=5cm， ∴． 故答案为：4． 【小问2详解】 解：如图：当PQ过点O时，OB=OD， ∵∠DOQ=∠BOP，∠QDO=∠PBO， ∴△DOQ≌△BOP（ASA）， ∴DQ=BP， ∵AD=（4-x）cm，BP=2（x-1）（cm）， ∴4-t=2（x-1），解得：x=2． 故答案为：2． 【小问3详解】 解：当时，如图①，． 所以 当时，如图②，，． ∴． 当时，如图③，． ∴． 综上：． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏成为解答本题的关键． 26. 如图，已知；抛物线经过点，点，且交x轴于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线上方的抛物线上有一点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）面积最大值为2，的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点，点代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）过点作轴，与交于点，求得直线的解析式为：，则可设，则，然后表示出的面积，根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意，分别求得，在抛物线上时的的值，结合函数图像即可求解． 【小问1详解】 解：把两点坐标代入 得， 解得 ∴抛物线的解析式为， 【小问2详解】 过点作轴，与交于点，如图1， 设直线的解析式为：，点，点 ∴， 解得：， 直线的解析式为： 则可设，则， ， ∴， ∴当时，面积最大，其最大值为．此时的坐标为； 【小问3详解】 ①当点在抛物线上， 此时如图， ∴ 则 解得：或 ②当在抛物线上时， ∴ ∴ 解得：或 综上所述，或 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，线段问题，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $