精品解析：吉林省长春市第四十五中学2025-2026学年九年级下学期数学大练习1

长春市第四十五中学2025--2026年度下学期 九年级数学学科大练习1 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案． 【详解】如图所示的几何体的主视图如下： 故选：A． 2. 2026年全国普通高校毕业生规模预计为1270万人．其中“1270万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 将“1270万”转换为数字后，写成形式即可． 【详解】解：1270万． 故选：C． 3. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，正确从数轴得到的大小以及正负是解题的关键． 由数轴可得，，再分别判断各选项即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法法则逐项分析即可． 【详解】A．中的两项不是同类项，不能合并，故不正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选B． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5. 如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为α，梯子底端到墙的距离AC为1米，则梯子AB的长度是（　　） A. sinα米 B. cosα米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据cosα=进行运算即可． 【详解】解：∵梯子靠在垂直于水平地面的墙上， ∴cosα=， ∴AB==， 故答案为：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的应用，掌握知识点是解题关键． 6. 如图，四边形内接于，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆的内接四边形，先根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4， 故选：C． 考点：反比例函数k的几何意义． 8. 如图所示，在中，，，，以点B，C 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，直线交 于点D，则长在（ ） A. 0与1之间 B. 1 与2之间 C. 2与3之间 D. 3 与4之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．先根据勾股定理求出，然后根据线段垂直平分线的作图，可证明，，再证明，得出，由此即可判断答案． 【详解】设直线交 于点E， ，，， ， 由题意可知，为 的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 故选 C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解，关键是找到公因式．先把变形为，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 10. 将边长相等的正五边形和正方形按如图位置摆放，为正五边形和正方形的一条公共边，点C、D分别为正五边形和正方形的一个顶点，连接，则的度数为______． 【答案】81 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边对等角，正五边形内角和定理，先根据正方形的性质得到，再求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解：由正方形的性质可得， 由正五边形的性质可得，， ∴， ∴， 故答案为：81． 11. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是理解题意构建不等式求解．根据方程没有实数根，得到，构建不等式求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 现把若干张长方形餐桌按如图方式进行拼接．那么需要多少张餐桌拼在一起可坐70人用餐？若设需要这样的餐桌x张，可列方程为_____．     【答案】 【解析】 【分析】根据图形可知，每张桌子有4个座位，然后再加两端的各一个，于是x张桌子就有（4x+2）个座位；由此进一步列方程即可． 【详解】解：1张长方形餐桌的四周可坐4+2=6人， 2张长方形餐桌的四周可坐4×2+2=10人， 3张长方形餐桌的四周可坐4×3+2=14人， … x张长方形餐桌的四周可坐4x+2人； 则依题意得：4x+2=70． 故答案是：4x+2=70． 【点睛】此题考查图形的变化规律和由实际问题抽象出一元一次方程，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律解决问题． 13. “数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数的图象只经过三个象限，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答． 首先配方得到，然后得出抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为，然后根据二次函数的图象只经过三个象限，得到，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴，顶点坐标为， 二次函数的图象只经过三个象限， 二次函数的图象经过第一，二，三象限 ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，正方形的一边在的边上，其余两个顶点分别在边，上，若、、的面积分别为4、6、3．给出下面四个结论：①的面积为24，②，③，④正方形的面积为12．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】因为和是直角三角形，且为正方形边长，所以可设正方形边长为x，、分别用含x的表达式表示．因为与相似，所以可利用相似三角形的性质，结合三个小三角形的面积，建立关于x的方程，求出正方形的边长．求出正方形边长后，分别计算的面积、的比值，判断与的关系，进而验证四个结论． 【详解】解：过点作，交于，设， 四边形是正方形， ， ， ， 、、的面积分别为、、， ，，， ，， ，， ，， 代入相似比得：， 整理得：， 解得：， ∴正方形的面积为12，故④正确； ∴，故①错误； ∵， ∴，即， ∴，即，故②正确； 由，得， ， ∴，故③正确； 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共10小题，共76分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用平方差公式，单项式乘以多项式去括号，再合并同类项，然后将a的值代入化简后的式子，即可解答本题． 【详解】 当时， 原式=． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 16. 小淇参加一个抽奖活动，活动规则是：抽奖者手里预先持有一张标有数字7的卡片，然后从分别标有数字6，7，8的三张卡片中随机抽取一张（卡片除数字不同外，其余均相同），记录数字后放回，再从中随机抽取一张，并记录数字，若两次抽取的数字与手中持有的数字能组成3个连续整数或者是3个相同的数字，则为中奖．用画树状图（或列表）的方法求小淇参加这个抽奖活动中奖的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小淇参加这个抽奖活动中奖的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中小淇中奖的结果数有3种， ∴小淇参加这个抽奖活动中奖的概率为． 17. 2024年10月1日，中华人民共和国将迎来75周岁的生日．为喜迎国庆，某学校举办了一场历史知识竞赛，竞赛共20道题，评分规则为：对于每一道题，答对得5分，答错或不答扣2分，其中九年级代表队最终得分为86分，求九年级代表队答对了多少道题？ 【答案】九年级代表队答对了18道题 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设九年级代表队答对了x到题，则答错或者不答了道题，根据一共得分86分列出方程求解即可． 【详解】解：设九年级代表队答对了x到题，则答错或者不答了道题， 由题意得，， 解得， 答：九年级代表队答对了18道题． 18. 如图中，于、于，求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． 根据平行四边形的性质可证，得到，再根据题意得到，由此即可求解． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． 19. 如图，有两只大小不等的圆柱形无盖空水杯（壁厚忽略不计），将小水杯放在大水杯中．现沿着大水杯杯壁匀速向杯中注水，直至将大水杯注满．大水杯中水的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题： （1）图中字母a的值为 ； （2）若小水杯的底面积为30平方厘米，求大水杯的底面积． 【答案】（1）80 （2）120平方厘米 【解析】 【分析】（1）根据题意得：从60到a秒是向小杯中注入水的时间，然后根据a秒后注入水的升高速度与整个过程的注入水的平均升高速度相等列出方程求解即可； （2）设大水杯的底面积为s平方厘米，则前80秒大水杯中水的体积为8s立方厘米，可得注水速度为立方厘米/秒．再由函数图象可得20秒可将小水杯注满，可得注水速度为立方厘米/秒．列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：从60到a秒是向小杯中注入水的时间，然后根据a秒后注入水的升高速度与整个过程的注入水的平均升高速度相等，则 ， 解得：a=80， 经检验：a=80是原方程的解，且符合题意， 故答案为：80； 【小问2详解】 解：设大水杯的底面积为s平方厘米，则前80秒大水杯中水的体积为8s立方厘米， 所以注水速度为立方厘米/秒． 观察函数图象得：80-60=20秒可将小水杯注满， ∴注水速度为立方厘米/秒． ∵注水速度相同， ∴． 解得s＝120． 答：大水杯的底面积为120平方厘米． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，分式方程和一元一次方程的应用，理解注水过程，根据注入水在大水杯中的升高速度相同列出方程是解题的关键，也是本题的难点． 20. 人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高，现分别从八、九年级学生中随机抽取名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为组．组：，组：，组：，组：，组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，． 九年级被抽取的学生测试得分中组包含的所有数据为：，，，，，，，． 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由．（一条理由即可） 【答案】（1），， （2）九年级，理由见解析 【解析】 【分析】（1）统计八年级得分中出现次数最多的数，即为众数；先根据扇形统计图算出九年级前三组总人数，确定中位数落在组，再取组排序后第、个数据的平均数作为中位数；用九年级组人数除以总人数，再乘以得到百分比进而求得； （2）在平均分相同的前提下，九年级中位数、众数更大，说明其学生关注与了解程度更高． 【小问1详解】 解：据题意可知，八年级被抽取学生的成绩众数为分，则； 九年级被抽取学生的成绩组人数为人， 组人数为人， 组人数为人， 则九年级被抽取学生得分的中位数为组第和第个数据的平均数， 组从小到大排序为：，，，，，，，， 则； 组的数据个数为个，可得， 则． 【小问2详解】 解：九年级学生对人工智能的关注与了解程度更高，理由如下： 八，九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数大于八年级成绩的众数． 21. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点D，连接，使； （2）在图②中的边上确定一点E，连接，使； （3）在图②中的边上确定一点F，连接，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查网格作图，涉及勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质、三角形的面积比等知识，熟知网格特点和相似三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据勾股定理及其逆定理判断出，只需取格点D，使即可； （2）取格点K、S，连接交与E，根据相似三角形的判定与性质得到，进而可得点E即为所求作； （3）取格点M、N，连接交于F，根据勾股定理和正切定义可得点F即为所求． 【小问1详解】 解：如图，点D、即为所求 ∵，，， ∴，则， 又， ∴； 【小问2详解】 解：如图，点E、即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，点F、即为所求； 由图知，，， 由（1）知， ∴． 22. 已知正方形，为对角线上一点， 【建立模型】（1）如图1，连接，，判断与的数量关系________． 【模型应用】（2）如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，则的长为________． 【答案】（1）；（2）①是等腰三角形，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可得，，根据全等三角形的判定，即可求解； （2）①根据（1）证明可得，根据角的等量关系，得到，根据，可得，再根据角的数量关系，即可；②根据正方形的性质，求出，过点作交于点，根据三角函数，求出，根据三线合一，可得，根据勾股定理，即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵是公共边， ∴， ∴． （2）解：①是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ②∵四边形是正方形，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 过点作交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，，，点P是线段上不与点A重合的动点，过点P作交边于点Q．将绕点P顺时针旋转得到． （1）直接写出线段的长________； （2）当点B落在线段上时，求的长； （3）设与重叠部分为四边形且面积为1时，求的长； （4）若直线将分为两部分，当其中一部分为轴对称图形时，直接写出的长． 【答案】（1）5 （2） （3）或 （4）的长度为1或 【解析】 【分析】（1）因为是直角三角形，所以可直接用勾股定理计算的长． （2）因为，，所以，可得到的表达式；再根据旋转的性质，得到，，再证得，根据相似的性质得，进而求出 的长． （3）先分析重叠部分为四边形时的情况，根据相似三角形的性质表示出相关线段的长度，再用的面积减去重叠部分外的小三角形的面积等于1，列方程求解x． （4）分情况讨论直线分得到的部分为轴对称图形的情况，每种情况下先确定各线段的关系，再结合旋转的性质和几何图形的特点，利用勾股定理或线段的和差计算的长． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴． 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ∴，即， ，， ， ， 当点B落在线段上时，如图1所示， 由旋转得：，， ， ，， ， ， ，即， 解得； 【小问3详解】 解：如图 2， ，， ， ∴， 设，则， ，， ，， ∴， 解得， ∴； 如图3， 设，则，， ，， ， 解得， ∴； 【小问4详解】 解：如图4，连接，当平分时，四边形是轴对称图形， 由题可知， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，则，， 在中，，即， ∴， ∴； 如图5，连接，当平分时，四边形是轴对称图形， 同理可知， ∴，则， 在中，，即， ∴， ∴． 故的长度为1或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形判定和性质的应用，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点在抛物线上，且点A的横坐标为，点的坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）过点A作轴于点，以、为邻边作． ①当时，求的面积． ②当线段被轴分成的两部分时，求的值． ③若，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或；③或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，把点代入，即可求出解析式； （2）①当，可求出点，点的坐标，根据平行四边形的面积，可求出三角形的面积；②根据轴，可得，设点的坐标为，根据平行四边形的性质，得到，分类讨论，得到点在上，过点作轴于点，根据相似三角形的判定和性质，可得，再根据线段被轴分成的两部分，即可解答；③点的坐标为，则，得到点在直线上运动，，再分类讨论，，，，，，，，分别作出图象，即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴函数表达式为：． 【小问2详解】 ①解：∵点在抛物线上，且点的横坐标为，点的坐标为， ∴当，，， ∵， ∴点， ∴， ∴． ②解：∵轴， ∴点的横坐标为， ∴， 设点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当时，点在点的右侧， ∴， 解得：； 当时，点在点的左侧， ∴， 解得：， ∴点在上， ∴当线段被轴分成两部分时，点需在轴的左侧，即点，如图， 过点作轴于点， ∵， ∴， 当，有，解得：； 当，有，解得：； 综上所述，线段被轴分成的两部分时，的值为或． ③解：∵点的坐标为， ∴， 解得：， ∴点在直线上运动， ∵， ∴， 当时，，此时抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，符合题意； 当时，点与点重合，平行四边形不存在； 当时，此时，，不符合题意； 当时，，此时不符合题意； ∵， ∴顶点为， ∴点的纵坐标为，即； 当时，，； 此时点为顶点，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意； 当时，此时抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大，符合题意； 当时，不符合题意； 综上所述，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，的取值范围为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第四十五中学2025--2026年度下学期 九年级数学学科大练习1 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年全国普通高校毕业生规模预计为1270万人．其中“1270万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上，若梯子与地面的夹角为α，梯子底端到墙的距离AC为1米，则梯子AB的长度是（　　） A. sinα米 B. cosα米 C. 米 D. 米 6. 如图，四边形内接于，若，则为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图所示，在中，，，，以点B，C 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，直线交 于点D，则长在（ ） A. 0与1之间 B. 1 与2之间 C. 2与3之间 D. 3 与4之间 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 多项式分解因式的结果是 ． 10. 将边长相等的正五边形和正方形按如图位置摆放，为正五边形和正方形的一条公共边，点C、D分别为正五边形和正方形的一个顶点，连接，则的度数为______． 11. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是______． 12. 现把若干张长方形餐桌按如图方式进行拼接．那么需要多少张餐桌拼在一起可坐70人用餐？若设需要这样的餐桌x张，可列方程为_____．     13. “数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果二次函数的图象只经过三个象限，那么的取值范围是______． 14. 如图，正方形的一边在的边上，其余两个顶点分别在边，上，若、、的面积分别为4、6、3．给出下面四个结论：①的面积为24，②，③，④正方形的面积为12．上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题（本大题共10小题，共76分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 小淇参加一个抽奖活动，活动规则是：抽奖者手里预先持有一张标有数字7的卡片，然后从分别标有数字6，7，8的三张卡片中随机抽取一张（卡片除数字不同外，其余均相同），记录数字后放回，再从中随机抽取一张，并记录数字，若两次抽取的数字与手中持有的数字能组成3个连续整数或者是3个相同的数字，则为中奖．用画树状图（或列表）的方法求小淇参加这个抽奖活动中奖的概率． 17. 2024年10月1日，中华人民共和国将迎来75周岁的生日．为喜迎国庆，某学校举办了一场历史知识竞赛，竞赛共20道题，评分规则为：对于每一道题，答对得5分，答错或不答扣2分，其中九年级代表队最终得分为86分，求九年级代表队答对了多少道题？ 18. 如图中，于、于，求证：四边形为平行四边形． 19. 如图，有两只大小不等的圆柱形无盖空水杯（壁厚忽略不计），将小水杯放在大水杯中．现沿着大水杯杯壁匀速向杯中注水，直至将大水杯注满．大水杯中水的高度y（厘米）与注水时间x（秒）之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题： （1）图中字母a的值为 ； （2）若小水杯的底面积为30平方厘米，求大水杯的底面积． 20. 人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高，现分别从八、九年级学生中随机抽取名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为组．组：，组：，组：，组：，组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，． 九年级被抽取的学生测试得分中组包含的所有数据为：，，，，，，，． 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 九年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由．（一条理由即可） 21. 如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点D，连接，使； （2）在图②中的边上确定一点E，连接，使； （3）在图②中的边上确定一点F，连接，使． 22. 已知正方形，为对角线上一点， 【建立模型】（1）如图1，连接，，判断与的数量关系________． 【模型应用】（2）如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，则的长为________． 23. 如图，在中，，，，点P是线段上不与点A重合的动点，过点P作交边于点Q．将绕点P顺时针旋转得到． （1）直接写出线段的长________； （2）当点B落在线段上时，求的长； （3）设与重叠部分为四边形且面积为1时，求的长； （4）若直线将分为两部分，当其中一部分为轴对称图形时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点．点在抛物线上，且点A的横坐标为，点的坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）过点A作轴于点，以、为邻边作． ①当时，求的面积． ②当线段被轴分成的两部分时，求的值． ③若，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $