专题06 四边形及多边形【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

专题06 四边形及多边形 （重难点题型专训） 【知识考点 四边形及多边形】 1.四边形的概念及相关性质 （1）四边形的相关概念 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点，如下图，画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. （2）四边形的相关性质 ① 四边形的内角和等于360°. ② 四边形的外角和等于360°. ③ 四边形具有不稳定性. 2.多边形的概念及相关性质 （1）多边形的相关概念 ① 多边形的定义：在平面内，由n条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形。多边形有几条边就叫作几边形。 ② 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.  多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形，n边形的对角线条数为  （2）多边形的相关性质 ① 多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）. ② 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°（与多边形的形状和边数无关）. （3）正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形. 【重难点常考题型概览】 【题型01】多边形的概念辨析 【题型02】四边形的不稳定性 【题型03】四边形内角与外角问题的计算 【题型04】多边形内角和与外角问题的计算 【题型05】多边形对角线的条数问题 【题型06】多边形对角线分成的三角形个数问题 【题型07】多（少）算一个角问题 【题型08】多边形截角后的边数与内角和问题 【题型09】正多边形的内角问题 【题型10】正多边形的外角问题 【题型11】平面镶嵌问题 【题型12】多边形外角和的实际应用 【题型13】多边形内角和与外角和的综合 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】多边形的概念辨析 【例1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【变式1-1】（2024-2025七年级下·四川宜宾·期末）下列说法中，错误的有（   ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【变式1-2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025-2026七年级上·山西运城·月考）在下列图形中，不属于多边形的 有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型02】四边形的不稳定性 【例2】（2025-2026八年级上·天津·期中）下列图形不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023-2024八年级下·云南红河·期末）下列图形具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025-2026八年级上·广西南宁·期中）下列图形中具有稳定性的是_______．（填序号） 【变式2-3】（2023-2024八年级上·全国·单元测试）根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 【题型03】四边形内角与外角问题的计算 【例3】（2025-2026八年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，，则 ． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，将沿着翻折，若，则的大小为 度． 【题型04】多边形内角和与外角问题的计算 【例4】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·青海西宁·期中）如图，足球图片中的一块白色皮块的内角和是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·安徽合肥·期中）已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是 ． 【变式4-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【题型05】多边形对角线的条数问题 【例5】（2025-2026八年级下·全国·课前预习）已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（ ） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【变式5-1】（2024-2025七年级下·吉林长春·期中）若一个多边形的对角线条数恰好为边数的3倍，则这个多边形的边数为 ． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·上海徐汇·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有4条，那么这个多边形的内角和为 ． 【变式5-3】（2024-2025七年级上·河南郑州·开学考试）【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以 引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 【题型06】多边形对角线分成的三角形个数问题 【例6】（2024-2025七年级下·山东烟台·期中）自八边形一个顶点能引（ ）条对角线，这些对角线可将八边形分成（ ）个三角形． A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8 【变式6-1】（2025-2026八年级上·四川绵阳·月考）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个八边形进行三角剖分，能剖分出 个三角形． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·广东广州·期中）过某个多边形的一个顶点可以引出6条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形． 【变式6-3】探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【题型07】多（少）算一个角问题 【例7】（2023-2024八年级上·甘肃武威·期中）在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式7-1】（2023-2024八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【变式7-2】（2024-2025八年级上·四川德阳·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 【变式7-3】（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【题型08】多边形截角后的边数与内角和问题 【例8】（2024-2025八年级上·湖北襄阳·期末）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式8-1】（2024-2025八年级上·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【变式8-2】（2023-2024七年级下·江苏扬州·月考）（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是_______边形． 【题型09】正多边形的内角问题 【例9】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·河南信阳·期末）一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是 ． 【变式9-2】（2024-2025八年级上·山东淄博·期末）一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为 ． 【变式9-3】（2024-2025八年级下·广西贵港·期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【题型10】正多边形的外角问题 【例10】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）（1）如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为____________． （2）正边形的一个内角为，则的值是____________． 【变式10-1】（2025-2026八年级上·辽宁葫芦岛·月考）若一个正多边形的一个外角等于，则这个多边形是正 边形． 【变式10-2】（2025-2026八年级上·云南曲靖·期中）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是 (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 【变式10-3】（2024-2025八年级上·河北邢台·期中）现在有一个正八边形． (1)求其每个外角的度数； (2)把该正八边形剪掉一个角，发现从一个顶点引出的对角线比原来多了一条．求新多边形的内角和． 【题型11】平面镶嵌问题 【例11】（2024-2025八年级下·安徽合肥·期末）用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，叫作平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2024-2025八年级下·广东深圳·期末）聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 【变式11-2】（2024-2025八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【变式11-3】（2024-2025七年级下·福建泉州·期末）在生活中，瓷砖是生活中常见的装饰材料，用瓷砖铺地，要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面全部铺满．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，或者说是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称为平面图形的密铺． 【探究一】只用同一种类型的多边形地砖进行密铺，可选择______（填写下列所有可选择的序号） 【探究二】共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． 某中学新科技馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买其他种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并列方程来说明理由． 【探究三】若我们可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．镶嵌时每个顶点处的正多边形有个，设这个正多边形的边数分别为，请说明与应满足什么关系？ 【题型12】多边形外角和的实际应用 【例12】（2024-2025八年级上·山西朔州·期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2024-2025七年级下·甘肃天水·期末）如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为 °． 【变式12-2】（2024-2025七年级下·山东聊城·期末）参加创客兴趣小组的同学给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点出发，沿直线前进2米后左转，再沿直线前进2米，又向左转照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是 米． 【变式12-3】（2023-2024八年级下·河南郑州·期末）课本再现： 如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果． （1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来． 类比迁移： （2）如图，若小明从O点向西走10米，左转，再向前走10米，左转，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程． （3）若小明从O点向西走16米，左转，再向前走16米，左转，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则______． 【题型13】多边形内角和与外角和的综合 【例13】（2024-2025八年级上·湖北襄阳·月考）请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 【变式13-1】（2025-2026八年级上·上海·假期作业）（1）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 ． （2）如果一个多边形的每个外角都等于，这个多边形的内角和是 °． 【变式13-2】（2024-2025八年级下·陕西西安·月考）已知是两个多边形，请阅读关于的相关信息，并完成下列各小题． (1)刘鹏说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大．”请你判断刘鹏的说法是否正确？并说明理由． (2)设的边数为．小红说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 【变式13-3】（2024-2025七年级下·河南·专题练习）（1）已知一个正多边形的一个内角为，求正多边形的边数n； （2）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，求这个多边形对角线的条数． （3）一个多边形的内角和为，截去一个角后，求得到的多边形的内角和． 【特训01】拓展培优强化 1.（2024-2025八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024-2025八年级下·陕西榆林·期末）如图，点为平分线上的一个定点，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，过点作于点，于点，若，则下列结论错误的是（   ） A． B．的值不变 C．的长不变 D．四边形的面积不变 3.（2023-2024八年级上·广东韶关·期中）（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 4.（2023-2024八年级上·河北石家庄·月考）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 5.（2024-2025七年级下·江苏连云港·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“多边形的两个外角的和等于与它不相邻的内角之和”．下面请同学们完成这个结论的证明并运用这个结论解题． 已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论证明】（1）如图1，证明：； 【结论应用】（2）如图2，若，分别平分四边形的外角和，与相交于点G，应用（1）的结论探究，α，β三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时，试探究，α，β之间的数量关系是________． （4）如图4，当时，试判断α，β之间的数量关系是________． 6．（2024-2025八年级上·安徽合肥·期中）小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系． (1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值， ①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____． ②请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____． (3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示） 7.（2023-2024七年级下·江苏盐城·期末）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 探索一、共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如下图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为108°，若想用x个108°围成360°，则，解得（不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． (1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺？请用上述方法说明． (2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，不用说明理由． 探索二、共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． (3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． (4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出一种设计方案，并说明理由． 8．（2023-2024七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至服装面料设计中随处可见．在七年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中的几个问题，共同来探究． 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．比如用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角． 试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着_______个正六边形的内角． 【问题提出】 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可设计出几种不同的组合方案？ 【问题解决】 猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角． 验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意可得方程：，整理得．我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为． 结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 验证2：_____________________； 结论2：_____________________； 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案． 【问题拓广】 请你仿照上面的研究方式，探索出同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案：①_________；②__________（直接写出两种方案）． 9．（2023-2024八年级上·福建厦门·期末）用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 　　 (1)如图1是铺在某知名大学数学系大楼入口的彭罗斯地砖，它由如图2和如图3所示的两种不同菱形镶嵌而成． 请观察图形，并填空：______°，______°； (2)如图4所示的拼合图案是使用全等的正三角形地砖铺成．类似的，单独使用哪几种全等的正多边形能镶嵌成一个平面图案？请证明你的结论； (3)我们也可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．如果镶嵌时某个顶点处的正多边形有m个，设这m个正多边形的边数分别为，，…，，请说明m与，，…，应满足什么关系？当时，写出所有满足条件的正多边形的组合． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·北京·中考真题）若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（   ） A．60 B．90 C．120 D．150 2．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 3.（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4.（2025·四川广元·中考真题）如图，在正八边形中，对角线，交于点K，则=（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川凉山·中考真题）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（   ）条对角线 A．6 B．7 C．8 D．9 6．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·甘肃兰州·中考真题）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（   ） A． B． C． D． 8．（2025·吉林长春·中考真题）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为_______度． 9．（2025·江西·中考真题）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为________度． 10．（2025·宁夏·中考真题）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了_____步． 11．（2025·四川巴中·中考真题）正多边形的一个内角是，这个正多边形是正______边形． 12．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，五边形中，，，，则______°． 13．（2025·湖南·中考真题）如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 14．（2025·山东济南·中考真题）如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时，___________． 15.（2024·江苏淮安·中考真题）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，，部分尺寸如图所示（单位：）．结合图1，图2的信息，可求得的长度是 ． 16.（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 四边形及多边形 （重难点题型专训） 【知识考点 四边形及多边形】 1.四边形的概念及相关性质 （1）四边形的相关概念 在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点，如下图，画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.连接四边形不相邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角. （2）四边形的相关性质 ① 四边形的内角和等于360°. ② 四边形的外角和等于360°. ③ 四边形具有不稳定性. 2.多边形的概念及相关性质 （1）多边形的相关概念 ① 多边形的定义：在平面内，由n条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形。多边形有几条边就叫作几边形。 ② 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线.  多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形，n边形的对角线条数为  （2）多边形的相关性质 ① 多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）. ② 多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°（与多边形的形状和边数无关）. （3）正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形. 【重难点常考题型概览】 【题型01】多边形的概念辨析 【题型02】四边形的不稳定性 【题型03】四边形内角与外角问题的计算 【题型04】多边形内角和与外角问题的计算 【题型05】多边形对角线的条数问题 【题型06】多边形对角线分成的三角形个数问题 【题型07】多（少）算一个角问题 【题型08】多边形截角后的边数与内角和问题 【题型09】正多边形的内角问题 【题型10】正多边形的外角问题 【题型11】平面镶嵌问题 【题型12】多边形外角和的实际应用 【题型13】多边形内角和与外角和的综合 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】多边形的概念辨析 【例1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 B．四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角 C．连接四边形的两顶点的线段，叫作四边形的对角线 D．四边形有四个外角 【答案】B 【分析】见解析 【解答】解：在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作四边形，A说法错误； 四边形相邻两边组成的角是这个四边形的内角，B说法正确； 四边形的对角线是连接不相邻两个顶点的线段，C说法错误； 四边形每个顶点处有2个外角，共8个外角，D说法错误． 【变式1-1】（2024-2025七年级下·四川宜宾·期末）下列说法中，错误的有（   ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【解答】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角、个外角，该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 【变式1-2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）下面四个图形是四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据四边形的定义，判断每个图形是否为四边形，四边形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形． 【解答】解：A项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； B项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； C项：该图形不是由四条线段依次首尾相接围成的封闭图形，所以不是四边形； D项：该图形是由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形，符合四边形的定义，所以是四边形， 故选：D． 【变式1-3】（2025-2026七年级上·山西运城·月考）在下列图形中，不属于多边形的 有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形的定义，解题关键是紧扣“三条及以上线段首尾顺次连接、封闭、平面图形”的定义判断每个图形是否符合多边形特征． 多边形的定义是“由三条或三条以上线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形”，需满足：线段组成、封闭、平面图形即可解答． 【解答】三角形：是多边形；四边形（不规则）：是多边形；圆：由曲线组成，不是多边形；六边形：是多边形；正方体：是立体图形，不是多边形． 因此，不属于多边形的是“圆”和“正方体”，共2个． 故选：A． 【题型02】四边形的不稳定性 【例2】（2025-2026八年级上·天津·期中）下列图形不具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性．三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变． 【解答】解：根据三角形的稳定性可得B、C、D都具有稳定性，不具有稳定性的是A选项． 故选：A． 【变式2-1】（2023-2024八年级下·云南红河·期末）下列图形具有稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性．根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断． 【解答】解：三角形具有稳定性． 故选：B． 【变式2-2】（2025-2026八年级上·广西南宁·期中）下列图形中具有稳定性的是_______．（填序号） 【答案】①④⑥ 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答． 根据三角形具有稳定性进行求解即可． 【解答】解：图形中具有稳定性的是①④⑥． 故答案为：①④⑥． 【变式2-3】（2023-2024八年级上·全国·单元测试）根据所了解的平面图形的特性说明下列设计中的数学原理： (1)用两个钉子把木条固定在墙上； (2)有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子； (3)如图，用三个边长相同的四边形做成的挂衣架． 【答案】(1)两点确定一条直线 (2)三角形的稳定性 (3)四边形的不稳定性 【分析】本题考查了两点确定一条直线，三角形的稳定性，四边形的不稳定性等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键 【解答】（1）两个钉子把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线； （2）有一个不稳当的凳子，一名同学找来两根木条钉成如图所示的样子，利用的是三角形具有稳定性； （3）三个边长相同的四边形做成的挂衣架是运用四边形的不稳定性的性质 【题型03】四边形内角与外角问题的计算 【例3】（2025-2026八年级上·安徽滁州·期末）如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据在中，，得出，再把数值代入计算，即可作答． 【解答】解：∵在中，， ∴， 则， 故选：B． 【变式3-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据任意多边形外角和为，结合四个外角的比例关系，设未知数求出各外角的度数，进而确定最大外角的度数． 【解答】解：设四个外角的度数分别为、、、． ∵任意四边形的外角和为， ∴． 解得， 即：． 最大的外角为． 逐一分析选项： A、，与计算结果一致，符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果不符，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了多边形的外角和性质，解题关键是利用多边形外角和为，结合比例关系列方程求解各外角的度数． 【变式3-2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，，则 ． 【答案】240° 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握任意多边形的外角和都是． 根据邻补角的概念，多边形的外角和是进行解答即可． 【解答】解：如图： ∵四边形的外角和是， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，将沿着翻折，若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及四边形内角和问题，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，再根据平角以及四边形内角和，得出，即可求出的大小． 【解答】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， 四边形的内角和， ， ， ， 故答案为：36． 【题型04】多边形内角和与外角问题的计算 【例4】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）若一个四边形的四个外角之比为，则这四个外角中最大的外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据任意多边形外角和为，结合四个外角的比例关系，设未知数求出各外角的度数，进而确定最大外角的度数． 【解答】解：设四个外角的度数分别为、、、． ∵任意四边形的外角和为， ∴． 解得， 即：． 最大的外角为． 逐一分析选项： A、，与计算结果一致，符合题意； B、，与计算结果不符，不符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果不符，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了多边形的外角和性质，解题关键是利用多边形外角和为，结合比例关系列方程求解各外角的度数． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·青海西宁·期中）如图，足球图片中的一块白色皮块的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键． 根据多边形的内角和公式求解即可． 【解答】解：∵白色皮块是六边形， ∴内角和为． 故选：D． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·安徽合肥·期中）已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是 ． 【答案】4，6 【分析】设这两个多边形的边数分别为．根据两个多边形的内角总和是列出方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：设这两个多边形的边数分别为． 根据多边形内角和公式，得， 解得． 所以，， 即这两个多边形的边数分别是4，6． 故答案为：4，6． 【变式4-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）看下图解答问题． (1)小明为什么说多边形的内角和不可能是？ (2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形，内角和，外角 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握边形的内角和为：． （1）由边形的内角和公式为，可知边形的内角和一定是的整数倍，而不能被整除，所以小明说不可能； （2）由（1）可得到多加的那个外角的度数，以及多边形的边数和内角和． 【解答】（1）解：∵边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整数倍． ∵， ∴小明说多边形的内角和不可能是． （2）解：． ， ． 故小华求的是十三边形的内角和，内角和是，多加的那个外角是． 【题型05】多边形对角线的条数问题 【例5】（2025-2026八年级下·全国·课前预习）已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（ ） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线的条数问题，根据过n边形一个顶点的对角线数量公式：条（n为多边形边数且）进行解答即可． 【解答】解：∵过n边形一个顶点的对角线数量为条（） 又∵该多边形是十一边形，即 ∴过其一个顶点的对角线数量为条 故选：B 【变式5-1】（2024-2025七年级下·吉林长春·期中）若一个多边形的对角线条数恰好为边数的3倍，则这个多边形的边数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是熟记n边形的对角线的条数为，根据多边形的对角线条数恰好为边数的3倍，列出方程求解即可． 【解答】解：设多边形的边数为n， 则， 解得：． 故答案为：． 【变式5-2】（2024-2025八年级下·上海徐汇·期末）如果从多边形的一个顶点出发的对角线有4条，那么这个多边形的内角和为 ． 【答案】/900度 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键． 根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数，然后根据多边形的内角和公式列式进行计算即可得解． 【解答】设多边形边数为n， ∵多边形从一个顶点出发可引出4条对角线， ∴， 解得：， ∴内角和． 故答案为：900． 【变式5-3】（2024-2025七年级上·河南郑州·开学考试）【找规律】阅读：平面内，由不在同一直线上的n条线段首尾顺次连接而成的图形叫作n边形．如：时叫作三角形，时叫作四边形，时叫作五边形……连接n边形中不相邻的两个顶点之间的线段叫作n边形的对角线．如图，线段，是四边形的对角线． (1)从五边形的一个顶点A出发，可以引 条对角线；从六边形的一个顶点可以 引 条对角线；……从n边形的一个顶点可以引 条对角线； (2)五边形一共有 条对角线； (3)n边形一共有 条对角线． 【答案】(1)2，3， (2)5 (3) 【分析】（1）根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线，解答即可； （2）根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线，解答即可； （3）根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线，解答即可． 本题考查了多边形的对角线的规律探索，熟练掌握从特殊到一般的数学思想是解题的关键． 【解答】（1）解：根据定义，得从五边形的一个顶点A出发，可以引条对角线；从六边形的一个顶点可以引条对角线；……从n边形的一个顶点可以引条对角线， 故答案为：2，3，． （2）解：根据一个条，五边形有5个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得五边形一共有条对角线， 故答案为：5． （3）解：根据题意，从从n边形的一个顶点可以引条对角线，n边形有n个顶点，共有条，根据相同端点的线段是同一条相等，得n边形一共有条对角线， 故答案为：． 【题型06】多边形对角线分成的三角形个数问题 【例6】（2024-2025七年级下·山东烟台·期中）自八边形一个顶点能引（ ）条对角线，这些对角线可将八边形分成（ ）个三角形． A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的相关概念，解题关键是画出图形求解． 直接画出图形求解． 【解答】解：如图， 自八边形一个顶点能引5条对角线，这些对角线可将八边形分成6个三角形， 故选：B． 【变式6-1】（2025-2026八年级上·四川绵阳·月考）把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．将一个八边形进行三角剖分，能剖分出 个三角形． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的剖分，对于凸n边形，三角剖分后能得到个三角形，据此即可求解． 【解答】解：将一个八边形进行三角剖分，能剖分出个三角形． 故答案为：6． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·广东广州·期中）过某个多边形的一个顶点可以引出6条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形． 【答案】7 【分析】本题主要考查了多边形的对角线问题，根据过n边形的一个顶点，可以引出条对角线，这些对角线把该多边形分成个三角形，即可求解． 【解答】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出6条对角线， ∴该多边形的边数为， ∴这些对角线将这个多边形分成个三角形． 故答案为：7． 【变式6-3】探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】(1)1；2 (2)2；3 (3)； (4)103 【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究． （1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论； （4）将100代入（3）的结论中即可得到答案． 【解答】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 故答案为：2，3． （3）解：∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形； 经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形； 经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形； 经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形； …… ∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形； 故答案为：，． （4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线， ∴根据（3）中结论可得，， ∴， 故答案为：103． 【题型07】多（少）算一个角问题 【例7】（2023-2024八年级上·甘肃武威·期中）在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，即，根据题意先得出这个多加的内角为，然后再根据多边形内角和定理可得出：，求出n即可得出答案． 【解答】解：， ∴这个多加的内角为， 设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得出：， 解得：， 故选∶D 【变式7-1】（2023-2024八年级下·全国·课后作业）小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算一个内角，结果得到的结果是，则少算的这个内角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，解不等式，设多边形的边数是n（，且n为整数），根据多边形内角和定理列出不等式，进而求出，再计算出该多边形内角和即可得到答案． 【解答】解：设多边形的边数是n（，且n为整数）， 依题意得， 解得． ∵少算一个内角，且该内角小于， ∴． ∴多边形的内角和是， ∴少算的这个内角的度数为， 故答案为：． 【变式7-2】（2024-2025八年级上·四川德阳·月考）小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心少输入一个内角，得到的和为，则n等于 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了多边形内角和、解一元一次方程等知识点，牢记“多边形的内角和一定是的整数倍”是解题的关键． 设少输入的内角为 ，则；由结合可得：，再将代入，解关于n的方程即可． 【解答】解：设少输入的内角为 ， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴ ∵， ∴, ∴， ∵多边形的内角和一定是的整数倍， ∴， ∴， 解得：． 故答案为14． 【变式7-3】（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键． (1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解； (2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解． 【解答】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件， 得． 因为n为自然数，，且， 故取， 得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． （2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为， 则由条件，得． 因为n为自然数，，且， 故取，得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． 【题型08】多边形截角后的边数与内角和问题 【例8】（2024-2025八年级上·湖北襄阳·期末）将一块长方形木板锯掉一个角，则锯掉后剩下的多边形木板的内角和为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，理解一个长方形锯掉一个角以后得到的多边形的形状是解题的关键． 长方形木板锯掉一个角后可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理即可解决． 【解答】解：长方形木板锯掉一个角以后可能是：三角形或四边形或五边形， 则剩下的多边形木板的内角和是或或． 故选：D． 【变式8-1】（2024-2025八年级上·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【解答】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 【变式8-2】（2023-2024七年级下·江苏扬州·月考）（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 【答案】（1）13或14或15；（2）边数为14，内角为 【分析】本题考查多边形的内角和与切割问题： （1）先根据多边形的内角和公式，求出现在多边形的边数，再分三种情况讨论即可； （2）根据多边形的内角和为的整数倍，用2024°除以的结果中的整数加1再加2即为边数，再求出多边形的内角和减去2024°，即可． 【解答】解：（1）设新的多边形的边数为，由题意，得：， ∴， ∵切去一角有如图所示的三种切法，切完后新多边形的边数可以比原多边形多一条边，相等，少一条边，三种情况， 故：原多边形的边数为13或14或15； （2）设多边形的边数为， ∵， ∴， ∴， ∴少算的内角的度数为， 故多边形的边数为14，少算的内角度数为． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影） (1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了． (2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等． (3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 (4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，原多边形是_______边形． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4)11或12或13 【分析】本题考查了多边形截角后的内角和问题，多边形的内角和；根据多边形内角和公式求解即可； （1）使得原多边形增加一条边，即可求解； （2）不改变原多边形的边数，即可求解； （3）使得原多边形减少一条边，即可求解； （4）由多边形内角和公式得，按不同截法，即可求解． 【解答】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 （3）解：由题意得 （4）解：设新多边形的边数为n， 则， 解得：， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为， 故答案为：11或12或13． 【题型09】正多边形的内角问题 【例9】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形的内角的性质，熟练掌握正多边形的内角的性质是解决本题的关键． 根据正多边形的内角的性质解决此题． 【解答】解：正三角形的每个内角的度数是， 正方形的每个内角的度数是， 正五边形的每个内角的度数是， 正六边形的每个内角的度数是， 则． 故选：C． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·河南信阳·期末）一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键． 先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于，再用除以外角的度数，即可得到边数． 【解答】解：多边形的每一个内角都等于， 多边形的每一个外角都等于， 边数 故答案为： 【变式9-2】（2024-2025八年级上·山东淄博·期末）一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角，先利用内角和公式求出正多边形的边数，进而求出每一个内角的度数即可，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【解答】解：设正多边形的边数为， 由题意得，， ∴， ∴正多边形是正五边形， ∴它的每一个内角为， 故答案为：． 【变式9-3】（2024-2025八年级下·广西贵港·期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题． (1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？ (2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度． (3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点，，，四点在同一条直线上，为公共顶点，试求的度数． 【答案】(1)①20；②小东求的是8边形内角和； (2)这个正多边形的一个内角是； (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和定理． （1）①由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍，用，得到的余数即为多加的锐角的度数；②由题意知，，计算求解即可； （2）根据这个正多边形的一个内角是，计算求解即可； （3）根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，据此计算即可求解． 【解答】（1）解：由题意知，多边形的内角和为，是的整数倍， ， ∴这个“多加的锐角”是， 故答案为：20； 由题意知，， 解得，， ∴小东求的是8边形内角和； （2）解：由题意知，这个正多边形的一个内角是， ∴这个正多边形的一个内角是； （3）解：由多边形的内角和可得， ， ， ， ， 由三角形的内角和得： ， ． 【题型10】正多边形的外角问题 【例10】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）（1）如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为____________． （2）正边形的一个内角为，则的值是____________． 【答案】 6 5 【分析】（1）利用任意多边形的外角和为，用外角和除以每个外角的度数，即可得到多边形的边数； （2）先根据内角与相邻外角互补求出正边形的一个外角的度数，再利用多边形外角和为，用外角和除以每个外角的度数，得到的值． 【解答】解：（1）∵任意多边形的外角和为，且该多边形每个外角为， ∴边数． （2）∵正边形的一个内角为，内角与外角互补， ∴一个外角的度数为， ∵多边形外角和为， ∴． 【点评】本题考查了多边形的外角和与内角和的性质，掌握任意多边形的外角和恒为，及内角与相邻外角的互补关系是解题的关键． 【变式10-1】（2025-2026八年级上·辽宁葫芦岛·月考）若一个正多边形的一个外角等于，则这个多边形是正 边形． 【答案】九 【分析】本题考查了正多边形的外角性质．正多边形的外角和恒为，每个外角相等，通过外角和除以每个外角度数可求边数，即可作答． 【解答】解：∵正多边形的外角和为，且一个外角等于， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：九． 【变式10-2】（2025-2026八年级上·云南曲靖·期中）一个多边形的所有内角与它的外角和的和是 (1)求该多边形的边数； (2)若该多边形为正多边形，求每一个外角的度数． 【答案】(1)该多边形的边数为6 (2) 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和． （1）设该多边形的边数为，根据多边形的内角和与外角和可得方程，解之即可； （2）利用（1）的结论，根据多边形的外角和定理进行计算即可解答． 【解答】（1）解：设该多边形的边数为， 由题意可得：， 解得：， ∴该多边形的边数为6； （2）解：由（1）可得该多边形是正六边形， 每一个外角的度数． 【变式10-3】（2024-2025八年级上·河北邢台·期中）现在有一个正八边形． (1)求其每个外角的度数； (2)把该正八边形剪掉一个角，发现从一个顶点引出的对角线比原来多了一条．求新多边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，掌握多边形的外角和等于以及内角和公式是解题关键． （1）根据正八边形的外角和为求解即可； （2）根据题意得出新多边形是九边形，再根据多边形内角和公式求解即可． 【解答】（1）解：正八边形的外角和为， 每个外角； （2）解：八边形剪掉一个角可以得七边形或八边形或九边形，且从一个顶点引出的对角线比原来多一条， 新多边形是九边形， 内角和． 【题型11】平面镶嵌问题 【例11】（2024-2025八年级下·安徽合肥·期末）用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，叫作平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面镶嵌的条件，正多边形内角和的计算.熟练掌握平面镶嵌的条件，正多边形内角和的计算是解题的关键. 平面镶嵌的关键在于拼接点处的内角和能组成，我们需要知道常见正多边形的内角度数，然后判断能否通过若干个该正多边形的内角拼成. 【解答】解：A：正五边形的每个内角是，因为，不是整数，所以正五边形不能铺满地面，该选项符合题意； B：正方形的每个内角是，因为，所以正方形可以铺满地面，该选项不符合题意； C：正六边形的每个内角是，因为，所以正六边形可以铺满地面，该选项不符合题意； D：正三角形的每个内角是，因为，所以正三角形可以铺满地面，该选项不符合题意； 故选A. 【变式11-1】（2024-2025八年级下·广东深圳·期末）聪聪家在铺设地面时，爸爸先购买了一批正八边形的地砖（如图），还需要再购买另一种形状的地砖与之搭配才能密铺整个地面（即无缝隙且不重叠），则下面多边形可以选择的是（   ） A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为．正八边形的一个内角为，从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为，并以此为依据进行求解． 【解答 】解：正八边形的每个内角为：，正六边形的每个内角为：， A、正八边形、正三角形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； B、正方形、正八边形内角分别为、，由于，故能铺满，选项符合题意； C、正六边形和正八边形内角分别为、，显然不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意． D、正八边形的内角为，不能构成的周角，故不能铺满，选项不符合题意； 故选：B． 【变式11-2】（2024-2025八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之各为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【解答】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为 ， 正五边形每个内角的度数为 ， 正六边形每个内角的度数为 ， 正七边形每个内角的度数为 ， 正八边形每个内角的度数为 ， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 【变式11-3】（2024-2025七年级下·福建泉州·期末）在生活中，瓷砖是生活中常见的装饰材料，用瓷砖铺地，要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面全部铺满．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，或者说是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称为平面图形的密铺． 【探究一】只用同一种类型的多边形地砖进行密铺，可选择______（填写下列所有可选择的序号） 【探究二】共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． 某中学新科技馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买其他种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并列方程来说明理由． 【探究三】若我们可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．镶嵌时每个顶点处的正多边形有个，设这个正多边形的边数分别为，请说明与应满足什么关系？ 【答案】探究一：①②④；探究二：①正三角形与正方形可以共顶点组合密铺；②正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺；见解析；③正三角形，正方形与正六边形可以共顶点组合密铺；见解析；探究三： 【分析】探究一：根据多边形的内角，结合围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起是否能组成一个周角，据此判断即可； 探究二：分①正三角形与正方形，②正三角形与正六边形，③正三角形，正方形与正六边形，利用“围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起是否能组成一个周角”列二元一次方程，求解即可； 探究三：利用平面镶嵌的性质和正多边形的内角的性质列出等式即可化简得出结论． 【解答】解：探究一 ∵正三角形的内角和是，∴正三角形能密铺； ∵四边形的内角和是，∴正四边形能密铺； ∵五边形的内角和是，不能与整除，∴正五边形不能密铺； ∵正六边形的一个内角的度数是，能与整除，∴正六边形能密铺； 故答案为：①②④； 探究二 ①正三角形与正方形可以共顶点组合密铺； 设有个正三角形，个正方形． 正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角是， 若想用个与个围成，则 ， 即， 这个二元一次方程的正整数解， 正三角形与正方形可以共顶点组合密铺； ②正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺； 设有个正三角形，个正六边形． 正三角形的每一个内角为，正六边形的每一个内角是，若想用个与个围成，则 ， 即， 这个二元一次方程的正整数解或， 正三角形与正六边形可以共顶点组合密铺； ③正三角形，正方形与正六边形可以共顶点组合密铺； 设有个正三角形，个正方形．个正六边形 正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角是，正六边形的每一个内角是， 若想用个个与个围成，则 ， 即， 这个，三元一次方程的正整数解， 正三角形、正方形与正六边形可以共顶点组合密铺； 探究三 正边形的每个内角为， 边数分别为，的正多边形的每个内角为 ， ， ， ， 与应满足：． 【点评】本题主要考查了正多边形的性质，多边形的内角和，平面镶嵌，本题是阅读型题目，正确理解题干中的知识点并熟练应用是解题的关键． 【题型12】多边形外角和的实际应用 【例12】（2024-2025八年级上·山西朔州·期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角定理，根据多边形的外角和为即可求解，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 【解答】解：六边形的外角和为， 故选：． 【变式12-1】（2024-2025七年级下·甘肃天水·期末）如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【解答】解：由多边形的外角和等于可知，， 故答案为：． 【变式12-2】（2024-2025七年级下·山东聊城·期末）参加创客兴趣小组的同学给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点出发，沿直线前进2米后左转，再沿直线前进2米，又向左转照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是 米． 【答案】40 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角，熟知任意多边形的外角和都是．由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案． 【解答】解：由题意，得每一个外角是， ， 米， 故答案为：40． 【变式12-3】（2023-2024八年级下·河南郑州·期末）课本再现： 如图①②③，下列四边形是同一个四边形不断缩小（保持形状不变）的结果． （1）在缩小的过程中，四边形对应的各个外角的大小是否发生了变化？如果将四边形不断缩小下去，请你想象一下最终的形状，并画出来． 类比迁移： （2）如图，若小明从O点向西走10米，左转，再向前走10米，左转，如此重复，求小明第一次回到O点时所走过的路程． （3）若小明从O点向西走16米，左转，再向前走16米，左转，如此重复，已知小明第一次回到O点时所走过的路程为320米，则______． 【答案】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，；（2）小明第一次回到O点时所走过的路程为120米；（3）18 【分析】（1）外角的大小不会改变，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画出图形即可． （2）根据外角相等，都是，结合外角和定理，得边数为，结合多边形的周长计算得（米）． （3）根据外角相等，都是，结合外角和定理，得边数为，结合多边形的周长计算得，解方程即可． 本题考查了多边形的外角性质，外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【解答】（1）四边形对应的各个外角的大小未发生变化，随着图形的缩小，四边形逐步缩小成为一个点，画图如下： ． （2）根据外角相等，都是，由外角和定理，得边数为， 故多边形的周长为：（米）． （3）根据外角相等，都是，由外角和定理，得边数为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 【题型13】多边形内角和与外角和的综合 【例13】（2024-2025八年级上·湖北襄阳·月考）请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 【答案】(1) (2)甲的边数为3，乙的边数为9 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形外角和定理，一元一次方程的几何应用： （1）根据多边形的外角和均为360度进行求解即可； （2）设甲的边数为n，则乙的边数为，根据n边形的内角和为结合题意列出方程求解即可． 【解答】（1）解：∵多边形外角和都为360度， ∴甲与乙的外角和相加的度数为； （2）解：设甲的边数为n，则乙的边数为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴甲的边数为3，乙的边数为9． 【变式13-1】（2025-2026八年级上·上海·假期作业）（1）如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是 ． （2）如果一个多边形的每个外角都等于，这个多边形的内角和是 °． 【答案】 4 2340 【分析】本题考查多边形的外角和和内角和（1）利用多边形外角和恒为与内角和公式列方程求解； （2）先由外角和求边数，再代入内角和公式计算． 【解答】解：（1）设多边形的边数为n．多边形的外角和为，内角和为． 由题意得，， 解得， 故答案为：4； （2）多边形的每个外角为，外角和为， ∴边数， ∴内角和为， 故答案为：2340． 【变式13-2】（2024-2025八年级下·陕西西安·月考）已知是两个多边形，请阅读关于的相关信息，并完成下列各小题． (1)刘鹏说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大．”请你判断刘鹏的说法是否正确？并说明理由． (2)设的边数为．小红说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 【答案】(1)错误，理由见详解 (2)理由见详解 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，多边形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和定理与外角和定理． （1）利用多边形的外角和定理进行判断即可； （2）利用多边形的内角和定理进行证明即可． 【解答】（1）解：该说法错误，理由如下： 根据多边形的外角和定理，任何多边形的外角都等于， 所以，该说法错误； （2）解：假设的边数为，则的边数为， ∴的内角和为， 则的内角和为， ∴， 解方程得， 所以，无论取何值，的值始终不变，为2． 【变式13-3】（2024-2025七年级下·河南·专题练习）（1）已知一个正多边形的一个内角为，求正多边形的边数n； （2）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，求这个多边形对角线的条数． （3）一个多边形的内角和为，截去一个角后，求得到的多边形的内角和． 【答案】（1）8；（2）14；（3）或或 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的综合应用，解题的关键是熟练掌握多边形内角和公式，多边形的外角和为． （1）根据多边形内角和公式列出方程，解方程即可； （2）设这个多边形的边数是，根据多边形内角和公式和外角和列出方程，解方程即可； （3）多边形截去一个角后，新的多边形的边数有3种情况：增加一条边；边数与原多边形相同；减少一条边，求出结果即可． 【解答】解：（1）由多边形的内角和公式可得： ， 解得：． （2）设这个多边形的边数是，由题意得： ， 解得， 这个多边形对角线的条数是． （3）由题意可得：， 解得：， 一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，可能加1， 新多边形的边数可能是11，12，13， 新多边形的内角和可能是： ， ， ． 【特训01】拓展培优强化 1.（2024-2025八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键．连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答． 【解答】解：如图，连接，记与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．（2024-2025八年级下·陕西榆林·期末）如图，点为平分线上的一个定点，在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，过点作于点，于点，若，则下列结论错误的是（   ） A． B．的值不变 C．的长不变 D．四边形的面积不变 【答案】C 【分析】由角平分线的性质，可得，由四边形的内角和，结合同角的补角相等，可得，证明，可得，，，可判断A、B、D选项，结合在绕点旋转的过程中，、的长度是变化的，可判断C选项． 【解答】解：∵点为平分线上的一个定点，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，四边形的面积不变， ∴的值不变， ∴选项A、B、D结论正确，不符合题意； 在在绕点旋转的过程中，， ∵、的长度是变化的， ∴的长度是变化的， ∴选项C结论错误，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的性质，同角的补角相等，四边形的内角和，三角形全等的判定和性质． 3.（2023-2024八年级上·广东韶关·期中）（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了三角形外角的性质、多边形的外角和定理、四边形的内角和定理等知识． （1）根据三角形外角的性质得到，，再用多边形外角和定理即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，再用四边形内角和为即可求解． 【解答】解：（1）∵是的外角， ∴， 同理， ∵三角形的外角和为， ∴， （2）∵是的外角，是的外角， ∴， ∵四边形内角和为， ∴ 4.（2023-2024八年级上·河北石家庄·月考）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【解答】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 5.（2024-2025七年级下·江苏连云港·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“多边形的两个外角的和等于与它不相邻的内角之和”．下面请同学们完成这个结论的证明并运用这个结论解题． 已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论证明】（1）如图1，证明：； 【结论应用】（2）如图2，若，分别平分四边形的外角和，与相交于点G，应用（1）的结论探究，α，β三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时，试探究，α，β之间的数量关系是________． （4）如图4，当时，试判断α，β之间的数量关系是________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由四边形内角和得到，然后结合平角的定义即可证明； （2）由角平分线得到，，由得到，然后结合四边形内角和求解即可； （3）同（2）的方法求解即可； （4）如图所示，过点C作，同（2）得到，然后结合平行线的性质等量代换得到，进而求解即可． 【解答】（1）∵在四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，分别平分四边形的外角和， ∴，， ∵， ∴， ∵优角， ∴优角， ∵优角， ∴， ∴整理得，； （3）如图所示， ∵四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵优角， ∴优角， ∵优角， ∴， ∴整理得，； （4）如图所示，过点C作， ∵，分别平分四边形的外角和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】此题考查了多边形内角和和外角和，角平分线的定义，平行线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 6．（2024-2025八年级上·安徽合肥·期中）小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系． (1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值， ①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____． ②请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____． (3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示） 【答案】(1)①，②，详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【分析】（1）利用三角形内角和与外角关系求出与的关系，①将和代入即可得解，②利用三角形内角和与外角关系求出与的关系即可得证； （2）根据四边形内角和得出，利用三角形外角的性质和角平分线的性质得出，进而即可得解； （3）如图，延长到G，延长，交于点H，由（1）得，，由三角形的内角和得出，进而即可求解． 【解答】（1）解：①∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 当得，当得； 故答案为：，； ②，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：； （3）如图，延长到G，延长，交于点H，    ∴，， ∵平分，平分， ∴平分，平分， 由（1）得，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、四边形内角和，三角形外角的性质以及角平分线的性质等知识点，熟练掌握四边形的内角和是和三角形外角的性质是解决此题的关键． 7.（2023-2024七年级下·江苏盐城·期末）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角的和为360°． 探索一、共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺． 如下图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明． 解：设有x个正五边形． 因为正五边形的每一个内角为108°，若想用x个108°围成360°，则，解得（不符合题意）． 所以正五边形不可以共顶点单一密铺． (1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺？请用上述方法说明． (2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，不用说明理由． 探索二、共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺． (3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺方案，并说明理由． (4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出一种设计方案，并说明理由． 【答案】(1)能，6个正三角形可以共顶点单一密铺 (2)正方形（答案不唯一） (3)2个正三角形，2个正六边形；4个正三角形，1个正六边形（答案不唯一） (4)1个正三角形，2个正方形，1个正六边形（答案不唯一） 【分析】本题考查了多边形的内角和，解一元一次方程，二元一次方程，三元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设有x个正三角形，则，解得，因此6个正三角形可以共顶点单一密铺； （2）设有x个正方形，则，解得，因此4个正方形可以共顶点单一密铺； （3）设有x个正三角形，y个正六边形，则，当时，，当时，，故2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； （4）设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形，则，故当时符合题意，因此方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 【解答】（1）解：能，6个正三角形可以共顶点单一密铺， 设有x个正三角形， ∵正三角形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴6个正三角形可以共顶点单一密铺； （2）解：4个正方形可以共顶点单一密铺， 设有x个正方形， ∵正方形的每个内角为， ∴， 解得：， ∴4个正方可以共顶点单一密铺； （3）解：方案为：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形 设有x个正三角形，y个正六边形， ∵正三角形的每个内角为，正六边形的每个内角为， 则， 当时，， 当时，， ∴方案：2个正三角形，2个正六边形或4个正三角形，1个正六边形； （4）解：方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形， 设有x个正三角形，y个正方形，z个正六边形， ∵正三角形的每个内角为，正方形的每个内角为，正六边形每个内角为， ∴， ∴当时符合题意， ∴方案为：1个正三角形，2个正方形，1个正六边形． 8．（2023-2024七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至服装面料设计中随处可见．在七年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中的几个问题，共同来探究． 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．比如用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角． 试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着_______个正六边形的内角． 【问题提出】 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可设计出几种不同的组合方案？ 【问题解决】 猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角． 验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意可得方程：，整理得．我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为． 结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由． 验证2：_____________________； 结论2：_____________________； 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其他可能的组合方案． 【问题拓广】 请你仿照上面的研究方式，探索出同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案：①_________；②__________（直接写出两种方案）． 【答案】试想：3； 验证2：可以找到适合方程的正整数解为或；结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角可以拼成一个周角，或者在一个顶点周围围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌； 【问题拓广】①正三角形、正方形、正六边形；②正方形、正六边形、正十二边形；（答案不唯一） 【分析】本题主要考查正多边形，看位于同一顶点处的几个角之和能否为是解题的关键．根据常用的正多边形内角进行解答即可． 试想：根据正六边形的内角为即可得到答案； 问题解决：列出方程找出合适的正整数解即可得到答案； 问题拓广：根据上述方法进行扩展即可； 【解答】解：试想：根据正六边形的内角为， ， 故在一个顶点周围应该围绕着个正六边形的内角； 问题解决：验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角， 根据题意，得：， 整理得， 可以找到适合方程的正整数解为或； 结论：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角可以拼成一个周角，或者在一个顶点周围围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌； 问题拓广：①猜想：是否可以同时存在用正三角形，正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌； 验证：设围绕某一点有个正三角形，个正方形和个正六边形的内角可以拼成一个周角， 依题意，得： 整理得： 可以找到唯一一组方程的正整数解为， 结论：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着个正三角形，个正方形和个正六边形的内角可以拼成一个周角； ②猜想：是否可以同时存在用，正方形，正六边形和正十二边形三种正多边形组合进行平面镶嵌； 验证：设围绕某一点有个正方形，个正六边形和个正十二边形的内角可以拼成一个周角， 依题意，得： 整理得：， 可以找到唯一一组方程的正整数解为， 结论：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着个正方形，个正六边形和个正十二边形的内角可以拼成一个周角； 9．（2023-2024八年级上·福建厦门·期末）用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 　　 (1)如图1是铺在某知名大学数学系大楼入口的彭罗斯地砖，它由如图2和如图3所示的两种不同菱形镶嵌而成． 请观察图形，并填空：______°，______°； (2)如图4所示的拼合图案是使用全等的正三角形地砖铺成．类似的，单独使用哪几种全等的正多边形能镶嵌成一个平面图案？请证明你的结论； (3)我们也可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．如果镶嵌时某个顶点处的正多边形有m个，设这m个正多边形的边数分别为，，…，，请说明m与，，…，应满足什么关系？当时，写出所有满足条件的正多边形的组合． 【答案】(1)72，36 (2)正三角形、正方形、正六边形 (3)，当时，满足条件的正多边形的组合为4个正方形；2个正方形，1个正三角形，1个正六边形；2个正三角形、2个正六边形 【分析】本题考查平面镶嵌，涉及等边三角形的性质、正多边形的性质、图形类规律探究，理解平面镶嵌是解答的关键． （1）从图1中找到图2、图3菱形组成的部分，进而可求解； （2）只要正多边形的一个内角能整除即可； （3）先用边数表示出每个正多边形的内角，再根据一个顶点处的m个内角和为求解即可． 【解答】（1）解：由图1可知，，， ∴，， 故答案为：72，36； （2）解：∵正三角形的每个内角是，能整除， ∴全等的等边三角形能镶嵌成一个平面图案； 设正多边形的边数为n，则正多边形的每个内角为， ∵单独使用全等的正多边形能镶嵌成一个平面图案， ∴能整除，又n为正整数， ∴或4或6， 故单独使用全等的正三角形、正方形、正六边形能镶嵌成一个平面图案； （3）解：∵正n多边形的每个内角为， ∴正边形内角为，正边形内角为，…，正边形内角为， 由镶嵌条件，得， 则， ∴ 当时，， 若这4个正多边形都是正方形时，满足； 若这4个正多边形中，2个正方形，1个正三角形，1个正六边形，满足； 若这4个正多边形中，2个正三角形、2个正六边形时，满足， 综上，当时，满足条件的正多边形的组合为4个正方形；2个正方形，1个正三角形，1个正六边形；2个正三角形、2个正六边形． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·北京·中考真题）若一个六边形的每个内角都是，则x的值为（   ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和公式，即，其中为边数，利用多边形内角和公式求解即可． 【解答】解：∵一个六边形的每个内角都是， ∴每个内角的度数为：， 故选：C． 2．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了多边形内角和问题，设原多边形的边数为，根据内角和可解得，按图示的剪法剪去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多1，即可解答，熟知多边形内角和公式是解题的关键． 【解答】解：设原多边形的边数为， 则可得， 解得， 按图示的剪法剪去一个内角后， 新多边形的边数比原多边形的边数多1，为， 故选：A． 3.（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键． 延长与直线交于点，先求出正六边形的内角的度数，再由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：延长与直线交于点， ∵正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4.（2025·四川广元·中考真题）如图，在正八边形中，对角线，交于点K，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形内角和公式的运用以及三角形的外角，熟练掌握相关公式是解题关键．根据正多边形的内角和公式求出，然后根据三角形外角的性质求出即可． 【解答】解：八边形是正八边形， ， 八边形是正八边形 ∴，， ， ∵是的外角 ， 故选：D． 5．（2025·四川凉山·中考真题）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（   ）条对角线 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，多边形对角线条数问题，设这个多边形的边数为，边形的内角和为，外角和为，从边形的一个顶点出发可以引条对角线，据此根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方程求出的值即可得到答案． 【解答】解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形是十边形， ∴从这个多边形一个顶点可以引条对角线， 故选：B． 6．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键． 根据正五边形的内角的计算方法求出、，根据正方形的性质分别求出、，根据四边形内角和等于计算即可． 【解答】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 7．（2023·甘肃兰州·中考真题）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【解答】解：∵正八边形的外角和为， ∴， 故选A 【点评】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为是解本题的关键． 8．（2025·吉林长春·中考真题）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为_______度． 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：，再进一步求解即可. 【解答】解：∵正五边形的每一个内角为：， ∴， 故答案为： 9．（2025·江西·中考真题）如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为________度． 【答案】720 【分析】本题考查了多边形的内角和公式；根据n边形的内角和公式进行计算即可． 【解答】解：根据图形知，空白部分为六多边形， 六边形的内角和为， 故答案为：720． 10．（2025·宁夏·中考真题）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行步后右转，沿转后方向直行步后右转，再沿转后方向直行步后右转…，依此方式继续行走，第一次回到出发点时，该机器人共走了_____步． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数可直接让除以一个外角度数即可． 由题意可得机器人正好走了一个正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【解答】解：∵由题意可得机器人正好走了一个正多边形， ∴根据外角和定理可知正多边形的边数为：， 则第一次回到出发点时，该机器人共走了步， 故答案为：． 11．（2025·四川巴中·中考真题）正多边形的一个内角是，这个正多边形是正______边形． 【答案】六 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角，先根据内角度数求出外角度数，再用外角和除以这个度数即可求解，掌握正多边形的内角和外角的关系是解题的关键． 【解答】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∴这个正多边形的边数为， 即正多边形是正六边形， 故答案为：六． 12．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，五边形中，，，，则______°． 【答案】205 【分析】本题主要考查了多边形的内角和求法，根据其公式解题即可． 【解答】解：多边形的内角和为， ∴五边形的内角和为， ， 故答案为：205． 13．（2025·湖南·中考真题）如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【解答】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 14．（2025·山东济南·中考真题）如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时，___________． 【答案】97 【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【解答】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：97． 15.（2024·江苏淮安·中考真题）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，，部分尺寸如图所示（单位：）．结合图1，图2的信息，可求得的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面镶嵌，勾股定理的应用，矩形的判定和性质等知识构造出直角三角形是解题的关键．作，设 ， ，由第一幅图可知，，由第二幅图可知，，四边形是矩形，，再根据勾股定理求出，即可解答． 【解答】解：作，设 ， ， 由第一幅图可知，， 由第二幅图可知，，四边形是矩形， 则，， 则， ， ， ， ． 故答案为：． 16.（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    【答案】/18度 【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【解答】解：连接，，    ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故答案为： 【点评】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $