精品解析：江苏省宿迁青华中学2021-2022学年八年级下学期期初考试 数学试题

宿迁青华中学2021-2022学年度第二学期期初考试 初二年级数学试题 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．） 1. 下面有四个手机图案，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. ﹣27的立方根是3 B. ＝±4 C. 1的平方根是1 D. 4的算术平方根是2 3. 在△ABC中，下面条件不能构成直角三角形的是（　　） A. 9，12，15 B. 5，12，13 C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. 1，2， 4. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 在等腰三角形ABC中，∠A=80°．则∠B的度数不可能为（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° 6. 已知一次函数y＝（2m﹣1）x+2，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 一辆货车从甲地匀速驶往乙地用了2.7h，到达后用了0.5h卸货，随即匀速返回，已知货车返回的速度是它从甲地驶往乙地速度的1.5倍，货车离甲地的距离y（km）关于时间x（h）的函数图象如图所示，则a等于（　　） A. 4.7 B. 5.0 C. 5.4 D. 5.8 8. 如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（　　） A. 90°﹣m° B. 180°﹣2m° C. 30°+m° D. m° 二、填空题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共30 分．） 9. ______． 10. 将函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像对应的函数表达式是______． 11. 比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 12. 在，2π，0，，0.454454445…，中，无理数有______个． 13. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是__________． 14. 过点(－1，－3)且与直线y＝1－2x平行的直线是_______． 15. 如图，直线与的图象交于点P(-2,1)，则关于x、y的方程组的解为_____． 16. 如图，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，则∠EAC＝___． 17. 如图，将一张边长为4cm的正方形纸片折叠，使点落在点处，折痕经过点交边于点．连接、，若，则的长为______cm． 18. 根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为_____． 三、解答题（本题共96分） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 已知与成正比，且时． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，求x的值 21. 已知一次函数y＝x+3． （1）在如图所示的网格中画该函数的图象； （2）当0≤x≤6时，y的取值范围是_____； （3）当y≥0时，自变量x的取值范围是______． 22. 如图，，相交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 24. 如图，已知函数y=–2x+3与y=–x+m的图像交于点P(n，–2)且分别与y轴交于点A，点B． （1）求出m、n的值； （2）直接写出不等式–x+m ＞–2x+3的解集； （3）求出ABP的面积． 25. 如图，在四边形中，，点E是的中点． （1）求证：是等腰三角形； （2）当 时，是等边三角形． 26. 某药店出售普通口罩和N95口罩.如表为两次销售记录： 普通口罩/个 N95口罩 总销售额/元 500 400 5000 600 300 4200 （1）求普通口罩和N95口罩的销售单价分别是多少? （2）该药店计划再次购进1000个口罩，根据市场实际需求，普通口罩的数量不低于N95口罩数量的4倍.已知普通口罩的进价为1元/个，N95口罩的进价为6元/个.设购买普通口罩x个，获得的利润为W元； ①求W关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； ②该药店应如何进货才能使销售总利润最大?并求出最大利润． 27. 如图①，在一条笔直的公路上依次有、、三地．一辆慢车从地出发，沿公路匀速驶向地．2小时后，一辆快车从地出发，以每小时60千米的速度沿公路驶向地，到达地后停止．慢车、快车离地的距离、与慢车行驶时间之间的函数关系如图②所示． （1）、两地之间的距离是______km，慢车的速度是______km/h； （2）求点的坐标，并解释点的实际意义． （3）画出两车之间的距离与慢车行驶时间之间的函数图像． 28. 如图，已知函数的图像与y轴交于点A，一次函数的图像经过点，并且与x轴以及的图像分别交于点C、D，点D的横坐标为1． （1）求y2函数表达式； （2）在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由． （3）若一次函数的图像经过点D，且将四边形的面积分成．求函数的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿迁青华中学2021-2022学年度第二学期期初考试 初二年级数学试题 （满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．） 1. 下面有四个手机图案，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列说法正确的是（ ） A. ﹣27的立方根是3 B. ＝±4 C. 1的平方根是1 D. 4的算术平方根是2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意根据立方根，算术平方根，平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、﹣27的立方根是﹣3，故本选项错误； B、＝4，故本选项错误； C、1的平方根是±1，故本选项错误； D、4的算术平方根是2，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查立方根（如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根），平方根（如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根），算术平方根（如果一个非负数x的平方等于a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根）的定义，是基础题，熟记相关概念是解题的关键． 3. 在△ABC中，下面条件不能构成直角三角形的是（　　） A. 9，12，15 B. 5，12，13 C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D. 1，2， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质分析选项即可． 【详解】解：由题意可知： A. ∵， ∴9，12，15可以构成直角三角形，不符合题意； B. ∵， ∴5，12，13可以构成直角三角形，不符合题意； C. ∠A：∠B：∠C＝3：4：5．假设，，，由三角形内角和可知：，解得：， ∴，，， ∴∠A：∠B：∠C＝3：4：5构不成直角三角形，符合题意； D. ∵， ∴1，2，可以构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是理解勾股定理的逆定理，以及有一个角等于的三角形是直角三角形． 4. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 5. 在等腰三角形ABC中，∠A=80°．则∠B的度数不可能为（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质,将所有可能的角度计算出来. 【详解】当∠A为顶角时,则底角为; 当∠A为底角时,∠B为底角则∠B为80°;若∠B为顶角,则为. 故选B. 【点睛】本题考查等腰三角形的基本性质,关键在于熟练掌握基础性质,分类讨论. 6. 已知一次函数y＝（2m﹣1）x+2，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据一次函数的性质得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数y=（2m-1）x+2，y随x的增大而减小， ∴2m-1＜0，解得m＜， 故选B． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 7. 一辆货车从甲地匀速驶往乙地用了2.7h，到达后用了0.5h卸货，随即匀速返回，已知货车返回的速度是它从甲地驶往乙地速度的1.5倍，货车离甲地的距离y（km）关于时间x（h）的函数图象如图所示，则a等于（　　） A. 4.7 B. 5.0 C. 5.4 D. 5.8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据路程、速度和时间的关系题意可得甲地到乙地的速度和从乙地到甲地的时间，再由货车返回的速度是它从甲地驶往乙地的速度的1.5倍，列出方程组求得从乙地到甲地的时间t，进而求得a的值． 【详解】解：设甲乙两地的路程为s，从甲地到乙地的速度为v，从乙地到甲地的时间为t， 则 解得，t＝1.8 ∴a＝3.2+1.8＝5（小时）， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像的应用、方程组的应用，根据一次函数图像以及路程、速度和时间的关系列出方程组是解答本题的关键． 8. 如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（　　） A. 90°﹣m° B. 180°﹣2m° C. 30°+m° D. m° 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB=AE，求得∠ABE=∠AEB，根据等腰三角形的性质得到∠AEC=∠ACE，求得∠BEC=∠BEA+∠ACE，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∵AB＝AC， ∴AE＝AC， ∴∠AEC＝∠ACE， ∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE， ∵∠BAC＝m°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°， ∴∠BEC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝[180°﹣（180°﹣m°）]＝m°， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共30 分．） 9. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，利用算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10. 将函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减”的原则求解即可． 【详解】解：将直线向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象的平移，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键． 11. 比较大小：_____ 3（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】对于两个正数，可通过比较平方后结果的大小判断原数大小，平方更大的原数更大，据此求解. 【详解】解：∵ ，， 又∵ ， ∴ . 12. 在，2π，0，，0.454454445…，中，无理数有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数可得答案． 【详解】解：在所列实数中，无理数有2π，0.454454445…，这3个， 故答案为3． 【点睛】考查了无理数，关键是掌握无理数定义． 13. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是，，则它的面积是__________． 【答案】48 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长是 ∴该直角三角形的斜边长为8×2=16cm ∵直角三角形斜边上的高是6cm ∴该直角三角形的面积为：×16×6=48cm2 故答案为：48 【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和求三角形的面积，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的面积公式是解决此题的关键． 14. 过点(－1，－3)且与直线y＝1－2x平行的直线是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据平行设直线解析式为，然后将点(－1，－3)代入，即可得出解析式. 【详解】根据题意，设直线解析式为 ∵过点(－1，－3) ∴ ∴ ∴直线解析式为 【点睛】此题主要考查利用一次函数的性质求解解析式，熟练掌握，即可解题. 15. 如图，直线与的图象交于点P(-2,1)，则关于x、y的方程组的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与的图象交于点P（-2，1）， ∴关于x、y的方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解． 16. 如图，△ABC中，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E，∠B＝30°，∠ACE＝50°，则∠EAC＝___． 【答案】70°##70度 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线的性质和等边对等角可得∠BAE＝∠B＝30°，从而可求得∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°，再利用三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠BAE＝∠B＝30°， ∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝60°， ∵∠C＝50°， ∴∠EAC＝180°﹣∠C﹣∠AEC＝70°， 故答案为：70°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 17. 如图，将一张边长为4cm的正方形纸片折叠，使点落在点处，折痕经过点交边于点．连接、，若，则的长为______cm． 【答案】## 【解析】 【分析】如图所示，过点P作GF⊥CD交CD于F，交AB于G，过点P作PH⊥BC于H，取BC中点M，连接PM，则，然后证明四边形ADFG是矩形，得到AG=DF，GF=AD，同理可证PH=BG=CF，HC=PF，设，，则，，，在直角△PHM中，，得到，①；由折叠的性质可得，AE=PE，在直角△DPF中，得到②；联立①②得：即，由此求出，，， 设，则，在直角△PEG中，得到，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点P作GF⊥CD交CD于F，交AB于G，过点P作PH⊥BC于H，取BC中点M，连接PM， ∵∠BPC=90°， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠ADF=90°， 又∵GF⊥CD， ∴四边形ADFG是矩形， ∴AG=DF，GF=AD， 同理可证PH=BG=CF，HC=PF， 设，，则，，， ∵， ∴， 在直角△PHM中，， ∴， ∴①； 由折叠的性质可得，AE=PE， 在直角△DPF中， ∴②； 联立①②得：即， ∴③， 把③代入②中得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 设，则， 在直角△PEG中， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 18. 根据教材第65页“思考”栏目可以得到这样一个结论：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，则AB＝2BC．请在这一结论的基础上继续思考：若AC＝2，点D是AB边上的动点，则CD+AD的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作射线AG，使得∠BAG＝30°，过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F，故DE＝AD，故CD+AD＝CD+DE≥CF，求出CF即可． 【详解】解：作射线AG，使得∠BAG＝30°， 过D作DE⊥AG于E，过C作CF⊥AG于F， ∴DE＝AD， ∴CD+AD＝CD+DE≥CF， ∵∠CAG＝∠CAB+∠BAG＝60°，AC＝2， ∴∠ACF＝30°， ∴AF＝1， ∴CF＝， ∴CD+AD的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，含30°直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边一半，作出射线AG，使得∠BAG=30°是解答本题的关键． 三、解答题（本题共96分） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根，立方根和零指数幂，再计算加减法即可； （2）根据平方根定义解方程． 【详解】解：（1） ； （2） ∴． 【点睛】此题考查了实数的混合运算、平方根的应用及零指数幂，正确掌握各计算法则是解题的关键． 20. 已知与成正比，且时． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，求x的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知与成正比例， 即可以设， 把 代入即可求得的值，从而求得函数解析式； （2）在解析式中令即可求得的值． 【小问1详解】 解：与成正比， ∴设 把代入中， 得 ∴， ， ∴． 【小问2详解】 解：当时， 解得． 21. 已知一次函数y＝x+3． （1）在如图所示的网格中画该函数的图象； （2）当0≤x≤6时，y的取值范围是_____； （3）当y≥0时，自变量x的取值范围是______． 【答案】（1）见解析 （2）3≤y≤9 （3）x≥﹣3 【解析】 【分析】（1）利用两点法就可以画出函数图象； （2）观察函数图象与y轴的交点，计算当x＝6时y＝9，即可求解； （3）观察函数图象与x轴的交点就可以得出结论． 【小问1详解】 解：一次函数y＝x+3． 当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝﹣3， 则图象如图所示： 【小问2详解】 解：当x＝6时，y＝9， 由图象得，当0≤x≤6时，y的取值范围是：3≤y≤9， 故答案为：3≤y≤9； 【小问3详解】 解：x＝﹣3时y＝0， 由图象得，当y≥0时，自变量x的取值范围是x≥﹣3， 故答案为：x≥﹣3． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和一次函数图象上点的坐标特征．正确求出一次函数与x轴与y轴的交点是解题的关键． 22. 如图，，相交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出是解题关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质求出，由直角三角形的性质求出，即可得出所求． 【小问1详解】 证明：． 和是直角三角形， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ． 23. 如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用得出是解决问题的关键．设出的长，可将和的长表示出来，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 24. 如图，已知函数y=–2x+3与y=–x+m的图像交于点P(n，–2)且分别与y轴交于点A，点B． （1）求出m、n的值； （2）直接写出不等式–x+m ＞–2x+3的解集； （3）求出ABP的面积． 【答案】（1）n=，m=- （2）x＞ （3） 【解析】 【分析】（1）将点P（n，-2）代入y=–2x+3求得的坐标，进而代入y=–x+m即可求解； （2）根据函数图象与交点的横坐标即可求解； （3）分别求得y=-2x+3，y=-x-与轴的交点，得到A，B的坐标，进而得出AB的值，根据面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵y=-2x+3过P（n，-2） ∴-2=-2n+3， 解得：n=， ∴P() ， ∵y=-x+m的图像过P() ， ∴-2=-×+m， 解得：m=-， 【小问2详解】 P()，根据函数图象可得， 不等式-x+m＞-2x+3的解集为x＞； 【小问3详解】 ∵当y=-2x+3中，x=0时，y=3 ∴A(0，3) ∵y=-x-中，x=0时，y=-， ∴B(0， -)． ∴AB=3， ∴△ABP的面积：AB×=××= 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据两直线交点求不等式的解集，求两直线围成的三角形面积，掌握一次函数的性质是解题的关键． 25. 如图，在四边形中，，点E是的中点． （1）求证：是等腰三角形； （2）当 时，是等边三角形． 【答案】（1）详见解析 （2）30 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得到，进而证明即可； （2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出，然后结合等边三角形的判定即可证明． 【小问1详解】 证明：，点是边的中点， ，， ， 是等腰三角形； 【小问2详解】 解：当时，是等边三角形，理由如下： ∵，点是边的中点， ∴， ， ， ， ， ，，且， ， 是等腰三角形， 是等边三角形． 26. 某药店出售普通口罩和N95口罩.如表为两次销售记录： 普通口罩/个 N95口罩 总销售额/元 500 400 5000 600 300 4200 （1）求普通口罩和N95口罩的销售单价分别是多少? （2）该药店计划再次购进1000个口罩，根据市场实际需求，普通口罩的数量不低于N95口罩数量的4倍.已知普通口罩的进价为1元/个，N95口罩的进价为6元/个.设购买普通口罩x个，获得的利润为W元； ①求W关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围； ②该药店应如何进货才能使销售总利润最大?并求出最大利润． 【答案】（1）普通口罩和N95口罩的售价分别是2元/个，10元/个；（2）①W=-3x+4000，（x≥800）；②购进普通口罩800个，N95口罩200个，最大利润是1600元． 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出二元一次方程组，从而可以求得普通口罩和N95口罩的销售单价； （2）①根据题意，可以得到利润与购进普通口罩数量的函数关系式，再根据普通口罩的数量不低于N95口罩数量的4倍，可以求得普通口罩数量的取值范围；②根据一次函数的性质，即可求出最大利润． 【详解】解：（1）设普通口罩的销售单价为a元/个，N95口罩的销售单价为b元/个， 则， 解得，， 即普通口罩和N95口罩的销售单价分别是2元/个，10元/个； （2）①由题意可知，W=（2-1）x+（10-6）×（1000-x）=-3x+4000， ∴W=-3x+4000， ∵普通口罩的数量不低于N95口罩数量的4倍， ∴x≥4×（1000-x）， 解得，x≥800， ∴W=-3x+4000，（x≥800）； ②在W=-3x+4000，（x≥800）中， ∵-3<0， ∴W随x的增大而减小， ∵x≥800， ∴当x=800时，W取得最大值，此时W=-3×800+4000=1600， 1000-x=200， 因此为使该药店售完这1000个口罩后的总利润最大，该药店购进普通口罩800个，N95口罩200个，最大利润是1600元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 27. 如图①，在一条笔直的公路上依次有、、三地．一辆慢车从地出发，沿公路匀速驶向地．2小时后，一辆快车从地出发，以每小时60千米的速度沿公路驶向地，到达地后停止．慢车、快车离地的距离、与慢车行驶时间之间的函数关系如图②所示． （1）、两地之间的距离是______km，慢车的速度是______km/h； （2）求点的坐标，并解释点的实际意义． （3）画出两车之间的距离与慢车行驶时间之间的函数图像． 【答案】（1）420；30；（2）点P的坐标为（6，120），点P的实际意义为：慢车出发6小时后与快车相遇，相遇时距离B第120km；；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数图像可知，慢车从A地出发2小时行驶60千米后到达B地，则A地与B地的距离为60千米，慢车的速度我，再由一开始快车距离B地的距离为360千米，且快车是从C地出发，得到C地与B地的距离为360千米，由此即可得到答案； （2）先求出快车出发后，慢车与快车相遇的时间为，然后求出慢车在四小时内行驶的距离为30×4=120km，由此即可得到P点的坐标；则点P的实际意义为：慢车出发6小时后与快车相遇，相遇时距离B第120km； （3）根据题意可得前两个小时内，快车与慢车的距离即为A、C两地的距离减去慢车行驶的距离；当慢车行驶到B地后，快车出发，这时，快车与慢车相对行走，快车与慢车的距离以每小时的速度缩小，相遇后快车与慢车的距离又以每小时的速度增大，直至快车到达2小时后到达B地，再快车与慢车的距离以每小时30km的速度增大，直至小时后到达C地，由此求解即可． 【详解】解：（1）由函数图像可知，慢车从A地出发2小时行驶60千米后到达B地， ∴A地与B地的距离为60千米，慢车的速度我 又∵一开始快车距离B地的距离为360千米，且快车是从C地出发， ∴C地与B地的距离为360千米， ∴A、C两地的距离， 故答案为：420；30； （2）∵慢车出发两小时后，快车才出发， ∴快车出发后，慢车与快车相遇的时间为， ∴P点的横坐标为2+4=6， ∵慢车在四小时内行驶的距离为30×4=120km， ∴P点纵坐标为120， ∴点P的坐标为（6，120）， ∴点P的实际意义为：慢车出发6小时后与快车相遇，相遇时距离B第120km； （3）∵慢车出发两小时后，快车才出发， ∴前两个小时内，快车与慢车的距离即为A、C两地的距离减去慢车行驶的距离； ∵当慢车行驶到B地后，快车出发，这时，快车与慢车相对行走， ∴快车与慢车的距离以每小时的速度缩小， ∴快车与慢车在快车出发四小时后会相遇，相遇后快车与慢车的距离又以每小时的速度增大，直至快车到达2小时后到达B地，再快车与慢车的距离以每小时30km的速度增大，直至小时后到达C地， ∴函数图像如下所示： 【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息，画函数图像，解题的关键在于能够正确读懂函数图像． 28. 如图，已知函数的图像与y轴交于点A，一次函数的图像经过点，并且与x轴以及的图像分别交于点C、D，点D的横坐标为1． （1）求y2函数表达式； （2）在y轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形．如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由． （3）若一次函数的图像经过点D，且将四边形的面积分成．求函数的表达式． 【答案】（1）； （2）． （3）或． 【解析】 【分析】（1）把D坐标代入y＝x＋1求出n的值，确定出D坐标，把B与D坐标代入中求出k与b的值，确定出直线解析式； （2）如图所示，设分三种情况考虑：当；当时；当时，分别求出p的值，确定出所求即可； （3）先求出四边形的面积，再分情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：把D坐标代入中得：，即， 把与代入中得：， 解得：， ∴直线解析式为， 即函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示，设分三种情况考虑： 当时，可得， 解得：或（舍去），此时； 当时，可得， 解得：， 此时； 当时，可得， 解得：，即， 综上，P的坐标为． 【小问3详解】 解：对于直线，令，得到x＝−1，即；令，得到， ∴ 对于直线，令，，即， 则 ①设一次函数的图像与y轴交于点， ∵一次函数的图像经过点D，且将四边形的面积分成 ∴ ∴ ∴ ∴ 把、代入得 解得 ∴； ②设一次函数的图像与x轴交于点， ∵一次函数的图像经过点D，且将四边形的面积分成 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 把、代入得 解得 ∴； 综上函数的表达式为或． 【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握一次函数性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $