精品解析：江苏南京市鼓楼实验中学2025-2026学年八年级下学期3月 学情自测数学试题

2025-2026学年八年级（下）3月开学学情自测数学试题 一．选择题（每题2分，满分12分） 1. 在下列实数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的知识，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可． 【详解】A、0是有理数，故本选项错误； B、，是有理数，故本选项错误； C、，是无理数，故本选项正确； D、是有限小数，是有理数，故本选项错误； 故选：C． 2. 下列为勾股数的是（　） A. ，， B. C. ，， D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数，根据勾股数的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、，，不是整数，故，，不是勾股数，故选项A不符合题意； B、不是正整数，故不是勾股数，故选项B不符合题意； C、，，不是正整数，故，，不是勾股数，故选项C不符合题意； D、，7，24，25是勾股数，故选项D符合题意． 故选：D． 3. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查知识点是等腰三角形的性质、三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形的三边关系，分情况讨论解题．先根据题意得出两种情况：为腰长时和为底边长时，再根据三角形三边关系判断该情况是否成立，满足三角形三边关系的即为正确答案． 【详解】解：依题得：该三角形是等腰三角形，则有以下两种情况： ①该等腰三角形的腰长为，则底边长为， ，即不符合三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边， 该情况舍去； ②该等腰三角形的底边长为， 则腰长为， 此时三角形三边长分别为，，，满足三角形三边关系， 该情况成立； 综上，该等腰三角形的腰长应为． 故选：B． 4. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定， 根据尺规作图的过程可知，，，再根据全等三角形的判定定理得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，，， ∴ ∴的依据是． 故选：B． 5. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的区分，根据一次函数的表达式进行判断即可得解． 【详解】根据一次函数的表达式可知，是一次函数， 故选：C． 6. 如图，直线，四边形是正方形，点C在直线n上，点D在直线m上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，平行线的性质． 由正方形可得，利用三角形的内角和定理可求得，进而得到，根据即可得到． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 【详解】详解片段 二．填空题（每题2分，满分20分） 7. 我市年第三季度社会消费品零售总额为亿元，累计增长．将数精确到十位可用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，精确度，根据精确度及科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据精确度及科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴． 9. 比较大小： ________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【解析】 【分析】利用作差法求出与的差为，再利用估算法判断的符号，即可得与的大小． 本题主要考查了利用作差法比较实数的大小，即无理数的估算．熟练掌握以上方法是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ． 故答案为：< 10. 如图，，B、E、C、F在一条直线上，若，则_____ ． 【答案】4 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的和差进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 11. 若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象可知当时，，所以关于的不等式的解集为． 【详解】解：由一次函数的图象可知: 当时，， 当时，， 关于的不等式的解集为． 12. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 【答案】 【解析】 【分析】设尺，则尺，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为水深． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知,尺， 设尺，则尺， 在中，， ， 解得：， 尺， 答：水深尺． 13. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点，直线恰好将平均分成面积相等的两部分，则k的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数解析式与三角形的综合，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键． 由题意可得直线恒过，进而依据直线恒过即中线时恰好将平均分成面积相等的两部分，根据中点坐标公式求出点C的坐标，然后代入即可求解． 【详解】解：当时，， ∴经过点，即点B， ∵直线恰好将平均分成面积相等的两部分， ∴直线经过的中点， 设的中点为C， ∵， ∴C的坐标为，即， 代入，得， 解得． 故答案为：． 14. 如图在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是 _____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴． 15. 在高速公路上有、、三地，地位于、两地之间，甲、乙两车分别从、两地出发，沿这条公路匀速行驶同时至地停止．从甲车出发至甲车到达地的过程中，甲、乙两车各自与地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示，当甲车出发 __________________时，两车相距． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，利用题意找出等量关系是解题关键．根据题意结合图象，可得与的距离等于与的距离均为，根据行驶路程与时间的关系，可得两车的速度，设甲出发小时后，两车相距，由题意，得，解出即可完成解答.． 【详解】解：由题意并结合图形可得：， 甲的速度：， 乙的速度：， 设甲出发小时后，两车相距， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，已知是等腰直角三角形，，，将沿直线平移到的位置，当D恰好是中点时，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是平移的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定和性质，熟练运用以上知识是解题的关键． 先求解 再证明 再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接 由平移的性质可得： ，，， 为的中点， ，， 又∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 三．解答题（共10小题，满分68分） 17. （1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求立方根的方法解方程，熟知实数的运算法则和立方根的计算方法是解题的关键． （1）先计算算术平方根，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可得到答案； （2）先把方程两边同时开立方，再解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴． 18. 若正数m的两个平方根分别是和，求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的性质，得到，求出的值，即可求解， 本题考查了平方根的性质，解题的关键是：根据平方根的性质得到关于的等量关系式． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∴ ， 故答案为：． 19. 如图，是等边三角形，点M在边上，P是延长线上一点，N是的平分线上一点，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）在边上截取，连接，根据条件证明是等边三角形，再证明即可； （2）连接，根据条件证明即可． 【小问1详解】 证明：在边上截取，连接． ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：连接，如图，   ∵是等边三角形， ∴， 由（1）知，且， ∴是等边三角形，， ∴， ∴． ∴， ∴． 20. 如图，已知各顶点坐标分别为、、． （1）画出关于原点对称的； （2）直接写出的各顶点坐标； （3）试求的面积． 【答案】（1）见解析； （2），，； （3）． 【解析】 【分析】（）先写出各顶点关于原点对称的点，再依次连接即可； （）根据图象及各象限坐标的特征解题； （）将图形用直角三角形面积减去两个三角形面积即可； 本题考查了网格作图—关于原点对称，象限与点坐标，三角形面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，先找出、、关于原点对称、、，连接， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：、、关于原点对称的点分别为：、、； 【小问3详解】 解：如图， ∴的面积． 21. 【了解概念】 在平面直角坐标系中，过某一定点且不与轴垂直的直线，叫该定点的“伴随直线”． 如若点，则点的“伴随直线”可记为； 再如．则点的“伴随直线”可记为； 【理解运用】 （1）已知点的“伴随直线”可记为，则点的坐标为______ （2）若点的“伴随直线”恰好经过点，求该“伴随直线”的解析式； 【拓展提升】 （3）已知点的“伴随直线”记为．直线记为，若直线与直线的交点在第一象限，请直接确定的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题干的新定义函数，通过直线经过定点结合图象求解． （1）求出定点即可求解． （2）将代入求解． （3）由题意可得，由直线的解析式求得直线与坐标轴的交点，再将交点坐标代入记求出k，结合图象求出取值范围． 【详解】（1） 点坐标为． （2）由题意可得：点所在直线解析式为， 将代入得， 解得， 该“伴随直线”的解析式为． （3）由题意得： ∵， ∴与x轴交点，与y轴交点 如图1所示，当经过点时，， 如图2所示，当经过点时，， 结合图象可得：若直线与直线的交点在第一象限则或． 22. 如图，已知：，，． （1）求证： （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，为锐角三角形．请用尺规作图法，在平面内求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见详解 【解析】 【详解】解：根据题意，作的外接圆，在上取一点P，则． 24. 一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市C，它们离A地的路程随时间变化的图像如图所示，已知汽车的速度为，摩托车比汽车晚1个小时到达城市C． （1）求摩托车到达城市C所用的时间； （2）求摩托车离A地的路程关于时间的函数表达式； （3）当x为何值时，摩托车和汽车相距． 【答案】（1）4小时 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算汽车到达中点的用时，结合摩托车比汽车晚1个小时到达城市C求解即可． （2）设解析式为，把分别代入解析式求解即可． （3）根据题意，得，求解即可． 【小问1详解】 根据图像信息，得到A到C点的距离为180千米， ∵汽车的速度为， ∴汽车到达中点的用时， ∵摩托车比汽车晚1个小时到达城市C， ∴摩托车到达城市C的时间为4小时． 【小问2详解】 设解析式为， 把分别代入解析式得 ， 解得， 故摩托车离A地的路程关于时间的函数表达式为． 【小问3详解】 根据题意，得到汽车的函数解析式为，根据题意，得 ， 解得， 故经过小时，摩托车和汽车相距． 【点睛】本题考查了函数图像信息的解读，一次函数的解析式，正比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 25. 如图，中，，，为线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）求证：； （2）连接，取的中点，连接，． ①依题意补全图形； ②求． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，利用旋转的性质及角度的和与差即可求证； （2）①根据题意补全图形即可； ②延长到点，使，连接、、、，可证明四边形是平行四边形，得出，，证明，得出，根据等腰三角形“三线合一”即可得出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①图形如图所示： ②如图，延长到，使得，连接，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由（1）知， ∴ ∵， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着x轴方向向左平移3个单位长度，得到点的坐标分别为______；______；从而求出经过点的直线对应的函数表达式为___________________； 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．将一次函数的图象关于x轴对称，所得图象对应的函数表达式为________________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点A逆时针旋转，则所得图象对应的函数表达式为_______________； ②如图2，将直线绕点A逆时针旋转，则所得图象对应的函数表达式为________________． 【拓展应用】 （5）①如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为______． ②如图4，在平面直角坐标系中，已知，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接，则的最小值是______． 【答案】（1） （2），， （3） （4）①；② （5）①或；② 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）利用平移规律确定出平移后函数解析式即可； （2）利用平移规律可得出点、点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）找出与坐标轴的交点坐标，进而求出关于x轴对称点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （4）①设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D，结合全等三角形的性质可求解A，C的坐标，再利用待定系数法可求对应的函数表达式； ②过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E，结合全等三角形的性质可求解A，D的坐标，再利用待定系数法可求得解析式； （5）①分A为直角顶点和B为直角顶点讨论，根据全等三角形的判定与性质求解即可； ②先求出，根据两点间距离公式求出，则求的最小值，相当于求点到和距离和的最小值，然后根据轴对称的性质，两点间的距离公式等求解即可． 【详解】解：（1）利用平移规律得：将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式为． 故答案为：； （2）∵，， ∴将它们沿着x轴向左平移3个单位长度，得到点、点的坐标分别为、， 设直线的一次函数解析式为， ∴． ∴． ∴过点、直线对应的函数表达式为． 故答案：，，； （3）设一次函数的图象与y轴的交点为点A，与x轴的交点为点B， ∵， 当时，， ∴点， 当时，，解得， ∴点． 如图， ∵一次函数的图象关于x轴对称，， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． （4）①如图，设点B绕点A逆时针旋转到点C，过点C作轴于点D， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． ②如图，过点B作交所得到的图象于点D，过点D作轴于点E， ∵将直线绕点A逆时针旋转， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设所得到的图象对应的函数表达式为， ∴， 解得． ∴所得到的图象对应的函数表达式为． （5）当A为直角顶点时，过C作轴于M，过B作轴于N，如图， 则， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 当B为直角顶点时，过B作轴于N，过C作于M，如图， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，C的坐标为或； ②设，如图，过B作于H， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∴求的值，相当于求点到和距离和的最小值， 即相当于在直线上找点，使点P到和的距离最小， 作N关于直线的对称点，同理可求， ∴， ∴当M、P、三点共线时，取最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级（下）3月开学学情自测数学试题 一．选择题（每题2分，满分12分） 1. 在下列实数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列为勾股数是（　） A. ，， B. C. ，， D. 7，24，25 3. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，四边形是正方形，点C在直线n上，点D在直线m上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题2分，满分20分） 7. 我市年第三季度社会消费品零售总额为亿元，累计增长．将数精确到十位可用科学记数法表示为_____． 8. 如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是_____ ． 9 比较大小： ________（填“>”“<”或“=”）． 10. 如图，，B、E、C、F在一条直线上，若，则_____ ． 11. 若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 _________ ． 12. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 13. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点，直线恰好将平均分成面积相等两部分，则k的值是 _____． 14. 如图在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是 _____ ． 15. 在高速公路上有、、三地，地位于、两地之间，甲、乙两车分别从、两地出发，沿这条公路匀速行驶同时至地停止．从甲车出发至甲车到达地的过程中，甲、乙两车各自与地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示，当甲车出发 __________________时，两车相距． 16. 如图，已知是等腰直角三角形，，，将沿直线平移到的位置，当D恰好是中点时，则_________． 三．解答题（共10小题，满分68分） 17. （1）计算：； （2）解方程． 18. 若正数m的两个平方根分别是和，求m的值． 19. 如图，是等边三角形，点M在边上，P是延长线上一点，N是平分线上一点，．求证： （1）； （2）． 20. 如图，已知各顶点坐标分别为、、． （1）画出关于原点对称的； （2）直接写出的各顶点坐标； （3）试求的面积． 21. 【了解概念】 在平面直角坐标系中，过某一定点且不与轴垂直的直线，叫该定点的“伴随直线”． 如若点，则点的“伴随直线”可记为； 再如．则点的“伴随直线”可记为； 理解运用】 （1）已知点的“伴随直线”可记为，则点的坐标为______ （2）若点的“伴随直线”恰好经过点，求该“伴随直线”的解析式； 【拓展提升】 （3）已知点的“伴随直线”记为．直线记为，若直线与直线的交点在第一象限，请直接确定的取值范围． 22. 如图，已知：，，． （1）求证： （2）若，求的长． 23. 如图，为锐角三角形．请用尺规作图法，在平面内求作一点P，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 24. 一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市C，它们离A地的路程随时间变化的图像如图所示，已知汽车的速度为，摩托车比汽车晚1个小时到达城市C． （1）求摩托车到达城市C所用的时间； （2）求摩托车离A地的路程关于时间的函数表达式； （3）当x为何值时，摩托车和汽车相距． 25. 如图，中，，，为线段上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）求证：； （2）连接，取的中点，连接，． ①依题意补全图形； ②求． 26. 【提出问题】 （1）将一次函数的图象沿着y轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________； 【初步思考】 （2）将一次函数的图象沿着x轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，将它们沿着x轴方向向左平移3个单位长度，得到点的坐标分别为______；______；从而求出经过点的直线对应的函数表达式为___________________； 【解决问题】 （3）已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．将一次函数的图象关于x轴对称，所得图象对应的函数表达式为________________； 【深度思考】 （4）图形的平移就是点的平移，图形的旋转也可以理解为点的旋转，根据你的理解解决下列问题： ①如图1，将直线绕点A逆时针旋转，则所得图象对应的函数表达式为_______________； ②如图2，将直线绕点A逆时针旋转，则所得图象对应的函数表达式为________________． 【拓展应用】 （5）①如图3，在平面直角坐标系中，已知点，点，点C在第一象限内，若是以为直角边的等腰直角三角形，则点C的坐标为______． ②如图4，在平面直角坐标系中，已知，点C是y轴上的动点，线段绕着点C按逆时针方向旋转至线段，，连接，则的最小值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $