精品解析：江苏省连云港市赣榆区实验中学2025-2026学年八年级下学期3月期初数学试题

2025-2026学年八年级下学期3月期初数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 为了解全市初中生每天完成作业的时间，采用全面调查的方式 B. “掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件 C. 一组数据，，，，，的中位数和平均数都是 D. 在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 2. 小明准备选用一些小棒作为三角形边长制作直角三角形模型．现有长度为和的小棒，能与它们制成直角三角形模型的小棒长度可以是（ ） A. 13 B. 12 C. 8 D. 6 3. 如图，已知，．记，，当时，与之间数量关系为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，蝴蝶剪纸是一副轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的一次函数与（都为常数，且都不为0）．函数满足（m为常数），下了说法正确的是（ ） A. 若当时， B. 若当时， C. 若则与的函数图像一定都有交点 D. 若是函数图像的交点，则也在函数图像上 6. 如图，已知直线与的交点的横坐标为，若，则x的取值可能是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 7. 如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论：①a的值为120；②m的值1.3；③m小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：；④乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过时行驶时间x的取值范围为．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 8. 已知，则m的值为________． 9. 《义务教育课程标准》（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生有______名． 10. 小亮用天平称得一个罐头的质量为，将近似数精确到是__． 11. 已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为___________． 12. 已知关于的方程组的解是，则一次函数，的图象交点的坐标是_____． 13. 等腰中，，，以C为圆心，为半径作圆弧与的边交于点D．则__________． 14. 如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，在轴正半轴上求一点，使为等腰三角形．则点的坐标是______． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，M为线段上的动点（不含端点），P为x轴上的一个动点，连接，以为边向右作等边 则 的最小值为_________． 三．解答题（本大题共11小题，共112分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （1）计算： （2）解方程 17. 如图，是等边三角形，若，，，求的度数． 18. 如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出，，的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上画出点，使最小． 19. 2025年是国务院印发《全民健身计划》的收官之年．今年的宿迁马拉松比赛于3月30日7：30成功举行，参赛选手最小的5岁，最大的71岁，这与《全民健身计划》的主旨高度契合．赛后，小记者李同学随机采访了若干名参赛选手，绘制了如下图表： 2025年宿迁马拉松参赛人员年龄统计表 组别 年龄/岁 频数 A 31岁以下 25 B C 22 D 50岁以上 根据以上信息回答下列问题： （1）小记者共调查了____位参赛选手，表中____； （2）扇形统计图中“C”部分的圆心角度数为____度； （3）请估计30000名参赛选手中年龄在岁年龄段人数有多少人？ 20. 下图为某小区绿化带示意图，已知，米，米，米，米． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若铺设一平米草坪费用为元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？ 21. 如图，在中，平分，于D，于E，． （1）求证：； （2）求证：点C在的垂直平分线上． 22. 某校为学生提供早餐和午餐服务． （1）学校提供的午餐有甲、乙两种套餐，两种套餐的组成如下： 套餐 主食（克） 肉类（克） 其它（克） 甲 150 85 165 乙 180 60 160 为了膳食平衡，需合理控制主食摄入量．如果在一周里，学生午餐主食摄入总量不宜超过820克，那么学生需要在一周里最多几天选择乙套餐?（说明：一周按5天计算） （2）学校提供的一份早餐包括一份综合食品、一份牛奶和一个鸡蛋．已知一份牛奶比一个鸡蛋重量的2倍少10克，一份牛奶和一份综合食品重量的和是一份鸡蛋重量的4倍．其中鸡蛋的蛋白质含量占，综合食品和牛奶每100克含蛋白质的重量如下表所示： 种类 综合食品 牛奶 每100克含蛋白质的重量（克） 9 3 若早餐的蛋白质总含量为，请求一份早餐中综合食品、牛奶和鸡蛋的重量． 23. 直线水路上有、两个港口，相距．甲船从港口行驶到港口后，立即从港口再行驶回港口，全程保持匀速行驶，速度为．乙船从港口沿着直线水路行驶到港口，速度为，甲船出发了1小时后，乙船出发．设甲船出发后，过了小时，两船之间相距． （1）画出关于的函数的图象．（画出简图，标出关键点的坐标） （2）甲船出发后，过了多少小时，两船之间相距．直接写出结论． 24. 如图，直线是一次函数的图象，它与轴交于点．直线经过点，且与直线交于点． （1）求直线对应的函数表达式； （2）设点是轴负半轴上的一个动点，连接．若与的面积相等，求符合条件的点的坐标． 25. 函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． （1）关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； （2）当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； （3）当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 26. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”. 如：，，，因此，，这三个数都是神秘数. (1)是神秘数吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和(其中取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗？为什么？ (3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数. ②在①条件下，面积是否为神秘数？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期3月期初数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 为了解全市初中生每天完成作业的时间，采用全面调查的方式 B. “掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件 C. 一组数据，，，，，的中位数和平均数都是 D. 在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．全市初中生数量大，调查范围广，适合抽样调查，不适合全面调查，原说法不正确，不符合题意； B．掷一次骰子，向上一面的点数有种可能结果，结果不确定，“向上一面的点数是”是随机事件，原说法正确，符合题意； C．数据，，，，，的中位数为，平均数为，原说法不正确，不符合题意； D．抽样调查中，样本容量越大，对总体的估计越准确，样本容量越小误差越大，原说法不正确，不符合题意． 2. 小明准备选用一些小棒作为三角形的边长制作直角三角形模型．现有长度为和的小棒，能与它们制成直角三角形模型的小棒长度可以是（ ） A. 13 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：设第三根小棒长度为 ∵ 直角三角形中，（c为斜边）， 情况1：当为斜边时，， ∴ 解得：（取正值） 情况2：当12为斜边时，， ∴ ，解得：，不在选项中 ∴ 只有满足条件， 故选：A. 3. 如图，已知，．记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，根据，，再由，得到，最后利用三角形内角和定理求得，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故选：D． 4. 如图，蝴蝶剪纸是一副轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为，其关于y轴对称的点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点坐标关于轴对称规律，掌握“关于轴对称点坐标为．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 关于轴的对称点坐标为， 关于轴的对称点坐标为， 故选：D． 5. 已知关于的一次函数与（都为常数，且都不为0）．函数满足（m为常数），下了说法正确的是（ ） A. 若当时， B. 若当时， C. 若则与的函数图像一定都有交点 D. 若是函数图像的交点，则也在函数图像上 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质逐一判断求解． 【详解】解：A、当时，有， ∴，故A是错误； B、当时，有， ∴，故B是错误的； C、设， ，若，且或，则直线互相平行，则与的函数图象都没有交点，故C是错误的； D、∵是函数图像的交点， ∴，， ∴当时，， ∴也在函数图象上， 故D是正确的； 故选：D 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键． 6. 如图，已知直线与的交点的横坐标为，若，则x的取值可能是（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．结合函数图象，先写出直线在直线下方所对应的自变量的范围，然后对各选项进行判断． 【详解】解：∵直线与的交点的横坐标为， ∴当时，， ∴观察各选项，x可以取． 故选：D． 7. 如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论：①a的值为120；②m的值1.3；③m小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：；④乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过时行驶时间x的取值范围为．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先求出甲的速度，利用路程速度时间，可求的值，的值，的距离，利用待定系数法可求解析式，分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意可得：甲的速度为：， ∴的距离，故①正确； ∴， ∴乙车的速度为， ∴，故②错误； 设小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系为， 把和代入可得：， 解得：， ∴小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：，故③正确； 当时，甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，由题意可得：， 解得：， ∴； 当时，甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，由题意可得：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④错误； 故其中正确的有①③，共个． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 8. 已知，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据0的算术平方根是0，得到，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9. 《义务教育课程标准》（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生有______名． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数的计算，掌握频数的计算公式是解题的关键． 根据频率与频数的关系，频数等于频率乘数据总数，直接计算即可． 【详解】解：该班学会炒菜的学生频数为：． 故答案为：． 10. 小亮用天平称得一个罐头的质量为，将近似数精确到是__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． 精确到即保留一位小数，根据百分位数字四舍五入即可解答． 【详解】解：将精确到，即保留一位小数．十分位上的数字为0，百分位上的数字为6，由于，向十分位进位，十分位由0变为1，因此结果为． 故答案为：． 11. 已知一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平行关系确定的值，再代入已知点坐标求出的值，即可得到该一次函数的解析式． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行， ∴， ∵一次函数经过点， ∴将点代入，得， 解得， ∴该一次函数的解析式为． 12. 已知关于的方程组的解是，则一次函数，的图象交点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线的交点坐标与二元一次方程组的解，先由方程组的解得出 ，然后得出两直线的解析式，联立直线解析式求交点坐标即可． 【详解】解：把代入方程组， 得， 即， 把代入，得， 把代入，得， 联立， 解得， 则一次函数，的图象交点的坐标是． 故答案为： 13. 等腰中，，，以C为圆心，为半径作圆弧与的边交于点D．则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形内角和定理，由等边对等角和三角形内角和定理得到，再分点D在上和点D在上两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，当与交于D时， ∵， ∴， 如图，当与交于D时， ∵， ∴； ∴的度数为或． 故答案为：或． 14. 如图，已知直线与轴、轴分别交于两点，在轴正半轴上求一点，使为等腰三角形．则点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形定义，勾股定理，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用勾股定理求出长，利用等腰三角形可得点C坐标． 【详解】解：分两种情况讨论， ①当点C在点A右侧的x轴上时， 直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，；当时， ， ， ，且点C在x轴正半轴， ， ； ②当点C在点A的左侧时，如图作线段的垂直平分线交x轴于点C，设， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 综上分析，符合题意的点或 ， 故答案为：或． 15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，M为线段上的动点（不含端点），P为x轴上的一个动点，连接，以为边向右作等边 则 的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，确定点N在经过点C且与平行的直线上运动是解题关键． 在上截取，连接，根据题意得出，，垂直平分，再由等边三角形的判定和性质得出，利用全等三角形的判定和性质得出，确定点N在经过点C且与平行的直线上运动，作交的延长线于点D，则，结合图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：上截取，连接，如图所示： ∵， ∴，，垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵等边 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N在经过点C且与平行的直线上运动， 作交的延长线于点D，则， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（本大题共11小题，共112分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （1）计算： （2）解方程 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，利用平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用绝对值的意义，立方根，算术平方根的定义，有理数的乘方分别化简计算即可； （2）利用平方根解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， ， 解得：或， ∴原方程的解为：或． 17. 如图，是等边三角形，若，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，证明三角形全等是解题关键．由等边三角形的性质得出，再证明得出，根据三角形的内角和定理可得，等量代换即可求出． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 18. 如图，已知平面直角坐标系． （1）作出关于轴对称的，并写出，，的坐标； （2）求的面积； （3）在轴上画出点，使最小． 【答案】（1）见解析， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）先作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出面积； （3）作点关于轴的对称点，则，由两点之间线段最短即可确定此时点即为所求． 【小问1详解】 解：即为所作： 则； 【小问2详解】 解：的面积 ； 【小问3详解】 解：作点关于轴对称点，连接与轴交点即为点． 19. 2025年是国务院印发的《全民健身计划》的收官之年．今年的宿迁马拉松比赛于3月30日7：30成功举行，参赛选手最小的5岁，最大的71岁，这与《全民健身计划》的主旨高度契合．赛后，小记者李同学随机采访了若干名参赛选手，绘制了如下图表： 2025年宿迁马拉松参赛人员年龄统计表 组别 年龄/岁 频数 A 31岁以下 25 B C 22 D 50岁以上 根据以上信息回答下列问题： （1）小记者共调查了____位参赛选手，表中____； （2）扇形统计图中“C”部分的圆心角度数为____度； （3）请估计30000名参赛选手中年龄在岁年龄段的人数有多少人？ 【答案】（1）100；15 （2） （3）18000人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，频数分布表，用样本估计总体等等，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）用A组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，进而可求出b的值； （2）用360度乘以样本中C组别的人数占比即可得到答案； （3）用30000乘以样本中参赛选手中年龄在岁年龄段的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：位， ∴小记者共调查了100位参赛选手， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴扇形统计图中“C”部分的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：人， ∴估计30000名参赛选手中年龄在岁年龄段的人数有18000人． 20. 下图为某小区绿化带示意图，已知，米，米，米，米． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若铺设一平米草坪费用元，请问将该绿化带铺满草坪需要多少钱？ 【答案】（1）直角三角形，理由见解析 （2）3600元 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形； （2）根据三角形的面积公式求得面积，进而即可求解． 【小问1详解】 直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 为直角三角形且 【小问2详解】 总费用为：元 答：将该绿化带铺满草坪需要元 21. 如图，在中，平分，于D，于E，． （1）求证：； （2）求证：点C在的垂直平分线上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）在上取点F，使，连接、，先证明，可得，再证明，即可得结论． 【小问1详解】 证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：在上取点F，使，连接、，如图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点C在的垂直平分线上． 22. 某校为学生提供早餐和午餐服务． （1）学校提供的午餐有甲、乙两种套餐，两种套餐的组成如下： 套餐 主食（克） 肉类（克） 其它（克） 甲 150 85 165 乙 180 60 160 为了膳食平衡，需合理控制主食摄入量．如果在一周里，学生午餐主食摄入总量不宜超过820克，那么学生需要在一周里最多几天选择乙套餐?（说明：一周按5天计算） （2）学校提供的一份早餐包括一份综合食品、一份牛奶和一个鸡蛋．已知一份牛奶比一个鸡蛋重量的2倍少10克，一份牛奶和一份综合食品重量的和是一份鸡蛋重量的4倍．其中鸡蛋的蛋白质含量占，综合食品和牛奶每100克含蛋白质的重量如下表所示： 种类 综合食品 牛奶 每100克含蛋白质的重量（克） 9 3 若早餐的蛋白质总含量为，请求一份早餐中综合食品、牛奶和鸡蛋的重量． 【答案】（1）学生需要在一周里最多有天选择乙套餐 （2）一份早餐中综合食品、牛奶和鸡蛋的重量分别为、和 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． （1）设选择B套餐m天，则A套餐天，根据题意列出一元一次不等式求解即可； （2）设一个鸡蛋的重量是，则一份牛奶的重量为，一份综合食品的重量是，根据早餐的蛋白质总含量为，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设选择B套餐m天，则A套餐天， 根据题意可得， ， 解得， ∵m为正整数， ∴学生需要在一周里最多有天选择乙套餐； 【小问2详解】 解：设一个鸡蛋的重量是，则一份牛奶的重量为，一份综合食品的重量是， 由题意得， 解得：， ， ， 答：一份早餐中综合食品、牛奶和鸡蛋的重量分别为、和． 23. 直线水路上有、两个港口，相距．甲船从港口行驶到港口后，立即从港口再行驶回港口，全程保持匀速行驶，速度为．乙船从港口沿着直线水路行驶到港口，速度为，甲船出发了1小时后，乙船出发．设甲船出发后，过了小时，两船之间相距． （1）画出关于的函数的图象．（画出简图，标出关键点的坐标） （2）甲船出发后，过了多少小时，两船之间相距．直接写出结论． 【答案】（1）见详解 （2）当或或或或时，两船之间相距 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意分时间段分别分析画出图象即可． （2）根据（1）中图象和函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，甲行驶了，乙不动，此时， 故当时，； 甲船到达港口还需， 甲船与乙船第一次相遇时需用时， 即，甲船与乙船第一次相遇，此时，甲船行驶的路程为，距离港口，乙船行驶的路程， 时，甲船到达港口，此时， 故当时，； 当时，； ，，甲船到达港口，此时； ，即，乙船到达港口，此时； 设甲船与乙船第二次相遇时，甲船从港口出发， 则，解得：， 即，甲船与乙船第二次相遇， 故当时，； 当时，； 当时，； 作图如下：D点表示乙船开始行驶，E点表示甲船与乙船第一次相遇，F点表示甲船到达港口，K点表示甲船与乙船第二次相遇，G点表示甲船到达港口，H点表示乙船到达港口． 【小问2详解】 解：当两船之间相距时，， 令，解得：； 令，解得：； 令，解得：； 令，解得：； 令，解得：； 综上，当或或或或时，两船之间相距． 24. 如图，直线是一次函数的图象，它与轴交于点．直线经过点，且与直线交于点． （1）求直线对应的函数表达式； （2）设点是轴负半轴上的一个动点，连接．若与的面积相等，求符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数与几何，熟练求得一次函数解析式是解题的关键． （1）求得点坐标，再利用待定系数法即可解答； （2）设，可得，，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：把代入， 可得， ， 设直线的函数表达式为， 把，代入可得 ，解得， 所以直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图， 令，可得， ， 令，可得，解得， ， ∴， 设，则， ，， ， 解得， 故． 25. 函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． （1）关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； （2）当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； （3）当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 【答案】（1）①；2；2；②点P坐标为或或； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标； ②先求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可； （2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围即可； （3）先求出点E、A的坐标，分为斜边和为斜边两种情况，根据勾股定理列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，令，得， 解得， ∴； 当时，令，得， 解得， ∴； 当时，， ∴． ②∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，且时，令，即， 解得， 此时与点C重合，故舍去； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 综上所述，点P坐标为或或． 【小问2详解】 解：∵关于m的对称函数的解析式为， ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内， ∴； ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内． ∴； ∴， ∴直线分别与直线和各有一个交点， 对于直线与直线， 联立得， 解得， 对于直线与直线， 联立得， 解得， ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线与直线有交点， ∴， 又∵，， ∴， ∴m的取值范围是； 【小问3详解】 解：∵点E的横坐标为m， ∴点E在的图象上， 把代入得， ∴， 把代入得， 解得， ∴， ∵点A、E、F组成直角三角形，为直角边时，分两种情况讨论： 情况一：为斜边时，则， ∵点F的坐标为， ∴， 解得， 情况二：为斜边时，则， ∴， 解得：m， 综上所述，是以为直角边的直角三角形时，m的值为或． 26. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”. 如：，，，因此，，这三个数都是神秘数. (1)是神秘数吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为和(其中取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗？为什么？ (3)①若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数. ②在①的条件下，面积是否为神秘数？为什么？ 【答案】（1）是，见详解；（2）是，见详解；（3）①见详解，②是，见详解 【解析】 【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28这个数写成两个连续偶数的平方差即可判断； （2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可； （3）①运用周长公式进行计算，进而判断即可，②运用面积公式进行计算，进而判断即可． 【详解】解：（1）28是“神秘数”，理由如下： ∵28=82-62，能表示为两个连续偶数的平方差， ∴28是“神秘数”； （2）“神秘数”是4的倍数．理由如下： ∵（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1）， ∴“神秘数”是4的倍数； （3）①设两个连续的偶数为：2k，2k+2(其中取非负整数)， 则周长=， 而由（2）知“神秘数”可表示为4（2k+1）， ∴长方形相邻两边长为两个连续偶数，则其周长一定为神秘数． ②长方形的面积=， ∵取非负整数， ∴在①的条件下，面积是神秘数. 【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式与长方形的周长，面积公式是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $