精品解析：2021年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校九年级分流考试数学试卷

2021年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校九年级分流考试 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 实数中无理数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列平面图形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 截止到2021年1月2日，美国新冠患者累计确诊约20500000人，则该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 同时掷两个质地均匀的骰子（骰子有6个面，分别标有数字1，2，3，4，5，6），掷得的点数之积是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，下列解析式能表示图中变量之间关系的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是，则当水面宽为时，水面上升了（　　） A. B. 1 C. D. 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在公元年撰写的《九章算术》中提出了一种估计的方法，也就是“割圆术”：用圆内接正边形的周长估计圆的周长进而估计的近似值，且越大时圆内接正边形的周长越接近圆的周长，估计值越接近．当时，如图，用这种方法估计此时的近似值为（ ） A. 3 B. C. D. 9. “深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处停止．已知，，记点M到点C的距离平方为y，运动时间为x，则能准确反映y与x之间函数关系的图象为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，延长至M，使，连接，点E、F分别在边、上运动（不与端点重合），且，连接、，分别交于点H、G，连接，以下结论正确的个数为（ ） ①； ②； ③； ④连接，则可能平分； ⑤点H到直线最小距离为． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中的横线上） 11. 计算：________． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 13. 如图，一个圆将平面分成2部分，两个圆将平面最多分成4个部分，三个圆将平面最多分成8个部分，则四个圆将平面最多分成________个部分，五个圆将平面最多分成________个部分． 14. 如图，已知点A、B、C、D在圆O上，，，，则________． 15. 关于x的不等式组恰有三个整数解，则符合条件的所有整数a的和为________． 16. 如图，已知的面积为2，点D、E分别在边上，满足，，则的面积为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，M是以为圆心以1为半径的圆上动点，连接，若线段的中点到原点O的距离最小值是1，则实数的值为________． 18. 若函数的图象与一次函数的图象恰有两个不同的公共点，则实数的取值范围是________． 三、解答题（共8小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 先化简再求值：，其中． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形． 求证：四边形ADCE是矩形 21. 一超市预测某种品牌瓶装食品有发展前途，先用1600元购进一批这种食品，上市后供不应求，于是又用4800元购进第二批这种食品．由于第二次购买数量较大，厂家给出每瓶进价降低2元的优惠，结果第二批所购食品的数量是第一批的4倍． （1）求第一批食品每瓶进价是多少元？ （2）已知两次进货附加费由两部分构成：①固定的车费50元/次；②搬运费为10元/百瓶，其他费用忽略不计．若两次购进的食品按相同价格销售，当两批食品售完后，为实现净利润不少于2400元，那么每瓶的销售价格至少是多少元？ 22. 新冠疫情防控期间，东北育才学校高中部响应教育部“停课不停学”的号召，开展线上教学，经过三个月的线上授课后，在六月初复学．为了解学生线上与线下不同阶段学习效果，对高二学生进行两次跟踪标准化测试（其中数学满分150分，得分均为整数），针对线上学习效果评估的测试在复学初进行；针对线下学习效果评估的测试在复学两个月后进行．随机抽取部分学生把他们两次测试的数学成绩分组表分别制成频数分布直方图（图1）和扇形统计图（图2），根据图中信息，回答下列问题： 两组测试成绩分组表 组别 测试成绩为x A B C D E F G （1）请选择一个角度对两次成绩做出简要的对比分析； （2）在第二次测试中，分数高于125分的概率至少是___，至多是___． （3）请估计在第二次测试中全体高二300名学生数学成绩优秀（120分及以上）的人数． 23. 如图，由正方形顶点A作一条直线分别交、、的延长线于点E、F、G，且的外接圆记为． （1）求证：与相切； （2）若，，求的半径． 24. 如图，一次函数与正比例函数的图象和x轴分别交于点A与点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作轴于点C，过点B作直线轴，动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路线向点A运动，同时直线l从点B的位置出发，以相同速度沿x轴负方向向左平移，在平移过程中直线l交x轴于点R，交线段或者线段于点Q，当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动，设点P运动时间为t秒． ①当点P在线段上运动时，直接用含t的代数式表示的面积，并写出t的范围； ②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，说明理由． 25. 如图1，平行四边形中，于点H，点E是边上的点，作直线交边于点F，，，，． （1）在图1中，作于点G且交于点M，将沿方向平移得到，则四边形的周长为____； （2）如图2，将绕点H逆时针旋转，边对应线段分别交线段、于点T、O，问的值是否为定值？若为定值，求的值；若不是定值，请求出的最大值； （3）如图3，延长、交于点Q，过点Q作，点P在直线上，过点P作并与交于点K，将沿直线翻折，使点K对应的恰好落在平行四边形边所在直线上． ①点P在延长线上，当点恰好落在直线上时，求的长； ②当点P在直线上运动时，恰好落在直线或者直线上时，除了①的结果，直接写出长的其它取值． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，抛物线的对称轴绕其与x轴交点M顺时针旋转得到直线l，点A关于l的对称点为B，点C为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为线段下方抛物线上任意一点，点Q为y轴上一点，当面积最大时，求的最小值； （3）线段与关于y轴对称，点E是抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点D，使得以点D、E、C、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校九年级分流考试 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 实数中无理数的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①含π的数；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数． 【详解】解：π是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 是开方开不尽的数，是无理数，无理数与有理数的差仍是无理数，无理数与非零有理数的商仍是无理数，因此是无理数； 综上可知，实数中无理数的个数为2． 2. 下列平面图形中，是中心对称图形，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 3. 截止到2021年1月2日，美国新冠患者累计确诊约20500000人，则该数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：. 4. 同时掷两个质地均匀的骰子（骰子有6个面，分别标有数字1，2，3，4，5，6），掷得的点数之积是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定所有等可能结果总数，再利用对立事件简化计算符合条件的结果数，最后代入概率公式求解即可． 【详解】解：∵同时掷两个质地均匀的骰子，每个骰子都有6种可能结果 ∴所有等可能的结果总数为 种 ∵点数之积是3的倍数，则至少有一个骰子掷出的点数是3的倍数（即3或6），1~6中不是3的倍数的点数共4个， ∴两个骰子点数都不是3的倍数的结果数为种， ∴点数之积是3的倍数的结果数为 种， ∴掷得的点数之积是3的倍数的概率为． 5. 如图，为某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得此几何体为半圆柱，半圆柱的体积底面积高，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：观察三视图发现该几何体为半圆柱，其底面直径为2，高为2， 故该几何体的体积为． 6. 如图，下列解析式能表示图中变量之间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断． 【详解】解：根据反比例函数的图象可得： 第一象限所对应的关系式为：，第四象限所对应的关系式为：， 与的关系式为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象及绝对值的定义，解题关键是熟悉反比例函数的图象． 7. 如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是时，拱顶到水面的距离是，则当水面宽为时，水面上升了（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是首先建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，进而求出解析式，即可得出水面上升的高度． 【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， 由已知抛物线过点，则， 解得：， 抛物线解析式为：， 当，则， 则， 水面上升了：． 故选：D． 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在公元年撰写的《九章算术》中提出了一种估计的方法，也就是“割圆术”：用圆内接正边形的周长估计圆的周长进而估计的近似值，且越大时圆内接正边形的周长越接近圆的周长，估计值越接近．当时，如图，用这种方法估计此时的近似值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，根据正六边形的性质得到，得到是等边三角形，得到，根据题意计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵六边形是正六边形， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴正六边形的周长：圆的直径， 故选：A． 9. “深究而悉讨，慎思而明辨”，育才学子爱钻研：如图，将直角三角板竖直立于水平桌面上，动点M从点A出发沿路径在三角板边缘匀速运动，到达点C处停止．已知，，记点M到点C的距离平方为y，运动时间为x，则能准确反映y与x之间函数关系的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分别讨论M在AB和在BC上时M到点C的距离平方为y关于运动时间为x的增大而变化的情况即可判断． 【分析】解：当M在上时，点M到点C的距离随运动时间为x的增大先变小再变大， 当M在上时，点M到点C的距离随运动时间为x的增大而变小， ∵ y等于点M到点C的距离平方， ∴ y是关于x的二次函数，图象为抛物线的一部分， A选项符合题意 10. 如图，在正方形中，，延长至M，使，连接，点E、F分别在边、上运动（不与端点重合），且，连接、，分别交于点H、G，连接，以下结论正确的个数为（ ） ①； ②； ③； ④连接，则可能平分； ⑤点H到直线最小距离为． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】①正确．首先证明，再利用三边关系证明； ②正确．利用相似三角形的性质证明即可； ③正确．根据三角形的三条高交于一点证明即可； ④正确．利用四点共圆，当时，满足条件； ⑤正确．设的中点为O，过点O作于点J．利用相似三角形的性质求出，由，推出点H在为直径的圆上运动，推出当点H落在上时，点H到的距离最小． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴，故①正确． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， 在和 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确． 连接交于点K，同法可证， ∵，都是的高， ∴，故③正确． 连接. ∵， ∴D，E，H，F四点共圆， ∴当时，，故④正确． 设的中点为O，过点O作于点J． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵,， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点H在为直径的圆上运动， 当点H落在上时，点H到的距离最小，最小距离，故⑤正确， 故选：D． 二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中的横线上） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则和负整数指数幂运算法则，即可求解. 【详解】解：原式 . 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数为非负数，以及分式的分母不为0，进行求解即可. 【详解】解：由题意，且， 解得且. 13. 如图，一个圆将平面分成2部分，两个圆将平面最多分成4个部分，三个圆将平面最多分成8个部分，则四个圆将平面最多分成________个部分，五个圆将平面最多分成________个部分． 【答案】 ①. 14 ②. 22 【解析】 【分析】根据一个圆将平面分成2部分，两个圆将平面最多分成4个部分，三个圆将平面最多分成8个部分，找出规律∶n个圆把平面最多分成个部分，即可求解． 【详解】解：在同一个平面内，1个圆把平面分成2部分，而， 2个圆把平面最多分成4个部分，而； 3个圆把平面最多分成8个部分，而； … 那么n个圆把平面最多分成个部分． 所以，4个圆将平面最多分成个部分， 5个圆最多把平面分成个部分． 14. 如图，已知点A、B、C、D在圆O上，，，，则________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】先求出∠ADB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠AOB的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 15. 关于x的不等式组恰有三个整数解，则符合条件的所有整数a的和为________． 【答案】1 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式得到解集，再根据恰有三个整数解确定参数的取值范围，找出范围内的整数，最后计算它们的和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有三个整数解，小于的连续三个整数为， ∴不等式组的三个整数解为， ∴， ∴ ∴符合条件的整数为， ∴所有整数的和为 16. 如图，已知的面积为2，点D、E分别在边上，满足，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据的面积为2，得到由于，得到，设，则，列方程组即可得到结论. 【详解】解：∵的面积2，， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， 解得， ∴的面积为 故答案为： 【点睛】三角形的高相等，面积的比等于底的比． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，M是以为圆心以1为半径的圆上动点，连接，若线段的中点到原点O的距离最小值是1，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得A、B的坐标，根据点N为的中点，点O为的中点，则为的中位线，求出的最小值，从而求得，利用勾股定理得到关于的方程，解方程即可求得的值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点， ∴， ∵点N为的中点，点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵线段的中点到原点O的距离最小值是1， ∴最小值为2， ∵， ∴当的延长线过圆心C时，最小为2， ∴此时，即， 整理得， ∴． 【点睛】将的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 18. 若函数的图象与一次函数的图象恰有两个不同的公共点，则实数的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的判别式等知识，解题的关键理解题意，学会寻找特殊位置解决问题． 画出两个函数的图象，然后结合图象得到k的取值范围． 【详解】解：一次函数的图象与函数的图象如图， 令， 整理得， 当直线与函数有一个交点时， 则， 解得， 同理，当直线与函数有一个交点时， 则， 解得， 观察图象可知，满足条件的k的值为：或． 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值求出x，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点．四边形ABDE是平行四边形． 求证：四边形ADCE是矩形 【答案】 证明：∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD． ∵D为BC的中点， ∴CD＝DB． ∴CD∥AE CD＝AE， ∴四边形ADCE是平行四边形． ∵AB＝AC， ∴AC＝DE． ∴平行四边形ADCE是矩形． 【解析】 【详解】略 21. 一超市预测某种品牌瓶装食品有发展前途，先用1600元购进一批这种食品，上市后供不应求，于是又用4800元购进第二批这种食品．由于第二次购买数量较大，厂家给出每瓶进价降低2元的优惠，结果第二批所购食品的数量是第一批的4倍． （1）求第一批食品每瓶进价是多少元？ （2）已知两次进货附加费由两部分构成：①固定的车费50元/次；②搬运费为10元/百瓶，其他费用忽略不计．若两次购进的食品按相同价格销售，当两批食品售完后，为实现净利润不少于2400元，那么每瓶的销售价格至少是多少元？ 【答案】（1）第一批食品每瓶进价是8元 （2）每瓶的销售价格至少是9元 【解析】 【分析】（1）设第一批食品每瓶进价是x元，则第二批食品每瓶进价是元，利用数量总价单价，结合第二批所购食品的数量是第一批的4倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）利用数量总价单价，可分别求出第一、二批购进食品的数量，设每瓶的销售价格为y元，利用净利润销售单价×销售数量（进货总价固定车费搬运费），结合净利润不少于2400元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设第一批食品每瓶进价是x元，则第二批食品每瓶进价是元， 依题意得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第一批食品每瓶进价是8元； 【小问2详解】 解：第一批购进瓶装食品（瓶）， 第二批购进瓶装食品（瓶）． 设每瓶的销售价格为y元， 依题意得：， 解得：． 答：每瓶的销售价格至少是9元． 22. 新冠疫情防控期间，东北育才学校高中部响应教育部“停课不停学”的号召，开展线上教学，经过三个月的线上授课后，在六月初复学．为了解学生线上与线下不同阶段学习效果，对高二学生进行两次跟踪标准化测试（其中数学满分150分，得分均为整数），针对线上学习效果评估的测试在复学初进行；针对线下学习效果评估的测试在复学两个月后进行．随机抽取部分学生把他们两次测试的数学成绩分组表分别制成频数分布直方图（图1）和扇形统计图（图2），根据图中信息，回答下列问题： 两组测试成绩分组表 组别 测试成绩为x A B C D E F G （1）请选择一个角度对两次成绩做出简要的对比分析； （2）在第二次测试中，分数高于125分的概率至少是___，至多是___． （3）请估计在第二次测试中全体高二300名学生数学成绩优秀（120分及以上）的人数． 【答案】（1）第二次测试中，F组和E组的人数明显增多； （2），； （3）在第二次测试中全体高二300名学生数学成绩优秀（120分及以上）的人数有210人 【解析】 【分析】（1）根据两次成绩的变化可得结论； （2）计算出F组所占的百分比可得答案； （3）求出“优秀”所占得百分比，再根据总人数可得答案． 【小问1详解】 解：第一次测试E组10人，F组4人， 抽取学生总人数为（人）， 第二次测试E组人数为（人）， 第二次测试F组占百分比为 ， 第二次测试F组人数为（人）， ∵，， ∴第二次测试中，F组和E组的人数明显增多； 【小问2详解】 解：由（1）得，F组的百分比为， ∴分数高于125分的概率至少是 ， 分数高于125分的概率至多是 ． 故答案为：，． 【小问3详解】 解：（人）． 答：在第二次测试中全体高二300名学生数学成绩优秀（120分及以上）的人数约有210人． 23. 如图，由正方形顶点A作一条直线分别交、、的延长线于点E、F、G，且的外接圆记为． （1）求证：与相切； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 四边形是正方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ， 是的直径，点O在上， ， ， ，则， 经过的半径的外端， 与相切； （2） 【解析】 【分析】此题重点考查圆的切线的判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、锐角三角函数、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）连接，先证明，得，进而证明，再由证明是的直径，点O在上，则，所以，则，即可证明与相切； （2）由得，则，，即可由勾股定理求出的长，再求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 的半径长为． 24. 如图，一次函数与正比例函数的图象和x轴分别交于点A与点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）过点A作轴于点C，过点B作直线轴，动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路线向点A运动，同时直线l从点B的位置出发，以相同速度沿x轴负方向向左平移，在平移过程中直线l交x轴于点R，交线段或者线段于点Q，当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动，设点P运动时间为t秒． ①当点P在线段上运动时，直接用含t的代数式表示的面积，并写出t的范围； ②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为 （2）①②存在，t的值为2或5或 【解析】 【分析】（1）联立方程组可求出点A的坐标，对于直线，令，即可求出点B的坐标； （2）①当点P在线段上运动时，可知，由（1）可得，用含t的代数式分别表示出，，，并利用三角形面积公式和梯形面积公式分别表示，，，则，即可表示； ②分别讨论当点P运动在线段和线段上时，利用直角三角形的性质和三角形相似的性质，列方程求解． 【小问1详解】 解∶∵一次函数与正比例函数的图象交于点A， ∴解方程组得， ∴点A的坐标为． ∵点B是直线与x轴交点， ∴令，得，解得， ∴点B的坐标为． 【小问2详解】 解∶①∵轴， ∴， ∴，． 当点P在线段上运动时，，，， ∵， ∴， ∴， ，， ∴． ②存在． 当时，只能，即， 设直线与y轴交于点D， 把代入直线，得， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即，解得． 当时， （i）如图，当， ∵，， ∴，解得． （ii）如图，当，， 设直线l交于点K，即， 则， ． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，解得． 综上所述：t的值为2或5或． 25. 如图1，平行四边形中，于点H，点E是边上的点，作直线交边于点F，，，，． （1）在图1中，作于点G且交于点M，将沿方向平移得到，则四边形的周长为____； （2）如图2，将绕点H逆时针旋转，边对应线段分别交线段、于点T、O，问的值是否为定值？若为定值，求的值；若不是定值，请求出的最大值； （3）如图3，延长、交于点Q，过点Q作，点P在直线上，过点P作并与交于点K，将沿直线翻折，使点K对应的恰好落在平行四边形边所在直线上． ①点P在延长线上，当点恰好落在直线上时，求的长； ②当点P在直线上运动时，恰好落在直线或者直线上时，除了①的结果，直接写出长的其它取值． 【答案】（1） （2）有最大值，且最大值为 （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）先计算的长再证明四边形是平行四边形，从而得四边形的周长； （2）证明，可得的值，配方后可得结论； （3）①如图3，作辅助线构建相似三角形，证明，计算和的长，根据线段的差可得结论； ②存在三种情况：如图4，在边上时，此时与E重合；如图5，P在的延长线上，在边上；如图6，P在的延长线上，在边上时，此时与E重合，分别计算的长即可． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由平移得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的周长， 故答案为：； 【小问2详解】 解：有最大值，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； 【小问3详解】 解：①如图3，点P在的延长线上，过点作于L，交于O，则， 由（1）可得，， 中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ②存在三种情况： 如图4，在边上时，此时与E重合，， ∴； 如图5，P在的延长线上，在边上，过点作于L，交于O，则， 由①同理得：，， ∴； 如图6，P在的延长线上，在边上时，此时与E重合，， ∴； 综上，除了①的结果，长为或． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定，三角函数的定义（如果没学三角函数可利用含的直角三角形的性质和勾股定理），平行四边形的性质，折叠的性质，二次函数的最值，平移的性质等知识，有难度，关键是根据相似三角形的性质和平移的性质解答，注意（3）中的②分三种情况分析． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，抛物线的对称轴绕其与x轴交点M顺时针旋转得到直线l，点A关于l的对称点为B，点C为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为线段下方抛物线上任意一点，点Q为y轴上一点，当面积最大时，求的最小值； （3）线段与关于y轴对称，点E是抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点D，使得以点D、E、C、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点D的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）把点和点代入抛物线，求解即可； （2）先根据对称性计算点B的坐标，可得的解析式，设点P的坐标为，则，计算的面积并确定其最大值时点P的坐标，通过画图可得的最小值，最后根据两点的距离公式可得结论； （3）存在三种情况：①如图2，四边形为菱形，②如图3，四边形是菱形，③如图4，四边形是菱形，根据菱形的性质边长相等列等式可得结论． 【小问1详解】 解：把点和点代入抛物线中得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图1，连接 ∵， ∴对称轴是直线， ∴直线l的解析式为：， 设， ∵A与B关于直线l对称， ∴， ∴ 得， 即， 将代入得， 解得：， ∴， 即（舍），， ∴， 过点P作轴，交于H， ∵的解析式为： 设点P的坐标为，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，此时； 在第四象限作，过点P作于F，交y轴于Q，过点F作轴，过点P作于D，则和是等腰直角三角形， 则的最小值， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是； 【小问3详解】 解：存在三种情况： ∵线段与关于y轴对称，， ∴， ①如图2，四边形为菱形， ∴轴， ∵， ∴， ∴； ②如图3，四边形是菱形， ∵，对称轴为直线， ∴； ③如图4，四边形是菱形， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，点D的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $