专题09一次函数概念.表示法与基础应用同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题09 一次函数概念.表示法与基础应用同步讲义 【题型01 函数的概念】...................................................4 【题型02 函数的解析式】.................................................4 【题型03 用表格表示变量间的关系】.......................................5 【题型04 用关系式表示变量间的关系】.....................................6 【题型05 用图象表示变量间的关系】.......................................6 【题型06 自变量的取值范围】.............................................8 【题型07 求自变量的值或函数值】.........................................8 【题型08 函数图象的识别】...............................................9 【题型09 从函数图象中获取信息】........................................10 【题型10 正比例函数的定义】............................................12 【题型11 识别一次函数】................................................12 【题型12 由一次函数的定义求参数】......................................12 【题型13 求一次函数自变量或函数值】....................................13 【题型14 列一次函数解析式并求值】......................................13 【解答题5题】..........................................................14 ★知识梳理 知识点01:函数的概念和表示法（核心知识点） 1. 函数的定义 在一个变化过程中，有两个变量 x、y，如果对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就说： x 是自变量 y 是 x 的函数 判断是不是函数：一个 x 只能对应一个 y。 2. 自变量取值范围（必考） (1)整式：全体实数 (2)分式：分母 ≠ 0 (3)二次根式：被开方数 ≥ 0 (4)实际问题：符合实际意义（如长度、人数≥0） 3. 函数的三种表示法 解析法：用式子表示，如 y=2x+1 优点：准确、便于计算 列表法：表格列出x 、y 对应值 优点：直观、好找对应值 图像法：在平面直角坐标系中画图 优点：直观看出变化趋势 4. 函数值 给 x 一个值，代入解析式算出的 y 就是函数值。 知识点02:一次函数（核心知识点） 1. 一次函数定义 形如：y=kx+b k、b 为常数，k0 2.正比例函数 在 y=kx+b 中，若 b=0，解析式变为： y=kx(k0)叫做正比例函数。 左图一次函数 右图正比例函数 关系： 正比例函数 一定是 一次函数； 一次函数 不一定是 正比例函数（只有 b=0 才是）。 3. 正比例函数特殊性质 y=kx (k0) 图像一定过原点 (0,0) k>0：过一、三象限 k<0：过二、四象限 4. 求一次函数解析式（待定系数法，必考步骤） (1)设：y=kx+b (2)代：代入两点坐标 (x1​,y1​)、(x2​,y2​) (3)解：列方程组求 、 (4)写：写出解析式 【题型1.函数的概念】 【典例】下表反映了某一水库储水量（单位：万立方米）与水深（单位：米）的关系，我们可以把________看成是________的函数． 20 25 30 50 1200 3200 53000 250000 【跟踪专练1】下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列图象中，不能表示是的函数的是_____．（填序号） 【跟踪专练3】下列情景中，可以表示y是x的函数的是（   ） ①某天的气温与时间x（时）的关系． ②正方形的面积与边长的关系． ③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【题型2.函数的解析式】 【典例】一辆汽车以的速度行驶，设行驶的路程为，行 驶 的 时 间 为，则s与t的关系式为__________． 【跟踪专练1】“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则距离地面高千米处的温度为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】刘老师每天从家去学校上班行走的路程为1200米，某天他从家去学校上班时以每分钟40米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟50米的速度行走完了剩下的路程，那么刘老师距离学校的路程（米）与他行走的时间（分）之间的函数关系式为______． 【跟踪专练3】4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y（元）与学生人数x（人）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【题型3.用表格表示变量间的关系】 【典例】如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是________，变量是________． 【跟踪专练1】乐乐在公园的便利店中购买了矿泉水，如图所示的是该便利店购物小票的部分内容，其中的常量为（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和单价 【跟踪专练2】变量x，y的一些对应值如表： 0 1 2 3 0 1 8 27 根据表格中的数据规律，当时，y的值是______． 【跟踪专练3】嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【题型4.用关系式表示变量间的关系】 【典例】[跨学科试题·物理]一物体自高处自由落下，其运动的距离与它下落的时间的关系式是（其中g取），其中变量是______，常量是______． 【跟踪专练1】春游时，小明带了50元去买单价为6元的烤肠，则他所花的钱（元）与他买的烤肠的数量（根）之间的关系式是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式为______，其中常量是______，变量是______． 【跟踪专练3】某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数解析式近似为（  ） 降雨强度 4 6 8 10 12 14 产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 【题型5.用图象表示变量间的关系】 【典例】如图描述的是大部分男子身高与所穿运动鞋的鞋码之间的关系，根据该趋势图估计身高为的男子所穿的鞋码大致是_______码． 【跟踪专练1】小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系，则小明在体育馆锻炼的时间为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【跟踪专练3】某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B． B． C． D． 【题型6.自变量的取值范围】 【典例】若函数在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是_____． 【跟踪专练1】函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】函数中，自变量的取值范围是___________． 【跟踪专练3】函数 的定义域是（　　） A．且 B． C．且 D． 【题型7.求自变量的值或函数值】 【典例】[跨学科试题·物理]铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为，当时，______g． 【跟踪专练1】当时，的值为（     ） A． B． C．6 D．1 【跟踪专练2】课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则______． 【跟踪专练3】对于实数、，定义一种运算“”为：，在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【题型8.函数图象的识别】 【典例】如图①，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，下方实心圆柱的底面积为，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示，则图中的值为______．    【跟踪专练1】下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【跟踪专练3】甲、乙两人准备在一段长为的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别是、，起跑前乙在起点，甲在乙前面处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到终点的过程中，甲、乙两人之间的距离与时间的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【题型9.从函数图象中获取信息】 【典例】潮汐图能精准预判潮高变化，帮助港口划定“安全通航时段”．下图是江苏一港口某日的潮汐图，已知当潮水高度不低于时，货轮能够安全进出该港口．若一艘货轮想在白天进入该港口，那么安全通航的时长为_______小时． 【跟踪专练1】小明家，食堂和图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报然后回家．如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系，根据图象，下列说法正确的是（    ） A．小明吃早餐用了 B．小明读报用了 C．小明从食堂到图书馆的速度为 D．小明从图书馆回家的速度为 【跟踪专练2】一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论： ①出发后两人相遇： ②甲每小时比乙多骑行； ③相遇后，乙又骑行了时两人相距． ④A，C两村相距； 其中正确的有_________．（填序号） 【跟踪专练3】年月日，跑遍辽宁·沈阳和河半程马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示，则下列判断错误的是（    ） A．起跑后小时以内，乙在甲的前面 B．起跑后小时，甲和乙相遇 C．乙比甲先到达终点 D．甲、乙都跑了千米 【题型10.正比例函数的定义】 【典例】若关于的函数是正比例函数，则的值为______． 【跟踪专练1】若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若是正比例函数，则的值是______． 【跟踪专练3】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【题型11.识别一次函数】 【典例】给出下列函数：①；②；③；④；⑤中是一次函数的是______． 【跟踪专练1】下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列说法正确的是________（填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 【跟踪专练3】下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【题型12.由一次函数的定义求参数】 【典例】已知是一次函数，则的值为______． 【跟踪专练1】若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知：点是一次函数上的点，则k的取值范围是__________． 【跟踪专练3】已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【题型13.求一次函数自变量或函数值】 【典例】一次函数的图象经过点，则________． 【跟踪专练1】我们研究一次函数的图象和性质，可以利用数形结合的思想直观感知一些函数性质，当自变量从开始逐渐增大时，下列函数中函数值先到达的应该是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知一次函数的图象过点，，一次函数的图象过点，则与的数量关系是________． 【跟踪专练3】根据如图的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 【题型14.列一次函数解析式并求值】 【典例】若点在一次函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【跟踪专练1】鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 【跟踪专练2】“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为_________． 【跟踪专练3】已知直线经过，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．如图1，已知在中，点为边上的一个动点，连接，设． (1)当时，_______，______； (2)填表（补全表格时数值保留一位小数参考数据：；）： 0 1 2 3 4 2 ______ 2 3 ______ (3)试求与之间的函数关系式； (4)在图二中描出该函数的图象并写出该函数的两条性质． 2．将若干张40cm长的长方形纸按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整． 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … (2)设张纸粘合后的纸条长为． ①与之间的关系式为 ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ③若小明需要粘合长为的纸条，则至少需要多少张这样的长方形纸？ 3．为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 4．已知与x成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当时，求y的值； (3)当时，直接写出x的取值范围________． 5．在平面直角坐标系中点，．若，a为常数，且，则称点B为点A的“a级上升点”． 如点为点的“级上升点”． (1)点C为点的“1级上升点”，则点C的坐标为________； (2)若点的“2级上升点”为点Q，且点Q恰好在y关于x的一次函数的图象上，求t的值； (3)若直线上恰有一点的“级上升点”在y关于x的函数的图象上，求n的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一次函数概念.表示法与基础应用同步讲义 【题型01 函数的概念】...................................................4 【题型02 函数的解析式】.................................................5 【题型03 用表格表示变量间的关系】.......................................7 【题型04 用关系式表示变量间的关系】.....................................9 【题型05 用图象表示变量间的关系】......................................11 【题型06 自变量的取值范围】............................................14 【题型07 求自变量的值或函数值】........................................15 【题型08 函数图象的识别】..............................................17 【题型09 从函数图象中获取信息】........................................20 【题型10 正比例函数的定义】............................................23 【题型11 识别一次函数】................................................24 【题型12 由一次函数的定义求参数】......................................26 【题型13 求一次函数自变量或函数值】....................................28 【题型14 列一次函数解析式并求值】......................................30 【解答题5题】..........................................................32 ★知识梳理 知识点01:函数的概念和表示法（核心知识点） 1. 函数的定义 在一个变化过程中，有两个变量 x、y，如果对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就说： x 是自变量 y 是 x 的函数 判断是不是函数：一个 x 只能对应一个 y。 2. 自变量取值范围（必考） (1)整式：全体实数 (2)分式：分母 ≠ 0 (3)二次根式：被开方数 ≥ 0 (4)实际问题：符合实际意义（如长度、人数≥0） 3. 函数的三种表示法 解析法：用式子表示，如 y=2x+1 优点：准确、便于计算 列表法：表格列出x 、y 对应值 优点：直观、好找对应值 图像法：在平面直角坐标系中画图 优点：直观看出变化趋势 4. 函数值 给 x 一个值，代入解析式算出的 y 就是函数值。 知识点02:一次函数（核心知识点） 1. 一次函数定义 形如：y=kx+b k、b 为常数，k0 2.正比例函数 在 y=kx+b 中，若 b=0，解析式变为： y=kx(k0)叫做正比例函数。 左图一次函数 右图正比例函数 关系： 正比例函数 一定是 一次函数； 一次函数 不一定是 正比例函数（只有 b=0 才是）。 3. 正比例函数特殊性质 y=kx (k0) 图像一定过原点 (0,0) k>0：过一、三象限 k<0：过二、四象限 4.如何判断一个函数是一次函数？ 同时满足 3 条： 右边是整式； 化简后 x 的次数是 1； 一次项系数 k0。 5. 求一次函数解析式（待定系数法，必考步骤） (1)设：y=kx+b (2)代：代入两点坐标 (x1​,y1​)、(x2​,y2​) (3)解：列方程组求 、 (4)写：写出解析式 【题型1.函数的概念】 【典例】下表反映了某一水库储水量（单位：万立方米）与水深（单位：米）的关系，我们可以把________看成是________的函数． 20 25 30 50 1200 3200 53000 250000 【答案】 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键；因此此题可根据函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：可以把Q看成是h的函数； 故答案为Q，h． 【跟踪专练1】下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义判断，若对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，否则不是，据此分析即可． 【详解】解：A选项：，符合函数的定义，故不符合题意； B选项：，符合函数的定义，故不符合题意； C选项：，符合函数的定义，故不符合题意； D选项：，当时，对于一个确定的的值，都有两个值与之对应，故y不是x的函数，故符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】下列图象中，不能表示是的函数的是_____．（填序号） 【答案】③④⑤. 【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数．根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，则y叫x的函数，即可得出答案． 【详解】解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义．其余均满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，． 故答案为：③④⑤． 【跟踪专练3】下列情景中，可以表示y是x的函数的是（   ） ①某天的气温与时间x（时）的关系． ②正方形的面积与边长的关系． ③数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查函数的概念，掌握函数和自变量的一一对应关系是解题的关键． ①某天的气温随时间的变化而变化，且每一时刻对应唯一的温度，符合函数的定义；②正方形的面积随边长的变化而变化，且对于边长的每一个值，其面积都有唯一的值与之对应，符合函数的定义；③，即当一个点不与原点重合时，对于x的每一个值，y均有两个值与之对应，且互为相反数，不符合函数的定义． 【详解】解：根据函数的定义，某天的气温与时间x（时）的关系可以表示y是x的函数，故①符合题意； 正方形的面积与边长的关系可以表示y是x的函数，故②符合题意； 数轴上一个点的坐标y与这个点到原点的距离x的关系不能表示y是x的函数，故③不符合题意． 综上，表示y是x的函数的是①②． 故选：A． 【题型2.函数的解析式】 【典例】一辆汽车以的速度行驶，设行驶的路程为，行 驶 的 时 间 为，则s与t的关系式为__________． 【答案】 【分析】此题考查了列函数解析式．根据路程等于速度乘以时间即可得到答案． 【详解】解：∵一辆汽车以的速度行驶，设行驶的路程为，行 驶 的 时 间 为， ∴s与t的关系式为， 故答案为： 【跟踪专练1】“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则距离地面高千米处的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查列函数关系式．某地面温度为，且每升高1千米温度下降，据此列出温度与高度的关系． 【详解】解：∵某地面温度为，且每升高1千米温度下降， ∴距离地面h千米处的温度t为． 故选：C． 【跟踪专练2】刘老师每天从家去学校上班行走的路程为1200米，某天他从家去学校上班时以每分钟40米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟50米的速度行走完了剩下的路程，那么刘老师距离学校的路程（米）与他行走的时间（分）之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查列函数关系式，根据距离学校的路程等于总路程减去已走路程，列出函数关系式即可． 【详解】解：前半程路程为600米，速度为40米/分，用时分钟． 当时，后半程行走时间为分钟，速度为50米/分，已走路程为米； 故； 故答案为：． 【跟踪专练3】4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y（元）与学生人数x（人）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“4名教师”及“成人票每张15元，学生票每张10元”列式，即可求解． 本题考查了实际问题中列函数关系式，解题的关键是：理解题意列出正确的函数关系式． 【详解】解：根据题意列式：， 故选：D． 【题型3.用表格表示变量间的关系】 【典例】如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，则加油过程中的常量是________，变量是________． 【答案】 单价 数量，金额 【分析】本题考查常量、变量的定义，牢记相关的知识点是解题关键． 根据事物变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量求解即可． 【详解】解：加油过程中，单价×数量=总价，此时，单价是常量，数量和金额是变量． 故答案为：单价；数量，金额． 【跟踪专练1】乐乐在公园的便利店中购买了矿泉水，如图所示的是该便利店购物小票的部分内容，其中的常量为（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和单价 【答案】B 【分析】需先明确常量的定义，再判断购物小票中各量是否固定不变，从而选出常量对应的选项． 【详解】解：常量是在变化过程中固定不变的量： A、金额随购买数量变化，是变量，不符合题意； B、单价是每瓶矿泉水的固定价格，是常量，符合题意； C、数量是购买的瓶数，可随购买需求变化，是变量，不符合题意； D、金额是变量，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了常量的概念，掌握常量是在变化过程中固定不变的量是解题的关键． 【跟踪专练2】变量x，y的一些对应值如表： 0 1 2 3 0 1 8 27 根据表格中的数据规律，当时，y的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格中两个变量对应值的变化规律得出答案，发现表格中两个变量对应值的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知：， ∴当时，， 故答案为：． 【跟踪专练3】嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加，水的高度增加，再逐项判断即可． 【详解】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加，水的高度增加， 时间时，水的高度； 当时，； ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 【题型4.用关系式表示变量间的关系】 【典例】[跨学科试题·物理]一物体自高处自由落下，其运动的距离与它下落的时间的关系式是（其中g取），其中变量是______，常量是______． 【答案】 h，t ，g 【分析】在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终保持不变的量称为常量． 【详解】解：物体下落过程中，运动距离随下落时间的变化而变化，因此与是数值发生变化的量，属于变量，和题目给定的是数值固定不变的量，属于常量． 【跟踪专练1】春游时，小明带了50元去买单价为6元的烤肠，则他所花的钱（元）与他买的烤肠的数量（根）之间的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，花的钱数等于单价乘以数量，列式解答即可． 本题考查了正比例关系的应用，熟练掌握比例关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得花的钱数等于单价乘以数量， 故， 故选：A． 【跟踪专练2】将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式为______，其中常量是______，变量是______． 【答案】 ，12 x，y 【详解】解：设x张白纸粘合后的总长度为， ∴， 其中常量是，12，变量是x，y． 【跟踪专练3】某水文局测得一组关于降雨强度和产汇流历时的对应数据如下表（注：产汇流历时是指由降雨到产生径流所经历的时间），根据表中数据，可得关于的函数解析式近似为（  ） 降雨强度 4 6 8 10 12 14 产汇流历时 18.0 12.1 9.0 7.2 6.0 5.1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数的关系式，通过表格中两个变量的对应值的变化关系，发现它们的乘积相等是正确解答的关键．根据表格中两个变量的对应值，探索两个变量的乘积，进而得出两个变量的函数关系式．通过计算降雨强度 I 与产汇流历时 t 的乘积，发现乘积近似为常数72，因此 t 与 I 成反比例关系 【详解】解：由表格数据：时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，； 时 ，． ∵ I 与 t 的乘积近似常数72， ∴ t 与 I 成反比例关系，即， 故选：A． 【题型5.用图象表示变量间的关系】 【典例】如图描述的是大部分男子身高与所穿运动鞋的鞋码之间的关系，根据该趋势图估计身高为的男子所穿的鞋码大致是_______码． 【答案】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，由图可得，身高每增加3cm，鞋码增大1码，即可求解． 【详解】解：由图可得，身高每增加3cm，鞋码约增大1码， ∵身高为的男子所穿的鞋码大致是码， ∴身高为的男子所穿的鞋码大致是码， 故答案为：． 【跟踪专练1】小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系，则小明在体育馆锻炼的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图像的解读，需结合横纵坐标含义(横坐标为时间，纵坐标为离家距离)，分析图像，第一段水平线段表示小明在体育馆锻炼，第二段水平线段表示小明在书店买书． 【详解】解：小明在体育馆锻炼时，离家距离不变，对应图像中第一段上升后的水平线段，锻炼时间为该水平线段的结束时间减去开始时间，水平线段起点为，终点为，锻炼时间为． 故选． 【跟踪专练2】某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是______（填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 【详解】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 【跟踪专练3】某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象； 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低． 【详解】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 【题型6.自变量的取值范围】 【典例】若函数在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式有意义的范围：二次根式的被开方数是非负数． 利用二次根式有意义的条件得到，然后解不等式即可． 【详解】解；根据题意得， 所以． 故答案为：． 【跟踪专练1】函数中自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可解答． 【详解】解：由题意得，， 解得， 即自变量x的取值范围在数轴上表示为：由表示2的点向左，且表示2的点为实心点， 故B选项符合题意． 【跟踪专练2】函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件， 根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得，求出解集即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴分母，且被开方数，但分母不为零，故， 即， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练3】函数 的定义域是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求函数的定义域、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件． 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵， ∴分母，根号内， ∴且，， 综上，定义域为且． 故选：A． 【题型7.求自变量的值或函数值】 【典例】[跨学科试题·物理]铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为，当时，______g． 【答案】158 【详解】解：根据题意，当时，． 【跟踪专练1】当时，的值为（     ） A． B． C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了求函数值，将代入即可求解． 【详解】解：将代入， 则， 故选：D． 【跟踪专练2】课堂上老师设计了程序图，若输出的值是，则______． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的值，将分别代入两个函数解析式，求出自变量的值，然后检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：将代入得， ，解得，不符合题意； 将代入得， ，解得，符合题意； 故答案为：． 【跟踪专练3】对于实数、，定义一种运算“”为：，在函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，函数图象上的点与图象的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据新定义求得，分别计算验证即可． 【详解】解：由题意得，， A、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； B、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； C、时，，故不在图象上，故本选项不符合题意； D、时，，故在图象上，故本选项符合题意， 故选：D． 【题型8.函数图象的识别】 【典例】如图①，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，下方实心圆柱的底面积为，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示，则图中的值为______．    【答案】24.5 【分析】本题主要考查了函数图像的识别， 根据题意和函数图像可知圆柱容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高为，从开始注水，到水刚漫过第一个实心圆柱用了9s，高度为，可先求出注水的速度为，再求出漫过“几何体”到注满所用时间，然后求和即可． 【详解】解：水流速度，则从实心圆柱上方至注满水所需时间为， ∴． 故答案为：24.5． 【跟踪专练1】下列图象中，表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数的定义以及根据图象判断是否为的函数，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应． 【详解】解：选项A：当取一个在圆水平直径对应区间内的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 选项B：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，满足函数定义，符合题意； 选项C：当取一个在圆水平直径对应区间内的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 选项D：当取一个大于的值时，都有两个值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； 故选B． 【跟踪专练2】如图四个图象近似地刻画了两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应，正确的排序为_____________（填序号）． ①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）； ②向锥形瓶（上小下大）中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）； ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）．    【答案】③②④① 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案． 【详解】解：图1表示：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；图2表示： ②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；图3表示： ④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低； 图4表示：①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系， 故图象顺序为：③②④①， 故答案为：③②④①． 【跟踪专练3】甲、乙两人准备在一段长为的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别是、，起跑前乙在起点，甲在乙前面处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到终点的过程中，甲、乙两人之间的距离与时间的函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象与实际结合的问题，求得相遇的时间、全程时间以及最后甲乙的距离是解题的关键． 甲在乙前面，而乙的速度大于甲，则此过程为乙先追上甲后再超过甲，全程时间以乙跑的时间计算，算出相遇时间判断图象即可． 【详解】解： 甲、乙跑步的速度分别为和，起跑前乙在起点，甲在乙前面200米处，则乙要追上甲，所需时间为， 全程乙跑完后计时结束， 则计时结束后甲乙的距离 由上述分析可看出，B选项函数图象符合． 故选：B． 【题型9.从函数图象中获取信息】 【典例】潮汐图能精准预判潮高变化，帮助港口划定“安全通航时段”．下图是江苏一港口某日的潮汐图，已知当潮水高度不低于时，货轮能够安全进出该港口．若一艘货轮想在白天进入该港口，那么安全通航的时长为_______小时． 【答案】 【分析】本题考查了从函数的图象中获取信息，根据图象得出在白天时段，潮水高度不低于的时间段为，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：在白天时段，潮水高度不低于的时间段为， （小时） 故安全通航的时长为小时． 故答案为：． 【跟踪专练1】小明家，食堂和图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报然后回家．如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系，根据图象，下列说法正确的是（    ） A．小明吃早餐用了 B．小明读报用了 C．小明从食堂到图书馆的速度为 D．小明从图书馆回家的速度为 【答案】C 【分析】分析图象，可知小明在是在去食堂的路上，是在吃早餐，是在去图书馆的路上，是在图书馆读报，是在回家的路上，据此逐项分析． 【详解】解：A．小明吃早餐用了，故A错误； B．小明读报用了，故B错误； C．小明从食堂到图书馆的速度为，故C正确； D．小明从图书馆回家的速度为，故D错误． 【跟踪专练2】一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论： ①出发后两人相遇： ②甲每小时比乙多骑行； ③相遇后，乙又骑行了时两人相距． ④A，C两村相距； 其中正确的有_________．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据图象知，时，即为甲、乙相遇的时候，由此可判断①；由图象与纵轴的交点可得出A、B两村的距离，由路程、速度、时间的关系，及相遇问题可得甲乙的速度差，从而可判断②；根据速度差可判断③；由图象知，当时，甲到达C村，此时甲乙两人相距，即乙距C村还有，乙到达C村，可求得乙的速度，从而求得B、C两村的距离，即可求得A，C两村的距离，从而可判断④． 【详解】解：由图象知，甲、乙相距为0km时相遇，故①正确； 设甲、乙的速度分别为、， 由题意知，乙在前，甲在后，甲追上乙，由图象与纵轴的交点可得出A、B两村的距离为，则， 故， 即甲每小时比乙多骑行，故②错误； 相遇后，乙又骑行了时，则两人相距，故③正确； 由图象知，当时，甲到达C村，此时甲乙相距，即乙距C村还有， 故乙还需到达C村， 则乙的速度为， 由图象知乙从B村到C村骑行了，则B、C两村的距离为， 则A，C两村相距，故④正确． 故正确的序号为：①③④． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，数形结合是解题的关键． 【跟踪专练3】年月日，跑遍辽宁·沈阳和河半程马拉松赛鸣枪开跑．甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象如图所示，则下列判断错误的是（    ） A．起跑后小时以内，乙在甲的前面 B．起跑后小时，甲和乙相遇 C．乙比甲先到达终点 D．甲、乙都跑了千米 【答案】A 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象获取信息，逐项判断即可得解，解决本题的关键是数形结合的思想的运用． 【详解】解：A选项：由图象可知，起跑后1小时内，甲所跑路程大于乙所跑路程，所以起跑后小时内，甲在乙的前面，故A选项错误； B选项：由图象可知，起跑后小时，甲和乙相遇，故B选项正确； C选项：由图象可知，甲到达终点的时间比乙到达终点的时间多，故C正确； D选项：由图象可知，甲、乙都跑了20.09千米，故D正确． 故选：A． 【题型10.正比例函数的定义】 【典例】若关于的函数是正比例函数，则的值为______． 【答案】 3 【分析】本题考查了正比例函数的定义，其函数形式应为；根据正比例函数的定义，常数项必须为零，即可求得a的值． 【详解】解：函数是正比例函数，则常数项， 解得，且比例系数，满足条件． 故答案为3． 【跟踪专练1】若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据正比例函数求参数，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义（形如，且为常数的函数），需让原函数的二次项系数为0，同时一次项系数不为0，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 由，解得， ∵当时，，满足条件， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】若是正比例函数，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，代数式求值． 根据正比例函数的定义，函数形式应为 （），因此 的指数为1，系数不为0，常数项为0． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴ 解得 ， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，根据一次函数（形式为，）和正比例函数的定义，逐一验证各选项是否符合“一次函数但”的条件． 【详解】解：∵ 一次函数需满足自变量x的次数为1且为整式；正比例函数是一次函数中的特殊情况， A项：，形式为，，是正比例函数，不符合要求； B项：，x的次数为2，不是一次函数，不符合要求； C项：，形式为，，，故是一次函数但不是正比例函数，符合要求； D项：，即，x的次数为，不是一次函数，不符合要求， 故选：C． 【题型11.识别一次函数】 【典例】给出下列函数：①；②；③；④；⑤中是一次函数的是______． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（，k、b为常数）的函数是一次函数；根据定义判断各函数是否符合该形式． 【详解】解：对于函数①，，变量v的次数为2，不符合一次函数定义； 对于函数②，，可化为，符合一次函数定义； 对于函数③，，符合一次函数定义； 对于函数④，，含有平方根运算，不是一次函数； 对于函数⑤，，符合一次函数定义； 故答案为②③⑤． 【跟踪专练1】下列函数中，y是x的一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义：形如（、为常数，，自变量的次数为1的整式函数），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项：中的最高次数是2，不是一次函数； B选项：，不是整式函数，故不是一次函数； C选项：符合一次函数的形式，是一次函数； D选项：不是整式函数，故不是一次函数； 【跟踪专练2】下列说法正确的是________（填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查一次函数和正比例函数的定义，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断． 【详解】解：正比例函数的形式为，它是一次函数当时的特殊情况，因此①正确； 一次函数中，当时不是正比例函数，因此②错误； 若与成正比例，则，即，符合一次函数的形式，因此③正确； 若，当时，为常数函数，不是一次函数，因此④错误， 故答案为：①③． 【跟踪专练3】下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，当时，叫正比例函数；根据定义进行判断即可． 【详解】解：A、中，，，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意； B、无变量，即，不满足，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意； C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为（为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意； D、是一次函数时，需，即，∴ 说法正确，不符合题意； 故选：B． 【题型12.由一次函数的定义求参数】 【典例】已知是一次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，掌握一次函数的两个条件是解题关键． 根据一次函数的定义，的指数必须为且系数不为零，据此进行计算． 【详解】解：是一次函数， ，即， 系数为， ，即， 可得． 故答案为：． 【跟踪专练1】若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正比例函数要求自变量的次数为1，且比例系数不为0，据此列关系计算即可． 【详解】∵是关于的正比例函数， ∴根据正比例函数的定义可得， 解，得，即， 由，得， ∴． 【跟踪专练2】已知：点是一次函数上的点，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将点代入到解析式中，整理得到关于和的等式，列出不等式计算即可； 【详解】解：点是一次函数上的点， ， ， ， 或， ． 【跟踪专练3】已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 【题型13.求一次函数自变量或函数值】 【典例】一次函数的图象经过点，则________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征，代数式求值，将点的坐标代入解析式中计算是关键．由点在函数图象上，可得与的关系式，代入到所求代数式中求解即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】我们研究一次函数的图象和性质，可以利用数形结合的思想直观感知一些函数性质，当自变量从开始逐渐增大时，下列函数中函数值先到达的应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数自变量的值，分别求出各函数中函数值为时对应的自变量的值，再进行比较，的值越小则函数值先到达，据此即可判断求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：、当时， 解得； 、当时，， 解得； 、当时，， 解得； 、当时，， 解得； ∵， ∴ 选项对应的最小，即函数值先到达， 故选：． 【跟踪专练2】已知一次函数的图象过点，，一次函数的图象过点，则与的数量关系是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，通过点坐标求出与的关系，再根据点和点的纵坐标相等建立方程，代入关系式化简得到与的关系． 【详解】解：点在函数上， 可得：， 解得：， 点在上， 可得：， 点在上， 可得：， ， ， ， 整理得：， ， 两边除以可得：， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】根据如图的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数值，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键．把与代入程序中计算，根据值相等即可求出的值． 【详解】解：当时，， 解得． ∴当时，得． 故选：C． 【题型14.列一次函数解析式并求值】 【典例】若点在一次函数的图象上，则k的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． 把点代入一次函数，通过解一元一次方程来求的值． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ， 解得． 故选：A． 【跟踪专练1】鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了从实际数据中识别规律并建立代数模型的能力，以及求一次函数解析式；解题的关键是观察表格中脚长与鞋码的对应关系，发现两者呈线性变化，并通过代入已知点求解线性表达式；取两点，用待定系数法，求解析式，即可得解． 【详解】解：设脚长为，鞋码为；取点， 设， 解得 故 当脚长为时，鞋码为． 故答案为． 【跟踪专练2】“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】该员工的工资包括底薪1700元，每月超过300单且不超过500单的部分200×5=1000元，超过500单的7（x-500）元，然后求和即可． 【详解】解：y=1700+200×5+7（x-500）=7x-800． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列函数解析式，正确理解题意成为解答本题的关键． 【跟踪专练3】已知直线经过，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线经过得到，则，由可化为，得到，由得到，即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过， ∴， ∴， ∴可化为， 整理得，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是得到关于x的不等式． 【解答题】 1．数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．如图1，已知在中，点为边上的一个动点，连接，设． (1)当时，_______，______； (2)填表（补全表格时数值保留一位小数参考数据：；）： 0 1 2 3 4 2 ______ 2 3 ______ (3)试求与之间的函数关系式； (4)在图二中描出该函数的图象并写出该函数的两条性质． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)图象见解析；性质：当时，y随x增大而减小；y的最小值为． 【分析】本题考查勾股定理，三角形内角和定理，所对的直角边等于斜边的一半，描点法画函数图象，会结合函数图像分析其性质． （1）利用三角形内角和定理求出，再利用所对的直角边等于斜边的一半可以得到x，利用勾股定理可得y； （2）作，利用所对的直角边等于斜边的一半可以得到，进一步求出，再利用勾股定理即可求出y的值； （3）作，求出，，则，利用勾股定理可得：，进一步可得； （4）利用描点法画出函数图象；结合函数图象和表格即可分析函数单调性、最值问题． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解： 作， ∵， ∴，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， （3）解：作， ∵，， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵P在AB上， ∴， 即： ， （4）利用描点法画图，如图3所示： 性质：当时，y随x增大而减小；y的最小值为． 2．将若干张40cm长的长方形纸按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整． 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … (2)设张纸粘合后的纸条长为． ①与之间的关系式为 ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ③若小明需要粘合长为的纸条，则至少需要多少张这样的长方形纸？ 【答案】(1)78，382 (2)①；②1902；③至少需要54张这样的纸 【分析】（1）根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加可求空格； （2）①张白纸粘合起来时，纸条长度()在的基础上增加了个的长度，依此可得与的关系式；②将代入①中的关系式中求解即可；③把代入②中的关系式中，列方程求得的值即可． 【详解】（1）解：根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加， ；． ∴将表格补充完整如下： 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … （2）解：①根据题意和所给图形可得出： ， 即． ②令，则； 故答案为：1902． ③由，可得 解得． 答：至少需要张这样的纸． 3．为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 (1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是在坐标系内描点，利用待定系数法求解函数的解析式，求解函数的函数值，熟悉利用待定系数法求解正比例函数的解析式是解本题的关键． （1）根据表格信息，在平面直角坐标系内描出各点连线即可； （2）根据图象得，y是关于t的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （3）把代入函数的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示． ； （2）解：根据图象得，y是关于t 的正比例函数， 设函数解析式为． 把代入， 得． 解得． ∴y 关于t 的函数解析式为； （3）解：当， 答：这种漏水状态下12小时的漏水量为 4．已知与x成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当时，求y的值； (3)当时，直接写出x的取值范围________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可设，再利用待定系数法计算即可得解； （2）将代入（1）中的式子计算即可得解； （3）求出当和时的的值，利用一次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵与x成正比例， ∴， ∵当时，， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：当时，； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 故当时，x的取值范围为， 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中点，．若，a为常数，且，则称点B为点A的“a级上升点”． 如点为点的“级上升点”． (1)点C为点的“1级上升点”，则点C的坐标为________； (2)若点的“2级上升点”为点Q，且点Q恰好在y关于x的一次函数的图象上，求t的值； (3)若直线上恰有一点的“级上升点”在y关于x的函数的图象上，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用新定义计算解题； （2）根据新定义可以得到点Q的坐标为，代入一次函数解析式即可求值； （3）设直线上的点坐标为且，根据新定义得到“级上升点”坐标为，分两种情况分别解题即可． 【详解】（1）由定义可知点C的坐标为，即， 故答案为：． （2）解：∵点的“2级上升点”为点Q， ∴点Q的坐标为， 又∵点Q在函数图象上， ∴， 解得：； （3）解：设直线上的点坐标为且， 则这点的“级上升点”坐标为， 即， 当时，则 整理得：， 则，解得无解； 当时，则， 解得：， 即，解得， 综上所述：． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式解决问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $