精品解析：安徽省C20联盟2026年第二次学业水平考试（二模）九年级数学试题

数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共6页，“答题卷”共2页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各实数中，与2026互为相反数的是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 安徽省经济呈现稳中有进态势，2025年前三季度全省地区生产总值39770亿元，各项政策举措持续发力显效，全省经济运行保持稳中有进发展态势．其中数据39770亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图1，陀螺是中国传统文化的重要组成部分，其历史可追溯至7000多年前的河姆渡遗址，是世界上现存最古老的玩具之一，如图2，陀螺的轮廓可以近似抽象成是由圆柱和圆锥组合而成，那么该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若实数p是满足的整数，则p的值可能为（ ） A. B. C. D. 6. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设A、B、C三位同学参与投壶游戏，且他们每次投壶时，投中与不投中是等可能的且互不影响．若A、B、C各投壶1次，则恰好只有两人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，E为延长线上一点，连接交边于F点，交对角线于G点，若，则长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. D. 9. 已知抛物线分别经过一、二、三、四象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，D为边的中点，E点在上，，连接交于点F，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 平分 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：_____． 12. 命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是______ 13. 扇形餐盘具有独特的视觉效果和实用性，广泛应用于家庭、餐饮及商业场景，如图，一餐盘所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，对应的圆心角为，则该餐盘的面积为______．（结果保留） 14. 已知实数，，满足． （1）若且，则的范围是______； （2）若，则的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）将向右平移2个单位，再向下平移3个单位，请网格中画出平移后的； （2）在网格中画出关于点C的中心对称图形； （3）仅用无刻度的直尺在边上确定一点P，使． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某车间计划用20天加工一批零件，在加工了5天后，引进了智能设备，使工作效率提高了，同时，上级部门要求给该车间的任务总量增加，若该车间仍能按计划完成任务．求m的值． 18. 如图，已知一次函数与反比例函数相交于、两点． （1）求m，k，b的值； （2）直接写出时x的取值范围； （3）将直线向下平移个单位后与y轴交于点C，若，求C点坐标． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为了宣传“绿色生活，环保先行”，学校组织了知识普及活动，并从八、九年级学生中各随机抽取名学生的测评成绩（成绩用表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 八年级名学生的测评成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生测评成绩在B组的是：，，，，，． 八、九年级抽取的学生测评成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八 九 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若成绩不低于分为优秀，且该校八年级有名、九年级有名学生参加了此次知识普及活动，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数． 20. 如图，为的直径，为圆弧上一点，为的中点，过点作的切线交射线于点，连接，D． （1）求证：； （2）若，，求长． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放．为了优化仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究． 【项目准备】1．观察现象 钢管的横截面堆砌成如下形状（图示，2，3，4的情形），其中上方的数字表示该位置钢管的总数量； 2．规律猜想 小组初步猜想：第n个图的钢管总数S可以按“行”来观察，并尝试用算式表达． 【项目分析】1．统一符号：设第n个图的钢管总数为 2．任务分解： 任务一：按“行”的方式写出和的算式，归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“列”或“斜线”），重新表达． 任务三：建立第n个图钢管总数的通用公式，并用于计算较大n时的数量． 【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳 1．请补全下表： 图形 算式 ① ② 2．根据规律，写出第n个图的算式（不化简）： ③． 问题二：换一种眼光看图形 请你对的图形进行另一种方式的分割（如按“列”或“斜线”），并在下表中写出你发现的算式表达： 图形 算式 ④ ⑤ 问题三：建立通用公式【提示：】 将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出关于n的代数表达式： ⑥； 根据以上信息，完成下面内容： （1）将上方空白内容补充完整： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________； （2）若某堆钢管的，求n的值． 七、（本题满分12分） 22. 如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，连接、相交于点，为延长线上一点，连接交、于点、，且． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）如图2，若，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线． （1）求、的值； （2）过点的直线与抛物线另交于点，与直线交于点． ①若，求的值； ②如图2，将直线向下平移个单位，得到直线，交轴于点，交直线于点，过点作于点，设，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共6页，“答题卷”共2页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各实数中，与2026互为相反数的是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：与2026互为相反数的是． 2. 安徽省经济呈现稳中有进态势，2025年前三季度全省地区生产总值39770亿元，各项政策举措持续发力显效，全省经济运行保持稳中有进发展态势．其中数据39770亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：39770亿． 3. 如图1，陀螺是中国传统文化的重要组成部分，其历史可追溯至7000多年前的河姆渡遗址，是世界上现存最古老的玩具之一，如图2，陀螺的轮廓可以近似抽象成是由圆柱和圆锥组合而成，那么该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，因此该组合体的左视图为上方的矩形与下方的等腰三角形组合． 【详解】解：从左面观察该陀螺(圆柱与圆锥的组合体)，圆柱的左视图为矩形，圆锥的左视图为等腰三角形， ∴该几何体的左视图是上方为矩形、下方为等腰三角形． 故选；B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单项式乘以单项式的运算法则可判断A；根据二次根式的乘法运算法则可判断B；根据积的乘方运算法则可判断C；根据二次根式的性质可判断D． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、根据题意可得，即，则，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、根据题意可得，即，则，原式计算错误，不符合题意； 5. 若实数p是满足的整数，则p的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过比较平方数的大小估算出和的取值范围，再根据是整数确定的值即可． 【详解】解，，， ，，， ，， ，且为整数， ． 6. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏．假设A、B、C三位同学参与投壶游戏，且他们每次投壶时，投中与不投中是等可能的且互不影响．若A、B、C各投壶1次，则恰好只有两人投中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查古典概型的概率计算，利用列举法确定所有结果数和符合条件的结果数，代入公式计算即可． 【详解】解：∵A、B、C每人投壶都有投中、不投中2种等可能结果，三人互不影响． 设投中为 “中”，不投中为 “不中”，用树状图表示所有等可能结果： ∴所有等可能的结果总数为8种． ∵恰好2人投中的情况有：中、C不中，中、B不中，中、A不中，共3种符合条件的结果． ∴恰好只有两人投中的概率为． 7. 已知点为正比例函数的图象上的一点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在正比例函数图象上的性质，点的坐标满足函数解析式，得到与、的关系，再结合已知等式变形即可求出的值． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 8. 如图，中，E为延长线上一点，连接交边于F点，交对角线于G点，若，则长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作，进而得到，证明，得到，设，，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 作交于点，则， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 设，，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴或（舍去）； 故． 9. 已知抛物线分别经过一、二、三、四象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线经过四个象限，说明抛物线与轴有两个不同交点，且两个交点分别位于原点两侧，据此列不等式求解即可. 【详解】解：抛物线 经过四个象限. 抛物线与轴有两个不同交点，且两个交点分别在原点两侧. 当时，，若两个交点在原点两侧，则与二次项系数异号，即 . 解不等式得. 计算判别式. ， ， ，满足有两个不同交点的条件. 的取值范围是． 10. 如图，在中，，D为边的中点，E点在上，，连接交于点F，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，则可证明得到，，进而得到，则可证明得到，据此可判断A；过点C作交的延长线于点G，证明，得到，则可证明．进而可证明，据此可判断B；证明，推出，则可证明，过C点作，，垂足分别为，证明，得到，则可证明，进而可证明，则，，据此可判断C、D． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴，， ∵D为边的中点， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； 如图所示，过点C作交的延长线于点G， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴ ∴平分，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵D为边的中点， ∴， 又∵， ∴， 如图所示，过C点作，，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即，故C结论正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴， 又∵，且， ∴，故D结论错误，符合题意； 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接套用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 12. 命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是______ 【答案】如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据逆命题的定义：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，找出已知命题的题设和结论，即可写出其逆命题． 【详解】解：“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的题设为：如图一个三角形是等腰三角形，结论为：那么它底边上的高线和中线互相重合 ∴该命题的逆命题为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形 故答案为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形． 【点睛】此题考查的是写一个命题的逆命题，掌握逆命题的定义是解决此题的关键． 13. 扇形餐盘具有独特的视觉效果和实用性，广泛应用于家庭、餐饮及商业场景，如图，一餐盘所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，对应的圆心角为，则该餐盘的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】直接利用餐盘的面积，再代入即可求解． 【详解】解：如图， 该餐盘的面积 ． 14. 已知实数，，满足． （1）若且，则的范围是______； （2）若，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）由得，再结合，则，所以，又，从而求出的范围； （）由，，则，为方程的两实根，然后通过根的判别式即可求解． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （）由，， ∴，为方程的两实根， ∴， ∴，，， ∴，即，解得：， ∴， ∴． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算特殊角的三角函数值，乘方和化简二次根式，再去掉绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 16. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）将向右平移2个单位，再向下平移3个单位，请网格中画出平移后的； （2）在网格中画出关于点C的中心对称图形； （3）仅用无刻度的直尺在边上确定一点P，使． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质求解即可； （2）根据中心对称的性质求解即可； （3）利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某车间计划用20天加工一批零件，在加工了5天后，引进了智能设备，使工作效率提高了，同时，上级部门要求给该车间的任务总量增加，若该车间仍能按计划完成任务．求m的值． 【答案】 【解析】 【分析】把工作总量看作单位“1”，根据工作效率等于工作总量除以工作时间求出引进智能设备前的工作效率，以及引进智能设备后的工作效率，再根据前5天完成的工作量与后15天完成的工作量之和等于增加后的总工作量建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 18. 如图，已知一次函数与反比例函数相交于、两点． （1）求m，k，b的值； （2）直接写出时x的取值范围； （3）将直线向下平移个单位后与y轴交于点C，若，求C点坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图像和性质，解二元一次方程组，熟练掌握一次函数和反比例函数的图像和性质是解题的关键． （1）将代入得，把代入得，把，代入得，即可求出一次函数的解析式； （2）根据一次函数与反比例函数的交点得出答案即可； （3），求出，即可得到C点坐标为． 【小问1详解】 解：把代入得， 把代入得， 把，代入得，解得， 综上，，，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 由图知时，x的取值范围是或； 【小问3详解】 解：由题得，解得， 由（1）知， 向下平移个单位长度，即， C点坐标为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为了宣传“绿色生活，环保先行”，学校组织了知识普及活动，并从八、九年级学生中各随机抽取名学生的测评成绩（成绩用表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息： 八年级名学生的测评成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 九年级名学生测评成绩在B组的是：，，，，，． 八、九年级抽取的学生测评成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八 九 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若成绩不低于分为优秀，且该校八年级有名、九年级有名学生参加了此次知识普及活动，请估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数． 【答案】（1），， （2）八年级学生的测评成绩更好，理由见解析 （3）该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数分别为人、人 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义求出的值，利用扇形统计图求出A、C、D组的人数，根据中位数的定义求出的值，求出A组所占百分比，即可求出的值； （2）根据中位数的意义求解即可； （3）用总人数乘以样本中优秀人数所占百分比即可得答案． 【小问1详解】 解：∵八年级名学生的测评成绩中，出现次，出现的次数最多， ∴八年级名学生的测评成绩的众数是，即， ∵九年级名学生的测评成绩C组的人数为，D组的人数为，B组的人数为人，成绩为：，，，，，， ∴九年级名学生的测评成绩的中位数为，即， ∵九年级A组的人数为（人）， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵平均值相同，八年级的中位数大于九年级的中位数， ∴八年级学生的测评成绩更好． 【小问3详解】 解：∵八年级名学生的测评成绩中，A组的人数为人， ∴， ∴（人）， ∵， ∴（人）， ∴（人）， 答：估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数为人． 20. 如图，为的直径，为圆弧上一点，为的中点，过点作的切线交射线于点，连接，D． （1）求证：； （2）若，，求长． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，得到，再结合弧中点所对圆周角相等及等腰三角形底角相等的性质推导出内错角相等，进而证明与平行，最终由垂直的传递性得到； （2）连接，利用弧中点的性质得到，结合（1）的结论用勾股定理求出的长度，再通过圆内接四边形的外角等于内对角及同角的余角相等证明与相似，借助相似三角形的比例关系求出的长度，最后通过线段的差计算出的长度． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵为的中点， ∴． 由（1）知， 在中，由勾股定理得． ∵为的直径， ∴， ∴． ∵四边形内接于， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴，即，解得， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放．为了优化仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究． 【项目准备】1．观察现象 钢管的横截面堆砌成如下形状（图示，2，3，4的情形），其中上方的数字表示该位置钢管的总数量； 2．规律猜想 小组初步猜想：第n个图的钢管总数S可以按“行”来观察，并尝试用算式表达． 【项目分析】1．统一符号：设第n个图的钢管总数为 2．任务分解： 任务一：按“行”的方式写出和的算式，归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“列”或“斜线”），重新表达． 任务三：建立第n个图钢管总数的通用公式，并用于计算较大n时的数量． 【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳 1．请补全下表： 图形 算式 ① ② 2．根据规律，写出第n个图的算式（不化简）： ③． 问题二：换一种眼光看图形 请你对的图形进行另一种方式的分割（如按“列”或“斜线”），并在下表中写出你发现的算式表达： 图形 算式 ④ ⑤ 问题三：建立通用公式【提示：】 将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出关于n的代数表达式： ⑥； 根据以上信息，完成下面内容： （1）将上方空白内容补充完整： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________； （2）若某堆钢管的，求n的值． 【答案】（1）①；②；③；④；⑤；⑥ （2）8 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，时S的值，可得到规律即可解答； （2）根据，列出方程，即可解答． 【小问1详解】 解：问题一： 图形 算式 第n个图的算式（不化简）：； 问题二： 图形 算式 问题三∶ 关于n的代数表达式： ； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得（舍），， 即n的值为8． 七、（本题满分12分） 22. 如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，连接、相交于点，为延长线上一点，连接交、于点、，且． （1）求证：； （2）若，求的值； （3）如图2，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明，得出，根据角的和差关系即可得出，得出； （2）根据等腰三角形的性质得出，为的中点，利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，进而得出，利用证明，得出，即可得出，利用三角函数的定义即可得答案； （3）先证明，得出，同理可得，，即可证明，根据等腰三角形的性质，结合平行线的性质得出，设，利用勾股定理可求出，证明，根据相似三角形的性质即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， 在中，，即， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，且，抛物线的对称轴为直线． （1）求、的值； （2）过点的直线与抛物线另交于点，与直线交于点． ①若，求的值； ②如图2，将直线向下平移个单位，得到直线，交轴于点，交直线于点，过点作于点，设，求的最小值． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把代入，得出，进而得出，代入可求出，得出抛物线解析式，配方后，即可得出； （2）①过点作对称轴于，过点作对称轴于，则，可得，得出，根据得出，即可求出，代入即可求出值；②根据平移的性质可证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的面积得出，把所求式子配方，根据二次函数的性质即可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴． 把代入得，， 解得：， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 【小问2详解】 解：①如图，过点作对称轴于，过点作对称轴于，则， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴ ∴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：． ②∵将直线向下平移个单位，得到直线， ∴， ∵直线与轴平行， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴四边形的面积为， ∴， ∵， ∴最小为． 【点睛】本题是二次函数的综合，涉及相似三角形的判定与性质、二次函数的性质及平移的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $