精品解析：辽宁鞍山市铁西区2025-2026学年九年级下学期数学学情调查(三月）

九年级数学学情调查（三月） （考试时间共120分钟，试卷满分120分） 温答提示：请每一位考生把所有的答案都答在答愿卡上，否则不给分，答原要求见答厦卡． 一．选择题：（3分＊10=30分） 1. 数轴上表示的点与表示的点之间的距离是（ ） A. B. 8 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】数轴上两点的距离等于对应两数差的绝对值，据此计算即可． 【详解】解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离是． 2. 将两个平面镜按如图所示的位置放置，光线经过平面镜两次反射后，光线平行（即），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平角求出的度数，再利用两直线平行内错角相等即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用合并同类项、单项式乘除法、积的乘方的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意； 选项B：，故本选项正确，符合题意； 选项C：，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，故本选项错误，不符合题意； 4. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的俯视图是从几何体的上面往下看到的图形进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，该几何体的俯视图是． 5. 若点P（，）在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案． 【详解】解：由点在第二象限，得 ． 解得：， 故选C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 6. 如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上点处，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质与折叠得到，设，再利用勾股定理，解出的值即可求出． 【详解】解：∵矩形纸片中，，，将沿翻折， ∴，，， ， 在中，， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设人数为，琎价为， 根据每人出钱，会多出4钱可得出， 每人出钱，又差了3钱．可得出， 则方程组为：， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 9. 如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，求出，再由，即可求出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 10. 已知二次函数的图象如图，其对称轴为直线，它与轴的一个交点的横坐标为，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数、反比例函数综合，掌握各函数的图象与性质是解题的关键． 先根据二次函数的图象和性质，得出、、之间所满足的关系，初步判断一次函数与反比例函数的图象情况，再结合函数交点问题转换为方程问题，通过根的判别式判断一次函数与反比例函数是否有交点，即可得出最终符合要求的选项． 【详解】解：观察二次函数图象， ∵二次函数开口向下，抛物线与轴交于正半轴， ∴，， 抛物线对称轴为直线， ∴， 得， ∵二次函数经过点， ∴， 得， 由此判断一次函数经过第二、三、四象限， 反比例函数经过第一、三象限， 结合一次函数和反比例函数， 得， 整理得， 其方程根的判别式为， 将，代入上式， 得， 即方程无解， 故一次函数与反比例函数没有交点， 综上，可得答案为A选项． 二、填空题：（3分＊5=15分） 11. 相关报告显示，2025年中国人形机器人市场规模预计达到82.39亿元，约占全球一半．数据82.39亿用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：数据82.39亿用科学记数法表示为． 12. 一组数据1，2，的平均数为3，另一组数据，，1，2，的唯一众数为，则数据，，，1，2，4的中位数为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数及中位数的定义，解题的关键是正确的利用其定义求得未知数的值． 根据平均数求得的值，然后根据众数求得的值后再确定新数据的中位数． 【详解】解：∵1，2，的平均数为3， ∴， 解得， ∴数据，，1，2，应为，，1，2，， ∵唯一众数为， 故， 则数据，，，1，2，4应为数据，，，1，2，4， 按从小到大排列为，，1，2，4，6， ∴中位数为． 13. 如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据图象可知两个函数图象的交点的横坐标，由不等式可知，一次函数图象在反比例函数图象下方，即可求得答案． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方， 则不等式的解集为或． 14. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和求圆锥的高，理解题意是解决本题的关键． 根据圆锥的底面周长求出底面半径，根据扇形面积公式求出母线长，再根据勾股定理求出高即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， ∵侧面积为， ∴圆锥的母线长为， ∴该吊灯外罩的高是． 故答案为：16． 15. 如图已知正六边形的边长为2分别以正六边形每个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质以及不规则图形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 令正六边形中心为点，连接，过点作交于点，根据正六边形的性质得出，，由勾股定理可计算出的长度，结合即可求出结果． 【详解】解：令正六边形中心为点，连接，过点作交于点，如下图所示： 则图中阴影部分面积可视为12个半片花朵（弓形）的面积， 而半片花朵的面积可用扇形减去三角形得到， 根据正六边形的性质， 可得，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ， ∴． 三、解答题：（2个小题，16题8分，17题8分，共16分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合计算以及分式的化简，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． （1）分别计算平方、立方根、零次幂、绝对值以及特殊角三角函数，再进行求和即可； （2）先对后半部分进行因式分解再化简即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 元宵节期间某超市计划购买A，B两种品牌元宵进行销售．每袋A品牌元宵的进价比每袋B品牌元宵的进价少3元，且用80元购买的A品牌元宵数量与用120元购买的B品牌元宵数量相同． （1）求A，B两种品牌元宵每袋的进价分别是多少元； （2）已知该超市本次购进的A品牌元宵的数量比B品牌元宵的数量的2倍少5袋，每袋A品牌元宵的销售价是10元，每袋B品牌元宵的销售价是15元，由于B品牌元宵的销售量不好，售出100袋后超市决定将剩余的B品牌元宵八折出售，最终将本次购进的A，B两种品牌元宵全部售出，若使销售的总利润不低于1468元，超市至少购进B品牌元宵多少袋？ 【答案】（1）A品牌元宵每袋进价6元，B品牌元宵每袋进价9元 （2）超市至少购进B品牌元宵108袋 【解析】 【分析】（1）设A品牌元宵每袋进价x元，则B品牌元宵每袋进价元，根据“用80元购买的A品牌元宵数量与用120元购买的B品牌元宵数量相同”，列出方程，即可求解； （2）设购进B品牌元宵m袋，则购进A品牌元宵袋，根据“使销售的总利润不低于1468元”，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设A品牌元宵每袋进价x元，则B品牌元宵每袋进价元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 此时， 答：A品牌元宵每袋进价6元，B品牌元宵每袋进价9元； 【小问2详解】 解：设购进B品牌元宵m袋，则购进A品牌元宵袋，根据题意得： ， 解得：， 答：超市至少购进B品牌元宵108袋． 四．解答题：（2个小题，18题8分，19题8分，共16分） 18. 某学校开设了丰富的特色实践课程，课程分别是：A：科学与技术；B：艺术与审美；C：语言与文学；D：非遗与民俗．学校要了解学生最感兴趣的课程情况，现从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）请通过计算补全条形统计图． （2）请求出扇形图中a的值．该校有1000名学生，大型活动教室有3间，每间可以容纳80人，小型活动教室有3间，每间可以容纳40人，每日只安排一种特色实践课程，课程C在周二上课，且只有3名老师（每名老师讲授的内容相同）同时在不同的教室授课，那么安排该校对课程C感兴趣学生上课的教室的最佳方案是什么？ （3）甲、乙两名同学从A，B，C，D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到相同课程的概率． 【答案】（1） 补全的条形图如图所示： （2），大型活动教室安排2间，容纳160人，小型活动教室安排1间，容纳40人． （3）两人恰好选到不同课程的概率为 【解析】 【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次被调查的学生总人数， 求出选择B的人数，补全条形统计图即可． （2）用条形统计图中C的人数除以此次被调查的学生总人数再乘以可得，即可得的值，进一步利用样本估计总体解答即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及两人恰好选到相同课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵根据条形统计图可知选择A的人数有人，根据扇形统计图可知选择A的人数占总人数的， ∴此次被调查的学生总人数为（人）． ∴选择B的人为：（人） 【小问2详解】 解：∵根据条形统计图可知选择C的人数有人， ∴， ∴， ∴该校有1000名学生喜欢C的人数有（人）， ∴安排该校对课程C感兴趣学生上课的教室的最佳方案是： 大型活动教室安排2间，容纳160人，小型活动教室安排1间，容纳40人． 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 共有种等可能的结果，其中两人恰好选到相同课程的结果有4种， ∴两人恰好选到相同课程的概率为． 19. 小明喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段，建立如图平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段．若纸飞机进入滑行阶段时的高度为． （1）直接写出_____，_____． （2）小明的前方有一堵高的围栏，求小明距离围栏的距离d在什么范围时，纸飞机可以飞过围栏． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由纸飞机进入滑行阶段时的高度为，可得抛物线和直线都过点，分别代入计算即可； （2）由纸飞机进入滑行阶段时的高度为，则把分别代入两个解析式进行解方程即可． 【小问1详解】 解：当纸飞机飞行的水平距离为时，纸飞机进入滑行阶段时的高度为， ∴抛物线和直线都过点， 把代入得：， 解得； 把代入得：， 解得； 【小问2详解】 解：把代入，得． 解得：（舍），， 把代入， 得， 解得：． ， ∴小明距离围栏的距离时，纸飞机可以飞过围栏． 五、应用题：（2个小题，20题9分，21题10分，共19分） 20. 小明和爸爸去鱼塘钓鱼，如图2，斜坡的坡度为，长为8米，钓竿与水平线的夹角是，其长为7米，若钓竿与钓线的夹角是． （1）求点到水平面的距离； （2）求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）点到水平面的距离为4米． （2）浮漂与斜坡下端之间的距离为2米． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）过点的水平线交于点，过点作于点，得出四边形为矩形，得出相等边，然后利用锐角三角函数进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵斜坡的坡度为， ∴设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴点到水平面的距离为4米． 【小问2详解】 解：如图所示，设过点的水平线交于点，过点作于点， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴浮漂与斜坡下端之间的距离为2米． 21. 如图，以的边为直径的交边于点，交边于点，连接，过点的切线交的延长线于点，．求证： （1）为等腰三角形； （2）． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴． 又∵， ∴， ∴， 即为等腰三角形． （2） 解：如图：连接． ∵为等腰三角形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）根据为的直径，得出，则．根据是的切线，得出．结合，得出，即可得，即为等腰三角形． （2）如图：连接．根据为等腰三角形，，，得出，则，从而得出．证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】该题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 六．解答题：（2个小题，每题12分，共24分） 22. 【综合与探究】 问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图（1）所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，设直线与直线交于点． 猜想证明： （1）猜想与的数量关系，并证明． （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，，，设线段，交于点，求证：点为线段中点． （3）问题解决：在矩形绕点顺时针旋转的过程中，若，，当、、三点在同一条直线上时，求的值． 【答案】（1） ， 证明：四边形与四边形都是矩形，如图①，连接， ， ， 即， 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形， ， 在和中， ， ， ． （2） 证明：如图，连接，过作交于，连接，，，记与的交点为， 根据旋转的性质可得：，，， 四边形是矩形， ，，， 即，， 又， ， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴，即点为线段中点． （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）如图，连接，过作交于，连接，，，记与的交点为，进一步证明四边形是平行四边形即可； （3）分为：点，在的同一侧时和点，在的异侧时，两种情况分别求解，根据勾股定理求出，结合图形求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图③，当点，在的同一侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 如图④：当点，在的异侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的值为或． 23. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，过点作，垂足为，设周长为C，请求出当周长C取最大值时的值； （3）点，在函数的图象上，它们的横坐标分别为，，以线段为对角线作矩形，且轴．当矩形与函数的图象有且只有三个公共点时，当矩形的边长度为2时，请直接写出的值为________． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把，的坐标代入，得到关于、的方程组，进一步可得到抛物线的表达式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，可以得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，根据点、的坐标求出的周长为，利用可得它们的相似比为，根据相似三角形的周长比等于相似比可得，可得时，周长有最大值； （3）求解抛物线的对称轴为直线，分情况：如图，当，此时矩形与二次函数图象有三个交点，结合求解，如图，当与顶点重合或在对称轴的右侧时，此时不符合题意，如图，当，此时矩形与二次函数图象有三个交点，结合求解，当与顶点重合或在顶点的左边时，如图，可得时，不符合题意，当时不符合题意，进一步总结即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图所示， 当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把、代入， 得到：， 解得：， 直线的解析式为， 点的横坐标为，则点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ， 在中， 在中， ， ， 在和中，，， ， ，， ， ，的周长为， ， ， 整理得：， ， ， ∴有最大值，此时． 【小问3详解】 解：∵点，在函数的图象上，它们的横坐标分别为，， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，当且， ∴， 此时矩形与二次函数图象有三个交点， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意）， 如图，当与顶点重合或在对称轴的右侧时， ∴，此时不符合题意； 如图，当且， ∴， 此时矩形与二次函数图象有三个交点， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意）； 当与顶点重合或在顶点的左边时，如图， 此时， ∴， 当时，则， ∴时，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情调查（三月） （考试时间共120分钟，试卷满分120分） 温答提示：请每一位考生把所有的答案都答在答愿卡上，否则不给分，答原要求见答厦卡． 一．选择题：（3分＊10=30分） 1. 数轴上表示的点与表示的点之间的距离是（ ） A. B. 8 C. 4 D. 2. 将两个平面镜按如图所示的位置放置，光线经过平面镜两次反射后，光线平行（即），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 若点P（，）在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图，在矩形纸片中，，，点为边上一点，将沿翻折，点恰好落在边上点处，则长为（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多出4钱；每人出钱，又差了3钱．问人数，琎价各是多少？设人数为，琎价为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图，其对称轴为直线，它与轴的一个交点的横坐标为，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（3分＊5=15分） 11. 相关报告显示，2025年中国人形机器人市场规模预计达到82.39亿元，约占全球一半．数据82.39亿用科学记数法表示为________． 12. 一组数据1，2，的平均数为3，另一组数据，，1，2，的唯一众数为，则数据，，，1，2，4的中位数为________． 13. 如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为________． 14. 如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是______． 15. 如图已知正六边形的边长为2分别以正六边形每个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题：（2个小题，16题8分，17题8分，共16分） 16. 计算： （1） （2） 17. 元宵节期间某超市计划购买A，B两种品牌元宵进行销售．每袋A品牌元宵的进价比每袋B品牌元宵的进价少3元，且用80元购买的A品牌元宵数量与用120元购买的B品牌元宵数量相同． （1）求A，B两种品牌元宵每袋的进价分别是多少元； （2）已知该超市本次购进的A品牌元宵的数量比B品牌元宵的数量的2倍少5袋，每袋A品牌元宵的销售价是10元，每袋B品牌元宵的销售价是15元，由于B品牌元宵的销售量不好，售出100袋后超市决定将剩余的B品牌元宵八折出售，最终将本次购进的A，B两种品牌元宵全部售出，若使销售的总利润不低于1468元，超市至少购进B品牌元宵多少袋？ 四．解答题：（2个小题，18题8分，19题8分，共16分） 18. 某学校开设了丰富的特色实践课程，课程分别是：A：科学与技术；B：艺术与审美；C：语言与文学；D：非遗与民俗．学校要了解学生最感兴趣的课程情况，现从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如图两幅不完整的统计图．根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）请通过计算补全条形统计图． （2）请求出扇形图中a的值．该校有1000名学生，大型活动教室有3间，每间可以容纳80人，小型活动教室有3间，每间可以容纳40人，每日只安排一种特色实践课程，课程C在周二上课，且只有3名老师（每名老师讲授的内容相同）同时在不同的教室授课，那么安排该校对课程C感兴趣学生上课的教室的最佳方案是什么？ （3）甲、乙两名同学从A，B，C，D四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到相同课程的概率． 19. 小明喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径可看作是一条线段，建立如图平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当纸飞机飞行的水平距离为时，自动进入滑行阶段．若纸飞机进入滑行阶段时的高度为． （1）直接写出_____，_____． （2）小明的前方有一堵高的围栏，求小明距离围栏的距离d在什么范围时，纸飞机可以飞过围栏． 五、应用题：（2个小题，20题9分，21题10分，共19分） 20. 小明和爸爸去鱼塘钓鱼，如图2，斜坡的坡度为，长为8米，钓竿与水平线的夹角是，其长为7米，若钓竿与钓线的夹角是． （1）求点到水平面的距离； （2）求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 21. 如图，以的边为直径的交边于点，交边于点，连接，过点的切线交的延长线于点，．求证： （1）为等腰三角形； （2）． 六．解答题：（2个小题，每题12分，共24分） 22. 【综合与探究】 问题情境：将矩形绕点顺时针旋转，当旋转到如图（1）所示的位置时，得到矩形，点，，的对应点分别为点，，设直线与直线交于点． 猜想证明： （1）猜想与的数量关系，并证明． （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点重合），连接，，，设线段，交于点，求证：点为线段中点． （3）问题解决：在矩形绕点顺时针旋转的过程中，若，，当、、三点在同一条直线上时，求的值． 23. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，过点作，垂足为，设周长为C，请求出当周长C取最大值时的值； （3）点，在函数的图象上，它们的横坐标分别为，，以线段为对角线作矩形，且轴．当矩形与函数的图象有且只有三个公共点时，当矩形的边长度为2时，请直接写出的值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $