精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第七十中学2025-2026学年第一学期九年级期末考试数学试卷

乌鲁木齐市第七十中学2025-2026学年第一学期初三年级期末考试数学试卷 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，即可一一判定． 【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意； B、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、中，当时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握和运用一元二次方程的定义是解决本题的关键． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 B. 某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有 5张中奖 C. 射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D. “抛掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的计算公式、概率的意义以及随机事件的定义，逐个判断选项的正误． 【详解】解：A、∵袋中总球数为个，红球共3个， ∴任意摸出一个红球的概率为，不是，A错误； B、∵是中奖的可能性描述，不是说买100张一定有5张中奖，结果是随机的， ∴B错误； C、∵射击的中靶与不中靶不是等可能事件， ∴击中靶的概率不一定是，C错误； D、∵抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，结果事先不确定， ∴“抛掷一次结果正面朝上”是随机事件，D正确． 3. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键；根据平移法则：左加右减，上加下减，即可出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线， 故选：． 4. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关中的两个，能让发光的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用列表法列出所有情况，再根据能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解． 【详解】解：列表如下： 共有6种等可能的情况，必须闭合开关灯泡才亮，能让灯泡发光的有2种情况，则能让灯泡发光的概率是． 故选：D． 5. 如图，在中，，分别交，于点，，若，则与的面积之比是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可证得，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故与的面积之比是． 【点睛】相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 6. 如图，的弦，半径，垂足为D，且，的半径等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理知道，而，可以连接构造直角三角形，然后利用勾股定理可以得到关于半径的一个方程． 【详解】解：如图，连接， ， 为的中点，， 设，则， 在直角三角形中，， ， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，解题关键在于利用垂径定理和勾股定理构造关于半径的方程． 7. 如图，是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图： （1）分别以A、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于P点，连接与半圆交于C点； （2）分别以A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于Q点，连接与半圆交于D点； （3）连接与交于E点． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图可判断垂直平分，平分，则，，根据圆周角定理可得到，则可对A进行判断；根据圆周角定理推论得到，则利用互余可计算出，可对B进行判断；过E点作于H点，根据角平分线的性质得到，根据垂线段最短得到，所以，可对C进行判断；证明，则有，可对D进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、由作法得垂直平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴A正确； B、∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴B正确； C、过E点作于H点，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴C错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴D正确． 【点睛】本题解答的关键是过E点作于H点，构造角平分线模型． 8. 如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作交于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是的中点，可得，进而解答即可． 【详解】解：如图，作交于F， ∵，O是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 9. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（ ）． A. ①②⑤ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ①③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． ①利用对称轴，即可得到系数的关系； ②代入到函数表达式判断代数式的符号，得出结论； ③利用函数与轴交点处坐标，得到，，继而代入，根据，得出结论； ④利用函数达到最值时的取值，分别代入和，得到； ⑤根据对称轴和已知交点，得到另一交点坐标，将方程的解转化为二次函数图象与直线交点的问题，结合图象判断根的分布． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵时，， ∴，即，故②错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵当时，，达到最大值， 当时，， ∴， ∴，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴抛物线解析式为， ∴方程的两根和为抛物线与直线的交点的横坐标， ∴，故⑤正确； ∴正确的结论有①③⑤． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 【答案】k＞1. 【解析】 【详解】试题分析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，∴△=（-2）2-4×1×k=4-4k＜0，解得k＞1. 考点：一元二次方程根的判别式. 11. 在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共个，每个球触颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球实验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则可估计这个袋中红球的个数约为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据频率的定义先求出黑球的个数，即可知红球个数. 【详解】解：黑球个数为：，红球个数：. 故答案为6 【点睛】本题考查了频数和频率，频率是频数与总数之比，掌握频数频率的定义是解题的关键. 12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆的半径为3，则圆锥的母线_________． 【答案】9 【解析】 【分析】求出圆锥的底面圆的周长，根据弧长公式计算即可． 【详解】设圆锥的母线长为r， 圆锥的底面圆的周长=2π×3=6π， 则， 解得，r=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 13. 体育测试时，九年级一名男生双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．如果实心球出手处距离地面的高度是米，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则该男生本次扔实心球的成绩是_________米．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，已知抛物线的顶点坐标与图象上一点坐标，可设出顶点式并代入求解得到抛物线解析式，再令函数值为，进而求出实心球落地点的水平距离，即该男生本次扔实心球的成绩． 【详解】解：以地面所在直线为轴，过点与地面的垂线作为轴建立平面直角坐标系如图所示， 则，， 设抛物线解析式为， 在抛物线上， 代入得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：，（舍去）， ． 则该男生本次扔实心球的成绩是米． 14. 如图，点M是线段的中点，点B在反比例函数的图象上，若的面积为，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据题意易证明为的中位线，则，，根据的面积为可得，因此，再根据反比例函数系数的几何意义得，以此即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 轴， ∴， 点是线段的中点， 为的中位线， ，， ， ， ，即， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义、三角形中位线的判定与性质，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变是解题关键． 15. 如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是__________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，直角三角形的性质，，取的中点，连接，则，可得点在以为直径的上，连接，则当点在线段上时，取得最小值，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：， ． 如图所示，，取的中点，连接，则， 点在以为直径的上，的半径为， 连接，则当点在线段上时，取得最小值， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ，即的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分90分） 16. 计算及解方程： （1）计算 ：； （2）解一元二次方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入特殊角的三角函数值：、、，通过二次根式的混合运算，得到答案． （2）配方法解一元二次方程：通过移项将常数项移项至等式右边，二次项系数化为，通过配方将等式左边写成完全平方式，进而开平方求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 移项，得：， 系数化为，得：， 配方，得：， 得：， 开平方，得：， 解得：，． 17. 如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为，，． （1）以为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； （2）画出与关于原点对称的； （3）直接写出点和点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据旋转方式找到对应点，顺次连接即可； （2）找到各顶点关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （3）根据所作图形写出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 【小问3详解】 解：点和点的坐标分别为，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：，， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：设直线与轴交于点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴的面积． 19. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题． （1）求______，并补全条形统计图． （2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？ （3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率． 【答案】（1）200， 补全统计图： （2）312名 （3） 【解析】 【分析】（1）根据喜爱篮球的人数和所占的百分比即可求出，然后求出喜欢乒乓球的人数即可； （2）用该校的总人数乘以最喜爱乒乓球的学生的人数所占的百分比即可； （3）画出树状图即可解决问题． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式． 【小问1详解】 解： （名， 喜欢乒乓球的人数；（名， 故答案为：200； 【小问2详解】 解：（名， 答：估计喜欢乒乓球运动的学生有312名； 【小问3详解】 解：画树状图得： 一共有12种等可能出现的结果，符合条件的结果有2种， 恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 20. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成矩形场地，设矩形场地垂直于墙的一边长； （1）当矩形场地的面积为时，求x的值； （2）求所围成的矩形场地的面积最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设的长度为，则的长度为．然后根据矩形的面积公式列出方程求解即可． （2）设矩形场地的面积为，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设的长度为，则的长度为，依题意得， 整理得， 解得，． 【小问2详解】 解：设矩形的面积为， 则， ∵利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个矩形场地， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，S取得最大值72． ∴矩形场地的面积最大是． 21. 如图，为的直径，点是半圆上一点（不与点、重合），连接，过点作于点，连接并延长交于点，使得； （1）求证：直线是圆的切线； （2）请你在图中连接，交于点，若的直径为，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点和准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据角度等量代换得，可证，即可证得直线是圆的切线； （2）连接，连接交于点，首先结合勾股定理及等积代换求出、的长度，由可求出的长度，结合可求出，最终即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴直线是圆的切线． 【小问2详解】 解：连接，连接交于点，如下图所示： ∵，，， 由勾股定理得， ∵， 代入求解得， ∵， ， ∴， ∴， 解得， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 22. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离． 【答案】2 【解析】 【分析】过B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中利用三角函数求得BD的长，然后在直角△BCD中利用三角函数求得BC的长． 【详解】解：过B作BD⊥AC于点D． 在Rt△ABD中，BD=AB•sin∠BAD=4×=（千米）， ∵△BCD中，∠CBD=45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴CD=BD=（千米）， ∴BC=BD=（千米）． 答：B，C两地的距离是千米． 【点睛】此题考查了方向角问题和解直角三角形的应用．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解． 23. 如图1，已知在中，． （1）基础巩固：如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则与之间的数量关系是 ； （2）拓展探究：如图2，点D，E分别是，的中点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到． ①求证：； ②用等式表示与间的数量关系，并说明理由： （3）问题解决：点D，E分别是，的中点，连接，将绕点C旋转得到，请直接写出点A，M，N在同一直线上时的长． 【答案】（1） （2） ①证明：点，分别是，的中点，绕点按顺时针方向旋转得到， ，，． ． ； ②，理由如下： 如图，连接， ，， ． ， 是等边三角形． ，． ． ． 在中，由勾股定理得 ． ． 由①得，． ． ； （3）的长为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理等等： （1）证明是等边三角形，即可得到结论； （2）①利用两边对应成比例，且夹角相等，可证明；②证明是等边三角形，在中，利用勾股定理求得的长，再利用相似三角形的性质求解即可； （3）分两种情况分析，A、三点所在直线与不相交和与相交，然后利用勾股定理以及相似三角形的判定和性质分别求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：根据旋转的性质得，， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 解：①如图所示， ∵，，， ∴， ∵点D，E分别是，的中点，将绕点C旋转得到， ∴，，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示， 同理，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第七十中学2025-2026学年第一学期初三年级期末考试数学试卷 考试时长：120分钟 满分：150分 一、单选题（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（　　） A. 一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 B. 某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有 5张中奖 C. 射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D. “抛掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件 3. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（ ） A. 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 4. 如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开关中的两个，能让发光的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，分别交，于点，，若，则与的面积之比是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，的弦，半径，垂足为D，且，的半径等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7. 如图，是半圆O的直径，小宇按以下步骤作图： （1）分别以A、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于P点，连接与半圆交于C点； （2）分别以A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于Q点，连接与半圆交于D点； （3）连接与交于E点． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ） A. 平分 B. C. D. 8. 如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为 （ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 8 9. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（ ）． A. ①②⑤ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ①③④⑤ 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0无实数根，则实数k的取值范围是________． 11. 在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共个，每个球触颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球实验后，发现摸到黑球的频率稳定于，则可估计这个袋中红球的个数约为__________． 12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆的半径为3，则圆锥的母线_________． 13. 体育测试时，九年级一名男生双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．如果实心球出手处距离地面的高度是米，当球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则该男生本次扔实心球的成绩是_________米．（结果保留根号） 14. 如图，点M是线段的中点，点B在反比例函数的图象上，若的面积为，则_____ ． 15. 如图，在中，，，点是上的动点，连接，过点作于点，点是的中点，连接，则的最小值是__________ 三、解答题（共8小题，满分90分） 16. 计算及解方程： （1）计算 ：； （2）解一元二次方程：． 17. 如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为，，． （1）以为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； （2）画出与关于原点对称的； （3）直接写出点和点的坐标． 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 19. 为了解全校学生对篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项球类运动的喜爱情况，在全校随机抽取了名学生进行问卷调查，每名学生只选择一项球类运动填写问卷．将调查结果绘制成如下统计图，请你根据图中所提供的信息解答下列问题． （1）求______，并补全条形统计图． （2）若该校共有1200名学生，请估计喜欢乒乓球运动的学生有多少名？ （3）学校羽毛球队计划从甲、乙、丙、丁四名同学中挑选两名同学加入球队．请用画树状图或列表的方法计算恰好选中甲、乙两名同学的概率． 20. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成矩形场地，设矩形场地垂直于墙的一边长； （1）当矩形场地的面积为时，求x的值； （2）求所围成的矩形场地的面积最大值. 21. 如图，为的直径，点是半圆上一点（不与点、重合），连接，过点作于点，连接并延长交于点，使得； （1）求证：直线是圆的切线； （2）请你在图中连接，交于点，若的直径为，，求的值． 22. 科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4 km至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离． 23. 如图1，已知在中，． （1）基础巩固：如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则与之间的数量关系是 ； （2）拓展探究：如图2，点D，E分别是，的中点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到． ①求证：； ②用等式表示与间的数量关系，并说明理由： （3）问题解决：点D，E分别是，的中点，连接，将绕点C旋转得到，请直接写出点A，M，N在同一直线上时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $