精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学2025-2026学年 九年级上学期数学培优期末试卷（B卷）

新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学2025-2026学年人教版 九年级上册数学培优期末试卷（B卷） （考试时间：120分钟 总分：150分） ☆考查范围：图形的变化、方程与不等式、图形的性质、函数、数与式、统计与概率 一、单选题（每小题4分，共36分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a可取的最大整数为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，在中，，将其绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 5. 某市年投入教育经费万元，年投入教育经费比年增加万元，若年至年该市投入教育经费的年平均增长率为则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，、分别与半径为3的相切于点，，直线分别交、于点，，并切于点，当时，的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 7. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（ ） A. 4 B. C. D. 5 9. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点B，点P在x轴上，若的面积为2，则k的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 二、填空题 10. 已知点与点关于原点对称，则______． 11. 一个仅装有球的不透明布袋里只有3个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________． 12. 已知，是方程的两实数根，则_________． 13. 如图1，某家具厂设计了一款独特的弧形沙发，其靠背是一整面布料，可看作一段圆弧．图2是其示意图，布料两端点分别为点A，B，已知该弧形的半径米，所在圆弧的圆心角，则这一整面布料弧的长为______米．（结果用表示） 14. 如图，在平行四边形中，：：，则：______． 15. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④a+c＜1；正确的结论有_____（填序号） 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 18. 2021年，“碳中和，碳达峰”成为高频热词，为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题： （1）参加这次调查学生总人数为 人； （2）扇形统计图中，B，C部分扇形所对应的圆心角分别是 ， ； （3）将条形统计图补充完整； （4）在D类学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 19. 如图，在正方形中，、是对角线上两点，连接，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本元．试销期间发现每天的销售量（袋）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用元． 销售单价x（元） 销售量y（袋） （1）求与之间的函数关系式； （2）如果每天获得元的利润，销售单价为多少元？ 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求关于x的函数表达式及点B的坐标． （2）当时，；当时，．求t的取值范围． 22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，且DC=AC． （1）求证：DC为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BC的长． 23. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线表达式； （2）求A，B两点的坐标； （3）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使三角形的面积最大？若存在，求点P的坐标及三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆维吾尔自治区乌鲁木齐第一中学2025-2026学年人教版 九年级上册数学培优期末试卷（B卷） （考试时间：120分钟 总分：150分） ☆考查范围：图形的变化、方程与不等式、图形的性质、函数、数与式、统计与概率 一、单选题（每小题4分，共36分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a可取的最大整数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，解得， ∴a可取的最大整数为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与，有如下关系：当，时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 3. 如图，在中，，将其绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，三角形内角和定理等．根据题意可得，再利用三角形内角和定理得，即为本题答案． 【详解】解：∵将其绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解： ，开口向上，A选项错误，不符合题意； 对称轴为：，B选项错误，不符合题意； 顶点坐标为，C选项正确，符合题意； 函数的最小值为2，与x轴没有交点，D选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质． 5. 某市年投入教育经费万元，年投入教育经费比年增加万元，若年至年该市投入教育经费的年平均增长率为则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据增长率的定义，依次表达年投入教育经费万元，年投入教育经费万元，再根据年投入教育经费比年增加万元，建立方程即可． 【详解】解：设年至年该市投入教育经费的年平均增长率为， ∵年投入教育经费万元， ∴年投入教育经费万元， 年投入教育经费万元， ∴年投入教育经费比年增加了万元， 故可建立方程：， 整理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了与增长率相关的一元二次方程的实际应用，准确理解增长率的定义是解题的关键． 6. 如图，、分别与半径为3的相切于点，，直线分别交、于点，，并切于点，当时，的周长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】连接OB,根据切线性质求出PB,根据切线长定理求出PA,再根据切线长定理得出DE=DB,CE=CA,进而算出三角形周长即可. 【详解】解:连接OB， ∵PB是⊙O的切线， ∴∠PBO=90°， ∴PB==4 ∵PA、PB分别与⊙O相切， ∴PA=PB=4， ∵CD分别交PA、PB于点C，D，并切⊙O于点E, ∴DE=DB，CE=CA， ∴△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CA+DE+PD=PA+PB=8， 故选C. 【点睛】本题考查切线的性质及切线长定理,关键在于转换线段的长度. 7. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 8. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，二次函数的性质，抛物线与轴的交点，点与圆的位置关系，关键是明白当过圆心时，长最大，由三角形中位线定理即可求解． 连接，由抛物线关于轴对称，得到，因此是的中位线，得到，当过圆心时，长最大，长最大，求出的坐标是，得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接， 抛物线关于轴对称， ， ， 是的中位线， ， 当长最大时，长最大， 当过圆心时，长最大， 当时， ， 的坐标是， ， 的坐标是， ， ， 的半径是， ， ， ， 的最大值是 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点B，点P在x轴上，若的面积为2，则k的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义．熟练掌握几何图形的面积与比例系数的关系是解题的关键． 如图，连接，由轴，可得，，然后计算作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， 故选：D． 二、填空题 10. 已知点与点关于原点对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点A（a，-1）与点B（4，b）关于原点对称， ∴a=-4，b=1， 则a+b的值为：-4+1=-3． 故答案为：-3． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 11. 一个仅装有球的不透明布袋里只有3个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知概率求数量，解题的关键是掌握概率公式．根据概率公式列出比例式，即可解题． 【详解】解：由题意得， ， 解得， 故答案为：． 12. 已知，是方程的两实数根，则_________． 【答案】4092529 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则可变形为，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：∵m是方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵m，n是方程的两实数根， ∴， ∴． 故答案为:4092529． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． 13. 如图1，某家具厂设计了一款独特的弧形沙发，其靠背是一整面布料，可看作一段圆弧．图2是其示意图，布料两端点分别为点A，B，已知该弧形的半径米，所在圆弧的圆心角，则这一整面布料弧的长为______米．（结果用表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的应用．直接利用弧长公式“”求解即可． 【详解】解：∵弧形的半径米，圆心角， ∴这一整面布料弧的长为(米)， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，：：，则：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，可得，，所以，再根据相似三角形判定可知，从而可求． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ∴ ∵ ∴ ， 故答案是． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题的关键是注意先求出的值． 15. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＜0；④a+c＜1；正确的结论有_____（填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据开口方向，对称轴以及与轴的交点位置即可判断①，根据抛物线与轴有两个不同的交点即可判断②，根据时的函数值大于0，即可判断③，结合图象当时，结合③即可判断④ 【详解】解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象开口向上， ∴， ∵对称轴，抛物线与轴交于负半轴 ∴， ∴ 故①不正确 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与轴有两个不同的交点 即 故②正确； 时，，即 故③正确； 时， 即 故④正确 故正确的是②③④ 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据配方法求解即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，． 17. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）先由公式法求出，再分两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 证明： ， ， ，即， 无论取何值，这个方程总有实数根； 【小问2详解】 解： ． 当时，，故舍去； 当或时， 即，解得， 所以的周长． 18. 2021年，“碳中和，碳达峰”成为高频热词，为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题： （1）参加这次调查的学生总人数为 人； （2）扇形统计图中，B，C部分扇形所对应的圆心角分别是 ， ； （3）将条形统计图补充完整； （4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）40 （2）， （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】（1）根据A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数； （2）用分别乘以B，C部分人数所占比例即可； （3）由（2）的结果即可补全图形； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果为8种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 参加这次调查的学生总人数为（人） 故答案为：40； 【小问2详解】 扇形统计图中，B部分扇形所对应圆心角是， C部分人数为（人）， ∴C部分扇形所对应的圆心角为， 故答案为：，； 【小问3详解】 补全条形统计图如下： 小问4详解】 画树状图： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果为8种， ∴所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为． 【点睛】此题考查的是树状图法求概率以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．正确画出树状图是解题的关键．也考查了条形统计图和扇形统计图． 19. 如图，在正方形中，、是对角线上的两点，连接，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定()与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转和正方形的性质推导相等的边与角，证明全等三角形，再通过角度转化得到直角三角形，进而用勾股定理计算线段长度. （1）由线段绕点顺时针旋转得，故且；因四边形是正方形，得到且，进而得到得；结合、，根据“”可证； （2）由（1）中全等三角形的性质得，且；因正方形对角线平分内角，得到，进而得到是直角三角形．根据勾股定理得到线段的长度． 【小问1详解】 证明：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， , ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 故答案为：． 20. 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本元．试销期间发现每天的销售量（袋）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用元． 销售单价x（元） 销售量y（袋） （1）求与之间的函数关系式； （2）如果每天获得元的利润，销售单价为多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数的解析式， （1）根据每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，可设，再将，；，代入，利用待定系数法即可求解； （2）根据每天的利润每天每袋的利润销售量每天还需支付的其他费用，列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设． 将，；，代入， 得，解得． 则与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 由题意得： 解得：， 又∵， ∴， 答：如果每天获得元的利润，销售单价为元． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点． （1）求关于x的函数表达式及点B的坐标． （2）当时，；当时，．求t的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握待定系数法，数形结合的数学思想是解题关键． （1）将点代入可求得，进而得点，故可求；令，可得点； （2）数形结合，分类讨论两种情况即可求解； 【小问1详解】 解：将点代入， 得，解得， ∴点， ∴． 令，解得，， 当时，， ∴点． 【小问2详解】 解：观察图象，分两种情况讨论： ①，解得； ②解得． 综上所述，t的取值范围是或． 22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点O为BC边上一点，以点O为圆心，OB长为半径的圆与边AB相交于点D，连接DC，且DC=AC． （1）求证：DC为⊙O的切线； （2）若⊙O半径为3，CD=4，求BC的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）BC=8． 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据题意可知∠A+∠ABC=90°．根据等边对等角可得∠ABC=∠ODB，∠A=∠ADC，即得出∠ODB+∠ADC=90°，从而可求出∠ODC=90°，即证明CD是⊙O的切线； （2）根据勾股定理即可求出OC的长，从而即可求出BC的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接OD， ∵在△ABC中，∠ACB=90°， ∴∠A+∠ABC=90°． ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠ODB，即∠ABC=∠ODB． ∵DC=AC， ∴∠A=∠ADC， ∴∠ODB+∠ADC=90°， ∴∠ODC=90°， ∴CD⊥OD． ∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； 【小问2详解】 在Rt△ODC中，OD=3，CD=4， ∴ ∴BC=OB+OC=3+5=8． 【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质以及勾股定理．连接常用的辅助线是解题关键． 23. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． （1）求抛物线表达式； （2）求A，B两点的坐标； （3）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使三角形的面积最大？若存在，求点P的坐标及三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点的坐标为，点的坐标为 （3）存在点，使的面积最大，面积的最大值为16 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据对称轴公式可以求出a，从而可得抛物线解析式， （2）解出抛物线解析式时的两个根，即可得到A，B的坐标； （3）根据解析式可求出C点坐标，然后设直线的解析式为，从而可求该解析式方程，假设存在点，使三角形的面积最大，设点的坐标为，然后过点作轴，交直线于点，从而可求答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； 【小问3详解】 解：存在； 当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 假设存在点，使三角形的面积最大， 设点的坐标为， 如图所示，过点作轴，交直线于点， 则点的坐标为， 则， ∴ ∴当时，的面积最大，最大值是，此时； ∴存在点，使的面积最大，面积的最大值为16． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $