精品解析：重庆市第十一中学校2020-2021学年九年级下学期开学数学试卷

重庆十一中2020－2021学年九年级（下）开学数学试卷 一、单选题（4分×12＝48分） 1. －的绝对值是：（ ） A. － B. C. －6 D. 6 2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则AB=（ ） A. 28 B. 18 C. 10 D. 7 4. 下列调查中，适合用全面调查方法的是 ( ) A. 了解一批电冰箱的使用寿命 B. 了解淮安市居民的年人均收入 C. 了解淮安市中学生的身高 D. 了解我校八年级数学教师的年龄状况 5. 与最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点O，点、点，若的面积为4，则的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 7. 如图，是半圆的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 根据如图所示的计算机程序，若输入的值x=-1，则输出的值y=（ ） A. 2 B. -1 C. -3 D. +1 9. 位于南岸区黄桷垭的文峰塔，有着“平安宝塔”之称．某校数学社团对其高度 进行了测量．如图，他们从塔底的点出发，沿水平方向行走了米，到达点，然后沿斜坡继续前进到达点处，已知．在点处用测角仪测得塔顶的仰角为（点，，，，在同一平面内）．其中测角仪及其支架高度约为米，斜坡的坡度（或坡比），那么文峰塔的高度约为（ ） A. 22.5 米 B. 24.0 米 C. 28.0 米 D. 33.3 米 10. 如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜-2，那么符合条件的所有整数a的积是 （ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 9 11. 如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，等腰中，，双曲线经过的三个顶点，边交x轴于点D，原点O在上，若且面积为2，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（4分×4＝24分） 13. 地球赤道的周长约是40210000m，用科学记数法表示这个数据为_____． 14. =______． 15. 如图，在扇形中，，点在上，且，点是线段上一动点，若，则图中阴影部分周长的最小值是________． 16. 从，三个数中，任取一个数记为，再从余下的两个数中，任取一个数记为．则 一次函数的图象不经过第四象限的概率是___________ 17. 已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，以各自的速度匀速相向而行，两车相遇后，乙车继续向终点A地行驶，而甲车原地停留了一段时间后才继续驶向终点B地，两车到达各自的终点后分别停止运动．若整个过程中，甲、乙两车各自的速度均保持不变，且甲、乙两车之间的距离s（千米）与乙车行驶时间t（小时）的函数图象如图所示，则甲车比乙车早到___________小时． 18. 重阳佳节来临之际，某糕点店对桂圆味、核桃味、绿豆味重阳糕（分别记为A，B，C）进行混装，推出了甲乙两种盒装重阳糕．盒装重阳糕的成本是盒中所有A，B，C的成本与盒装包装成本之和．每盒甲装有6个A，2个B，2个C，每盒乙装有2个A，4个B，4个C．每盒甲中所有A，B，C的成本之和是1个A成本的15倍，每盒乙的盒装包装成本是每盒甲的盒装包装成本的倍，每盒乙的利润率为20%．每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%．当该店销售这两种盒装重阳糕的总销售额为31000元，总利润率为24%时，销售甲种盒装重阳糕的总利润是___元． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°． (1)求∠ABD的度数； (2)若AB＝6，求PD的长度． 21. 为了加强语文课外阅读，某年级积极组织学生参加课外阅读读书分享会活动.从年级推荐的四种读物A：《水浒传》、B：《骆驼祥子》、C：《昆虫记》、D：《朝花夕拾》中选择一本读物每周一与班级同学分享读书体会。读书分享会活动组随机抽取本年级的部分学生，调查他们这四本读物中最喜爱一本读物，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题： （1）求被调查的学生人数； （2）补全条形统计图； （3）已知该年级有名学生，估计全年级最喜爱《水浒传》的学生有多少人？ 22. 有这样一个问题：探究函数y＝x+|x﹣2|的图象与性质 小明根据学习函数的经验，对函数y＝x+|x﹣2|的图象与性质进行了探究 下面是小明的探究过程，请补充完成： （1）化简函数解析式，当x≥2时，y＝　 　；当x＜2时，y＝　 　； （2）根据（1）中的结果，请在图1的坐标系中画出函数y＝x+|x﹣2|的图象； （3）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：　 　； （4）结合画出的函数图象，利用图2解决问题，若关于x的方程ax+1＝x+|x﹣2|有两个实数根，直接写出实数a的取值范围：　 　． 23. 发现 对于2，4，6三个连续的偶数来说，可以得到；即前两个偶数的和等于第三个偶数；对于8，10，12，14，16五个连续的偶数来说，可以得到，即前三个偶数的和等于后两个偶数的和.… 验证 对于九个连续偶数来说，若前五个偶数的和等于后四个偶数的和，则中间的偶数是_______； 延伸 是否存在连续的五个奇数，使得前三个奇数的和等于后两个奇数的和.若有，写出这五个奇数；若没有，请说明理由. 24. 今年国庆期间解放碑、洪崖洞、朝天门、来福士、长嘉汇等景点人员密集；穿楼而过的轻轨、洪崖洞、灯光秀……吸引着海量游客前来重庆打卡．位于洪崖洞的重庆知名火锅小天鹅火锅在节日期间每天也人满为患，其中鸳鸯火锅和红汤火锅最受游客青睐．在中秋节期间，前来就餐选择鸳鸯火锅和红汤火锅的游客共有2000名，鸳鸯火锅和红汤火锅的人均消费分别为180元和120元． （1）中秋节期间，若选择红汤火锅的人数不超过鸳鸯火锅人数的1.5倍．求至少有多少人选择鸳鸯火锅？ （2）“国庆”节期间，前来就餐的游客人数有所下降，与（1）问中选择鸳鸯火锅的人数最少时相比，选择两种火锅的人数均下降了a%；人均消费与中秋节期间相比均有所上升，其中鸳鸯火锅的人均消费上涨了a%，红汤火锅的人均消费上涨了a%，最终“国庆”节期间两种火锅的总销售额与（1）问中选择鸳鸯火锅的人数最少时的两种火锅的总销售额持平，求a的值． 25. 已知：如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)、B两点（A在B左），y轴交于点C（0，-3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值； （3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以B、C、E、P为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26. △ABC是等边三角形，D在射线AC上，延长BC至E，使CE＝AD，连接DB，DE． （1）如图1，若AD＝DC，求证：DB＝DE； （2）如图2，当D在线段AC延长线上时，求证：DB＝DE； （3）如图3，当D在线段AC延长线上时，AF⊥BC交DB于F，CG⊥BD交BD于G，若∠BDE＝150°，BF＝，则△CGD的面积为　 　．（直接写结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆十一中2020－2021学年九年级（下）开学数学试卷 一、单选题（4分×12＝48分） 1. －的绝对值是：（ ） A. － B. C. －6 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点－到原点的距离是，所以﹣的绝对值是， 故选B． 2. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，中心对称图形绕着某点旋转后能够与原图形完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形； 选项B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 选项C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形； 选项D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形． 3. 如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则AB=（ ） A. 28 B. 18 C. 10 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算即可． 【详解】∵DE是BC的垂直平分线， ∴BE=EC， 则AB=EB+AE=CE+EA， 又∵△ACE的周长为11，AC=4， 故AB=11-4=7， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，注意：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等． 4. 下列调查中，适合用全面调查方法的是 ( ) A. 了解一批电冰箱的使用寿命 B. 了解淮安市居民的年人均收入 C. 了解淮安市中学生的身高 D. 了解我校八年级数学教师的年龄状况 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计调查的方法选择即可判断. 【详解】A. 了解一批电冰箱的使用寿命，应采用抽样调查，故错误； B. 了解淮安市居民的年人均收入，应采用抽样调查，故错误； C. 了解淮安市中学生的身高，应采用抽样调查，故错误； D. 了解我校八年级数学教师的年龄状况，人数较少，可采用全面调查，正确， 故选D. 【点睛】此题主要考查统计调查的方法，解题的关键是熟知统计调查的方法选择. 5. 与最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】把原式去括号后根据算术平方根的性质求解 ． 【详解】解：原式=， ∵49<54<64， ∴， ∵， ∴， ∴最接近7， ∴最接近7-3即4， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则和算术平方根的性质是解题关键． 6. 如图，在直角坐标系中，和位似，位似中心为点O，点、点，若的面积为4，则的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键． 直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和位似，位似中心为点O，点、点， ∴和的相似比为， ∴和的面积比为， ∵的面积为4， ∴的面积是16． 故选：D． 7. 如图，是半圆的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，进而求出的度数，最后根据圆内接四边形的性质得到，据此计算即可． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 、B、C、D四点共圆， ， ． 8. 根据如图所示的计算机程序，若输入的值x=-1，则输出的值y=（ ） A. 2 B. -1 C. -3 D. +1 【答案】A 【解析】 【分析】由于x=-1＜0，则把x=-1代入y=x2+1中计算即可． 【详解】解：当x=-1，y=x2+1=2． 故选A． 【点睛】本题考查程序图代数式求值，解决本题的关键是要把满足条件的字母的值代入代数式进行计算得到对应的代数式的值． 9. 位于南岸区黄桷垭的文峰塔，有着“平安宝塔”之称．某校数学社团对其高度 进行了测量．如图，他们从塔底的点出发，沿水平方向行走了米，到达点，然后沿斜坡继续前进到达点处，已知．在点处用测角仪测得塔顶的仰角为（点，，，，在同一平面内）．其中测角仪及其支架高度约为米，斜坡的坡度（或坡比），那么文峰塔的高度约为（ ） A. 22.5 米 B. 24.0 米 C. 28.0 米 D. 33.3 米 【答案】C 【解析】 【详解】过点E作EM⊥AB于点M， ∵斜坡CD的坡度(或坡比)i=1:2.4，BC=CD=13米， ∴设DG=x，则CG=2.4x. 在Rt△CDG中，∵，即 解得x=5， ∴DG=5米，CG=12米， ∴EG=5+0.5=5.5米，BG=13+12=25米， ∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG， ∴四边形EGBM是矩形， ∴EM=BG=25米，BM=EG=5.5米， 在Rt△AEM中， ∵ ∴米， ∴AB=AM+BM=22.5+5.5=28米. 故选C． 10. 如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜-2，那么符合条件的所有整数a的积是 （ ） A. -3 B. 0 C. 3 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】把a看作已知数表示出不等式的解集，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，将a的整数解代入整式方程，检验分式方程解为负分数确定出所有a的值，即可求出之积． 【详解】解：， 由①得：x≤2a＋4， 由②得：x＜−2， 由不等式组的解集为x＜−2，得到2a＋4≥−2，即a≥−3， 分式方程去分母得：a−3x−3＝1−x， 把a＝−3代入整式方程得：−3x−6＝1−x，即x＝−，符合题意； 把a＝−2代入整式方程得：−3x−5＝1−x，即x＝−3，不合题意； 把a＝−1代入整式方程得：−3x−4＝1−x，即x＝−，符合题意； 把a＝0代入整式方程得：−3x−3＝1−x，即x＝−2，不合题意； 把a＝1代入整式方程得：−3x−2＝1−x，即x＝−，符合题意； 把a＝2代入整式方程得：−3x−1＝1−x，即x＝−1，不合题意； 把a＝3代入整式方程得：−3x＝1−x，即x＝−，符合题意； ∴符合条件的整数a的取值为−3，−1，1，3，它们的积为9， 故选：D． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11. 如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则CD=3x，，根据求出x=6，得到CD=18，CF=8，=12，证明△∽△求得DM=9，，，AM=9，再根据求得AE=4，过点E作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，再根据勾股定理求出EF=. 【详解】设，则CD=3x，， 由折叠得， ∴CF=3x-10， ∵ ∴100=， 解得x=6或x=0（舍去）， ∴CD=18，CF=8，=12， ∵∠C=∠D=∠, ∴∠, ∴△∽△, ∴， ∴， ∴DM=9，， ∴，AM=9， 在Rt△中，， ∴, 解得EM=5， ∴AE=4， 过点E作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形， ∴BH=AE=4，EH=AB=CD=18， ∴FH=10-4=6， ∴EF=, 故选：C. 【点睛】此题考查正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，解题中多次用到勾股定理求出直角三角形中的边长，根据折叠的性质得到对应的边相等或角度相等是解题的关键. 12. 如图，等腰中，，双曲线经过的三个顶点，边交x轴于点D，原点O在上，若且面积为2，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据反比例函数的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后又根据相似三角形的判定与性质可得，由此可得一个关于k的方程，解方程即可得． 【详解】如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，连接OA， 由反比例函数的性质可知，， ， ， ， 在和中，， ， ， 解得， ， ， 又轴，轴， ， ， ，即， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则的值为6， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数的性质和相似三角形的判定是解题关键． 二、填空题（4分×4＝24分） 13. 地球赤道的周长约是40210000m，用科学记数法表示这个数据为_____． 【答案】4.021×107． 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】40210000m，用科学记数法表示这个数据为4.021×107． 故答案为4.021×107． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 14. =______． 【答案】2 【解析】 【详解】解：原式． 15. 如图，在扇形中，，点在上，且，点是线段上一动点，若，则图中阴影部分周长的最小值是________． 【答案】+ 【解析】 【分析】作点C关于OB的对称点F，连接FA，与OB交点为P，此时PA+PC最小，最小值就是A F长，再加上弧AC的长即可． 【详解】解：作点C关于OB的对称点F，连接FA，与OB交点为P，FC交OB于点E，过点F作FD⊥AO，交AO延长线于点D，由对称可知，CP=PF，∠CEO=90°， ∵，， ∴， ∵∠CEO=90°，， ∴， ， ∵四边形EFDO是矩形， ∴DF=，OD=1， AD=OA+OD=3， ， 弧AC的长=， 阴影部分周长的最小值是+． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题和弧长公式以及勾股定理，解题关键是把周长最小问题转化为两点之间，线段最短问题，熟练的运用圆的有关性质和勾股定理是解题的关键． 16. 从，三个数中，任取一个数记为，再从余下的两个数中，任取一个数记为．则 一次函数的图象不经过第四象限的概率是___________ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图如下， ∵一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限， ∴k＞0、b0， 一次函数不经过第四象限的等可能的结果有2种， 则一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率为 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比,同时考查了一次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． 17. 已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，以各自的速度匀速相向而行，两车相遇后，乙车继续向终点A地行驶，而甲车原地停留了一段时间后才继续驶向终点B地，两车到达各自的终点后分别停止运动．若整个过程中，甲、乙两车各自的速度均保持不变，且甲、乙两车之间的距离s（千米）与乙车行驶时间t（小时）的函数图象如图所示，则甲车比乙车早到___________小时． 【答案】 【解析】 【分析】想办法求出甲实际行驶的时间即可解决问题 【详解】由题意乙的速度==60千米/小时， 甲的速度==80千米/小时， 甲从A到B需要=小时， 中途休息了=小时， ∴甲时间行驶时间=+=小时， 7﹣=， ∴甲车比乙车早到小时． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用，路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 18. 重阳佳节来临之际，某糕点店对桂圆味、核桃味、绿豆味重阳糕（分别记为A，B，C）进行混装，推出了甲乙两种盒装重阳糕．盒装重阳糕的成本是盒中所有A，B，C的成本与盒装包装成本之和．每盒甲装有6个A，2个B，2个C，每盒乙装有2个A，4个B，4个C．每盒甲中所有A，B，C的成本之和是1个A成本的15倍，每盒乙的盒装包装成本是每盒甲的盒装包装成本的倍，每盒乙的利润率为20%．每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%．当该店销售这两种盒装重阳糕的总销售额为31000元，总利润率为24%时，销售甲种盒装重阳糕的总利润是___元． 【答案】2500． 【解析】 【分析】设A的成本为x元，B的成本为y元，C的成本为z元，求出乙每盒的重阳糕的成本是甲每盒的重阳糕的成本的，设甲每盒的成本为m，则乙每盒的成本为m，当销售这两种盒装重阳糕的销售利润率为24%时，该店销售甲的销售量为a盒，乙的销售量为b盒，根据题意列出方程，即可得出结果． 【详解】解：设A的成本为x元，B的成本为y元，C的成本为z元，当销售这两种盒装重阳糕的销售利润率为24%时，该店销售甲的销售量为a盒，乙的销售量为b盒， 甲每盒装的重阳糕的成本是：15x＝6x+2y+2z， 化简得：y+z＝4.5x， 乙每盒装的重阳糕的成本是：2x+4y+4z＝2x+4（y+z）＝2x+4×4.5x＝20x， ∵＝， ∴乙每盒的重阳糕的成本是甲每盒的重阳糕的成本的， ∵每盒乙的盒装包装成本是每盒甲的盒装包装成本的倍， ∴乙每盒的成本是甲每盒的成本的， 设甲每盒的成本为m，则乙每盒的成本为m， 乙每盒的售价为：m（1+20%）＝1.6m， ∵每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%， ∴甲每盒的售价为：＝m， 根据甲乙的利润得： （m﹣m）a+（1.6m﹣m）b＝（ma+mb）×24%， 化简得：0.28ma＝0.16mb， ∴b＝a， ∵ma+1.6mb＝31000， ∴ma+1.6m×a＝31000， 解得：ma＝7500， ∴销售甲种盒装重阳糕的总利润是：ma﹣ma＝ma＝×7500＝2500（元）， 故答案为：2500． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用等知识；由题意列出方程是解题的关键． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由整式的混合运算，先去括号，然后合并同类项，即可得到答案； （2）先计算括号内的运算，然后计算分式除法运算，即可得到答案． 【详解】解：（1） = =； （2） = = =． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 20. 如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°． (1)求∠ABD的度数； (2)若AB＝6，求PD的长度． 【答案】（1）∠ABD=30°；（2）PD=． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得：∠ADB=90°，由同弧所对的圆周角相等和直角三角形的性质可得结论； （2）如图1，根据切线的性质可得∠BAP=90°，根据直角三角形30°角的性质可计算AD的长，由勾股定理计算DB的长，由三角函数可得PB的长，从而得PD的长． 【详解】（1）如图，连接AD． ∵BA是⊙O直径， ∴∠BDA=90°． ∵， ∴∠BAD=∠C=60°． ∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-60°=30°． （2）如图，∵AP是⊙O的切线， ∴∠BAP=90°． 在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°， ∴DA=BA=×6=3． ∴BD=DA=3． 在Rt△BAP中，∵cos∠ABD=， ∴cos30°=． ∴BP=4． ∴PD=BP-BD=4-3=． 【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 为了加强语文课外阅读，某年级积极组织学生参加课外阅读读书分享会活动.从年级推荐的四种读物A：《水浒传》、B：《骆驼祥子》、C：《昆虫记》、D：《朝花夕拾》中选择一本读物每周一与班级同学分享读书体会。读书分享会活动组随机抽取本年级的部分学生，调查他们这四本读物中最喜爱一本读物，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题： （1）求被调查的学生人数； （2）补全条形统计图； （3）已知该年级有名学生，估计全年级最喜爱《水浒传》的学生有多少人？ 【答案】（1）60人；（2）喜欢读物的学生数为：8人，图见解析；（3）480人 【解析】 【分析】(1)根据C类的人数的人数及所占的比例可得出抽查的总人数； (2)先求出B类的人数，然后补全频数分布直方图； (3)首先确定喜爱《水浒传》的学生所占的比例，然后根据频数=总数×频率即可得出答案． 【详解】解： （1） 被调查的学生人数为：（人）； （2）喜欢读物的学生数为：（人），如图所示： 最喜爱读物的人数条形统计图 （3）全年级最喜爱《水浒传》的学生约有：（人）. 【点睛】本题为统计题，考查扇形统计图，条形统计图，，掌握相关的知识点是解题的关键. 22. 有这样一个问题：探究函数y＝x+|x﹣2|的图象与性质 小明根据学习函数的经验，对函数y＝x+|x﹣2|的图象与性质进行了探究 下面是小明的探究过程，请补充完成： （1）化简函数解析式，当x≥2时，y＝　 　；当x＜2时，y＝　 　； （2）根据（1）中的结果，请在图1的坐标系中画出函数y＝x+|x﹣2|的图象； （3）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：　 　； （4）结合画出的函数图象，利用图2解决问题，若关于x的方程ax+1＝x+|x﹣2|有两个实数根，直接写出实数a的取值范围：　 　． 【答案】（1）y＝2x﹣2； y＝2；（2）详见解析；（3）当x＞2时，y随x的增大而增大；（4）0.5＜a＜2． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可以分别写出x≥2和x＜2时的函数解析式； （2）根据（1）中的结果，可以在图1的坐标系中画出函数y＝x+|x﹣2|的图象； （3）根据（1）中的函数图象，可以写出函数y＝x+|x﹣2|的一条性质，本题答案不唯一，只要符合题意即可； （4）根据一次函数与方程的关系，可以得到关于x的方程ax+1＝x+|x﹣2|有两个实数根时，a的取值范围． 【详解】（1）当x≥2时，y＝x+|x﹣2|＝x+x﹣2＝2x﹣2， 当x＜2时，y＝x+|x﹣2|＝x+2﹣x＝2， 故答案为2x﹣2，2； （2）当x≥2时，y＝2x﹣2过点（2，2），（3，4）， 函数y＝x+|x﹣2|的图象如图1所示； （3）由图象可知， 当x＞2时，y随x的增大而增大， 故答案为当x＞2时，y随x的增大而增大； （4）∵y＝ax+1的函数图象一定过点（0，1） ∴当y＝ax+1中的a＝2时，直线y＝ax+1与直线y＝x+|x﹣2|有一个交点， 当a≥2或a＜0时，y＝ax+1与y＝x+|x﹣2|有一个交点， 当直线y＝ax+1过点（2，2）时，2＝2a+1，得a＝0.5，故当0≤a＜0.5时，y＝ax+1与y＝x+|x﹣2|没有交点，当a＝0.5时，y＝ax+1与y＝x+|x﹣2|有一个交点， 由上可得，关于x的方程ax+1＝x+|x﹣2|有两个实数根，实数a的取值范围是：0.5＜a＜2， 故答案为0.5＜a＜2． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合的思想，正确画出函数图象是解题的关键. 23. 发现 对于2，4，6三个连续的偶数来说，可以得到；即前两个偶数的和等于第三个偶数；对于8，10，12，14，16五个连续的偶数来说，可以得到，即前三个偶数的和等于后两个偶数的和.… 验证 对于九个连续偶数来说，若前五个偶数的和等于后四个偶数的和，则中间的偶数是_______； 延伸 是否存在连续的五个奇数，使得前三个奇数的和等于后两个奇数的和.若有，写出这五个奇数；若没有，请说明理由. 【答案】验证 40；延伸：不存在，理由详见解析. 【解析】 【分析】（1）设中间数为n，根据题意进行计算即可验证； （2）将连续五个奇数设出来，根据题意列出方程，方程的解不为整数，于是不存在. 【详解】解：验证 40； 设九个连续偶数中间的数为n，则这九个数为.由题意，得，解得. 延伸 不存在. 理由如下：设这五个连续的奇数为，，，，（k是整数）， 若前三个奇数的和等于后两个奇数的和，则， 解得. ∴k是整数， ∴不符合题意. ∴不存在连续的五个奇数，使得前三个奇数的和等于后两个奇数的和. 【点睛】本题考查了列方程解决问题，猜想验证，解题的关键是理解题意，根据条件列式求解. 错因分析 中等题. 失分原因是：验证 没有掌握规律，对于九个连续偶数，根据规律前五个偶数的和等于后四个偶数的和；延伸 不能正确表示连续的奇数，最中间的奇数可以写成. 24. 今年国庆期间解放碑、洪崖洞、朝天门、来福士、长嘉汇等景点人员密集；穿楼而过的轻轨、洪崖洞、灯光秀……吸引着海量游客前来重庆打卡．位于洪崖洞的重庆知名火锅小天鹅火锅在节日期间每天也人满为患，其中鸳鸯火锅和红汤火锅最受游客青睐．在中秋节期间，前来就餐选择鸳鸯火锅和红汤火锅的游客共有2000名，鸳鸯火锅和红汤火锅的人均消费分别为180元和120元． （1）中秋节期间，若选择红汤火锅的人数不超过鸳鸯火锅人数的1.5倍．求至少有多少人选择鸳鸯火锅？ （2）“国庆”节期间，前来就餐的游客人数有所下降，与（1）问中选择鸳鸯火锅的人数最少时相比，选择两种火锅的人数均下降了a%；人均消费与中秋节期间相比均有所上升，其中鸳鸯火锅的人均消费上涨了a%，红汤火锅的人均消费上涨了a%，最终“国庆”节期间两种火锅的总销售额与（1）问中选择鸳鸯火锅的人数最少时的两种火锅的总销售额持平，求a的值． 【答案】（1）800人；（2）20 【解析】 【分析】（1）设有x人选择鸳鸯火锅，则有（2000﹣x）人选择红汤火锅，根据选择红汤火锅的人数不超过鸳鸯火锅人数的1.5倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论； （2）根据总销售额＝人均消费额×人数结合最终“国庆”节期间两种火锅的总销售额与（1）问中选择鸳鸯火锅的人数最少时的两种火锅的总销售额持平，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）设有x人选择鸳鸯火锅，则有（2000﹣x）人选择红汤火锅， 依题意，得：2000﹣x≤1.5x， 解得：x≥800． 答：至少有800人选择鸳鸯火锅． （2）依题意，得：180（1+a%）×800（1﹣a%）+120（1+a%）×（2000﹣800）（1﹣a%）＝180×800+120×（2000﹣800）， 整理，得：36a2﹣720a＝0， 解得：a1＝20，a2＝0（不合题意，舍去）． 答：a的值为20． 【点睛】考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和列出一元二次方程． 25. 已知：如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)、B两点（A在B左），y轴交于点C（0，-3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值； （3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以B、C、E、P为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）P1（3，-3），P2（，3），P3（，3）． 【解析】 【分析】（1）将的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式； （2）根据的坐标，易求得直线的解析式．由于都是定值，则 的面积不变，若四边形面积最大，则的面积最大；过点作轴交于，则 可得到当面积有最大值时，四边形的面积最大值； （3）本题应分情况讨论：①过作轴的平行线，与抛物线的交点符合点的要求，此时的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出点坐标；②将平移，令点落在轴（即点）、点落在抛物线（即点）上；可根据平行四边形的性质，得出点纵坐标（纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得点坐标． 【详解】解：（1）把代入， 可以求得 ∴ （2）过点作轴分别交线段和轴于点， 在中，令，得 设直线的解析式为 可求得直线的解析式为： ∵S四边形ABCD 设 当时，有最大值 此时四边形ABCD面积有最大值 （3）如图所示， 如图：①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥BC交x轴于点E1，此时四边形BP1CE1为平行四边形， ∵C（0，-3） ∴设P1（x，-3） ∴x2-x-3=-3，解得x1=0，x2=3， ∴P1（3，-3）； ②平移直线BC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当BC=PE时，四边形BCEP为平行四边形， ∵C（0，-3） ∴设P（x，3）， ∴x2-x-3=3， x2-3x-8=0 解得x=或x=， 此时存在点P2（，3）和P3（，3）， 综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（3，-3），P2（，3），P3（，3）． 【点睛】此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、平行四边形的判定和性质、二次函数的应用等知识，综合性强，难度较大． 26. △ABC是等边三角形，D在射线AC上，延长BC至E，使CE＝AD，连接DB，DE． （1）如图1，若AD＝DC，求证：DB＝DE； （2）如图2，当D在线段AC延长线上时，求证：DB＝DE； （3）如图3，当D在线段AC延长线上时，AF⊥BC交DB于F，CG⊥BD交BD于G，若∠BDE＝150°，BF＝，则△CGD的面积为　 　．（直接写结果） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质可得AD＝CD，∠CBD＝30°，由等腰三角形的性质可得∠CED＝30°＝∠CBD，可证DB＝DE． （2）过点D作DF∥AB交BE于F，由“SAS”可证△BCD≌△EFD，可得DB＝DE． （3）如图3中，连接CF．证明CF垂直平分线段BC，推出BF＝CF＝，再证明△CGD是等腰直角三角形，求出CG即可解决问题． 【详解】解（1）如图1中， ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝∠BCA＝60°， ∵点D为线段AC的中点， ∴AD平分∠BAC，AD＝CD， ∴∠CBD＝30°， 又∵AD＝CE， ∴CD＝CE， ∠CDE＝∠CED， 又∵∠CDE+∠CED＝∠BCD， ∴2∠CED＝60°， ∴∠CED＝30°＝∠CBD， ∴DB＝DE． （2）证明：如图2中，过点D作DF∥AB交BE于F， ∴∠CDF＝∠A，∠CFD＝∠ABC， ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC＝∠BCA＝∠A＝60°，BC＝AC＝AB， ∴∠CDF＝∠CFD＝60°＝∠ACB＝∠DCF， ∴△CDF为等边三角形 ∴CD＝DF＝CF， 又AD＝CE， ∴AD﹣CD＝CE﹣CF， ∴BC＝AC＝EF， ∵∠BCD＝∠CFD+∠CDF＝120°， ∠DFE＝∠FCD+∠FDC＝120°， ∴∠BCD＝∠DFE，且BC＝EF，CD＝DF， ∴△BCD≌△EFD（SAS） ∴DB＝DE． （3）解：如图3中，连接CF． ∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC， ∴AF平分线段BC， ∴AF垂直平分线段BC， ∴BF＝FC＝， ∴∠FCB＝∠FBC， 由（2）可知，DB＝DE， ∴∠E＝∠DBE， ∵∠BDE＝150°， ∴∠DBC＝∠E＝∠BCF＝15°， ∴∠CFG＝∠FBC+∠FCB＝15°+15°＝30°， ∵CG⊥BD， ∴∠CGF＝∠CGD＝90°， ∴CG＝CF＝， ∵∠ACB＝∠DBC+∠BDC＝60°， ∴∠CDG＝60°﹣15°＝45°， ∴∠GCD＝∠GDC＝45°， ∴CG＝GD＝， ∴S△CGD=•CG•DG＝××＝． 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $