2026年江苏省南京市中考数学自编模拟练习卷

2026年江苏省南京市中考数学模拟练习卷 2025-2026学年第二学期 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．（2分）若|x|＝3，且x＜0，则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D． 2．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知OD⊥AB，，则∠ACB＝（　　） A．52° B．60° C．64° D．68° 3．（2分）若分式存在，则x的取值范围为（　　） A．x≠﹣3 B．x＝﹣3 C．x＞﹣3 D．x≥﹣3 4．（2分）（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2分）如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数是（　　） A．﹣1.5 B． C． D．π 6．（2分）将一次函数y＝﹣3x+2的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（　　） A．y＝﹣3x+5 B．y＝﹣3x﹣1 C．y＝﹣3x+4 D．y＝﹣3x﹣4 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．（2分）已知一组数据x1，x2，x3的平均数是5，则数据x1+2，x2+2，x3+2的平均数是 　 　 ． 8．（2分）已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是　 　 ． 9．（2分）对于任意不相等的两个实数a，b，新定义一种运算“※”如下：a※b（b＞a），则2※6＝　 　 ． 10．（2分）已知关于x的方程的解为x＝2，则m的值为　 　 ． 11．（2分）已知方程x2﹣6x+c＝0，用配方法化为a（x+b）2＝2c．则c＝　 　 ． 12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D、E分别是边AC、BC上的点（都不与端点重合），且DE＝6，以DE为直径作⊙O交斜边AB于点F、G．当FG＝CE时，CD的长为　 　 ． 13．（2分）在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果△ADE的面积和四边形DBCE的面积相等，BC＝2，那么DE的长为　 　 ． 14．（2分）反比例函数，当y≥﹣2时，x的取值范围是 　 　 ． 15．（2分）在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点，连接AE，在平面内有一动点F，若△AEF与△ABE全等时，则BF＝ 　 　 ． 16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝12，D为AC上一点，CD＝6，以C为圆心，CD长为半径作圆，连结BD并延长交⊙O于另一点E，若CE∥AB，则AB的长为 　 　 ． 三．解答题（共11小题，满分88分） 17．（7分）解不等式组：． 18．（7分）如图，已知三角形ABC，请用尺规作图法过点A作直线MN，使得MN∥BC．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（8分）某校举办了首届“数学展示”活动，为表彰在本次活动中表现优秀的学生，老师决定购买笔袋或彩色铅笔作为奖品．已知购买1个笔袋、2筒彩色铅笔共需44元；购买2个笔袋、3筒彩色铅笔共需73元．求每个笔袋、每筒彩色铅笔的单价各是多少元？ 20．（7分）计算：． 21．（8分）为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，我市某社区开展了“文明新风进社区”系列志愿服务活动，参加活动的每位志愿者必须从A．“垃圾分类入户宣传”、B．“消防安全知识宣传”、C．“走访慰问孤寡老人”、D．“社区环境整治活动”四个活动主题中随机选取一个主题． （1）志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是 　 　 ； （2）志愿者小张和小李从A、B、C、D四个主题中分别随机选取一个主题，求他们选取相同主题的概率． 22．（7分）某校为提高学生的文化自信，开展了“爱我中华”优秀传统文化大赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取了20名学生的初赛成绩（成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）进行统计、整理． 信息一：七年级抽取的学生的初赛成绩如下： 6，6，7，7，7，8，8，8，8，8， 9，9，9，9，9，9，9，10，10，10． 信息二：八年级抽取的学生的初赛成绩制作成如图所示的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）分别计算七、八年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩； （2）若学校要给两个年级中的一个年级颁奖，你认为应该给哪个年级颁奖？请从两个角度说明理由． 23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，P在BA的延长线上，C为⊙O上一点，且∠ACP＝∠OBC． （1）求证：PC与⊙O相切； （2）若PC＝BC，∠OBC＝30°，点D在⊙O上，且BD＝PA，连接AD交BC于点M，试判断AM与DM的数量关系，并说明理由． 24．（8分）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢两车距各自出发地的路程y（km）与所用的时间x（h）的关系如图所示． （1）甲乙两地之间的路程为　 　 km；快车的速度为　 　 km/h；慢车的速度为　 　 km/h． （2）出发h，快慢两车距各自出发地的路程相等；（写出解答过程快慢两车出发h相距150km．（写出解答过程） 25．（8分）如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东75°方向，又航行10海里后，在B处测得小岛P在北偏东60°方向，若小岛周围4海里范围内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁危险？请说明理由． 26．（9分）已知直线d：y＝kx+b经过点（0，﹣7）和点（8，1）． （1）求直线d的解析式； （2）若点P（m，n）是直线d上的一点，以点P为顶点的抛物线G经过点（0，3），且开口向上． ①试求n的取值范围； ②设抛物线G与直线d的另一个交点为Q，当点Q向左平移一个单位长度后所得到的点Q′也在图象G上，且m＜0，试求G在2m≤x的图象的最高点的坐标． 27．（11分）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝10cm，如图1和图2所示，CD为水面截线，MN为台面截线，MN∥CD，半圆O与MN相切于水槽最低点P．如图1，初始情况下A，C重合，∠AOP＝60°． （1）求圆心O到水面CD的距离； （2）探究图1中的水槽沿MN向右无滑动的滚动，使水流出一部分，当CD＝8cm时停止滚动，此时B，D重合，如图2． ①求水位下降的高度； ②求圆心移动的距离，并比较圆心移动的距离与半径的大小．（参考数据：sin53°，tan37°） 2026年江苏省南京市中考数学模拟练习卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C A B B A 一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分） 1．【解答】解：∵若|x|＝3，且x＜0， ∴x＝﹣3． 故选：B． 2．【解答】解：∵，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB， ∴∠ADO＝90°，∠AOB＝2∠AOD， ∵∠DAO＝26°， ∴∠AOD＝90°﹣26°＝64°， ∴∠AOB＝128°， ∴∠ACB∠AOB＝64°． 故选：C． 3．【解答】解：根据分式有意义的条件是分母不为0可得：分式存在，即有意义， ∴x+3≠0， 解得：x≠﹣3， 故选：A． 4．【解答】解：2， 故选：B． 5．【解答】解：点A到原点的距离， ∵点A在原点的左侧， ∴点A表示的数是， 故选：B． 6．【解答】解：根据一次函数图象的平移规律可知： 将一次函数y＝﹣3x+2的图象向上平移3个单位长度后，所得图象对应的函数表达式为y＝﹣3x+2+3＝﹣3x+5， 故选：A． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 7．【解答】解：由题意知x1+x2+x3＝15， ∴（x1+2+x2+2+x3+2） （15+6） ＝7， 故答案为：7． 8．【解答】解：当4为腰时，三边为4，4，2，符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2＝10； 当2为腰时，三边为2，2，4，2+2＝4，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形． 故答案为：10． 9．【解答】解：∵a※b（b＞a） ∴2※6 ． 故答案为：． 10．【解答】解：∵关于x的方程的解为x＝2， ∴， 解得：m＝1.5， 故答案为：1.5． 11．【解答】解：原方程配方得x2﹣6x+9＝﹣c+9， 即（x﹣3）2＝9﹣c， 则2c＝9﹣c， ∴c＝3． 故答案为：3． 12．【解答】解：连接OA，OB，OC，OG，作OK⊥CE，OM⊥CD，ON⊥FG，垂足分别为K，M，N，设CE＝FG＝x，CD＝y， 则：， ∵OE＝OD＝OG， ∴OK，OM是△CDE的中位线， ∴， ∵FG＝CE， ∴KE＝GN， 在Rt△OEK和Rt△OGN中，KE＝GN，OG＝OE， ∴Rt△OEK≌Rt△OGN（HL）， ∴， ∴， ∴x2+y2＝62＝36， ∵S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△COB， ∴，即， 整理得x+2y＝12， ∴x＝12﹣2y， ∴12﹣2y）2+y2＝36， 解得y＝6或， 当y＝6时，x＝0，不符合题意； 故， ∴； 故答案为：． 13．【解答】解：如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵△ADE的面积和四边形DBCE的面积相等， 设△ADE的面积为S，则四边形DBCE的面积也为S， ∴△ABC的面积为S+S＝2S， ∴，即， ∴， ∴（取正值）， ∴． 故答案为：． 14．【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣2＜0， ∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵当y＝﹣2时，x＝1， ∴当﹣2≤y＜0时，x≥1； 当y＞0时，x＜0． 综上所述，x的取值范围是x≥1或x＜0． 故答案为：x≥1或x＜0． 15．【解答】解：∵AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点， ∴cm， ∴AE5（cm）， 如图所示，以AE的中点为圆心，为半径作圆， 当F在AD上时，△AEF与△ABE全等， 则∠AF1E＝∠ABE＝90°，∠BAF1＝90°， ∴四边形ABEF1是矩形，则EF1＝AB＝4，AF1＝BE＝3cm， ∴（cm）， 当B，F2关于AE对称时，设BF2，AE交于点G，则BF2⊥AE， ∴（cm）， ∴cm， 当F1，F3关于AE对称时，连接F2F3，则四边形AF2EF3是矩形， ∴F2F3＝AE＝5cm， 又∵BF1＝F2F3， ∴四边形F1F2BF3是矩形， ∴BF3（cm）， 综上所述，BF＝5cm，，， 故答案为：5cm，，． 16．【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，设AF＝x，如图： 在△ACF中，AF＝x，∠ACB＝30°， ∴AC＝2x， 由勾股定理得：CFx， ∵CD＝6， ∴CE＝CD＝6，AD＝AC﹣CD＝2x﹣6， ∴∠E＝∠CDE， ∵CE∥AB， ∴∠ABD＝∠E， 又∵∠ADB＝∠CDE， ∴AB＝AD＝2x﹣6， 在Rt△ABF中，AB＝2x﹣6，AF＝x， 由勾股定理得：BF， ∵BC＝12， ∴BF+CF＝12， 即：x＝12， 移项得：12x， 两边平方得：（2x﹣6）2﹣x2， 整理得：48x＝396， ∴x＝8.25， 经检验，x＝8.25是方程的根， ∴AB＝2x﹣6＝2×8.25﹣6＝10.5． 故答案为：10.5． 三．解答题（共11小题，满分88分） 17．【解答】解：， 解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x＞﹣4， ∴原不等式组的解集为：x＞1． 18．【解答】解：如图，直线MN即为所求． 19．【解答】解：设每个笔袋的单价是x元，每筒彩色铅笔的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个笔袋的单价是14元，每筒彩色铅笔的单价是15元． 20．【解答】解：原式 ． 21．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的结果有1种， ∴志愿者小李选取A．“垃圾分类入户宣传”这个主题的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中他们选取相同主题的结果有4种， ∴他们选取相同主题的概率为． 22．【解答】解：（1）七年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩为8.3（分）， 八年级所抽取的20名学生的初赛平均成绩为8.3（分）； （2）从众数角度看，七年级的众数为9大于八年级的众数为7；从中位数来看，七年级的中位数8.5高于八年级的中位数8， 综上所述，应该给七年级颁奖．（答案不唯一，也可从众数、优秀率的角度来分析）． 23．【解答】（1）证明：如图，AB是⊙O的直径，连接OC，则OB＝OC， ∴∠ACB＝90°，∠OBC＝∠BCO， ∴∠BCO+∠ACO＝90°， ∴∠OBC+∠ACO＝90°， ∵∠ACP＝∠OBC， ∴∠ACP+∠ACO＝90°， ∴∠OCP＝90°， 又∵OC是⊙O的半径， ∴PC与⊙O相切； （2）解：AM＝2DM；理由如下： ∵PC＝BC，∠OBC＝30°， ∴∠P＝∠OBC＝30°， ∵∠BCA＝90°， ∴∠OBC+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∵∠BAC是△APC的外角， ∴∠BAC＝∠ACP+∠P， ∴∠ACP＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ACP＝∠P， ∴AC＝AP， ∵BD＝AP， ∴BD＝AC， ∴， ∴∠BAD＝∠OBC＝30°， ∴BM＝AM，∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°， ∵， ∴∠DBM＝∠CAD＝30°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠BDA＝90°， ∴BM＝2DM， ∴AM＝2DM． 24．【解答】解：（1）由图可知：甲乙两地之间的路程为420km； 快车的速度为：140km/h； 由题意得：快车7小时到达甲地，则慢车6小时到达甲地， 则慢车的速度为：70km/h； 故答案为：420，140，70； （2）∵快车速度为：140km/h， ∴A为（3，420）． ∴B为（4，420）． 由图可知：快车返程时，两车距各自出发地的路程相等， 设出发x小时，两车距各自出发地的路程相等， 70x＝2×420﹣140（x﹣1）， 70x＝980﹣14x， 解得：x， 答：出发小时，快、慢两车距各自出发地的路程相等； 故答案为：； 第一种情形第一次没有相遇前，相距150km， 则140x+70x+150＝420， 解得：x， 第二种情形应是相遇后而快车没到乙地前140x+70x﹣420＝150， 解得：x， 第三种情形是快车从乙往甲返回：70x﹣140（x﹣4）＝150， 解得：x， 综上所述：快慢两车出发h或h或h相距150km． 故答案为：或或． 25．【解答】解：该船一直向东航行无触礁危险，理由如下： 由题意得：∠PAD＝15°，∠PBD＝30°， ∴∠APD＝∠PBD﹣∠PAD＝30°﹣15°＝15°， ∴∠APD＝∠PAD， ∴PB＝AB＝10米， 在Rt△PBD中，∠PBD＝30°，PB＝10米， 则PDPB＝5（米）， ∵5＞4， ∴该船一直向东航行无触礁危险． 26．【解答】解：（1）将点（0，﹣7）和点（8，1）代入y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线d的解析式为y＝x﹣7； （2）①∵点P（m，n）在直线d上， ∴n＝m﹣7， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+m﹣7， ∵抛物线经过点（0，3）， ∴am2+m﹣7＝3， ∴a， ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∴a0， ∴m＜10且m≠0， ∴n+7＜10且n+7≠0， ∴n＜3且n≠﹣7； ②∵抛物线的对称轴为直线x＝m， ∴Q点与Q'关于x＝m对称， ∴Q点的横坐标为m， 联立方程组， 整理得ax2+（﹣1﹣2ma）x+am2+m＝0， ∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点， ∴m+m2m， ∴a＝2， ∴y＝2（x﹣m）2+m﹣7， ∴2m2+m﹣7＝3， 解得m且m＝2（舍去） ∴y＝2（x）2， 此时抛物线的对称轴为直线x， 图象在﹣5≤x上的最高点坐标为（﹣5，3）． 27．【解答】解：（1）在题图1中，设AD与OP交于点F， ∵AB＝10cm， ∴OA＝5cm， 由题意得：OP⊥MN， ∵MN∥CD， ∴OP⊥AD， 在Rt△AOF中， ∵AO＝5cm，∠AOP＝60°， ∴， ∴圆心O到水面CD的距离为； （2）①在题图2中，设OP与CB的交点为E， ∵AB＝10cm， ∴OB＝5cm． ∵此时点B，D重合， ∴OP是半径， ∴OE⊥CD， ∴． 在Rt△BOE中， ∵OB＝5cm，BE＝4cm， ∴， ∴水位下降的高度为； （2）在题图2中，连接CO， ∵OP⊥CD，CD＝8cm， ∴， ∵∠CEO＝90°，OC＝5cm， ∴， ∵， ∴∠COE＝53°， ∴∠BOP＝53°， ∴∠AOC＝180°﹣∠COE﹣∠BOP＝74°， 由题意可得点O移动的距离为 的长， ∴点O移动的距离为． ∵半径为5， ∴， ∴圆心移动的距离大于圆的半径． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/22 8:27:33；用户：15066231837；邮箱：15066231837；学号：67075772 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $