6.4.3 第3课时 余弦定理和正弦定理的应用同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理和正弦定理的应用同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且满足2b＝a＋c，cos B＝，△ABC的面积为6，则b＝（ ） A．4 B．2 C．6 D．6或 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，b＝4，C＝2B，则△ABC的面积为（ ） A． B． C．3 D．2 3．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，D为BC边上一点，已知BD＝2且∠ADC＝45°，则AC＝（ ） A．＋ B．－ C．＋1 D．－1 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ab sin C＝21sin B，a2＋c2＝58，且14cos B＝11，则b的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．在△ABC中，D为边BC上一点，∠DAC＝，AD＝4，AB＝2BD，且△ADC的面积为4，则sin ∠ABD＝（ ） A． B． C． D． 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，(sin A－sin B)(b＋a)＝c(sin B＋sin C)，则△ABC面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，CD为角C的平分线，若B＝2A，2AD＝3BD，则cos A等于（ ） A． B． C． D．0 8．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，A＝，则b的取值范围是（ ） A．(0，6) B．(0，2) C．(，2) D．(3，6) 9．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin (A－C)＝cos B tan C，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．（多选）在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，下列结论正确的是（ ） A．sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3 B．C＝ C．△ABC一定是钝角三角形 D．若b＋c＝8，则△ABC的面积是 11．（多选）如图，在平面四边形ABCD中，已知∠B＋∠D＝180°，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝2，下列四个结论中正确的是（ ） A．∠B＝∠D＝90° B．四边形ABCD的面积为4＋ C．AC＝6 D．四边形ABCD的周长为6＋4＋2 二、填空题 12．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b＝2，a2＋c2＝3ac，则△ABC的面积为________． 13．在△ABC中，AB＝1，BC＝4，CA＝，D为BC边上一点，且∠ADB＝，则AD＝________． 三、解答题 14．（11分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos A(c cos B＋b cos C)＝a． （1）求A； （2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值． 15．（11分）如图，在平面四边形ABCD中，若∠ADC＝90°，sin A＝，AB＝8，BD＝6． （1）求∠ADB； （2）若DC＝2，求BC． 16．（11分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋＝2cos A． （1）求角A的大小； （2）若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围． 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理和正弦定理的应用同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： （满分：100分）（单选题、填空题每题5分；多选题每题6分） 一、选择题 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且满足2b＝a＋c，cos B＝，△ABC的面积为6，则b＝（ ） A．4 B．2 C．6 D．6或 解析：B　∵cos B＝，B∈(0，π)，可得sin B＝＝，∵△ABC的面积为6＝ac sinB＝ac，解得ac＝20，∵2b＝a＋c，由余弦定理，可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－ac＝4b2－72，∴解得b＝2，故选B． 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，b＝4，C＝2B，则△ABC的面积为（ ） A． B． C．3 D．2 解析：C　∵＝，sin C＝sin 2B＝2sin B cos B，∴c＝＝＝2b cos B，即cos B＝，cos B＝＝，解得c＝2，∴cos B＝，∵B∈(0，π)，∴sin B＝＝＝，∴S△ABC＝ac sinB＝×6×2×＝3． 3．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，D为BC边上一点，已知BD＝2且∠ADC＝45°，则AC＝（ ） A．＋ B．－ C．＋1 D．－1 解析：C　因为∠ADC＝45°，∠C＝90°，所以AD＝AC，∠ADB＝135°，在△ABD中，BD＝2，∠B＝30°，则∠BAD＝15°，由正弦定理可得＝，即＝，所以AC＝＝＝＝＋1． 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ab sin C＝21sin B，a2＋c2＝58，且14cos B＝11，则b的值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 解析：B　因为ab sin C＝21sin B，则abc＝21b⇒ac＝21，又cos B＝，所以b＝＝＝5． 5．在△ABC中，D为边BC上一点，∠DAC＝，AD＝4，AB＝2BD，且△ADC的面积为4，则sin ∠ABD＝（ ） A． B． C． D． 解析：A　因为S△ADC＝AD·AC·sin ∠DAC＝×4×AC×＝4，解得AC＝4，所以△ADC为等腰三角形，则∠ADC＝．在△ADB中，由正弦定理可得＝，即＝，解得sin ∠BAD＝．因为∠ADB＝，所以∠BAD为锐角，所以cos ∠BAD＝＝，所以sin∠ABD＝sin (∠ADC－∠BAD)＝sin ＝sin cos ∠BAD－cos sin ∠BAD＝． 6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，(sin A－sin B)(b＋a)＝c(sin B＋sin C)，则△ABC面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 解析：C　在△ABC中，(sin A－sin B)(b＋a)＝c(sin B＋sin C)，由正弦定理得(a－b)(b＋a)＝c(b＋c)，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得cos A＝＝＝－，∵0<A<π，∴sin A＝＝＝，∵3＝a2＝b2＋c2＋bc≥2bc＋bc＝3bc，当且仅当b＝c＝1时等号成立，因此bc≤1，∴△ABC面积S＝bc sinA＝bc≤，∴当b＝c＝1时，△ABC的面积取得最大值． 7．如图，在△ABC中，CD为角C的平分线，若B＝2A，2AD＝3BD，则cos A等于（ ） A． B． C． D．0 解析：C　因为CD为角C的平分线，所以＝，因为2AD＝3BD，所以＝，所以不妨设AC＝3x，BC＝2x，x>0，因为在△ABC中，＝，B＝2A，所以＝⇒＝，因为在△ABC中，sin A≠0，x≠0，所以＝⇒＝2，所以cos A＝． 8．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，A＝，则b的取值范围是（ ） A．(0，6) B．(0，2) C．(，2) D．(3，6) 解析：D　锐角△ABC中，a＝3，A＝，由正弦定理可得＝＝＝6，所以b＝6sin B，又B＋C＝，所以解得<B<，所以<sin B<1，所以b∈(3，6)． 9．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin (A－C)＝cos B tan C，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 解析：B　在锐角△ABC中，可得cos B＝－cos (A＋C)，因为sin (A－C)＝cos B tan C，可得sin A cos C－cos A sin C＝－cos (A＋C)·，整理可得(sin A cos C－cos A sin C)·cos C＝－(cos A cos C－sin A sin C)sin C， 整理可得sin A(cos2C－sin2C)＝0，在锐角△ABC中，可得cosC＝sin C，可得C＝．则可得<B<．由正弦定理可得，＝＝＝＝＋．因为tan B>1，所以0<<1，可得0<<，可得∈，故选B． 10．（多选）在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，下列结论正确的是（ ） A．sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3 B．C＝ C．△ABC一定是钝角三角形 D．若b＋c＝8，则△ABC的面积是 解析：AC　由已知可设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k(k>0)，则a＝k，b＝k，c＝k，∴a∶b∶c＝7∶5∶3，∴sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3，A正确；又cos A＝＝＝－<0，∴A＝，∴△ABC为钝角三角形，故B不正确、C正确；若b＋c＝8，则k＝2，∴b＝5，c＝3，又A＝，∴S△ABC＝bc sin A＝，故D不正确． 11．（多选）如图，在平面四边形ABCD中，已知∠B＋∠D＝180°，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝2，下列四个结论中正确的是（ ） A．∠B＝∠D＝90° B．四边形ABCD的面积为4＋ C．AC＝6 D．四边形ABCD的周长为6＋4＋2 解析：ACD　在△ABC中，可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝4＋32－2×2×4cos B，在△ACD中，可得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC cos D＝20＋16－2×2×4cos D，可得36－16cos B＝36－16cos D，即cos B＝cos D．因为∠B＋∠D＝180°，可得cos B＝－cos D，可得cos B＝0，又因为B为三角形的内角，所以∠B＝90°，所以∠B＝∠D＝90°，所以A正确；由SABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AD·DC＝×2×4＋×2×4＝4＋4，所以B不正确；在直角△ABC中，可得AC＝＝ ＝6，所以C正确；四边形ABCD的周长为l＝AB＋BC＋AD＋DC＝2＋4＋2＋4＝6＋4＋2，所以D正确． 二、填空题 12．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b＝2，a2＋c2＝3ac，则△ABC的面积为________． 答案： 解析：由余弦定理得cos B＝＝＝，得ac＝2，所以S△ABC＝ac sin B＝×2×＝． 13．在△ABC中，AB＝1，BC＝4，CA＝，D为BC边上一点，且∠ADB＝，则AD＝________． 答案： 解析：如图，在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝＝，又B∈(0，π)，则∠B＝，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以＝，AD＝． 三、解答题 14．（11分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos A(c cos B＋b cos C)＝a． （1）求A； （2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值． 解：（1）由正弦定理及2cos A(c cos B＋b cos C)＝a， 得2cos A(sin C cos B＋sin B cos C)＝sin A，即2cos A sin (C＋B)＝sin A，即2cos A sin A＝sin A， 因为0<A<π，所以sin A≠0，所以cos A＝，所以A＝． （2）由题意得△ABC的面积S＝bc sin A＝，所以bc＝4　①． 又a2＝b2＋c2－2bc cos A，且a＝2，所以b2＋c2＝8　②． 由①②得b＝c＝2． 15．（11分）如图，在平面四边形ABCD中，若∠ADC＝90°，sin A＝，AB＝8，BD＝6． （1）求∠ADB； （2）若DC＝2，求BC． 解：（1）在△ABD中，由正弦定理可得＝，即＝， 解得sin ∠ADB＝． 因为∠ADC＝90°，所以0°<∠ADB<90°，所以∠ADB＝60°． （2）由（1）知∠ADB＝60°，所以∠BDC＝30°， 在△BDC中，由余弦定理可得 BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠BDC＝62＋(2)2－2×6×2×cos 30°＝12． 因为BC的长度为正数，所以BC＝2． 16．（11分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋＝2cos A． （1）求角A的大小； （2）若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围． 解：（1）因为cos 2A＋＝2cos A，可得 2cos2A＋＝2cosA， 即4cos2A－4cosA＋1＝0，即(2cos A－1)2＝0，所以cos A＝， 又因为A∈(0，π)，所以A＝． （2）由正弦定理＝＝＝，可得b＝sin B，c＝sin C， 所以三角形的周长l＝1＋b＋c＝1＋(sin B＋sin C)， 因为A＝，可得B＋C＝， 所以l＝1＋＝1＋ ＝1＋sin B＋cos B＝1＋2sin ， 因为0<B<，可得<B＋<，所以<sin ≤1， 所以2<1＋2sin ≤3，故△ABC的周长的取值范围为(2，3]． 学科网（北京）股份有限公司 $