6.4.3 课时4 余弦定理、正弦定理的实际应用 巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.4.3 课时4 余弦定理、正弦定理的实际应用 1. 如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】由余弦定理计算可得结果. 【详解】由余弦定理可知，，则隧道的长度为km. 故选：D. 2. 已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】根据题意作图，利用正弦定理求得，根据两角和的正弦公式计算得，代入计算即可得解. 【详解】根据题意作图， 则，,， 在中，根据正弦定理，， 即，则， 因为， 所以，. 即两点之间的距离为米. 故选：A. 3. 如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，，且，两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】先由三角函数恒等变换中的和差公式求出，在中使用正弦定理，可得，进而可求建筑物的高度为. 【详解】在中，，，， ， 由正弦定理，得， 所以建筑物的高度为． 故选：A． 4. 如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】高度测量问题 【分析】在中，由正弦定理求出，在直角三角形中，根据可得答案. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 即， 在直角三角形中，，所以. 故选：A. 5. 如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，(单位：千米)，则A，B两点的距离为________ 千米． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、距离测量问题 【分析】根据三角形的性质和正弦定理分别求和，中，根据余弦定理求. 【详解】中，，，所以， 所以， 中，，，所以， ，即，得， 中，根据余弦定理, 即，得. 故答案为：3 6. 如图，是底部不可能达到的一座建筑物，为建筑物的最高点.现在为了测量建筑物的高度，在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，且点和距离所在水平面的距离为，，则塔高__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角函数在生活中的应用、高度测量问题 【分析】借助正切定义可得，，计算即可得解. 【详解】由题意可得，， 故，，则， 故， 故. 故答案为：. 7. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 【答案】500 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】根据题意，设塔高，可得出； 在中，由，则可得出； 在中，结合余弦定理可得出方程，计算即可求出值. 【详解】设塔高，在中，，则， 在中，，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：500. 8. 已知海岛四周海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在处望见岛在北偏东，航行海里后，在处望见岛在东偏北． (1)请在图中作出岛的位置．（作图要求：标出题干中相关方向角） (2)若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？说明理由． （提示：） 【答案】(1) (2)无触礁危险，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】任意角的概念、距离测量问题 【分析】（1）根据方向角的定义在图中确定岛的位置； （2）通过解三角形求出岛到货轮航行路线的距离，与8海里比较大小，判断有无触礁危险. 【详解】（1） （2）在中， （海里）， ． 由正弦定理得， 又， 所以（海里）． 故A到航线的距离为（海里）． 由， 则，所以货轮无触礁危险． 9. 某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 【答案】(1) (2)米 【难度】0.4 【知识点】距离测量问题、几何图形中的计算、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）先利用三角函数的二倍角公式求出，然后求出，进而根据正弦定理求出结果即可. （2）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理求出，最后根据余弦定理求出结果. 【详解】（1）因为，所以. 所以，所以. 在中，根据正弦定理，，即， 解得. （2）在中，根据余弦定理，， 化简得，由于，所以解得米. 因为，在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 10. 目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为. (1)求出山高（结果保留一位小数）； (2)如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？ 参考数据：，，，. 【答案】(1) (2)时，视角最大 【难度】0.65 【知识点】角度测量问题、高度测量问题、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）利用仰角差得，通过正弦定理求，结合直角三角形求山高即可. （2）用正切表示仰角，通过正切差公式表示视角的正切值，结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意可知，，，，， 在中，，所以， 在中，， 所以山高. （2）由题意知，，，且， 则， 在中，， 在中，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最大值， 又，所以此时视角最大. 综上，当时，视角最大. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.4.3 课时4 余弦定理、正弦定理的实际应用 1. 如图，施工队计划在一座大山中挖通一条隧道，需要确定隧道的长度，工程人员测得隧道两端的A,B两点到C点的距离分别为，，且，则隧道的长度为（   ） A．km B．km C．km D．km 2. 已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3. 如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，，且，两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（   ） A． B． C． D． 4. 如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 5. 如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，(单位：千米)，则A，B两点的距离为________ 千米． 6. 如图，是底部不可能达到的一座建筑物，为建筑物的最高点.现在为了测量建筑物的高度，在点处测得点的仰角，在点处测得点的仰角，且点和距离所在水平面的距离为，，则塔高__________. 7. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 8. 已知海岛四周海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在处望见岛在北偏东，航行海里后，在处望见岛在东偏北． (1)请在图中作出岛的位置．（作图要求：标出题干中相关方向角） (2)若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？说明理由． （提示：） 9. 某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 10. 目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为. (1)求出山高（结果保留一位小数）； (2)如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？ 参考数据：，，，. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $