第四章因式分解拔尖卷（一）2025—2026学年北师大版数学八年级下册

第四章因式分解拔尖卷（一）北师大版2025—2026学年八年级数学下册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．把多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是如对于多项式，因式分解的结果是，若取当，时，则各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式取，时，用上述方法产生的密码不可能是（   ） A．113212 B．111232 C．123211 D．123011 4．若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 5．已知，则代数式的值为（   ） A．6 B． C．4 D． 6．已知，则的值为（    ） A．8 B．16 C．12 D．10 7．若实数，，满足，，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．若是的一个因式，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D．0 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．已知，则的值为___________． 10．已知，则代数式的值是________． 11．a、b、c是三个连续正整数，，，则的值为______． 12．已知，均不等于0，且满足：，则__________． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．利用平方差公式分解因式： (1)； (2)； (3)． 14．分解因式： (1)． (2)． (3)． 15．先阅读材料，再回答问题． 分解因式：． 解：设，则原式． 再将代入，得原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想方法．请你用“整体思想”解决下列问题： (1)分解因式：． (2)若为正整数，试说明的值为某一个整数的平方． 16．对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若，求的值． 17．【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究． (1)若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____； (2)【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由； (3)【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题： 已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值． 18．先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题， 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则________； (2)已知有因式和，求、的值； (3)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式． 参考答案 一、选择题 1．D 2．A 3．D 4．A 5．C 6．B 7．A 8．C 二、填空题 9． 10． 11．4092529 12． 三、解答题 13．【详解】（1）解： ； （2）解： ; （3）解： ． 14．【详解】（1）解：提取公因式： 原式 ． 故答案为：． （2）解：设． 则原式 代入，解得： 原式． 故答案为：． （3）解：原式 ． 故答案为：． 15．【详解】（1）解：设，则原式， 再将代入，得原式． （2）证明：原式， 令，则原式， 为正整数，为正整数， 的值为某一个整数的平方． 16．【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 17．【详解】（1）解：根据题意可知：． （2）解：∵，且，， ∴需要②号长方体12个，③号长方体6个． （3）解：； 由题意，得， 整理得， ∵， ∴． 即． ∵为整数， ∴为完全平方数，且，即 又，，故 因而存在下面两种情形： ①当时，； ②当时，． 综上所述，的值为或． 18．【详解】（1）由题设知：， 故， 解得． 故答案为：7； （2）设（A为整式）， 分别令和得： ， 解得：， ∴； （3）设， ∵ ， ∴， 解得：， ∴多项式， ∴ ， ∴，该多项式分解因式为：． 学科网（北京）股份有限公司 $