5 第2课时 神奇的莫比乌斯带（课件）--2025-2026学年北师大版六年级数学下册

北师大版数学6年级下册培优备课课件（精做课件） 5 第2课时 神奇的莫比乌斯带 数学好玩 授课教师： Home . 班 级： 6年级（---）班 . 时 间： . 2026年3月22日 北师大版数学六年级下册 第2课时 神奇的莫比乌斯带练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、填空题（每空4分，共32分） 1. 莫比乌斯带是由德国数学家（ ）发现的，它的特点是只有（ ）个面和（ ）条边。 2. 制作莫比乌斯带的基本步骤：取一张长方形纸条，先将纸条的一端（ ），再将两端粘在一起，就做成了一条莫比乌斯带。 3. 把一条莫比乌斯带沿中线剪开，会得到（ ）条带子；如果沿三等分线剪开，会得到（ ）条带子，其中一条是（ ），另一条是（ ）。 4. 莫比乌斯带的神奇之处在于，它没有（ ）面和（ ）面之分，一只蚂蚁可以不跨过边缘，爬遍带子的所有面。 5. 生活中，莫比乌斯带的应用有（ ）、（ ）（写出两种即可）。 二、判断题（每题4分，共16分） 1. 莫比乌斯带和普通的长方形纸条一样，有两个面、两条边。（ ） 2. 制作莫比乌斯带时，纸条的一端必须旋转180°后再与另一端粘合。（ ） 3. 把莫比乌斯带沿中线剪开，得到的带子仍然是莫比乌斯带。（ ） 4. 莫比乌斯带的特点是单侧性，这也是它与普通带子最本质的区别。（ ） 三、选择题（每题4分，共16分） 1. 制作莫比乌斯带时，纸条一端旋转的角度是（ ） A. 90° B. 180° C. 360° D. 45° 2. 把一条莫比乌斯带沿中线剪开，得到的结果是（ ） A. 两条独立的普通带子 B. 一条更长的莫比乌斯带 C. 一条普通带子 D. 两条莫比乌斯带 3. 下列关于莫比乌斯带的说法，错误的是（ ） A. 莫比乌斯带只有一个面 B. 莫比乌斯带可以通过普通纸条旋转粘合得到 C. 莫比乌斯带沿任何线剪开，都能得到两条带子 D. 莫比乌斯带具有单侧性 4. 生活中，传送带采用莫比乌斯带的形状，主要是为了（ ） A. 美观好看 B. 使传送带的两个面均匀磨损，延长使用寿命 C. 节省材料 D. 方便安装 四、解决问题（每题18分，共36分） 1. 实操与观察： （1）请详细描述制作一条莫比乌斯带的步骤，说明每一步的注意事项。 （2）取一条莫比乌斯带，沿中线剪开，观察剪开后的结果，说说它与原莫比乌斯带相比，有什么变化？再沿剪开后带子的中线继续剪开，又会得到什么结果？ 2. 思考与应用： （1）为什么莫比乌斯带只有一个面、一条边？结合制作过程和观察结果，简要说明原因。 （2）除了传送带，你还能想到莫比乌斯带在生活中的其他应用吗？请举例说明，并解释为什么可以这样应用（至少举1个例子，说明清楚应用原理）。 参考答案： 一、1. 莫比乌斯、1、1 2. 旋转180° 3. 1、2、莫比乌斯带、普通带子 4. 正、反 5. 传送带、打印机的色带（答案不唯一，合理即可） 二、1. × 2. √ 3. × 4. √ 三、1. B 2. B 3. C 4. B 四、1. （1）制作步骤：① 准备一张长方形纸条，最好是长约20厘米、宽约3厘米（便于操作）；② 将纸条平放在桌面上，一端保持不动，另一端绕纸条的中心线旋转180°（注意旋转方向可顺时针或逆时针，旋转角度必须准确，不能多转或少转）；③ 将旋转后的一端与纸条的另一端对齐，用胶水或胶带粘牢固，确保接口处平整，不松动，这样一条莫比乌斯带就制作完成了。 （2）第一次沿中线剪开：得到一条比原莫比乌斯带更长、更细的莫比乌斯带，它仍然只有一个面、一条边；再沿这条新带子的中线剪开：会得到两条相互套在一起的莫比乌斯带，它们无法分开，且每条都保持莫比乌斯带的特点。 2. （1）原因：制作莫比乌斯带时，纸条的一端旋转180°后与另一端粘合，使得纸条的正面和反面连接在了一起，原本的两个面变成了一个连续的面；原本纸条的两条边也连接成了一条连续的边，因此莫比乌斯带只有一个面、一条边。 （2）示例：莫比乌斯带可以用来制作装饰性的手环。原理：莫比乌斯带具有单侧性，制作成手环后，佩戴时不会有正反面之分，而且手环的边缘是连续的，佩戴舒适，同时造型独特、美观，利用了莫比乌斯带“不分正反、连续无断点”的特点。（答案不唯一，合理即可） 2026年3月22日星期日8时9分40秒 2026年3月22日星期日8时9分42秒 如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘，它能吃到面包屑吗？ 情境导入 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 做一做，想一想。先用一张长方形纸条如左下图那样扭一下，再把两端粘上，得到如右下图的纸环。在这个纸环上作个标记表示面包屑，想一想，小蚂蚁从点A出发能吃到面包屑吗? 不管面包屑标在什么地方，小蚂蚁都不必爬过边缘就能吃到它。 活动内容 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 分别在普通纸环和“神奇的纸环”的面上各取一点。从这点开始涂色，不能翻过边缘一直涂下去，你发现了什么？ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 神奇的纸环全部被涂上了颜色。 普通纸环只有一面涂上了颜色。 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 分别在普通纸环和“神奇的纸环”边上各取一点。从这点开始涂色，不能翻过边缘一直涂下去，你发现了什么？ 神奇的纸环全部的边被描上了颜色。 普通纸环只有一条边能被描出颜色。 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 2条边， 2个面。 1条边， 1个面。 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 在普通纸环和“神奇的纸环”中间各画一条虚线，再剪开。对比剪开后的情况，你有什么发现？ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 2个普通纸环，宽度变窄，长度不变。 1个大的普通纸环，宽度变窄，长度是原来的2倍。 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 这样的一条边一个面的圈是德国数学家莫比乌斯在1858年研究四色定理时发现的，所以就以他的名字命名叫它“ 莫比乌斯带”也有人叫它“莫比乌斯圈”。还有人管它叫“怪圈”。 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 如果沿着②号环离边缘 宽度的地方一直剪下去，你会有什么发现？ 1 3 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 把纸条继续平均分下去，分成4份，5份，6份，会出现什么情况呢？有什么规律吗？ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 生活中的莫比乌斯带 莫比乌斯带循环反复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义。可回收物标志就表示可循环使用的意思。 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 传输带、传动带如果设计成莫比乌斯带，就不会只磨损一面，从而延长使用寿命。 生活中的莫比乌斯带 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 2007年世界特殊奥林匹克的主火炬就是莫比乌斯带，象征着连接起全世界智障人士的友谊，彰显出特奥会的理念。 生活中的莫比乌斯带 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 生活中的莫比乌斯带 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 课外活动 查找有关莫比乌斯带的资料与家人、 同学交流。收集有关材料，编写一份 介绍莫比乌斯带的数学小报。 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 绿色圃中小学教育网 http://www.lspjy.com/ 1.选一选。 手工课上，老师给每个小组发了同样长的纸条。 第一小组用纸条做了一个莫比乌斯环，第二小 组做了一个普通纸环。老师让大家用彩笔沿着 环的一个面涂颜色，涂完后比较，发现( )。 A. 两个小组用的彩笔墨水一样多 B. 第一小组用的彩笔墨水多 C. 第二小组用的彩笔墨水多 D. 无法确定哪个小组用的墨水多 知识点：认识神奇的莫比乌斯带 B 返回 基础导学练 18 31.4 2. 填一填。 (1) 一个圆形纸环的直径是 20 cm，纸环外侧的 A 点处有一只蚂蚁， A 点相对的纸环 内 侧 有 一 点 面 包 屑。 典 典 将 纸 环 剪 断 后扭 转 做 成“莫 比 乌 斯 带”(接 头 忽 略 不 计)，让蚂蚁不爬过纸环的边缘就能吃到面包屑，这样蚂蚁至少需要爬行( )cm才能吃到面包屑。 基础导学练 19 【点拨】蚂蚁沿“莫比乌斯带”不爬过纸环的边缘， 从点 A 爬到面包屑处的路程，刚好是纸环一周长度的一半， 即直径为 20 cm 的圆的周长的一半，据此根据“C＝ π d ” 即可求出蚂蚁需要爬行的路程。 基础导学练 (2)图①的纸环是将一张长方形纸条两端粘上得到的，图②的纸环是将一张长方形纸条一端旋转180°后，再将两端粘上得到的。图(　　)的纸环叫莫比乌斯带。如果从某一点沿着纸环一直涂色(不越过纸环的边缘)，图①中涂色部分占纸环面的(　　)%，图②中涂色部分占纸环面的(　　)%。 ② 50 100 基础导学练 21 【点拨】将一张长方形纸条一端旋转180°后，再将两端粘上，就形成了莫比乌斯带。所以图②是莫比乌斯带。涂色时，图①只有外面一个面能够涂上色，那么涂色部分占纸环面的50%，莫比乌斯带只有一个面，涂色时都能涂上色，涂色部分占纸环面的100%。 返回 基础导学练 √ 3.辨一辨。 (1)过山车跑道利用的是莫比乌斯带的原理。( ) (2)小朋友在玩莫比乌斯带爬梯时，不越过爬梯 的边缘，也能爬到爬梯的另一侧。 ( ) (3)如图的物体，在造型上都应用了莫比乌斯带。 ( ) √ √ 返回 基础导学练 23 4. 做一做。 (1)取两张相同的长方形纸条，每张长方形纸条中间画一条虚线，再分别做成一个普通纸环和一个“神奇的纸环”。用剪刀沿纸条上的虚线剪开，你发现了什么？ 我发现普通纸环被剪成了两个等大的纸环，“神奇的纸环”变成了一个更大的纸环。 基础导学练 24 (2)如果在纸条中间画两条虚线，再分别做成一个普通纸环和一个“神奇的纸环”。用剪刀沿纸条上的虚线剪开，你又能发现什么？ 我发现普通纸环被剪成了三个等大的纸环，“神奇的纸环”剪开后变成了一个大纸环套着一个小纸环。 基础导学练 25 (3)如果在纸条中间画三条虚线，继续这样做下去，你会发现什么？ 我发现普通纸环被剪成了四个等大的纸环，“神奇的纸环”剪开后得到了两个套在一起的大纸环。 返回 基础导学练 26 5.有一个小偷偷了一位老实农民的东西，并被农民和街坊邻居当场抓获。农民将小偷送到县衙后，县令发现小偷正是自己的侄子，于是在一张纸条的正面写上“小偷应当放掉”，而在纸条的反面写上“农民应当关押”。县令将纸条交给县尉，让他办理此案。县尉不想误判此案，但是又不敢得罪县令，他怎么做才能救出老实的农民呢？帮他想个办法吧。 提升点：莫比乌斯带的应用 应用提升练 27 将纸条首尾相连围成“莫比乌斯带”，在“偷”“应”二 字中间剪断，则正面变成了“应当关押小偷”，反面变成 了“应当放掉农民”。 返回 应用提升练 $