专题08轴对称和平移的坐标表示(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题08轴对称和平移的坐标表示 【题型01 坐标系中的平移】...............................................3 【题型02 坐标系中的对称】...............................................4 【题型03 中点坐标】.....................................................4 【题型04 坐标系中的动点问题】..........................................5 【题型05 坐标与图形结合】..............................................6 【题型06 求点沿x轴y轴平移后的坐标】..................................7 【题型07 由平移方式确定点的坐标】......................................7 【题型08 已知点平移前后坐标.判断平移方式】.............................8 【题型09 已知图形的平移.求点的坐标】...................................9 【题型10 坐标与图形变换-轴对称】.......................................10 【题型11 绕原点旋转90的点坐标求解】..................................10 【题型12 绕非原点旋转90的点坐标求解】................................12 【题型13 坐标与旋转规律探究】..........................................13 【题型14 关于原点对称的点坐标求解】....................................14 【题型15 利用原点对称求参数】..........................................15 【题型16 点坐标规律探索】..............................................15 【解答题7题】..........................................................16 ★知识梳理 知识点01:轴对称的坐标表示 1. 点关于坐标轴的对称规律（核心） 设点 P(x,y)，其对称点坐标如下： 对称轴 坐标变化规律 对称点坐标 口诀 x 轴 横坐标不变，纵坐标互为相反数 P′(x,−y) 关于 x 轴对称，横同纵反 y 轴 纵坐标不变，横坐标互为相反数 P′′(−x,y) 关于 y 轴对称，横反纵同 2. 作轴对称图形的步骤 (1)找点：确定原图形的关键点（如多边形顶点）。 (2)求对称点：根据上述规律，计算关键点的对称点坐标。 (3)描点连线：在坐标系中描出对称点，顺次连接，得到轴对称图形。 3. 拓展：关于原点对称 点 P(x,y) 关于原点对称的点为 P′′′(−x,−y)（横、纵坐标均互为相反数）。 知识点02:平移的坐标表示 1. 点沿坐标轴平移的规律（核心） 设点 P(x,y)，平移后对应点坐标如下： 平移方向与距离 坐标变化规律 平移后点坐标 沿 x 轴向右平移 a 个单位 横坐标加 a，纵坐标不变 P′(x+a,y) 沿 x 轴向左平移 a 个单位 横坐标减 a，纵坐标不变 P′(x−a,y) 沿 y 轴向上平移 b 个单位 纵坐标加 b，横坐标不变 P′(x,y+b) 沿 y 轴向下平移 b 个单位 纵坐标减 b，横坐标不变 P′(x,y−b) 2. 图形平移的坐标表示 图形平移时，所有关键点的坐标按同一规律变化。 已知平移后点的坐标，可反推平移方向与距离（如点从 (1,2) 到 (4,5)，是向右平移 3 个单位、向上平移 3 个单位）。 知识点03:核心对比与易错点 1. 轴对称 vs 平移 坐标变化对比 变换类型 坐标变化特点 图形变化 轴对称 坐标取反（关于 x 轴变纵，关于 y 轴变横） 图形关于轴成镜像 平移 坐标加减（沿 x 轴变横，沿 y 轴变纵） 图形整体移动，形状大小不变 左侧图(轴对称) 右侧图(平移) 2. 易错提醒 (1)区分 “轴对称” 与 “平移” 的坐标变化：轴对称是 “变号”，平移是 “加减”。 (2)平移时注意方向：左 / 右影响横坐标，上 / 下影响纵坐标，切勿混淆。 (3)作图形变换时，先算关键点坐标，再描点连线，避免直接画图导致误差。 【题型1.坐标系中的平移】 【典例】已知点与点，若直线平行于轴，则_______． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，正的边长为2，顶点在轴上，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段向右平移4个单位到线段，线段与轴交于点，若图中的面积为4，则点坐标为_______． 【跟踪专练3】如图，的边在x轴的正半轴上，点B的坐标为，把沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．1 C．2 D． 【题型2.坐标系中的对称】 【典例】点P和点Q关于x轴对称，点P坐标为，则点Q的坐标为_____． 【跟踪专练1】已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点关于对称的点的坐标是______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型3.中点坐标】 【典例】已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若点与点B关于点对称，则点B的坐标是______． 【跟踪专练2】若中，，，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形．点的坐标为________． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是(　　) A． B． C． D． 【题型4.坐标系中的动点问题】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【跟踪专练1】如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点，其中为实数，给出下列三个结论： ①线段长度的最小值是1； ②若线段，则； ③若，，则三角形的面积是定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点的横坐标为（   ） A． B．2 C． D．1 【题型5.坐标与图形结合】 【典例】如图，的斜边轴，点B的坐标是，，则（   ）．    A．8 B．6 C．4 D．3 【跟踪专练1】在y轴上的点到坐标原点O的距离为_____个单位长度． 【跟踪专练2】.重心是一个物体受力的平衡点．如图，质地均匀的薄板是由边长为4的正方形和边长为2的正方形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，分别是正方形的重心．此薄板的重心在直线上，则的坐标为______．（其中，分别是正方形的面积．） 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，的坐标分别为，，点从点出发沿向点运动，连接交于点当恰好为中点时，则长为（ ） A． B． C． D． 【题型6.求点沿x轴y轴平移后的坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位，再向左平移个单位，得到的对应点的坐标是________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点，再作关于轴的对称点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将点P（﹣2，﹣3）向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是_____． 【跟踪专练3】如图，已知正方形，顶点，，．规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2022次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为（   ） A． B． C． D． 【题型7.由平移方式确定点的坐标】 【典例】点向上平移6个单位长度得到的对应点的坐标为________________． 【跟踪专练1】已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【跟踪专练2】如图，点、的坐标分别为、，将线段平移至时得到、两点的坐标分别是、，则_______． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型8.已知点平移前后坐标.判断平移方式】 【典例】点先向________平移________个单位，再向________平移________个单位，到达点的坐标是 ． 【跟踪专练1】如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，点，的坐标分别为，，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【跟踪专练2】如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为________． 【跟踪专练3】编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型9.已知图形的平移.求点的坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，平移线段AB，使点A从（3，﹣2）平移至（﹣2，3），若平移后B点位置为（4，1），则B点初始位置坐标为 _____． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【题型10.坐标与图形变化-轴对称】 【典例】若点与点关于轴对称，则_____． 【跟踪专练1】已知点与点关于x轴对称（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2028次变换后所得的点A的坐标是______． 【跟踪专练3】如图，是边长为2的等边三角形，则点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型11.绕原点旋转90】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，线段在第二象限，其中A点坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转，得到线段，则点的坐标为________． 【跟踪专练1】一款风车，它由两种等腰直角三角形拼成．如图，等腰直角三角形OAB中，斜边，点在轴的正半轴上，点在第一象限．将绕点逆时针旋转，点所对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，将绕坐标原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为______． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型2.绕非原点旋转90的点坐标求解】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转α角．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应．点的坐标为___． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得线段，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标是_____．    【跟踪专练3】如图，将先向上平移1个单位长度，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型13.坐标与旋转规律探究】 【典例】.如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小夏利用平面直角坐标系绘制了风车图形（如图），他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点逆时针转动至，称为第二次转动，…，那么按照这种转动方式，转动2025次后，点的坐标为______． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【题型14.关于原点对称的点坐标求解】 【典例】在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是______． 【跟踪专练1】已知，则点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，平行四边形的对称中心在原点，，，则其他点的坐标分别为________ 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线、交于点O，过点O的直线分别与边交于点E，F，若点E的坐标为，则点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型15.利用原点对称求参数】 【典例】已知点与点关于原点对称，则____． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知点关于原点对称的点为，将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，点在第四象限，那么的取值范围是____________． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型16.点坐标规律探索】 【典例】在平面直角坐标系中，有一个微型机器人从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示： 则点的坐标是 _____________． 【跟踪专练1】如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为，点B的坐标为，动点P从点A出发，沿…的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2022秒时，点P的坐标为___________． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． (1)若与关于轴对称，请画出． (2)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请画出． 3．在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的T变换点为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 4．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)点C关于原点对称点的坐标为___________； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； (3)若点P为x轴上一点，则的最小值为___________． 5．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)将向右平移8个单位，画出平移后的，写出的坐标； 6．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标； (2)若点M到x轴、y轴的距离相等，求m的值． 7．如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08轴对称和平移的坐标表示 【题型01 坐标系中的平移】...............................................3 【题型02 坐标系中的对称】...............................................6 【题型03 中点坐标】.....................................................8 【题型04 坐标系中的动点问题】..........................................11 【题型05 坐标与图形结合】..............................................15 【题型06 求点沿x轴y轴平移后的坐标】..................................19 【题型07 由平移方式确定点的坐标】......................................20 【题型08 已知点平移前后坐标.判断平移方式】.............................22 【题型09 已知图形的平移.求点的坐标】...................................24 【题型10 坐标与图形变换-轴对称】.......................................26 【题型11 绕原点旋转90的点坐标求解】..................................28 【题型12 绕非原点旋转90的点坐标求解】................................33 【题型13 坐标与旋转规律探究】..........................................36 【题型14 关于原点对称的点坐标求解】....................................40 【题型15 利用原点对称求参数】..........................................42 【题型16 点坐标规律探索】..............................................44 【解答题7题】..........................................................47 ★知识梳理 知识点01:轴对称的坐标表示 1. 点关于坐标轴的对称规律（核心） 设点 P(x,y)，其对称点坐标如下： 对称轴 坐标变化规律 对称点坐标 口诀 x 轴 横坐标不变，纵坐标互为相反数 P′(x,−y) 关于 x 轴对称，横同纵反 y 轴 纵坐标不变，横坐标互为相反数 P′′(−x,y) 关于 y 轴对称，横反纵同 2. 作轴对称图形的步骤 (1)找点：确定原图形的关键点（如多边形顶点）。 (2)求对称点：根据上述规律，计算关键点的对称点坐标。 (3)描点连线：在坐标系中描出对称点，顺次连接，得到轴对称图形。 3. 拓展：关于原点对称 点 P(x,y) 关于原点对称的点为 P′′′(−x,−y)（横、纵坐标均互为相反数）。 知识点02:平移的坐标表示 1. 点沿坐标轴平移的规律（核心） 设点 P(x,y)，平移后对应点坐标如下： 平移方向与距离 坐标变化规律 平移后点坐标 沿 x 轴向右平移 a 个单位 横坐标加 a，纵坐标不变 P′(x+a,y) 沿 x 轴向左平移 a 个单位 横坐标减 a，纵坐标不变 P′(x−a,y) 沿 y 轴向上平移 b 个单位 纵坐标加 b，横坐标不变 P′(x,y+b) 沿 y 轴向下平移 b 个单位 纵坐标减 b，横坐标不变 P′(x,y−b) 口诀：右加左减横坐标，上加下减纵坐标。 2. 图形平移的坐标表示 图形平移时，所有关键点的坐标按同一规律变化。 已知平移后点的坐标，可反推平移方向与距离（如点从 (1,2) 到 (4,5)，是向右平移 3 个单位、向上平移 3 个单位）。 知识点03:核心对比与易错点 1. 轴对称 vs 平移 坐标变化对比 变换类型 坐标变化特点 图形变化 轴对称 坐标取反（关于 x 轴变纵，关于 y 轴变横） 图形关于轴成镜像 平移 坐标加减（沿 x 轴变横，沿 y 轴变纵） 图形整体移动，形状大小不变 左侧图(轴对称) 右侧图(平移) 2. 易错提醒 (1)区分 “轴对称” 与 “平移” 的坐标变化：轴对称是 “变号”，平移是 “加减”。 (2)平移时注意方向：左 / 右影响横坐标，上 / 下影响纵坐标，切勿混淆。 (3)作图形变换时，先算关键点坐标，再描点连线，避免直接画图导致误差。 【题型1.坐标系中的平移】 【典例】已知点与点，若直线平行于轴，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是掌握直线平行于轴时，所在直线上的点的横坐标相等． 根据直线平行于轴，得到点和点的横坐标相等，据此进行解答即可． 【详解】解：∵直线平行于轴， ∴点和点的横坐标相等， 则， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，正的边长为2，顶点在轴上，点在第一象限内，将沿直线的方向平移至的位置，此时点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质以及坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．先求得，再根据，，即可得到点B向右平移个单位，向上平移2个单位可得点，再根据平移方式由点A的坐标即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过A作轴， ∵是等边三角形，边长为2， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴点B向右平移个单位，向上平移2个单位可得点， ∴，即． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段向右平移4个单位到线段，线段与轴交于点，若图中的面积为4，则点坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，解题关键是根据平移得到，再根据的面积为4，可求出，即可求出点坐标． 【详解】解：∵线段向右平移4个单位到线段， ∴， ， ∵， ∴ ， ， ∵在轴正半轴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，的边在x轴的正半轴上，点B的坐标为，把沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，三角形的面积等知识，设，利用三角形面积公式求出n的值，再求出，可得结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， 由平移的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【题型2.坐标系中的对称】 【典例】点P和点Q关于x轴对称，点P坐标为，则点Q的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特点． 利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点与点Q关于x轴对称， ∴点Q的横坐标与点P的横坐标相同，纵坐标与点P的纵坐标互为相反数． ∴点Q的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知关于轴的对称点为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：关于轴的对称点为， 横坐标不变，即． 故选：D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点关于对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的对称，正确把握对称的性质是解题关键． 点关于点对称时，对称中心是两点的中点，利用中点公式列方程求解． 【详解】解：设对称点的坐标为，则点是点和点的中点． 根据中点公式，得： 对于坐标：，解得； 对于坐标：，解得． 故对称点的坐标为． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，坐标与图形，首先得到， ，然后由折叠结合平行线的性质得到，推出，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵长方形的顶点、、， ∴， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 故选：A． 【题型3.中点坐标】 【典例】已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点的坐标． 【详解】解：设点， 点是线段的中点，点， ，， 解得，， 点的坐标为， 故选：A． 【跟踪专练1】若点与点B关于点对称，则点B的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查中心对称点的坐标、中点坐标，熟练掌握中点坐标的运算方法是解题的关键． 点A与点B关于点C对称，则点C是线段的中点，利用中点坐标公式求解． 【详解】解：设点B的坐标为， 则， 解得， 因此，点B的坐标是， 故答案为：． 【跟踪专练2】若中，，，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形．点的坐标为________． 【答案】或或． 【分析】先建立平面直角坐标系，描出，连接，根据平行四边形对角线互相平分，进行分类讨论：①以为对角线，②以为对角线，③以为对角线，分别求出的中点坐标，再根据中点坐标公式求解即可． 【详解】如图，建立平面直角坐标系，描出，连接， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴分类讨论： ①以为对角线， 如图，作中点，连接并延长使得，连接， ∵，， ∴，即， ∵也是的中点，， ∴，即； ②以为对角线， 如图，作中点，连接并延长使得，连接， ∵，， ∴，即， ∵也是的中点，， ∴，即； ③以为对角线， 如图，作中点，连接并延长使得，连接， ∵，， ∴，即， ∵也是的中点，， ∴，即； 综上，的坐标为或或． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，再找一点，使它与点，，构成的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，通过中点坐标公式分三种情况讨论点的坐标：①以为对角线；②以为对角线；③以为对角线，计算出所有可能的点坐标后，对比选项即可确定不可能的坐标． 【详解】解：设，分三种情况讨论： ①当为平行四边形的对角线时， ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴、的中点和、的中点重合． 、的中点为，、的中点为， 则，解得，即； ②当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； ③当为平行四边形的对角线时， 同理，、的中点和、的中点重合． 则，解得，即； 综上，点的坐标可能是、、，不可能是． 【题型4.坐标系中的动点问题】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 【跟踪专练1】如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，结合点P的坐标，得出点P在直线上，画出直线的图象，据此进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为点P坐标为， 所以点P在直线上． 如图所示， 显然随着m的变化，点P会经过点A． 故选：A． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点，其中为实数，给出下列三个结论： ①线段长度的最小值是1； ②若线段，则； ③若，，则三角形的面积是定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①③ 【分析】本题考查垂线段最短，点到原点的距离，勾股定理的应用，三角形的面积． ①根据垂线段最短，即可解答； ②根据点到原点的距离，利用勾股定理，即可解答； ③运用三角形的面积，即可解答． 【详解】解：①根据垂线段最短，当时，点到点O的长度最小，为1； 故①正确 ②当时， 有， 即， 解得． 故②错误． ③∵点，，， ∴， 则三角形的面积是定值． 故③正确． 答案为①③． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点的横坐标为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】以为边作等边，连接，然后证明得，从而可判断当N，A，B三点共线时，最大，即最大，然后利用等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图1，以为边作等边，连接， 由题意 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当N，A，B三点共线时，最大，即最大， 如图2，过P作轴，垂足为T， ∵是等边三角形，， ∴， ∵点A的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为． 当P在x轴下方时，同上可求点P的横坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，坐标与图形的性质等知识点，熟练掌握相关判定与性质是解本题的关键． 【题型5.坐标与图形结合】 【典例】如图，的斜边轴，点B的坐标是，，则（   ）．    A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据平行线的性质得出，求出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进一步得出答案． 【详解】解：    ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∵点B的坐标是， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】在y轴上的点到坐标原点O的距离为_____个单位长度． 【答案】5 【分析】本题考查了坐标与平面，涉及坐标轴上点的坐标特征，正确理解坐标轴的相关性质是解题的关键． 根据轴上的点的横坐标为求出，即可求解点坐标，即可求解点到坐标原点O的距离． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴，解得， ∴， ∴到坐标原点O的距离为， 故答案为：． 【跟踪专练2】.重心是一个物体受力的平衡点．如图，质地均匀的薄板是由边长为4的正方形和边长为2的正方形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，分别是正方形的重心．此薄板的重心在直线上，则的坐标为______．（其中，分别是正方形的面积．） 【答案】 【分析】本题考查了正方形性质，中点坐标公式的相关知识点．根据正方形的性质以及中点坐标公式即可求解点，点的坐标，再求出，然后代入重心坐标公式即可求解． 【详解】解：由题意，得，，，，，， ∵分别是正方形的重心， ∴是的中点，是的中点， ∴，，，， ∴，， ∴的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，的坐标分别为，，点从点出发沿向点运动，连接交于点当恰好为中点时，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，过点作轴，交于点，可证是等边三角形，利用可证，根据全等三角形的性质可知，，从而可求，根据线段之间的关系可以求出． 【详解】解：如下图所示，过点作轴，交于点， ，的坐标分别为，， ，， ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， 点是的中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【题型6.求点沿x轴y轴平移后的坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位，再向左平移个单位，得到的对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据点的平移规则：向左平移减坐标，向下平移减坐标，依次计算点平移后的坐标． 【详解】解：点向下平移个单位，坐标减少，得到点， 再向左平移个单位，坐标减少，得到点． 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点，再作关于轴的对称点，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移变换以及关于x轴对称点的性质，利用平移的性质得出点的坐标，再直接利用关于x轴对称点的性质得出点坐标． 【详解】解：∵点向右平移2个单位长度， ∴的横坐标为，纵坐标为1，即． ∵关于x轴的对称点为， ∴的横坐标不变为1，纵坐标变为，即． 故选：B． 【跟踪专练2】将点P（﹣2，﹣3）向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，则点Q的坐标是_____． 【答案】（﹣5，﹣1） 【分析】让P的横坐标减3，纵坐标加2即可得到点Q的坐标． 【详解】解：根据题意，点Q的横坐标为：﹣2﹣3＝﹣5；纵坐标为﹣3＋2＝﹣1； 即点Q的坐标是(﹣5，﹣1)． 故答案为：(﹣5，﹣1)． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，用到的知识点为：左右平移改变点的横坐标，上下平移改变点的纵坐标； 【跟踪专练3】如图，已知正方形，顶点，，．规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2022次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查翻折变换，坐标与图形变化对称，坐标与图形变化平移．由题目规定“把正方形先沿轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，得到正方形连续经过2022次变换后，横坐标是，翻折偶数次后纵坐标是2，即可得到变换后的的坐标． 【详解】解：由题意知正方形的边长是2，是正方形对角线的交点，可得的坐标是， 正方形连续经过2022次变换后，向左平移2022个单位长度， 正方形连续经过2022次变换后，横坐标是， 翻折一次后纵坐标是，翻折二次后纵坐标是2，翻折三次后纵坐标是，翻折四次后纵坐标是2， 翻折偶数次后纵坐标是2， 正方形连续经过2022次变换后，纵坐标是2， 连续经过2022次变换后，正方形的对角线交点的坐标变为． 故选：A． 【题型7.由平移方式确定点的坐标】 【典例】点向上平移6个单位长度得到的对应点的坐标为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 向上平移只改变点的纵坐标，横坐标不变，由此即可解答. 【详解】解：∵点向上平移个单位长度，横坐标不变，纵坐标增加，即， ∴对应点的坐标为. 故答案为：. 【跟踪专练1】已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【答案】B 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点和平移后的点，列方程求解． 【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∴， 解得， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点、的坐标分别为、，将线段平移至时得到、两点的坐标分别是、，则_______． 【答案】4 【分析】 此题主要考查了坐标与图形的变化平移，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得线段向右平移2个单位，向上平移2个单位，进而可得、的值． 【详解】解：、两点的坐标分别为、，平移后、， 线段向右平移2个单位，向上平移2个单位，，， 故答案为：4． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段平移得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标与图形变化—平移，掌握点的坐标的平移规律“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”是解题的关键． 由点平移后对应点知，线段向右平移2个单位，向下平移2个单位得到线段，据此即可解答． 【详解】解：∵点平移后对应点， ∴线段向右平移2个单位，向下平移2个单位得到线段， ∵， ∴，即． 故选:A． 【题型8.已知点平移前后坐标.判断平移方式】 【典例】点先向________平移________个单位，再向________平移________个单位，到达点的坐标是 ． 【答案】 左或上 11或12 上或左 12或11 【分析】根据坐标平移规律求解即可． 【详解】解：点，到达点的坐标是 平移后点向左平移11个单位，向上平移12个单位． 故答案为：左平移11，向上平移12．或向上平移12，左平移11 【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【跟踪专练1】如图，点，的坐标分别为，，若将线段平移至，点，的坐标分别为，，则的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平移的性质解题即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，点，的坐标分别为，， ∴线段向左平移了个单位，向上平移了个单位， ∴点，的坐标分别为，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点A，B的坐标分别为，．若将线段AB平移至，则的值为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移前后对应点的坐标可知平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再由“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，，若将线段平移至的位置， 又∵点，的坐标分别为， ∴将线段平移至时的平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，根据的坐标得到平移规律，再根据平移规律得到的坐标，掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：飞机A从飞到时，向右平移了个单位， ∴飞机从向右平移个单位到达，即， 故选：B． 【题型9.已知图形的平移.求点的坐标】 【典例】在平面直角坐标系中，平移线段AB，使点A从（3，﹣2）平移至（﹣2，3），若平移后B点位置为（4，1），则B点初始位置坐标为 _____． 【答案】（9，-4） 【详解】解：∵平移线段AB，使点A从（3，﹣2）平移至（﹣2，3）， ∴平移方式为向左平移5个单位长度，向上平移5个单位长度， ∵移后B点位置为（4，1）， ∴B点初始位置坐标为（9，-4）， 故答案为：（9，-4）． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，正确判断出平移方式是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形平移的性质和点的坐标变化规律，解题关键点在于确定平移的方向和长度，混淆平移方向是本题的易错点；根据点平移前后的坐标，确定平移的方向和长度，再根据横纵坐标的变化求得的坐标即可． 【详解】∵平移后得， ∴横坐标，纵坐标；即向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后得． 故选A． 【跟踪专练2】如图，点A的坐标是，点B的坐标是，将沿x轴向右平移得到，若，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出平移的距离，再根据平移的性质得出点C的坐标． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， ∴将沿x轴向右平移了个单位长度得到， ∴将点向右平移2个单位长度得到点． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据点平移到点可得该线段平移的方法，用这个平移方法即可得到平移后点B的坐标．本题考查了平移，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：点A的坐标为，点A平移到点， 故平移的方法为：向右平移2个单位，向上平移4个单位， 故将点向右平移2个单位，向上平移4个单位后，坐标为， 故选：B． 【题型10.坐标与图形变化-轴对称】 【典例】若点与点关于轴对称，则_____． 【答案】 【分析】本题考查在平面直角坐标系内点关于对称轴对称的特点，掌握其特点是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标特征，纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出，，计算即可求解． 【详解】解：与点关于轴对称， ，， 则． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知点与点关于x轴对称（　　） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【分析】两点关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此列方程组计算即可. 【详解】解：由题意得， 解得． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2028次变换后所得的点A的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——对称及点的坐标变化规律，得出点A的坐标重复变换的规律是解题的关键． 根据所给变换方式，得出每经过4次变换，点A的坐标重复一次，据此可解决问题． 【详解】解：根据所给变换方式可知， 每经过次变换，点A的坐标重复一次， ∵， ∴第2028次变换后点A的坐标与第4次变换后点A的坐标相同， 又∵第4次变换后点A的坐标为， ∴第2028次变换后点A的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，是边长为2的等边三角形，则点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．过点作轴于点，根据等边三角形的性质可得，，再结合勾股定理得出，从而可得，然后根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是以边长为2的等边三角形， ，， ， 点在第一象限， ， 点A关于x轴的对称点的坐标为， 故选：D． 【题型11.绕原点旋转90】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，线段在第二象限，其中A点坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转，得到线段，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，求旋转后点的坐标． 过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据A点坐标得到，根据旋转的性质得到，证明，得到，根据点在第一象限即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∵A点坐标为， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】一款风车，它由两种等腰直角三角形拼成．如图，等腰直角三角形OAB中，斜边，点在轴的正半轴上，点在第一象限．将绕点逆时针旋转，点所对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标，等腰三角形的性质，先理解题意，记点所对应的点为点，过H作轴，过作轴，结合等腰三角形的性质得，又因为旋转性质得，即可作答． 【详解】解：记点所对应的点为点，过H作轴，过作轴，如图所示： ∵等腰直角三角形OAB中，斜边，点在轴的正半轴上，点在第一象限． ∴， ∵旋转， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为 故选：A 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，将绕坐标原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与旋转，平行四边形的性质，根据平移思想，求出点坐标，连接，作轴，轴，证明，进而求出的坐标即可． 【详解】解：∵的顶点的坐标分别为，， ∴点向右，向上各平移1个单位得到点， ∴点向右，向上各平移1个单位得到点， ∴， 连接，作轴，轴，则：，， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转得线段，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，过作轴于点，过作轴于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，故有，，然后根据坐标特点即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，则， 由旋转性质可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 【题型2.绕非原点旋转90的点坐标求解】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转α角．若点A的对应点的坐标为，则点B的对应．点的坐标为___． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，；记住关于原点对称的点的坐标特征．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形即可求出答案． 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标为，如图所示： ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得线段，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化——旋转，通过全等三角形求出点的坐标是解题的关键． 过C作轴于M，则，证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 如图，过C作轴于M，则， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【跟踪专练2】如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标是_____．    【答案】 【分析】分别过、向轴作垂线，可得，利用全等得到到轴，轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标． 【详解】解：∵旋转， ∴， 作轴于点，轴于点，如图所示：    ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为． 【跟踪专练3】如图，将先向上平移1个单位长度，再绕点P按逆时针方向旋转，得到，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据平移变换和旋转变换作图，熟练掌握平移的规律和旋转的规律是解题的关键． 根据平移的规律找到A点平移后对应点，然后根据旋转的规律找到旋转后对应点，即可得出的坐标． 【详解】解：如图所示： A的坐标为，向上平移1个单位后为，再绕点P逆时针旋转后对应点的坐标为． 故选：D． 【题型13.坐标与旋转规律探究】 【典例】.如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律是解题的关键． 根据旋转的性质可得点的坐标与点的坐标相同，利用已知条件求出即可得解． 【详解】正方形绕点逆时针旋转， ，每旋转次回到原来位置， 余， 点的坐标与点的坐标相同， 已知点，则点，旋转后点，再旋转后点， 点的坐标为． 故答案是． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，考查了坐标与图形，直角三角形的性质，旋转的性质，根据题意找出一般规律是解题关键．过点作轴于点，先求出点的坐标，再根据旋转的性质，得出点的坐标每6次为一个循环依次为、、、、、，即可得到答案． 【详解】解：如图，旋转如下，过点作轴于点， 点， ， ， ，， 在中，，， ， ， 在中，， ，，，，，，……， 即点的坐标每6次为一个循环， ， 第2024次旋转后，点B的坐标为， 故选：D． 【跟踪专练2】小夏利用平面直角坐标系绘制了风车图形（如图），他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点逆时针转动至，称为第二次转动，…，那么按照这种转动方式，转动2025次后，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转、规律型，依题意不难发现第4次旋转后回到初始位置，而，据此可得当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合，据此即可解答． 【详解】解：由题意可得：第4次旋转后回到初始位置， 又∵， ∴此时点A与点重合， ∵点， ∴点 ∴转动2025次后，点A的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，点落在x轴负半轴，且，即可得到答案． 【详解】解：第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，, 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在x轴正半轴，， ……， 每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴， 而， 在x轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 【题型14.关于原点对称的点坐标求解】 【典例】在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是______． 【答案】 【分析】关于原点中心对称的两个点，横、纵坐标分别互为相反数． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标为， ∴点关于原点中心对称的点的坐标是． 【跟踪专练1】已知，则点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，以及绝对值、算术平方根的非负性．先求出，的值，再结合关于原点对称这个条件，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴点， ∴点关于原点对称的点的坐标为． 故选：A． 【跟踪专练2】如图所示，平行四边形的对称中心在原点，，，则其他点的坐标分别为________ 【答案】， 【分析】本题考查平行四边形的性质，关于原点对称点的坐标特征，熟练掌握平行四边形是中心对称图形和关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 由平行四边形是中心对称图形可得点A与点C关于原点对称；点B和点D关于原点对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵平行四边形是中心对称图形，平行四边形的中心在原点， ∴点A与点C关于原点对称，点B和点D关于原点对称， ∵，， ∴A，B两点的坐标分别为，． 故答案为：，． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线、交于点O，过点O的直线分别与边交于点E，F，若点E的坐标为，则点F的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，推导出，得到点和点关于点成中心对称，根据坐标特征即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵平行四边形的对角线、交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点和点关于点成中心对称， ∵点E的坐标为， ∴点F的坐标为， 故选：D． 【题型15.利用原点对称求参数】 【典例】已知点与点关于原点对称，则____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标、代数式求值等知识点，掌握关于原点对称得点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数可求得a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴，． ∴． 故答案为5． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标互为相反数，先求出和的值，再代入代数式计算结果即可． 【详解】解：点，关于原点对称， ，， 将，，代入， 可得：． 【跟踪专练2】已知点关于原点对称的点为，将点向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到点，点在第四象限，那么的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，坐标与图形变化平移，一元一次不等式组的应用知识点，掌握关于原点对称的点的坐标特征和平移的坐标变化规律是解题的关键． 根据原点对称和平移的坐标变化规律，求出点的坐标，再根据第四象限点的坐标特征列出不等式组求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为 将点向右平移个单位，向下平移2个单位，得到点的坐标为，即， 由于点在第四象限，故有 解不等式 得； 解不等式 得 所以的取值范围是 故答案为：． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点成中心对称，则，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征和二元一次方程组的应用． 根据关于原点对称的点的坐标特征，点和点B的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求解． 【详解】解：∵点 与点 关于原点对称， ∴将， 解得， 故选：D 【题型16.点坐标规律探索】 【典例】在平面直角坐标系中，有一个微型机器人从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如图所示： 则点的坐标是 _____________． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，数形结合并正确得出规律是解题的关键． 根据图象先计算出和的坐标，进而得出点的坐标，再用，根据所得的整数及余数，可得出点的坐标． 【详解】解：由图可知，蚂蚁每次移动完成一个循环， ，，都在轴上， ∵蚂蚁每次移动1个单位， ，， ， ，，A4n（2n，0） ， ∴点的坐标是． 【跟踪专练1】如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， ∴每次轴对称变换重复一轮， ∵， ∴经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为， 故选：． 【跟踪专练2】菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为，点B的坐标为，动点P从点A出发，沿…的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2022秒时，点P的坐标为___________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点的运动速度求出沿所需的时间，进而可得出结论． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点P每运动8秒回到点A位置， ∵， ∴点P移动到第2022秒时，落在点D，即点． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，一个点从原点出发，按如图所示的路线移动，依次经过点，，，按照此规律，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先观察平面直角坐标系中坐标的数据，分别总结出横、纵坐标的变化规律，即可得解． 【详解】解：根据平面直角坐标系中坐标的数据，可得出： 、的横坐标为，、的横坐标为，、的横坐标为，， 的横坐标为； 的纵坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，， 的纵坐标为， 的纵坐标为； 点的坐标为． 【解答题】 1．在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）根据平移的规律解答即可； （2）根据平移的性质可得四边形为平行四边形，从而得到，可得，进而得到，分两种情况求点：①若在轴上：以为底、的纵坐标为高，列方程求的横坐标；②若在轴上：以为底、的横坐标绝对值为高，列方程求的纵坐标；最后综合两种情况，即可得到所有满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：∵平移后点与点对应，，， ∴点B先向右平移1个单位，再向下平移4个单位到达点B， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：存在， 如图， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； ②当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】点在坐标轴上，坐标轴包含轴和轴，必须分两种情况讨论． 2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是． (1)若与关于轴对称，请画出． (2)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请画出． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征、图形旋转的坐标变换规律以及平面直角坐标系中图形的绘制，熟练掌握轴对称和旋转变换的坐标变化规律是解题的关键． （1）先根据关于轴对称的点的坐标特征，作出即可； （2）先根据绕原点逆时针旋转的坐标变换规律，作出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 3．在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的T变换点为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“T变换点”的定义解答即可； （2）设点的T变换点为，根据“T变换点”的定义可得，，再由变换点在第四象限，可得到m的取值范围，即可． 【详解】（1）解：点的T变换点为，即； （2）解：设点的T变换点为， ∴，， ∵变换点在第四象限， ∴，． 即，， 解得． ∴． 4．如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． (1)点C关于原点对称点的坐标为___________； (2)画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点、的坐标； (3)若点P为x轴上一点，则的最小值为___________． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查了点的中心对称、作图旋转变换、轴对称最短路线问题、勾股定理，掌握相关知识及“将军饮马”问题是解答本题的关键． （1）根据点C关于原点对称，横纵坐标互为相反数可解答； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为，再由勾股定理计算可得答案． 【详解】（1）解：∵点， ∴点C关于原点对称的点的坐标为． 故答案为：； （2）解：∵绕点A逆时针旋转得到的，， ∴的点的坐标分别为． ∴如图1所示； （3）解：如图2，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则的最小值为． 由勾股定理，得． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于y轴对称的，并写出的坐标； (2)将向右平移8个单位，画出平移后的，写出的坐标； 【答案】(1)见解析，的坐标是； (2)见解析， 【分析】本题考查了图形的平移和翻折，熟练掌握利用平移变换与轴对称变换作图是解决本题的关键； （1）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，顺次连接得到，根据点的位置得到的坐标即可； （2）分别作出点A，B，C向右平移8个单位的对应点，顺次连接对应点得到，根据点的位置得到的坐标即可； 【详解】（1）解：作图如图， ∴为所作的图形，的坐标是； （2）作图如图， ∴为所作的图形，． 6．已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点N的坐标为，且轴，求点M的坐标； (2)若点M到x轴、y轴的距离相等，求m的值． 【答案】(1)点M的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了象限内点的坐标特征，理解点的横、纵坐标的意义是解题的关键． （1）根据轴，得到，求出的值，进而算出，即可求得点M的坐标； （2）根据点M到x轴、y轴的距离相等，得到，进而求解，即可解题． 【详解】（1）解：因为点，点N，且轴， 所以， 解得， 所以， 所以点M的坐标为． （2）解：因为点M到x轴、y轴的距离相等， 所以， 所以或， 所以或． 7．如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会发生变化，理由见解析 【分析】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、一元一次方程的应用、图形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据完全平方式和绝对值的非负性得到，即可求解； （2）根据平移的性质可得，再利用梯形的面积公式求出，推出点在线段上，再利用列出方程，求出的值即可； （3）分①点在点左侧；②点在点的右侧两种情况讨论，再利用图形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：， ， 解得：； （2）解：由（1）可知：，， 由平移的性质可得， ， 点在线段上， 由题意知，， ， 由题得：， 解得：， 当时，四边形的面积等于； （3）解：不会发生变化，理由如下： ①当点在点左侧时，易知点在线段上． 如图所示： 则 ； ②当点在点的右侧时，如图所示，连接． 则 ； ∴由①②可得，在运动过程中三角形与三角形的面积之差不会发生变化． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $