上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试题

2025-2026年华师大二附中高三下3月月考 一、填空题 1.已知集合M={x|x+2≥0}，N={x|x-1<0),则M∩N=- 2.已知双曲线方程为：3y2-3x2=1,则离心率为一· 3.已知4+2i=b+ia,be),其中1为虚数单位，则a+b=一 4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知42=3,4。=11，则S1=一 5.(x- 子产的二项展开式中，2的系数为一（用数字作答）。 6设随机变量X服从成功概率为p(0<p<1)的二项分布，若E[X]=30,D[X]=20, 则p=一 7.自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且 有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发有不受密度制约时，其增长 符合模型：N()=Noe”,其中N。为种群起始个体数量，r为增长系数，N()为1时刻的 种群个体数量.当1=3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍。若N(4)=150,则 NI0)=-· M 8图，OMI/AB,点P在山射线OM、线段OB及AB的延长线围成的 阴影区域内（不含边界）运动，且O下=-OA+0B,则元的取值范闹 3 是一 9.如阁，B地在A地的东方问，相距4km;C地在B地的北偏东30° 方向，州D2km,河流沿岸PO(出线)上仟意·点到A的距离比它到 B的距高远2km,现要在曲线P9.上选一处M建一座码头，向 A A,B,C二地转运货物.经测算，从M到A,B两地修建公路费用都是10万元/km,从M 到C修建公路的费州为20方元/km.选择合适的点M,可使修定的一条公路总费州最低， 则总费用最低尤万元（精确到0.01）. 10.过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交E于点A、B,交E的准线I于点C, AD⊥I,点D为足.若F地AC的中点，且|AF=3,则AB= 1l.心知向益i=(sinx,sin(x+匹)》5=(W5sinx,),两数f)=2iv-V5,若函数 y=f(x)-m在x∈[0，]内有只有一个零点，则实数m的取值范围为一， 12.若正四面体的棱长为√6，则其外接球上一点到该正四向体四个面的距离之和的最大值 为 二、选择趣 13.设x∈R,则“2-x≥0”是“|x+11”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 14.已知2018-2024什国冰雪运动核心市场规模（巾位：亿元）依次为：454.3,487.5， 445.2,594.9,713.9,833.1,1083.0.对于这7个数挪，则(） A.该纠数批的枚差是628.7 B.该纵数批的位数是594.9 C.该纵数据的40%分位数是445.2 D.该纵数据的平均数小于630 15.设函数f)=sin(or-严Xw>0),若x)在(0，)上有H只有2个零点，L对意 6 实数a,)在(a,a+)上布在极值点，则w的取作范用是( 7 a. c. a 16.知集合P={(x,y)川x+ar-2026=0且y=2026},若P中的点均在直线 y=2026x的同侧，则实数4的收值范出为() A.(-00,-2025)U(2025,+o) B.(2025,+0) C.(-0,-2026)U(2026,+o) D.(2026,+∞) 二、解答题 17.己知等比数列{an}的公比g>0,月4+4，a5=6,a。=16. (1)求{an}的迦项公式： (2)若数列{b}满足bn=2·3”-an，且b}是严格增数列，求实数元的取值范围. 18.在三棱柱ABC-AB,C中，底而ABC是正三角形，AA⊥BC, AC⊥AB B (1)求证：AA=4B=AC: A (2)若∠AAB=∠AAC=45°，且AB=2,求直线AC与平面 AABB所成角的余弦值. 19.人T智能)`泛地运州概率的州关知识，我们可以设计如下试验模限：有完全州同的中、 乙两个袋了，袋有形状和人小完个州同的小球，其州袋有9个红球和1个白球乙袋中 有2个红球和8个白球，从这两个袋子中选择一个袋子，从该袋子中等可能摸山一个球， 称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结来.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概 半均为2 (1)求首次试验结束的概米： (2)在首次试验摸出门球的条件下，我对选到甲袋或乙袋的概率进行调整。 ①求选到的袋了为叩袋的概率， ②将肯次试验摸山的白球放问原米袋子，继续进行第次试验时有如下两种方案：方案一， 从原米袋子中摸球：方架二，从另外一个袋了中摸球.请通过川算，说明选择哪个方深第二 次试险结束的概更大. 20.我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互 为“饰妹”圆锥曲线，已知锅圆G:兰+广 4b2 =1(0<b<2),双曲线C是椭圆C的“姊妹” 15 圆锥曲线，？、C分别为C、C2的离心率，且CC2=- ,点M、N分别为椭圆C的 4 左、右顶点，设过点G(4,O)的动直线I交双曲线C,右支于A、B两点，若直线AM、BN 的斜率分别为k、kN· (1)求双曲线C,的方程： (2)试探究是否为定值。若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由： (3)求w=k+子m的取值范画. 21.心知函数f(x)定义域为1，DcI,若对任意x∈D,存在t∈D,当x<t时，都行 f(x)<f().则称1为f(x)在D上的“点”. (1)设函数fx)=x+1.求f)在(-2026,01的最大“2点” (2)命趣：f（x)=3sinx+x,在 2π5π 3’3 上不存在“2点”.此命题是否为其命题， 说明理： (2)设D={,2,…,m(m∈N),月f(I)=0,f(x)-f(x-I)≤1.证圳：f(x)在D 的“2点”个数不小于f(m).2025-2026年华师大二附中高三下3月月考 一、填空题 1.已知集合M={x|x+2≥0}，N={x|x-1<0},则M∩N=_ 【答案】{x-2≤x< 2.已知双曲线方程为：3y2-3x2=1,则离心率为一· 【解析】已知双曲线方程为3y2-32=1,化为标准方程为上_士 11 =1, 33 3 6 则离心率e=C=3=5, a 3 3 3.已知4+2=b+ia,b∈)，其中i为虚数单位，则a+b= i 【解析】a+2=b+i,即@+20-0=2-ai=b+i, i i(-) 山复数相等的条件，得B=2， 0=1'解得 a=-1 b=2 所以a+b=1. 4.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知42=3,4。=11，则S,=一 【解析】因为a+a2=42+a。=3+11=14, 所以5，=7a+a2_7a,+a）_7×14=49. 2 2 2 5(x- )的项展开式中，X的系数为一用数字作容 【17-c2-(2cC克，5-2，箱-2， 所以x2的系数为(-2)2C=40. 6.设随机变量X服从成功概率为p(0<p<1)的二项分布，若[X]=30,D[X]=20, 则p=一 【解析】因为X服从成功概浓为p(0<p<1)的二项分布，且[X]=30,D[X]=20, 所以 p=30 p0-p)=20'解得p=3 7.自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且 有时不同的世代能在同一时问进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长 符合模型：N()=Noe”,其中N。为种群起始个体数量，r为增长系数，N(t)为t时刻的 种群个体数量.当1=3时，种群个体数量是起始个休数量的2倍.若N(4)=150,则 NI0)=-· 【解析】因为当t=3时，种群个体数量是起始个休数量的2倍，所以2N。=Nr, 所以e=2,若N(4)=150,则Ner=150, 所以N(10)=Neor=Ner(e3r)2=150×22=600. B M 8.如图，OM/AB,点P在山射线OM、线段OB及AB的延长线围成的 影区域内（不含边界）运动，且0P=-0A+20B，,则入的取值范围 是 【解析】如图，任OA的反向延长线上取点C,使得OC=二OA, 3 过C作CE//OB,分别交OM和AB的延长线于点D、E, 则CD=OB,CE=4OB, 3 由于OP=--OA+OB, 3 要使得P点洛在指定区域内，则P点应洛在DE上（不含端点处）， 当点P在点D处时，OP=-号OA+号OB, 3 3 当点P在点E处时，OP=-OA+4OB, 3 所以的k值包州是（兮宁争· 9.如图，B地在A地的东方向，相距4k;C地在B地的北偏东30° 方向，州距2km,河流沿岸PQ(出线)上仟总·点到A的距离比它到 M B的距离远2km,现要在曲线PQ.上选一处M建一座码头，向 A A,B,C一地转运货物.经测算，从M到A,B两地修建公路费用都是10万元/km,从M 到C修建公路的费州为20方元/km.选择合适的点M，可伙修定的条公路总费州最低， 则总费用最低是万元（褙确到0.01）. 【解析】总费用的表达式为(MA+|MB)×10+|MC|×20 =(IMA+|MA-2)×10+|MC|×20=200MA|+|MC)-20≥201AC|-20, 当月仪当4，M,C三点共线时收等号，又因为AC√5+(5)2=2√7， 所以最小费用为20×2√7-20≈85.83万元. 10过抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点F的肖线交E于点A、B,交E的准线I于点C, AD⊥/，点D为兼足.若F是AC的中点，且|AF=3,则|AB= 【解析】可设A作第一象限，山为A(m,n),n2=2pm,m>0,n>0, 出F,0),F是AC的中点，得C(P-m,-n), iC在抛物线的准线1：x=-2.上，得p-m=- 2 2 Fm+仁3，解得pm三9 3 393W5 x24=2 35-0 甲有保识。限：直线极的斜*为 93=V5, 44 即为直线AB的方程为y=V5(x-马)， 代入抛物线方程)y2=3x,得3(r2-3x+9) =3x，解得x=名 4 则卧}4 【.L知向成i=((sinx,sin(+孕》=(5sinx,函数f=2i.v-V5,若函数 y=()-m在x∈0，受]内有且只有一个零点，则实数m的取值范围为一 【解折】由题意，函数)=2五-币-V5=25sin2x+2sin2(x+孕-5 =V50-cos2+1+sn2x-5=1+2sin2x-学. 因为函数y=fx)-m在x∈[0，]内有且只有一个零点， y=sinz 所以f)-m=0在x[0,受1内有且只有一个实根。 π2π 23 则61+25(2x-孕-m=0,即sn2x-孕-"2， 2 放函数y=sin(2x-孕在xe0受上的图象与直线y=”只有一-个交点， 2 因为xe0,所以2-骨e管. 所以m-∈[-3,3U,即m的取值范围是[-V3,1+V3)U3. 2 12若正四面体的棱长为√，则其外接球上一点到该正四向体四个而的距离之和的最大值 为 【解析】因为正四面体ABCD的外接球为球O,其棱长为√6， 所以该止四面体的高为有=6×6=2，球O的半轮为6x6=3 3 2 山对称性，不妨令球O上一点E在面BCD下方时取到最大， D 所以Y-AC+Vg-ABm+'g-An-'E-0n='A-D' 所以dg-Ac+dE-D+dg-AcD-dE-AcD=h=2, dE-Anc+dE-Am+dE-ACD=2+d-8CD 所以dg-ABc+dE-Am+dg-ACn+dg-BCn=2+2dg-AcD' 则距离和的最大值为(2+2dE-cD)mar,所以(2+2dE-D)x=2+2=4, 所以外接球上一点到该止四面体四个面的距离之和的最大值为4. 二、选择题 13.设x∈R,则“2-x≥0”是“|x+1≤1”的() A.允分而不必要条件 B.必要而不允分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必岁条件 【懈析】出2-x≥0得x≤2，出|x+11得-1≤x+1≤1，得-2≤x≤0. 则“2-x≥0”是“|x+1长1”的必要不允分条件，故选B. 14.已知2018-2024年困冰雪运动核心巾场规模（巾位：亿元)依次为：454.3,487.5， 445.2,594.9,713.9,833.1,1083.0.对十这7个数挪，则() A.该纵数批的极滨是628.7 B.该纠数批的位数是594.9 C.该纵数据的40%分位数是445.2 D.该纵数批的平均数小于630 【解析】该纠数批的极是1083-445.2=637.8，枚A错次： 445.2,454.3,487.5,594.9,713.9,833.1,1083.0数据从小到大排序， 故该组数据的中位数是594.9，故B确； 40%×7=2.8,故该组数据的40%分位数是487.5，故C错决： 该纵数5的Ψ均数7×(45.2+454,3+487.5+594.9+713.9+83.1+1083.0) ≈658.8>630，故D借误. 故逃B. 15.设函数f)=$in(@x-Xo>0),若f)在(0，否上有H只有2个零点，H对1意 实数a,f心在aa+孕布在极价点，则0伯取们范同起( c a D. 【解折】f心在@，受h具以h2个些点，得-石<@x-名<受 0 π 6 621 6 得z<0-严s2π，解 <os3 7 2 6 f)在a,a+孕上存作板值点，了)=0c0or-马. 6 2π+k 令f'()=0,r-T=花+kr,keZ,得x= 6=2 ，k∈Z, 类保证f)在(a,a+召)上存作极值点，需岁严<交，解得o>3. 03 综上所述，0的取值范用是(B, 」.故选D. 16.心知集合P={(x,y)川x+ax-2026=0且y=2026},若P中的点均在直线 y=2026x的同侧，则实数4的收值范固为() A.(-∞，-2025)U(2025,+0) B.(2025,+∞) C.(-0,-2026)U(2026,+o) D.(2026,+∞) x+m-2026=0 【解析】失合P即为关于x、y的方程组 的解集，显然x≠0， y=2026 =-x+ 2026 4=-x3+ 2026 ,即{y= 2026 所以 2026 ，令f)=-x'+2026」 y= y=a y=2026x .2026,解得{ =或x= y=1=-1 即函数y=2026x与y 2026的交点4标为(1，）和(-1，-)， 又-动=--2026-（代+2029=-0，所以/0问为奇的数。 因为y=-x234y=2026 作(0，+o)上严格诚， 所以f=-+2026在0，∞）1严格减， 则/=-+2026在(-6,0).上格被， X 由题意)y=a与y=-x2+2026y=2026 -,y= 的父点在肖线y=2026x的同侧， 只带a>f()毁a<f(-1),即a>2025或a<-2025, 所以实数a的取值范闱为(-0，-2025)U(2025,+0).枚选A. 三、解答题 17.己知等比数列{an}的公比g>0,月4+4，a=6,a。=16 (1)求{an}的迦项公式： (2)若数列bn}满足bn=2·3”-an,且{b}是严格增数列，求实数元的取值范围. 【解析】(1)因为4+a4=4+a=6,所以4=-3或2,2分 若%=-34=16，则g=-与g>0开质，合去， 若4=2,46=16，则g3=8,g=2,满足题意4分 所以0n=a,g0-3=20-2.…6分 (2)b。=元3”-2-2,7分 亿，}是严格增数列，所以b1-bn>0对于任意正整数n都成立 bn1-bn=2(31-3")-(2-1-2"-2)=22.3”-2-2, 即元> 对于任意正整数n都成立...10分 8 w- 在R上严格减， 所以〔)约最大是)-方…分 所以入的取值范围是 18.在三棱柱ABC-A,BC屮，底而ABC是正三角形，AA⊥BC, A C AC⊥AB. B (1)求证：AA=AB=A,C: (2)若∠AAB=∠AAC=45°，且AB=2,求直线AC,与平面 B AABB所成角的余弦值. 【解析】(1)过点A,作AO⊥平而ABC于点O,BCc平而ABC,所以AO⊥BC, 又AA⊥BC,AA∩A,O=A,AA、AOc平面AAO, 所以BC⊥平面AAO,AOc平面AAO,所以BC⊥AO, 同理可证AB⊥CO,又△ABC是正三角形，则O是△ABC的中心， 连接AO、CO并延长交BC、AB于E、F, 则E、F分别为BC、AB的中点，又AEc平面AAO,所以BC⊥AE, 故AB=AC,同理可证AB=AA, 综上，AA=AB=AC: (2)法一：以BC的中点E为坐标原点， 以EA、EB所在直线分别为x、y的正方向， 过E且与OA平行的方向为z轴的正方向， A C 建立空间直角坐标系， 则A(V5,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),A 3 3 设平面AA,BB的法向量为方=(x,y,z), . 因为孤=(5,10，a4=(55,- AB.=-3x+y=0 所以 4-万=-25x+6,=0取z=l,则i=(2,6 3r+ 2=0 220, 3 XAC=4C+CC=A4+AC=(-3-16 3 设直线AC与平面A4B,B所成角为B, 所以sin0=Ii.AC=65 1历4G06-号，故eos9=25 即直线AC与平面AABB所成角的余弦值 2w5 5 法二：由(1)得三棱锥A,-ABC是正三棱锥， 且A,在底面ABC内的投影为等边△ABC的中心O, 又∠AAB=∠AAC=45°，故三棱饿A,-ABC的三个侧面 △AAB,△ABC,△A1A(C均为直角三角形， 且∠MMB=∠BAC=∠A4C=90,则4E=5 2 A A, 3,0= 又4B=2,得40=2 3 则4,0=V442-A02=√4b2-上02，解斜44=2， 在平而AA(C中过(C作(CM/1AC,交AA延长线J点M, 则CM⊥平面AAB, 则∠CAM即为直线AC与平而AAB,B所成角， Av C 其AC=V0,AA=2,AM=2√2， B 枚cos∠CAM=M_2W巨2V5 AC 10 5 即直线AC与平而AAB,B所成角的余弦 25 5 19.人T智能)泛地运州概率的州关知识，我们可以设计如下试验模刚：有完全州同的州、 乙两个袋了，袋了有形状和人小完全州同的小球，其中州袋有9个红球和1个白球乙袋中 有2个红球和8个白球.从这两个袋子选抒一个袋子，从该袋子等可能摸山一个球， 称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结米.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概 为} (1)求肖次试验结束的概*： (2)在首次试验摸出门球的条件下，我对选到甲袋或乙袋的概米进行调整. ①求选到的袋了为印袋的概率， ②将首次试验摸山的白球放原米袋子，继续进逃行第：次试验时有如下两种方案：方案一， 从原米袋子中摸球：方采二，从另外一个袋了摸球.请通过计算，说明选择哪个方深第二 次试险结束的概琳更大 【解析】设试验一次，“取到甲袋”为事件A,“取到乙袋”为茅件A2, “试验结果为红球”为事件B,“试验结果为H球”为事件B2, DPB)=P40PBI4+P4)PBl4))×S+×-0 所以试验一次结果为红球的概率为 20 (2)①因为B、B2是对立事件，P(B2)=1-P(B)= 9 20 1 所以P41B,)=P4nB)_P8,140P4-10×2_1 P(B2) P(B2) 9 =g’ 20 所以选到的袋子为甲袋的概率为{ ②由①得P41B)=1-P4B)=1-0-8 所以方案一屮取到红球的概率 R=P(AIB)P(BA)+P(AIB)P(BA)=1x9+8x2=5 91091018 方案二中取到红球的概率 为B=P4,IB,)P(BA)+PA|B,)PB14)=9×0+gX045 89,1、237 因为3>5，所以方案二中取到红球的概率史大。 4518 20我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互 :女+ 为“姊妹”圆锥曲线.已知椭圆G:善+厅=(0<6<2)，双曲线C是椭圆C的“姊妹” 圆锥曲线，g、e,分别为C、C,的离心率，且C仁2=- 5 点M、N分别为椭圆C的 4 左、右顶点，设过点G(4,O)的动直线1交双曲线C,右支于A、B两点，若直线AM、BW 的斜率分别为kM、kN· (1)求双曲线C,的方程： (2)试探究 位是否为定值。若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由： (3)求W=+子ken的取值范图。 3 【解析】)由题意可设双线℃京，则Gg,3 V4-bV4+65 224