精品解析：山东潍坊市安丘市潍坊国开中学2025-2026学年高二下学期3月开学检测数学试题

高二下学期数学开学检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ） A. 24种 B. 6种 C. 4种 D. 12种 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得只需对剩下3人全排即可． 【详解】解：甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面， 则只需对剩下3人全排即可， 则不同的排法共有， 故选：B． 2. 计算的值是 A. 72 B. 102 C. 5070 D. 5100 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数和排列数计算公式，计算出表达式的值. 【详解】依题意，原式，故选B. 【点睛】本小题主要考查组合数和排列数的计算，属于基础题. 3. 的展开式中x的系数为（ ） A. －280 B. －40 C. 40 D. 280 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理求出展开式中的系数和常数项，由乘法法则可得结论． 【详解】展开式通项公式为， 含的项的系数为，常数项是， 所以所求系数为， 故选：A． 4. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A. 10 B. 11 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知与信息至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息有两个对应位置上的数字相同有个； 第二类：与信息有一个对应位置上的数字相同有个； 第三类：与信息没有位置上的数字相同有个， 由分类计数原理与信息至多有两个数字对应位置相同的共有个， 故选B． 5. 某学校选派了三位男教师和两位女教师参加某活动，这五位教师被分到三个不同的小组，其中两位女教师分派到同一个小组，则不同的分配方案有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 68种 D. 84种 【答案】B 【解析】 【详解】 当两位女教师不单独一组时，先三位男教师全排，再两位女教师选择一组参加， 分配方案有种； 当两位女教师单独一组时，两位女教师先选一组，3位男教师分另外2组， 不同的分配方案有； 综上，不同的分配方案有36种． 6. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 【答案】C 【解析】 【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 7. 展开式中的系数为（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】先求展开式的通项公式，根据展开式中的系数与关系，即可求得答案. 【详解】展开式的通项公式，可得 展开式中含项： 即展开式中含的系数为. 故选：A. 8. 2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有 A 18种 B. 20种 C. 22种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】 分两类：一类是医院A只分配1人，另一类是医院A分配2人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到答案. 【详解】根据医院A的情况分两类： 第一类：若医院A只分配1人，则乙必在医院B，当医院B只有1人，则共有种不同 分配方案，当医院B有2人，则共有种不同分配方案，所以当医院A只分配1人时， 共有种不同分配方案； 第二类：若医院A分配2人，当乙在医院A时，共有种不同分配方案，当乙不在A医院， 在B医院时，共有种不同分配方案，所以当医院A分配2人时， 共有种不同分配方案； 共有20种不同分配方案. 故选：B 【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，不允许有空盒子，下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 18 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，分析可得三个盒子中有1个中放2个球，有2种解法： (1)分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案； (2)分2步进行分析：①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，由分步计数原理计算可得答案，综合2种解法即可得答案． 【详解】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法： (1)分2步进行分析： ①、先将四个不同的小球分成3组，有种分组方法； ②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有种放法； 则没有空盒的放法有种； (2)分2步进行分析： ①、在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有种情况； ②、将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有种放法； 则没有空盒的放法有种； 故选：BC． 10. 已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8，则（ ） A. B. 展开式中所有项的系数和为1 C. 展开式中二项式系数和为 D. 展开式中不含常数项 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二项式定理，由题意写出第二项与第三项系数之比的绝对值，求出n，用赋值法求出各项系数之和，再利用二项式定理以及系数的性质即可. 【详解】由题意，则，，A正确； ，令，则所有项系数之和，B错误；二项式系数之和为 ，C错误； ，若为常数项，则有，是分数，所以不存在常数项，D正确； 故选：AD. 11. 定义有行的“杨辉三角”为阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”. 给出的下列命题中正确的是（ ） A. 记第行中从左到右的第个数为，则； B. 第行所有数的和是 C. 第行共有个数 D. 8阶“杨辉三角”的所有数的和是255 【答案】BCD 【解析】 【详解】第行各个数是的展开式的二项式系数， 则数列的通项公式为，故A错误； 各行的所有数的和是各行相应的二项式系数和，第行各个数的和是，故B正确； 第行共有个数，故C正确； 8阶“杨辉三角”的所有数的和是，故D正确, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数是___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合乘法运算以及组合数的计算求得正确答案. 【详解】的展开式中，含有的项为： ， 所以展开式中的系数是. 故答案为： 13. 若的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________. 【答案】240 【解析】 【详解】分析：利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项． 详解：的展开式中所有二项式系数和为，，则 ； 则展开式的通项公式为 令，求得，可得展开式中的常数项是 故答案为240． 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 14. 某赛事新增了电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目.现有三个场地分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能两地承办，且各自承办其中一项.五个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有______种. 【答案】 【解析】 【分析】根据组合数与排列数计数方法，结合分类分步两个基本原理求解即可得答案. 【详解】首先电子竞技和冲浪两个项目仅能两地举办，且各自承办其中一项有种安排方法； 其次5个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目则有种，故总数为种不同的安排方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，．试问： （1）从集合和中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ （2）从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？ 【答案】（1）34 （2）20 【解析】 【分析】（1）应用乘法原理计算结合间接法计算； （2）因为顺序固定应用组合数计算求解 【小问1详解】 由题意得，． 中元素作为横坐标，中元素作为纵坐标，有（个）；中元素作为横坐标，中元素作为纵坐标，有（个）． 又两集合中有4个相同元素，故有（个）点重复了， 所以共有（个）不同的点． 【小问2详解】 ，则这样的三位数共有（个）． 16. 某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名医生参加赈灾医疗队. （1）若甲、乙必须参加，则有多少种不同的选法？ （2）若甲、乙均不参加，则有多少种不同的选法？ （3）若甲、乙两人至少有一人参加，则有多少种不同选法？ （4）若医疗队中至少有2名内科医生和1名外科医生，则有多少种不同的选法？ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题意，在甲乙外的剩下的7人中再选3人，即可求解； （2）根据题意，在甲乙外的剩下的7人中选5人，即可求解； （3）可用间接法，先在 9人中选出5人，再求得甲乙均不能参加的选法，即可求解； （4）由题意，分3种情况讨论：①队中有2名内科医生和3名外科医生；②队中有3名内科医生和2名外科医生；③队中有4名内科医生和1名外科医生，结合分类计数原理，即可求解. 【小问1详解】 根据题意，若甲、乙必须参加， 在剩下的7人中再选3人即可，有种选法； 【小问2详解】 甲乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有种选法； 【小问3详解】 在 9人中选出5人，有种选法，甲乙均不能参加的选法有种， 则甲乙两人至少有一人参加的选法有种选法； 【小问4详解】 ①队中有2名内科医生和3名外科医生，有种选法； ②队中有3名内科医生和2名外科医生，有种选法； ③队中有4名内科医生和1名外科医生，有种选法， 由分类计数原理，可得种不同的选法. 17. 从包含甲､乙2人的8人中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各多少种不同的排法？ （1）甲､乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲､乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； （3）甲､乙2人都被选中且必须跑相邻两棒. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用排列数以及分步乘法计数原理即可求解. （2）利用排列数、组合数以及分步乘法计数原理即可求解 （3）利用捆绑法以及分步乘法计数原理即可求解. 【小问1详解】 甲､乙2人必须跑中间两棒，则他们本身有一个全排列， 余下的两个位置需要在剩余的6人中选2人排列， 根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为. 【小问2详解】 甲､乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒， 则需要从甲､乙2人中选出1人，有种选法， 然后在第一棒和第四棒中选一棒，有种结果， 另外6人中要选3人的剩余的三个位置上排列， 根据分步乘法计数原理，知不同的排法种数为. 【小问3详解】 甲､乙作为一个整体，从余下的6人中选2人， 相当于3个人在三个位置上排列， 则不同的排列种数为. 18. 在二项式展开式中，第项的系数和第项的二项式系数比为． （1）求的值及展开式中的无理项有几项； （2）求展开式中系数最大的项是第几项． 【答案】（1），展开式中的无理项有项 （2）最大的项是第项 【解析】 【分析】（1）写出展开式通项，根据第项的系数和第项的二项式系数比为可得出关于的不等式，解出的值，当为无理项时，不为整数，可得出的取值，即可得出展开式中无理项的项数； （2）设展开式中系数最大的项是第项，根据不等式法可得出关于的不等式，解出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 解：二项式展开式的通项公式为， 第项的系数和第项的二项式系数比为， 所以，解得. 所以， 当为无理项时，不能为整数， 所以，，故展开式中的无理项有项. 【小问2详解】 解：设展开式中系数最大的项是第项， 则，即， 整理可得，解得， 因为，所以，所以，展开式中系数最大的项是第项. 19. 设，其中是关于的多项式，． （1）求a，b的值； （2）若，求除以的余数． 【答案】（1）， （2）28 【解析】 【分析】（1）把已知等式变形，利用系数相等求解a与b值； （2）由已知求得，则，展开二项式，即可求得除以81的余数． 【小问1详解】 解：（1）由已知等式，得， 因为 ， 所以 所以， 所以，， 【小问2详解】 解：∵， ∴结合（1）得，解得． ∴ ． ∴除以的余数为． 【点评】本题考查二项式定理及其应用，考查运算求解能力，是中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期数学开学检测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ） A. 24种 B. 6种 C. 4种 D. 12种 2. 计算值是 A. 72 B. 102 C. 5070 D. 5100 3. 的展开式中x的系数为（ ） A. －280 B. －40 C. 40 D. 280 4. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A. 10 B. 11 C. 12 D. 15 5. 某学校选派了三位男教师和两位女教师参加某活动，这五位教师被分到三个不同的小组，其中两位女教师分派到同一个小组，则不同的分配方案有（ ） A. 18种 B. 36种 C 68种 D. 84种 6. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 7. 展开式中的系数为（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 120 8. 2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院，医生乙只能分配到医院或医院，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有 A. 18种 B. 20种 C. 22种 D. 24种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，不允许有空盒子，下列结果正确的有（ ） A. B. C. D. 18 10. 已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8，则（ ） A. B. 展开式中所有项的系数和为1 C. 展开式中二项式系数和为 D. 展开式中不含常数项 11. 定义有行的“杨辉三角”为阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”. 给出的下列命题中正确的是（ ） A. 记第行中从左到右的第个数为，则； B. 第行所有数的和是 C. 第行共有个数 D. 8阶“杨辉三角”的所有数的和是255 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数是___________. 13. 若的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是__________. 14. 某赛事新增了电子竞技和冲浪两个竞赛项目以及滑板等五个表演项目.现有三个场地分别承担竞赛项目与表演项目比赛，其中电子竞技和冲浪两个项目仅能两地承办，且各自承办其中一项.五个表演项目分别由三个场地承办，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同安排方法有______种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知，．试问： （1）从集合和中各取一个元素作为直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？ （2）从中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？ 16. 某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名医生参加赈灾医疗队. （1）若甲、乙必须参加，则有多少种不同的选法？ （2）若甲、乙均不参加，则有多少种不同的选法？ （3）若甲、乙两人至少有一人参加，则有多少种不同的选法？ （4）若医疗队中至少有2名内科医生和1名外科医生，则有多少种不同的选法？ 17. 从包含甲､乙2人的8人中选4人参加米接力赛，在下列条件下，各多少种不同的排法？ （1）甲､乙2人都被选中且必须跑中间两棒； （2）甲､乙2人只有1人被选中且不能跑中间两棒； （3）甲､乙2人都被选中且必须跑相邻两棒. 18. 在二项式展开式中，第项的系数和第项的二项式系数比为． （1）求的值及展开式中的无理项有几项； （2）求展开式中系数最大的项是第几项． 19. 设，其中是关于多项式，． （1）求a，b的值； （2）若，求除以的余数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $