精品解析：广西桂林市国龙外国语学校2026届高三下学期3月月考数学试卷

广西桂林市国龙外国语学校2026年3月高三月考 数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则角是（ ） A. 第一、二象限角 B. 第二、三象限角 C. 第二、四象限角 D. 第三、四象限角 【答案】B 【解析】 【详解】由已知， 若，则是第一、二象限角；若，则是第三、四象限角. 若，则是第一、三象限角；若，则是第二、四象限角. 因为，所以与异号， 情况一：且，此时是第二象限角， 情况二：且，此时是第三象限角， 综上，角是第二、三象限角. 2. 若复数，它的共轭复数为，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法可得，即可得，根据复数的乘法即可求得答案. 【详解】由题意知复数，则， 则. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，又因为， 所以. 4. 已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 先得到双曲线的渐近线，然后根据渐近线与圆相切，利用点到直线的距离等于半径，得到和的关系，求出离心率，得到答案. 【详解】双曲线的渐近线为 因为两条渐近线均与圆相切， 所以点到直线的距离等于半径 即， 又因为 整理得到， 故双曲线C的离心率为. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线，根据直线与圆相切求参数关系，求双曲线的离心率，属于简单题. 5. 已知命题，命题，则命题p是命题q的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解，再根据集合之间的包含关系判断. 【详解】等价于，得； ， 因为和之间无包含关系，故命题p是命题q的既不充分也不必要条件. 6. 若正整数a，b满足，其中，则b的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，利用二项式定理可得其展开式，进而化为形式，即得答案. 【详解】 ， 对照得. 7. 已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于  服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 8. 已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象平移及伸缩变换得到，由，结合函数图象即可求解. 【详解】将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度， 可得：， 当，可得， 则， 因为存在唯一实数，使得， 即是的子集，且唯一， 由图像可知， ， 所以实数的取值范围为， 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则（ ） A. 存在唯一的极值点 B. 存在唯一的零点 C. 直线与的图象相切 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求出，令，根据的单调性得可判断A；结合在上单调性及可判断B；令求出切点坐标可得切线方程可判断C；根据在上单调递增得，令，求出可判断D. 【详解】由题意得函数的定义域为， 对于A，，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以在上单调递增，所以没有极值点，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，，所以存在唯一零点1， 故B正确； 对于C，令，则，即切点为， 所以切线方程为，即，故C错误； 对于D，因为在上单调递增，，所以， 可得，所以， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. 故选：BD. 10. 已知数列满足，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 数列的前n项和 D. 数列是递减数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的定义即可判断A；根据等差数列的通项公式即可判断B；根据等差数列的前项和公式即可判断C；根据等差数列的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由，，可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由数列是以为首项，为公差的等差数列， 知，故C正确； 对于D，因为，所以数列是递增数列，故D错误. 11. 已知双曲线的其中一条渐近线方程为，且过点.点为该双曲线右支上一点，点，分别为该双曲线左右焦点.则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的面积为 B. 存在过点的直线与双曲线相交于两点，且点为的中点 C. 的内切圆与轴切于点，则 D. 过点分别作两条渐近线的垂线，垂足为D，E，则两垂足距离最短为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出双曲线的标准方程，再围绕双曲线的几何性质和相关定理，逐一分析四个选项： 选项A：先利用双曲线定义得到 ，再结合余弦定理求出 的值，最后用三角形面积公式 计算面积； 选项B：先用点差法求出直线斜率，再写出直线方程并联立双曲线方程，最后通过判别式 判断直线与双曲线无交点； 选项C：先利用切线长相等的性质，再结合双曲线定义 ，最后推导出 ； 选项D：先写出点到渐近线的距离公式，再结合双曲线方程化简，得到距离乘积为定值，最后利用余弦定理和不等式求出最短距离. 【详解】由，即，所以双曲线的方程为， 所以，所以焦点为，. 对于A：当时， 由，所以， 所以，故A正确； 对于B：设，， 则，所以 又为线段的中点，所以，， 所以，故，的直线方程为， 直线与曲线方程联立，则， 因为，此方程无解，所以不存在符合条件的直线，故B错误； 对于C：设的内切圆为圆，与，相切于 则，，. 又因为，所以， 所以，即，故C正确； 对于D：设，不妨设点在渐近线上， 则，，且， 由余弦定理，， ， 因为，所以（当时取等号），即.故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知点在抛物线上，O为坐标原点，则________； 【答案】 【解析】 【详解】因为点在抛物线上，故， 故. 13. 已知定义在R上的函数满足，对任意的实数、，且，，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，即可判断的单调性，不等式等价于，结合函数的单调性即可得出答案. 【详解】设，因为对任意的实数且，， 所以，即， 所以在上是减函数，因为，所以， 不等式， 所以，解得，即不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知球的半径为2，圆锥的底面圆周在球的球面上，是圆的一条弦，且二面角为，则当三棱锥的体积最大时，圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，取的中点，则，利用求出的范围，则三棱锥的体积，再利用导数求出最值可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，，球的半径． 如图，取的中点，连接， 则， 则是二面角的平面角．， 则， 所以，由得， 则三棱锥的体积 ， 令， 令，则（负根舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则当三棱锥的体积最大时，， 则，此时，圆锥的侧面积． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，，且． （1）求A； （2）若，，求面积的最大值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标形式可得，利用正弦定理边化角再结合三角变换公式可得； （2）根据向量的线性运算可得，从而可得，由基本不等式可求的最大值，从而可求面积的最大值. 【小问1详解】 因为，所以，即， 由正弦定理得， 所以． 因为，所以， 所以，而为三角形内角，故，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以， 因为，且， 所以， 当且仅当时，等号成立， 则的面积，即面积的最大值为． 16. 如图，在四棱锥中，，平面，，，，分别为棱，的中点． （1）若点满足，求证：直线与直线共面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间向量共面的充要条件即可证明四点共面； （2）分别求出平面与平面的法向量，根据面面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为平面，，平面，所以，． 因为底面为直角梯形，， 所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，，，，，， 所以，，， 因为，所以，，，四点共面， 所以直线与直线共面． 【小问2详解】 ， 设是平面的一个法向量，则 令，则，，得， 设是平面的一个法向量，则 令，则，，得， 设平面与平面的夹角为， 因为， 由图可知，二面角为钝二面角， 所以二面角的大小为. 17. 已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与直线相交于点，求证：三点共线. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率为和，由求解； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由直线的方程为，令，得到，再结合韦达定理，判断即可. 【小问1详解】 解：根据题意， 解得. 所以椭圆C的方程为：. ... （2） 【小问2详解】 由（1）知，. 根据题意，直线的斜率一定存在，设直线的方程为. 由，得. 根据题意，恒成立，设 则. 直线的方程为， 令，得，所以. 因为， 则直线的斜率分别为， . 又， ， ， . 所以， 所以三点共线. 18. 已知函数. （1）若，求函数的单调增区间； （2）若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值； （3）当时，函数恰有两个不同的零点，且，求证：. 【答案】（1）单调增区间为 （2）2 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用导数求出的单调增区间； （2）先利用分离参数法得到对恒成立.令，求导得到，再令，判断出，使，得到在上单调递增，在上单调递减，求出，得到.由，求出整数a的最小值； （3）用分析法证明：当时，把题意转化为只需证.先整理化简得到，只需证.令，构造函数，利用导数证明出.即证. 【小问1详解】 当时，，所以， 则，定义域为. 令，解得：. 所以的单调增区间为. 【小问2详解】 依题意对恒成立，等价于对恒成立. 令，则 令在上是增函数， ， 所以，使即 对，，，所以在上单调递增； 对，，，所以在上单调递减. 所以. 所以. 又，所以整数a的最小值2 【小问3详解】 当时，由（2）知在上单调递增，在上单调递减且，时，；时，； 依题意存在，使得 已知可得 要证成立，只需证 因为是的零点，所以， 两式相减得： 即 只需证 又因为只需证 即证 令则，所以， 所以在增函数，所以即. 即成立. 所以原不等式得证. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)利用导数证明不等式． 19. 羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权．每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现，先取得30分的一方该局获胜．现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为；乙发球时，甲得分的概率为． （Ⅰ）若，记“甲以赢一局”的概率为，试比较与的大小； （Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如下列联表部分数据．若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为，的值． 甲得分 乙得分 总计 甲发球 50 100 乙发球 60 90 总计 190 ①完成列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？ ②已知在某局比赛中，双方战成，且轮到乙发球，记双方再战回合此局比赛结束，求的分布列与期望． 参考公式：，其中． 临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①列联表见解析，有；②分布列见解析， 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意可得前个回合里，甲赢下20个回合，输掉个回合，且最后一个回合必需获胜，从而得到，计算出和，做商比较，得到答案； （Ⅱ）①根据题意，填写好列联表，计算出，做出判断；②由列联表得到和的值，得到可取的值，分别计算其概率，写出分布列，计算出期望. 【详解】（Ⅰ）∵甲以获胜，则在这个回合的争夺中，前个回合里，甲赢下20个回合，输掉个回合，且最后一个回合必需获胜 ∴， ∴， ∵， ∴ （Ⅱ）①由甲发球的总计和乙得分，得到甲得分的数值为， 由乙发球的总计和甲得分，得到乙得分的数值为， 从而得到甲得分总计为，乙得分的总计为， 所以列联表如下： 甲得分 乙得分 总计 甲发球 50 50 100 乙发球 60 30 90 总计 110 80 190 ∵，∴有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关” ②由列联表知，， 此局比赛结束，比分可能是，，， ∴ 若比分为，则甲获胜概率为，乙获胜概率为， ∴， 若比分为，则甲获胜的情况可能为：甲乙甲甲，乙甲甲甲， 其概率， 乙获胜的情况可能为：甲乙乙乙，乙甲乙乙， 其概率， ∴， 若比分为，则， ∴的分布列为 2 4 5 ∴ 【点睛】本题考查完善列联表，相关性判断，随机变量的分布列和期望，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西桂林市国龙外国语学校2026年3月高三月考 数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则角是（ ） A. 第一、二象限角 B. 第二、三象限角 C. 第二、四象限角 D. 第三、四象限角 2. 若复数，它的共轭复数为，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知命题，命题，则命题p是命题q的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若正整数a，b满足，其中，则b的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 7. 已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则（ ） A. 存在唯一的极值点 B. 存在唯一的零点 C. 直线与的图象相切 D. 若，则 10. 已知数列满足，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 数列的前n项和 D. 数列是递减数列 11. 已知双曲线的其中一条渐近线方程为，且过点.点为该双曲线右支上一点，点，分别为该双曲线左右焦点.则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的面积为 B. 存在过点的直线与双曲线相交于两点，且点为的中点 C. 的内切圆与轴切于点，则 D. 过点分别作两条渐近线的垂线，垂足为D，E，则两垂足距离最短为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知点在抛物线上，O为坐标原点，则________； 13. 已知定义在R上的函数满足，对任意的实数、，且，，则不等式的解集为______． 14. 已知球的半径为2，圆锥的底面圆周在球的球面上，是圆的一条弦，且二面角为，则当三棱锥的体积最大时，圆锥的侧面积为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，，且． （1）求A； （2）若，，求面积的最大值； 16. 如图，在四棱锥中，，平面，，，，分别为棱，的中点． （1）若点满足，求证：直线与直线共面； （2）求二面角的大小． 17. 已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与直线相交于点，求证：三点共线. 18. 已知函数. （1）若，求函数的单调增区间； （2）若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值； （3）当时，函数恰有两个不同的零点，且，求证：. 19. 羽毛球比赛中，首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球，在每回合争夺中，赢方得1分且获得发球权．每一局中，获胜规则如下：①率先得到21分的一方赢得该局比赛；②如果双方得分出现，需要领先对方2分才算该局获胜；③如果双方得分出现，先取得30分的一方该局获胜．现甲、乙两名运动员进行对抗赛，在每回合争夺中，若甲发球时，甲得分的概率为；乙发球时，甲得分的概率为． （Ⅰ）若，记“甲以赢一局”的概率为，试比较与的大小； （Ⅱ）根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析，得到如下列联表部分数据．若不考虑其它因素对比赛的影响，并以表中两人发球时甲得分的频率作为，的值． 甲得分 乙得分 总计 甲发球 50 100 乙发球 60 90 总计 190 ①完成列联表，并判断是否有95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？ ②已知在某局比赛中，双方战成，且轮到乙发球，记双方再战回合此局比赛结束，求的分布列与期望． 参考公式：，其中． 临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $