精品解析：重庆市璧山中学“1+10”2021-2022学年九年级上学期期末模拟考试数学试题

璧山中学“1+10”九年级数学学科期末模拟试题（2021-2022上期） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题:（本大题12个小题，每小题4分，共28分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 太阳从东方升起 B. 打开电视频道，正在播放《西游记》 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 【答案】A 【解析】 【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是一定条件下一定不发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解∶A．太阳从东方升起是一定条件下一定发生的事件，是必然事件，符合题意； B．打开电视频道，正在播放《西游记》是可能发生也可能不发生的事件，是随机事件，不符合题意； C．任意三角形的内角和为，因此“任意画一个三角形，其内角和是”是一定不发生的事件，是不可能事件，不符合题意； D．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上是可能发生也可能不发生的事件，是随机事件，不符合题意． 3. 方程的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．移项后用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 故选D 4. 在一个不透明的袋子里有8个黑球和4个白球，除颜色外全部相同，任意摸一个球，摸到黑球的概率是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式先求出总的球数，再进行计算即可． 【详解】∵袋子里装有8个黑球和4个白球，共12个球， ∴任意摸一个球，摸到黑球的概率是 ， 故选：C． 【点睛】此题考查概率的公式，正确掌握概率的计算方法是解题的关键 5. 如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，连接DO，则DE的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可求出OC长度，再根据勾股定理求出CD长度，最后根据垂径定理即可得到DE长度． 【详解】∵AB＝10， ∴OB=5 OC：OB＝3：5， ∴OC＝3， 在 中， ∵DE⊥AB， ∴DE＝2CD＝8， 故选：D． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理．掌握垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦”是解题的关键． 6. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 平移后的解析式为， 故选：． 7. 如图，在中，，将在平面内绕点C逆时针方向旋转到的位置，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得，再根据计算即可． 【详解】解：由在平面内绕点C逆时针方向旋转得到的， ， ， . 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，问：门高和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用和勾股定理的应用．设门对角线长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设门对角线长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，由题意可知竿的长度为x尺． 根据勾股定理得， 故选：D． 9. 函数与（为常数且 ）在同一平面直角坐标系中的图像可能（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图像与性质，一次函数图像与性质．分别根据反比例函数及一次函数图像的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； ．∵由反比例函数的图像在二、四象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、二、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； ．∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项正确，故本选项符合题意； ．∵由反比例函数的图像在一、三象限可知，，∴，∴一次函数的图像经过一、三、四象限，本选项错误，故本选项不符合题意； 故选：． 10. 已知二次函数与轴的一个交点为，其部分图像如图所示，有下列5个结论：① ；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】观察图像可知， ，，所以 ，由此即可判定说法①；该函数图像与轴有两个交点，由此即可判定说法②；由对称知，当时，函数值大于0，由此可判定说法③；当时函数值等于0，即，且，代入即可判定说法④；当时，的值最大，此时，，而当时，，由此即可判定说法⑤． 【详解】解：由题意得，该函数图像开口向下，与轴交于正半轴，所以，，又因为其对称轴为，所以，所以 ，故说法①正确； 该函数图像与轴有两个交点，所以当时，有两个不相等的实数根，所以，故说法②错误； 由对称知，当时，函数值大于0，即，故说法③正确； 当时函数值等于0，即，且，即有，代入得，得，故说法④错误； 当时，的值最大，此时，，而当时，，所以，即，故说法⑤正确． 综上所述，说法①③⑤正确，共计3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图像与二次函数系数之间的关系、二次函数的图像与性质等知识，熟知抛物线的图像与二次函数系数之间的关系是解决本题的关键． 11. 如果关于的方程有正整数解，且关于的函数与轴有交点，那么满足条件的整数的个数为（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、分式方程的解，根据题意由分式方程的解和函数与轴有交点求得的取值范围，即可得到整数的个数，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的方法解答． 【详解】解：由方程，得， ∵关于的方程有正整数解， ∴且， ∵关于的函数与轴有交点， 当时， ，直线 与轴有交点； 当 时，，解得； ∴由上可得，且， ∴的整数值是，，， 故选： ． 12. 如图，▱OABC的边OC在x轴上，若过点A的反比例函数（k≠0，x＜0）的图象还经过BC边上的中点D，且S△ABD+S△OCD＝21，则k＝（　　） A. ﹣12 B. ﹣24 C. ﹣28 D. ﹣32 【答案】C 【解析】 【分析】过点A、D分别作OC的垂线，由反比例函数系数k的几何意义，可以得到S△AOM＝S△DON＝|k|，进而得到S四边形DNMA＝S△AOD，根据ABCD是平行四边形，S△ABD+S△OCD＝21，可得S△AOD＝21＝S四边形DNMA，由D是BC的中点，可得出AM＝2DN，设出点D、A的坐标，列方程求解即可． 【详解】解：过点A、D分别作AM⊥OC，DN⊥OC，垂足为M、N， ∵D是BC的中点， ∴DN＝AM， ∵四边形ABCD是平行四边形，S△ABD+S△OCD＝21， ∴S△AOD＝21， ∵点A、D在反比例函数的图象上， ∴S△AOM＝S△DON＝|k|， ∵S四边形DNMA+S△AOM＝S△DON+S△AOD， ∴S四边形DNMA＝S△AOD＝21， 设点D（，a），则A（，2a）， 即AM＝2a，DN＝a，OM＝﹣，ON＝﹣， ∴（a+2a）（﹣）＝21， 解得k＝﹣28， 故选：C． 【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数与平行四边形的性质． 二、填空题．（本大题共6个小题，每个小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是； 故答案为：． 14. 已知m是一元二次方程 的一个根，则代数式的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】将根代入一元二次方程得到，整体代入所求代数式即可求解． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴ 将 代入方程得， 整理得， ∴． 15. 已知点，，均在反比例函数的图象上，且，则___（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断函数的增减性，结合，即可比较与的大小． 【详解】解：反比例函数中，比例系数， 根据反比例函数的性质，当时，函数图象位于第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ， 点，都在第四象限， ． 16. 用半径为50的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面直径是____． 【答案】50 【解析】 【分析】圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，先计算出半圆形铁皮的弧长，再利用圆的周长公式即可求出圆锥的底面直径． 【详解】解：由题意可得，半圆形铁皮的半径， 则半圆形的弧长为：， 因为圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长， 所以该圆锥底面圆的周长为 ， 设圆锥底面直径为 ，根据圆的周长公式可得：， 解得， 即此圆锥的底面直径是 ． 17. 如图，平行四边形，，，，以点B为圆心长为半径画弧，交于点E，连接，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】阴影部分的面积为即可求解． 【详解】解：过A点作 于点F， ， ， ， ∴阴影部分的面积为 ． 18. 春节临近璧山重百商场决定启动一笔专项资金用于购进年货，经过一段时间，商场已购进的、、三种年货总价之比为，根据市场需求，将把余下的资金继续购进这三种年货，经测算需将余下资金的购买种年货，则种年货的总价将达到整个专项资金的，为了使种年货总价与种年货的总价达到，则商场还需购买的种年货总价与种年货的总价之比是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设参数表示已购进三种年货的总价，结合种年货总价占总专项资金的比例，求出总专项资金与参数的关系；再根据种与种年货的总价比例要求，列方程求解还需购买两种年货的总价，进而得到其比值． 【详解】解：设已购进、、三种年货的总价分别为、、，设总专项资金为， 已购三种年货总价和为，则余下资金为， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 余下资金为， 余下资金购买后，剩余用于购买、的资金为， 设还需购买种年货的总价为，则还需购买种年货的总价为， 此时的总价为，C的总价为， 由题意得：， 根据比例的基本性质交叉相乘得：， 展开得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 则还需购买种年货的总价为， 还需购买的种年货总价与种年货的总价之比是：． 三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ，． 20. 为庆祝建党周年，今年国庆节推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，同学们到几个社区作随机调查，了解市民对电影的喜爱程度．同学小王将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：《我和我的父辈》、 《长津湖》、《铁道英雄》、《五个扑水的少年》） （1）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是 ； （2）小王打算从喜欢《我和我的父辈》的4位璧山人民（一男三女）中，抽取两人分别赠送电影票一张，问抽到一男一女的概率是多少？ 【答案】（1） 补全图形如下： （2） 【解析】 【分析】（1）先根据种类人数及其所占百分比求出被调查的总人数，再由四个种类人数之和等于总人数求出种类的人数，据此可补全图形，最后用乘以种类人数所占比例； （2）用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出刚好抽到一男一女的概率． 【小问1详解】 解：∵被调查的总人数为： （人）， ∴种类的人数为： （人）， 补全图形略 ∴扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是 ； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 女1 女2 女3 男 女1 女1女2 女1女3 女1男 女2 女2女1 女2女3 女2男 女3 女3女1 女3女2 女3男 男 男女1 男女2 男女3 由表可知总有种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有种， ∴抽到一男一女的概率为：． 21. 如图，在中，，点在上，以为半径的交于点． （1）作线段的垂直平分线交于点，交于点，并保留作图痕迹． （2）连接，求证：直线是的切线； 【答案】（1）作图见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别以、为圆心，以大于为半径画弧，两弧分别在线段上下方各交于一点，过这两个交点作直线分别交、于点、即可； （2）如图，连接 ，根据等边对等角得，根据垂直平分线的性质得 ，推出，继而得到 ，即可得证． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：如图，连接 ， ∴ ， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∵点在上， ∴直线是的切线． 22. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题： x … 0 1 3 4 5 6 7 … … 1 3 3 1 0 … （1）求出表格中、的值，并在图中画出该函数图象； （2）结合函数图象，直接写出该函数的一条性质； （3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1），画图见解析 （2）函数图象关于直线对称 （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式即可求解；描点，连线即可得到函数的图象； （2）由图可知函数关于直线对称； （3）由图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时， 当时， 故 如图所示：画出函数的图象如图： 【小问2详解】 解：根据函数图象，函数图象关于直线对称； 【小问3详解】 解：由图象可知：不等式的解集为：或． 23. 若在一个三位自然数中，十位上的数字恰好等于百位与个位上的数字之和，则称这个三位数为“奇异数”．例如，在自然数132中，，则132是“奇异数”；在自然数462中，，则462是“奇异数”． （1）请你写出最大的“奇异数”，并证明：任意一个“奇异数”一定能被11整除． （2）若有“奇异数”能同时被3和7整除，求出这样的“奇异数”． 【答案】（1）990；证明见解析；（2）231，462，693． 【解析】 【分析】（1）依据“奇异数”的定义可写出最大的“奇异数”；用代数式表示出“奇异数”，利用因式分解法进行证明； （2）利用“奇异数”的定义和已知，结合数位的数字特征解答． 【详解】解：（1）∵作为数位上的数字，9最大， ∴把9放在百位． ∵“奇异数”的十位上的数字恰好等于百位与个位上的数字之和， ∴个位只能是0． ∴最大的“奇异数”是990． 证明：设一个“奇异数”的百位数字是a，个位数字是b，则十位数字为a+b， 其中a，b为整数，1≤a≤9，0≤b≤9，a+b≤9， ∴这个“奇异数”为：100a+10（a+b）+b． ∵100a+10（a+b）+b =100a+10a+10b+b =110a+11b =11（10a+b）， ∴任意一个“奇异数”一定能被11整除． （2）由（1）可知，任意的一个“奇异数”都可以表示成11（10a+b）的形式． ∵若“奇异数”能同时被3和7整除， ∴10a+b是21的倍数． ∵a，b为整数，1≤a≤9，0≤b≤9，a+b≤9， ∴a=2，b=1或a=4，b=2或a=6，b=3． ∴能同时被3和7整除的“奇异数”有：231，462，693． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键． 24. 近日，璧山血橙迎来丰收季，不少市民纷纷走进果园，体验采摘乐趣．12月份时，某果园血橙开始售卖，如果由果农采摘后直接出售，售价为4元/斤，如果由顾客自行入园采摘，售价为6元/斤，12月份累计售出2100斤． （1）若该果园12月份销售额不低于10000元，则入园采摘至少售出多少斤？ （2）第二年1月份，血橙大量成熟，为了增加销量，该果园将直接出售的售价降低，入园采摘的售价降低a%，结果该月直接出售的销量为1600斤，入园采摘的销量比（1）中入园采摘的最低销量增加了2a%，最终1月份的总销售额比（1）中最低销售额多1200元，求a的值． 【答案】（1）800斤 （2）25 【解析】 【分析】（1）设入园采摘售出x斤，则直接出售为斤，然后根据不等关系列不等式求解即可； （2）根据（1）中的结果和题意，可以得到关于a的一元二次方程求解即可解答． 【小问1详解】 解：设入园采摘售出x斤，则直接出售为斤， ，解得：， 答：入园采摘至少售出800斤； 【小问2详解】 解：由题意可得， 解得，（舍去），，即的值是25． 25. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求b，c的值； （2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值． （3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）﹣，； （3）存在，M坐标为（1，4）或（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）或（﹣，） 【解析】 【分析】（1 ）将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解析式； （2 ）求出直线BC的解析式y＝x+3，过P点作PQ⊥x轴交BC于Q，由已知可得P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3），则S△PBC＝﹣（m+）2+，当m＝﹣时，S△PBC有最大值，此时P（﹣，）； （3 ）平移后抛物线解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣5，联立﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣6x﹣5，求出D（﹣2，3），则BD＝，设M（t，t+3），分三种情况：当四边形BDMN为菱形时，由DB＝DM，得10＝（t+2）2+t2，求出M（1，4）；当四边形BDNM为菱形时，由BD＝BM，得10＝（t+3）2+（t+3）2，求出M（﹣3，）或M（﹣﹣3，﹣）；当四边形BMDN为菱形时，设BD的中点为G，则G（﹣，），由勾股定理得BM2＝BG2+GM2，即2（t+3）2＝（）2+（t+）2+（t+）2，求出M（﹣，）． 【小问1详解】 解：将点A（1，0）和点B（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得， ∴y＝﹣x2﹣2x+3； 【小问2详解】 解：令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+n， 则有， 解得， ∴y＝x+3， 过P点作PQ⊥x轴交BC于Q， 由已知可得P（m，﹣m2﹣2m+3），则Q（m，m+3）， ∴S△PBC＝×3×（﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3）＝（﹣m2﹣3m）＝﹣（m+）2+， ∵－3＜m＜0，－＜0， ∴当m＝﹣时，S△PBC有最大值， 此时P（﹣，）； 【小问3详解】 解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， 将抛物线向左平移2个单位长度，则y＝﹣（x+3）2+4＝﹣x2﹣6x﹣5， 联立得：﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣6x﹣5， ∴x＝﹣2， ∴D（﹣2，3）， ∵B（﹣3，0）， ∴BD＝， ∵M点在直线BC上， 设M（t，t+3）， 当四边形BDMN为菱形时，如图1， ∴DB＝DM， ∴10＝（t+2）2+t2， ∴t＝1或t＝﹣3（舍）， ∴M（1，4）； 当四边形BDNM为菱形时，如图2， ∴BD＝BM， ∴10＝（t+3）2+（t+3）2， ∴t＝﹣3或t＝﹣﹣3， ∴M（﹣3，）或M（﹣﹣3，﹣）； 当四边形BMDN为菱形时，如图3， 设BD的中点为G，则G（﹣，）， ∵GM⊥BD， ∴BM2＝BG2+GM2， ∴2（t+3）2＝（）2+（t+）2+（t+）2， ∴t＝﹣， ∴M（﹣，）； 综上所述：M点的坐标为（1，4）或（﹣3，）或（﹣﹣3，﹣）或（﹣，）． 【点睛】本题考查几何图形与二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、二次函数图象的平移、菱形的性质、三角形的面积公式、勾股定理、解一元二次方程等知识，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论和数形结合思想求解是解答的关键． 四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 26. 在中， ，，点D是边延长线上一动点，过点D作，垂足为E，交于点G．连接，点F是的中点，连接． （1）如图1，连接，求证： 是等边三角形； （2）如图2，点D的运动过程中，当时，求证：； （3）如图3，作交于点P，在延长线上取点Q，使，连接 ．在点D的运动过程中，若，求 的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理、等边三角形的判定定理即可证明结论； （2）如图：连接，过点C作交于点M，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，得出是等腰直角三角形，即；再结合 是等边三角形以及线段的和差即可证明结论； （3）如图：取的中点，当点运动时，点始终是的中点，连接 ，则 是的中位线，即在平行于的一条射线 上运动，当时， 有最小值，；再证明四边形矩形可得，最后利用含30度直角三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【小问1详解】 证明：∵ ，， ∴， ， ∵， ∴ ，， ∵点是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴ 是等边三角形． 【小问2详解】 证明：如图：连接，过点C作交于点M， ∴， ∵，且， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵ ，，即， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图：取的中点，当点运动时，点始终是的中点，连接 ，则 是的中位线，即在平行于的一条射线 上运动，当时， 有最小值，， ∵，，， ∴，， ∵， ，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 璧山中学“1+10”九年级数学学科期末模拟试题（2021-2022上期） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题:（本大题12个小题，每小题4分，共28分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 太阳从东方升起 B. 打开电视频道，正在播放《西游记》 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上 3. 方程的解为（　　） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的袋子里有8个黑球和4个白球，除颜色外全部相同，任意摸一个球，摸到黑球的概率是（　　） A. B. C. D. 1 5. 如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，连接DO，则DE的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将在平面内绕点C逆时针方向旋转到的位置，的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等，问：门高和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 9. 函数与（为常数且 ）在同一平面直角坐标系中的图像可能（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数与轴的一个交点为，其部分图像如图所示，有下列5个结论：① ；②；③；④；⑤，其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如果关于的方程有正整数解，且关于的函数与轴有交点，那么满足条件的整数的个数为（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12. 如图，▱OABC的边OC在x轴上，若过点A的反比例函数（k≠0，x＜0）的图象还经过BC边上的中点D，且S△ABD+S△OCD＝21，则k＝（　　） A. ﹣12 B. ﹣24 C. ﹣28 D. ﹣32 二、填空题．（本大题共6个小题，每个小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡对应的横线上． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 14. 已知m是一元二次方程 的一个根，则代数式的值是_____． 15. 已知点，，均在反比例函数的图象上，且，则___（填“”或“”或“”）． 16. 用半径为50的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面直径是____． 17. 如图，平行四边形，，，，以点B为圆心长为半径画弧，交于点E，连接，则图中阴影部分的面积是__________． 18. 春节临近璧山重百商场决定启动一笔专项资金用于购进年货，经过一段时间，商场已购进的、、三种年货总价之比为，根据市场需求，将把余下的资金继续购进这三种年货，经测算需将余下资金的购买种年货，则种年货的总价将达到整个专项资金的，为了使种年货总价与种年货的总价达到，则商场还需购买的种年货总价与种年货的总价之比是_____． 三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 为庆祝建党周年，今年国庆节推出许多新影片，全国人民掀起了看电影的热潮．为此，同学们到几个社区作随机调查，了解市民对电影的喜爱程度．同学小王将自己的调查结果进行分类并绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（说明：《我和我的父辈》、 《长津湖》、《铁道英雄》、《五个扑水的少年》） （1）请把条形统计图补充完整；扇形统计图中类所在的扇形的圆心角度数是 ； （2）小王打算从喜欢《我和我的父辈》的4位璧山人民（一男三女）中，抽取两人分别赠送电影票一张，问抽到一男一女的概率是多少？ 21. 如图，在中，，点 在上，以为半径的 交于点． （1）作线段的垂直平分线交于点 ，交于点，并保留作图痕迹． （2）连接，求证：直线是 的切线； 22. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题： x … 0 1 3 4 5 6 7 … … 1 3 3 1 0 … （1）求出表格中、的值，并在图中画出该函数图象； （2）结合函数图象，直接写出该函数的一条性质； （3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）． 23. 若在一个三位自然数中，十位上的数字恰好等于百位与个位上的数字之和，则称这个三位数为“奇异数”．例如，在自然数132中，，则132是“奇异数”；在自然数462中，，则462是“奇异数”． （1）请你写出最大的“奇异数”，并证明：任意一个“奇异数”一定能被11整除． （2）若有“奇异数”能同时被3和7整除，求出这样的“奇异数”． 24. 近日，璧山血橙迎来丰收季，不少市民纷纷走进果园，体验采摘乐趣．12月份时，某果园血橙开始售卖，如果由果农采摘后直接出售，售价为4元/斤，如果由顾客自行入园采摘，售价为6元/斤，12月份累计售出2100斤． （1）若该果园12月份销售额不低于10000元，则入园采摘至少售出多少斤？ （2）第二年1月份，血橙大量成熟，为了增加销量，该果园将直接出售的售价降低，入园采摘的售价降低a%，结果该月直接出售的销量为1600斤，入园采摘的销量比（1）中入园采摘的最低销量增加了2a%，最终1月份的总销售额比（1）中最低销售额多1200元，求a的值． 25. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求b，c的值； （2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值． （3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 26. 在中， ，，点D是边延长线上一动点，过点D作，垂足为E，交于点G．连接，点F是的中点，连接． （1）如图1，连接，求证： 是等边三角形； （2）如图2，点D的运动过程中，当时，求证：； （3）如图3，作交于点P，在延长线上取点Q，使，连接 ．在点D的运动过程中，若，求 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $