精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2025-2026学年九年级上学期数学期末考试题

鲁巴2026届九上期末 数学 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小的比较：负数小于一切非负数，明确此性质是关键． 根据正数大于0，0大于负数，即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A． 2. 以下几种著名的数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔爱心曲线 C. 斐波那契螺旋线 D. 科克曲线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕一点旋转后，图形可以与自身重合，这个图形就是中心对称图形，解决本题的关键是根据中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：蝴蝶曲线绕任何一点旋转都不能与自身重合，蝴蝶曲线不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：笛卡尔爱心曲线绕任何一点旋转都不能与自身重合，笛卡尔爱心曲线不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：斐波那契螺旋线绕任何一点旋转都不能与自身重合，斐波那契螺旋线不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：如下图所示，科克曲线绕点旋转后可以与自身重合，科克曲线是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 3. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入，得， ， 解得， 故选：B． 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求两个位似图形的相似比，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据位似图形的性质，得到，，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5. 如图，四边形是的内接四边形，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理；根据已知得出，则，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 6. 估算的结果应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，不等式的性质，先根据二次根式的混合运算法则进行计算，得出，然后再根据估算无理数的方法判断的范围即可．掌握“夹逼法”估算无理数的大小，二次根式的混合运算法则，不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 在1和2之间，即的结果应在1和2之间． 故选：B． 7. 如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，根据函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解求解即可得到答案； 【详解】解：∵一次函数的图像与的图像相交于点， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：A． 8. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，关键是根据传染模型正确列出方程．初始有人患流感，每轮传染中平均一个人传染人，经过两轮传染后总人数为，据此列方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一人传染人． 初始患病人数为， 第一轮后患病人数为：， 第二轮新增患病人数为：， 两轮后总患病人数为：． 故选：B． 9. 如图，正方形的边长为，点为边上一点，连接，将绕点顺时针方向旋转到，连接分别交、于点、，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长到点使，连接并延长，交延长线于点，结合正方形性质和旋转性质证明，由全等三角形性质推得四边形是正方形，再由正方形性质证明，结合相似三角形性质求出后利用勾股定理即可得解． 【详解】解：延长到点使，连接并延长，交延长线于点， 四边形是正方形， ，， 由旋转性质得，， ， 即， 在和中， ， ， ， 又，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 中，． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的判定与性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是作出正确的辅助线． 10. 已知整式，其中，，为互不相等的正整数且不大于，下列说法： ①存在唯一的一组，，的值，使得为整式； ②若，则满足条件的所有式子中，当取任意实数时，其值为非负数的整式的和为； ③若，则满足条件的共有个． 其中正确的个数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用、抛物线与x轴的交点问题等，能够理解题意是解题的关键． （1）根据为整式和，设，求出，再根据，，为互不相等的正整数，进行判断即可求解； （2）先将代入整式，再根据当取任意实数时，整式的值为非负数，推出，即，求出，在分类计数即可求解； （3）根据结合，，为互不相等的正整数且不大于6，推出，再分类计数即可求解． 【详解】解：关于①， ∵为整式，， ∴设，整理得：， ∴，， ∴，整理得：， ∵，，为互不相等的正整数且不大于， ∴ ∴矛盾， ∴①不正确，不符合题意； 关于②， 若，则， ∵，，为互不相等的正整数且不大于6， ∴，， ∵当取任意实数时，整式的值为非负数， ∴，则， ∴，则， 当，解得：，∴符合条件的值为：， ∴或或或， 当，解得：，∴符合条件的值为：， ∴或或， 当，解得：，∴符合条件的值为：， ∴或， 当，解得：，∴没有符合条件的值， 当，解得：，∴没有符合条件的值， ∴将所有满足条件的相加： 的系数：； 的系数：； 常数项：； ∴值为非负数的整式的和为， ∵， ∴②不正确，不符合题意 关于③， ∵，，，为互不相等的正整数且不大于6， ∴， ∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种， ∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种， ∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种， ∴当，可取，对应的选法分别为种，满足条件的共有种， ∴综上，满足条件的共有种， ∴③是正确的，符合题意； ∴符合题意的只有③，个数为． 故选：B． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂和特殊角的三角函数值，由负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行化简，即可求出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 我校艺术节中的“美淘街”板块一直以来深受广大师生的喜爱、今年“手工书签”、“手绘帆布包”、“DIY串珠饰品”三样商品尤为火爆．小王和小李决定从这三样商品中随机选择一个购买，他们恰好都选到“手绘帆布包”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或画树状图求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图． 先通过列举法确定所有等可能的结果数，再找出两人都选到“手绘帆布包”的结果数，最后依据概率公式计算概率． 【详解】解：设“手工书签”为，“手绘帆布包”为，“DIY串珠饰品”为， 列表如下： 小王\小李 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人恰好都选到“手绘帆布包”的结果只有1种，即， 根据概率公式，可得所求概率为， 故答案为：． 13. 光的速度约是km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是s，则地球与太阳的距离约是______km．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】用速度乘以时间，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数解答即可． 【详解】地球与太阳的距离约为（千米） 故答案为． 【点睛】本题考查科学记数法表示较大的数的方法，解题的关键是准确确定a与n的值． 14. 如图，在长方形中，，，把将长方形沿直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求得，由折叠的性质，得，，，证得，可得，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 在中，， 由折叠的性质，得，，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 故的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的性质、解一元二次方程，证明得出是解题的关键． 15. 如图，的内接四边形的对角线为的直径，，延长、相交于点，的切线与的延长线相交于点．若，，则的半径为______；的值为______． 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，解直角三角形的应用，相似三角形的性质和判定，先根据“同弧所对的圆周角相等”得，进而得出，然后说明，可得，则此题可解；连接，根据切线的性质和等腰三角形的性质说明，接下来根据等腰三角形的判定得，即可得出是的垂直平分线，再说明，可知，然后分别根据勾股定理求出，，即可得，接着根据勾股定理求出，然后作，并设，则，根据相似三角形的性质说明即可表示出，再根据勾股定理得出方程求出，即可得出，最后求出比值即可． 【详解】解：， ， ， 为的直径， ， ， ， 即直径为，则的半径为； 连接， 是的切线， ， ， 即． ， ， ， ， ， 又中，， ， ， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， 再根据勾股定理，得， ∴． 根据勾股定理，得． 过点G作，交于点H，设，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 在中，， ∴． 根据勾股定理，得， 即， 解得（舍去），， ∴， ∴． 故答案为：3；． 16. 对于任意一个四位数，它的各个数位上的数字互不相等且千位数字最大，若它的千位数字比个位数字多，百位数字与十位数字之和为的倍数，则称这样的为“拉布布数”．例如四位数，，，是“拉布布数”；四位数，，不是“拉布布数”．则最大的“拉布布数”是______；一个“拉布布数”，记，．若能被整除，则所有满足条件的的最大值与最小值的和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据“拉布布数”中各数位上的数的关系得出最大的“拉布布数”；根据能被整除，得出所有符合条件的“拉布布数”，把最大值与最小值相加即可． 【详解】解：最大的“拉布布数”的千位数是，则个位数是， 最大的“拉布布数”的百位数是， 百位数字与十位数字之和为的倍数，其中， 十位数字是， 最大的“拉布布数”是； 是一个“拉布布数”， 则有，是的倍数， ， ， ， ， 设，， 则有， 能被整除， 或， 当时，， ， 则有，， 当时，，， “拉布布数”千位数最大，故不符合题意； 当时，，，， “拉布布数”千位数最大，故不符合题意； 当时，，，， “拉布布数”为； 当时，，，， “拉布布数”为； 当时，，，， “拉布布数”为； 当时，，，， “拉布布数”为； 当，时， 则有， ， 是百位上数字，是十位上的数字， ，， ， 不符合题意； 的最大值是，最小值是， 的最大值与最小值的和为． 三、解答题（本大题9个小题，第17、18题8分，其余各题10分，共86分） 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，0，1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求解集范围内的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤．先利用解一元一次不等式组的步骤求出其解集，再确定解集内的整数即可； 【详解】解：解不等式①得， ， 解不等式②得， ， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组：的整数解为：，0，1， 故答案为：，0，1． 18. 如图，在中，，． （1）请用尺规完成基本作图：作斜边的垂直平分线分别交、于点D、E，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：在中，∵，，∴， ∵垂直平分，∴______． ∴______，∴， 在中，∵，，∴______，∵，∴． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质与作法是解题关键． （1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案； （2）利用线段垂直平分线的性质求得，利用等边对等角求得，推出，在中，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示：直线即为所求； 【小问2详解】 证明：在中， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴． ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴． 19. 某中学对七、八年级学生进行了防诈骗教育，为了解此次教育的效果，学校开展了防诈骗知识测试．从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的防诈骗知识测试成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是： 66，68，76，77，79，79，84，85，86，86，86，86，90，92，94，94，95，97，100，100 八年级20名学生测试成绩在C组中的数据是：88，87，82，87，80，87，85．根据以上信息，解答下列问题： 七、八年级抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 D组所占百分比 七年级 86 86 40% 八年级 86 87 45% 八年级抽取的学生测试成绩扇形统计图 （1）填空：_____，_____，八年级抽取的学生中A组在扇形统计图中对应的圆心角的度数为_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级参加防诈骗知识测试的学生中，哪个年级学生的测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八两个年级共有学生1200人参与此次防诈骗知识测试，请估计这两个年级共有多少名学生成绩在C等级． 【答案】（1）87.5，86，18° （2）解：八年级学生的测试成绩较好． 理由：∵七年级、八年级学生的测试的平均成绩相同都是86分， 八年级学生的测试的中位数比七年级的高， ∴八年级学生的测试成绩较好．（答案不唯一）； （3）390名 【解析】 【分析】（1）先求出八年级20名学生测试成绩为C组的占的百分比，结合八年级20名学生测试成绩为B组的占，D组的占，可求得A组的占的百分比，从而可求得A组在扇形统计图中对应的圆心角的度数，再求出A、B两组的人数，并将将C组数据从小到大排列，从而可求得中位数为，再根据七年级20名学生的测试成绩，找出出现次数最多，从而可得出七年级20名学生的测试成绩的众数； （2）比较七年级、八年级学生的测试的平均成绩与中位数，可得出八年级学生的测试成绩较好；（答案不唯一） （3）利用七年级、八年级20名学生测试成绩在C组的总人数除以40，再乘以1200即可． 【小问1详解】 解：∵八年级20名学生测试成绩在C组中的数据是：88，87，82，87，80，87，85，共7个， ∴八年级20名学生测试成绩为C组的占， 又八年级20名学生测试成绩为B组的占，D组的占， ∴A组的占， ∴A组在扇形统计图中对应的圆心角的度数为， A、B两组的人数为人， 将C组数据从小到大排列为是：80，82，85，87，87，87，88， 第10、11个数分别是87，88， ∴中位数为， ∵七年级20名学生的测试成绩是：66，68，76，77，79，79，84，85，86，86，86，86，90，92，94，94，95，97，100，100， 其中79、94、100都出现了2次，86出现次数为4次，出现次数最多， ∴七年级20名学生的测试成绩的众数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级20名学生测试成绩在C组中的是84，85，86，86，86，86，共6人， 八年级20名学生测试成绩在C组的有7人， 该校七、八两个年级共有学生1200人参与此次防诈骗知识测试， ∴估计这两个年级共有名学生分数在C等级． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差和完全平方公式，求一个数的绝对值和零指数幂，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 先进行分式的化简，然后求出的值，最后代入求值即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 21. 我校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“山城骏马手账本”和“雾都萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． （1）请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ （2）由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经测算，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元？ 【答案】（1）每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元 （2）每个钥匙扣降低的价格是0.2元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，以及分式方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元，根据两种购买方案的花费，建立二元一次方程组求解即可； （2）设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，根据购进数量的差值建立分式方程求解，注意分式方程需检验． 【小问1详解】 解：设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元， 根据题意得， 解这个方程组，得， 答：每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元； 【小问2详解】 解：设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，优惠后每本手账本的单价为元，每个钥匙扣的单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每个钥匙扣降低的价格是0.2元． 22. 如图，在中，，是边上的高，且，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，同时动点以每秒0.5个单位长度的速度从点出发，沿着运动，是射线上一动点，连接、、的面积是面积的一半，设点、的运动时间为，的面积为，点到的距离为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2） 函数图象如图所示： 函数的图象在时，有最大值6； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）根据题意，利用勾股定理求出，得到，分别求出，即可求出，过点作于点H，由，即可得到的表达式；再分点P在上和点P在上，即可表示出的面积的表达式； （2）根据（1）中函数关系式，结合自变量的范围，即可画出函数图象，再由函数图象即可得到的性质； （3）根据函数图象， ，即为函数的图象在函数图象上方时，的取值范围，据此解答即可． 【小问1详解】 解：在中，，是边上的高，且， ，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作于点H， ∴， ∵， ∴，即； 当点P在上时， ∵，， ∴，即， ∴，即； 如图，当点P在上时，， 根据题意得：， 同理：，即， ∴，即； 综上，； 【小问2详解】 解：由（1）列表如下： 1 2 4 6 7 3 6 2 0 8 4 2 由函数图象得：函数的图象在时，有最大值6； 【小问3详解】 解：令，即，解得：或（舍去）； 令，即，解得：或（舍去）； 时，． 23. 年是“中国航天之父”钱学森先生归国周年，我校开展了“钱学森大讲堂”系列特色活动．甲同学和乙同学参加完活动后计划从礼堂A出发，前往校门C处领取纪念奖章．已知校门C在礼堂A的南偏西方向．出发前两人商定分头行动：甲同学需先前往位于礼堂A正西方向距离米的图书馆D，随后从D向南偏东方向经景观大道前往C处，乙同学先从A沿正南方向步行到达美术部B，再从B沿西北方向步行至C处．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号） （2）若甲同学步行的平均速度为米/分，乙同学步行的平均速度为米/分，请通过计算说明谁先到达校门C处（结果精确到） 【答案】（1）； （2）乙同学先到达校门C处； 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是作出辅助线得到特殊角直角三角形： （1）过作交于点，根据得到即可求出，结合角即可得到，即可得到答案； （2）过作交于点，由（1）求出，，再在，中求出，，从而求出，，结合路程速度求出时间即可得到答案； 【小问1详解】 解：过作交于点， ∵， ∴， ∵，， ， ∴，， ∴，， ∵甲同学从D向南偏东方向经景观大道前往C处， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：过作交于点， ∵，， ∴， ， ∵， ∴，， ∴，， ∵甲同学步行的平均速度为米/分，乙同学步行的平均速度为米/分， ∴，， ∴， ∴乙同学先到达校门C处． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线上一点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）为直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标．此时点保持不动，将线段沿直线继续平移，求平移过程中的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后经过点，得到抛物线，的对称轴与轴交于点，线段上有一点，连接，过点作交抛物线于点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）点的坐标为或，过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式和点坐标，构造方程组并求解即可； （2）先计算出点、、的坐标，直线与直线的解析式．延长交于点，交于点，作，垂足为，设点的坐标为，根据线段关系容易判断出和是等腰直角三角形，则为定值，因此当最大时，的面积最大，此时点的坐标为．根据线段公理可知，在平移过程中，当时，最小，最小值为．可证明此时点与点重合，使用勾股定理可计算出，进而得到的最小值； （3）沿射线平移，可设抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，结合过点，可求出，则．容易判断出是等腰直角三角形，则点有左右两种情况，需要分类讨论．当点在右侧时，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，构造一线三直角模型。可证明，则，．设点的坐标为，点的坐标为，表示出对应边之后，构造方程组并求解；当点在左侧时，使用同样的方法构造方程组并求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，延长交于点，交于点，作，垂足为，设点的坐标为， ∵轴， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴也是等腰直角三角形， ∵， ∴， ， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， ∵两点之间，线段最短， ∴，当、、三点共线时，取得最小值， 又∵垂线段最短， ∴当时，最小，此时点、、恰好共线， ∴当时，取得最小值，如图， ∵，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴点与点重合， 在直角中，， ∴， ∴的最小值为． 综上所述，的面积最大时，点的坐标为；平移过程中，的最小值为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴沿射线平移等同于向右和向上同时移动相同的单位长度， 设抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线， 由平移规律可得， 将点代入，得， ， 解得（负值舍去）， ∴，对称轴为直线， ∴点的坐标为， 设点的坐标为，点的坐标为， ①当点在右侧时，如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，，，， ∴， 解得或， ∵点在线段上， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； ②当点在左侧时，如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， 同理可得， ∴，， ∵，，，， ∴， 解得或， ∵， ∴，，此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数与三角形结合的综合题，考查面积最值问题，周长最小值问题，角度存在问题，运用转化思想和分类讨论思想是解题关键． 25. 为等边三角形，E、F分别为射线、上的点，且，连接、，直线、相交于点D． （1）如图1，当点E在边上时，求的度数； （2）如图2，当点E在边的延长线上时，延长到点M，使得，连接交于点G、交于点H．请用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）若，在（2）的条件下，当取最大值时，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质证明，得到，再利用三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求解； （2）在上截取，连接、，先证明，进而得到，，则有是等边三角形，进而证明，得到，，再证明，得到，即可得出结论； （3）连接，根据三线合一性质可得，取的中点，连接、，当三点共线时，取最大值；过点作于点，根据以及三角形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，在上截取，连接、， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接， 由（2）得，是等边三角形，， ∴， ∴， 取的中点，连接、， ∵为等边三角形， ∴，， ∵点是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴当三点共线时，取最大值； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰直角三角形，，， 由（2）得，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 过点作于点，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鲁巴2026届九上期末 数学 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 以下几种著名的数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔爱心曲线 C. 斐波那契螺旋线 D. 科克曲线 3. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 48 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，的周长为4，则的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 5. 如图，四边形是的内接四边形，，则（ ） A. B. C. D. 6. 估算的结果应在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 7. 如图，一次函数的图像与的图像相交于点，则关于x，y的方程组的解是（ ） A. B. C. D. 8. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为，点为边上一点，连接，将绕点顺时针方向旋转到，连接分别交、于点、，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，，为互不相等的正整数且不大于，下列说法： ①存在唯一的一组，，的值，使得为整式； ②若，则满足条件的所有式子中，当取任意实数时，其值为非负数的整式的和为； ③若，则满足条件的共有个． 其中正确的个数是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：______． 12. 我校艺术节中的“美淘街”板块一直以来深受广大师生的喜爱、今年“手工书签”、“手绘帆布包”、“DIY串珠饰品”三样商品尤为火爆．小王和小李决定从这三样商品中随机选择一个购买，他们恰好都选到“手绘帆布包”的概率为______． 13. 光的速度约是km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是s，则地球与太阳的距离约是______km．（结果用科学记数法表示） 14. 如图，在长方形中，，，把将长方形沿直线折叠，使点B落在点E处，交于点F，则的长为________． 15. 如图，的内接四边形的对角线为的直径，，延长、相交于点，的切线与的延长线相交于点．若，，则的半径为______；的值为______． 16. 对于任意一个四位数，它的各个数位上的数字互不相等且千位数字最大，若它的千位数字比个位数字多，百位数字与十位数字之和为的倍数，则称这样的为“拉布布数”．例如四位数，，，是“拉布布数”；四位数，，不是“拉布布数”．则最大的“拉布布数”是______；一个“拉布布数”，记，．若能被整除，则所有满足条件的的最大值与最小值的和为______． 三、解答题（本大题9个小题，第17、18题8分，其余各题10分，共86分） 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 如图，在中，，． （1）请用尺规完成基本作图：作斜边的垂直平分线分别交、于点D、E，连接；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：在中，∵，，∴， ∵垂直平分，∴______． ∴______，∴， 在中，∵，，∴______，∵，∴． 19. 某中学对七、八年级学生进行了防诈骗教育，为了解此次教育的效果，学校开展了防诈骗知识测试．从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的防诈骗知识测试成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的测试成绩是： 66，68，76，77，79，79，84，85，86，86，86，86，90，92，94，94，95，97，100，100 八年级20名学生测试成绩在C组中的数据是：88，87，82，87，80，87，85．根据以上信息，解答下列问题： 七、八年级抽取的学生测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 D组所占百分比 七年级 86 86 40% 八年级 86 87 45% 八年级抽取的学生测试成绩扇形统计图 （1）填空：_____，_____，八年级抽取的学生中A组在扇形统计图中对应的圆心角的度数为_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级参加防诈骗知识测试的学生中，哪个年级学生的测试成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八两个年级共有学生1200人参与此次防诈骗知识测试，请估计这两个年级共有多少名学生成绩在C等级． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 我校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“山城骏马手账本”和“雾都萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． （1）请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ （2）由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经测算，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元？ 22. 如图，在中，，是边上的高，且，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，同时动点以每秒0.5个单位长度的速度从点出发，沿着运动，是射线上一动点，连接、、的面积是面积的一半，设点、的运动时间为，的面积为，点到的距离为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 年是“中国航天之父”钱学森先生归国周年，我校开展了“钱学森大讲堂”系列特色活动．甲同学和乙同学参加完活动后计划从礼堂A出发，前往校门C处领取纪念奖章．已知校门C在礼堂A的南偏西方向．出发前两人商定分头行动：甲同学需先前往位于礼堂A正西方向距离米的图书馆D，随后从D向南偏东方向经景观大道前往C处，乙同学先从A沿正南方向步行到达美术部B，再从B沿西北方向步行至C处．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果保留根号） （2）若甲同学步行的平均速度为米/分，乙同学步行的平均速度为米/分，请通过计算说明谁先到达校门C处（结果精确到） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线上一点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）为直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过点作于点，连接．当的面积最大时，求点的坐标．此时点保持不动，将线段沿直线继续平移，求平移过程中的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后经过点，得到抛物线，的对称轴与轴交于点，线段上有一点，连接，过点作交抛物线于点，连接，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 25. 为等边三角形，E、F分别为射线、上的点，且，连接、，直线、相交于点D． （1）如图1，当点E在边上时，求的度数； （2）如图2，当点E在边的延长线上时，延长到点M，使得，连接交于点G、交于点H．请用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）若，在（2）的条件下，当取最大值时，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $