精品解析：上海华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高三下学期3月周测数学试题

华二附中高三数学 2026.03 一､填空题. 1. 已知复数，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数除法法则得到，利用复数模长公式求出答案. 【详解】， 故. 故答案为： 2. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】化为齐次式，化弦为切即可得解. 【详解】因为，所以. 3. 抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为, 设抛物线上一点到焦点的距离为3, 则, 所以, 故答案为：2. 4. 一组数据从小到大排列为：，则该组数据的分位数为__________. 【答案】12 【解析】 【详解】因为这组数据共8个数，且， 所以该组数据的分位数为第7个数，即为12. 5. 已知集合，若，则m的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】化简集合,由两集合交集为空集，列出不等式即可求解. 【详解】 因 所以或 解得：或 故答案为：或 6. 如果函数是奇函数，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】因为函数为奇函数，所以，即，整理得：，所以． 故答案为：2． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性定义是解题关键． 7. 数列中，，则值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用递推公式以及数列周期性计算可得结果. 【详解】由可得， 所以，； 因此可得数列的周期为3，所以. 8. 书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有________种不同的插法（具体数字作答） 【答案】90 【解析】 【分析】利用定序相除法进行求解，先求10本书的所有排法，再求原来8本书的排法，相除可得结果. 【详解】原来的8本书，加上新买的2本书，随意排列共有种排法， 原来的8本书随意排列共有种排法， 而原来特有的顺序只有1种，所以共有种方法. 故答案为：90. 9. 在平行四边形中，，，，若，则的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由计算，代入数值计算得到二次函数，利用二次函数的图像求最小值. 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以当时，有最小值，所以的最小值为. 故答案为：. 10. 在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先分析题意，取为的中点，结合题意找出等腰梯形为所得截面，再求出等腰梯形的面积即可. 【详解】 如图所示，取，连接，易知面， 而面，故，连接，且显然成立， 由已知得，故，则， 而，面， 所以平面，且面，所以， 取为的中点，，则且， ，面， 所以平面，因为平面，，同理可得， 所以等腰梯形为所得截面， 又， 作，显然，则梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为． 故答案为：12 11. 现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的报价，根据的报价低于的报价列式，分离参数，可得，再设，利用函数的单调性求其最小值，进而可得的取值范围. 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为（元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由，所以实数的取值范围是. 故答案为： 12. 已知首项，对任意正整数，存在不超过的正整数，使得，存在满足，则满足要求的正整数的个数为 . 【答案】 【解析】 【分析】结合条件与等比数列求和公式可得，从而得，再按分类探究.当时，可设，进而结合数列缺少项，利用等比数列求和公式得到，再借助取值推出矛盾. 【详解】由题意对任意正整数，存在不超过的正整数，使得， 由，令，则； 令，则，或； 故数列的任意一项均为的正整数次幂形式，且为递增数列， 设，其中，，且， 即数列各项均为正整数的递增数列. 又，且， 可得，故； 由， 故， 由，可知， 则， 故，则； ①当时，则，则由可知， 此时，， 满足题意； ②当时，则，可取， 则， 满足题意； ③当时，则，，又， 故； 由， 可知数列的前项中， 至少有两项不在数列的前项中（不包含第项）. 故可设， 其中，且数列为正整数列的递增子数列且. 故， 解得. 又，而， 故只能取，即只可能两项不在数列的前项中； 则数列中，而只能取或，故产生矛盾； 故不满足题意； 综上可知，满足要求的正整数只能为或，即个数为. 故答案为：. 二､选择题. 13. 调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 学生身高和体重没有相关性 B. 学生身高和体重呈正相关 C. 学生身高和体重呈负相关 D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】B 【解析】 【分析】由散点图的特点可分析相关性的问题，从而判断选项，根据相关系数的定义可判断选项. 【详解】由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近， 所以学生身高和体重具有相关性，不正确； 又身高和体重的相关系数为，相关系数， 所以学生身高和体重呈正相关，正确，不正确； 从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是，不正确. 故选：. 14. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期. 【详解】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得 ， 所以的最小正周期为． 故选：C 15. 若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作， 设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 所以当射影在所成锐角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故选：D. 16. 函数定义域为，若，且满足只要，均有，称为这个函数的卓越点． 判断下列两个命题： 命题：若对任意，均有，则存在卓越点： 命题：若和任意一条平行于轴的直线都有无数个交点，则一定不存在卓越点． 则下列说法正确的是（ ） A. 命题正确，命题正确 B. 命题错误，命题正确 C. 命题正确，命题错误 D. 命题错误，命题错误 【答案】D 【解析】 【分析】卓越点的定义要求存在某个，使得对于任意 都有 ，即该点左右两侧函数值呈下降关系，命题中，由条件可推出函数值整体递增，与卓越点的下降特征矛盾，故命题不成立，命题中，即使函数与每条水平直线都有无穷个交点（值域振荡），仍可构造出在某点两侧满足左高右低的特例，因此该命题也不成立. 【详解】对于命题：若存在卓越点，不妨设为，取， 此时，即， 与卓越点要求的不等号方向相反，矛盾，错误. 对于命题：我们考虑到上的函数图象左右平移不影响交点个数，故可构造0为卓越点. 按照下面方法构造与正切函数相关的函数： 把正切函数的图象在轴左侧，轴下方的部分全部翻上去，在轴右侧，轴上方的部分翻下来， 最后函数进行简单微调，把左边的零点和无定义点函数值全部改成，右边无定义点函数值改成，零点不变， 这样子左边函数值都是正的，右边函数值非正，就是卓越点，错误. 故选： 三､解答题. 17. 如图（1）是将一副直角三角尺拼成的平面图形，已知，，，现将沿着折起使之与构成二面角，如图（2）． （1）当三棱锥体积最大时，求三棱锥的体积； （2）在（1）的情况下，求与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作，根据题意先求得，的值，折起过程中，面积不变，当为三棱锥的高时，三棱锥体积最大，再根据三棱锥的体积公式求解即可； （2）在（1）的情况下建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可． 【小问1详解】 如图，作， 由题意，， 折起过程中，面积不变，当为三棱锥的高时，三棱锥体积最大， ． 【小问2详解】 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设，所成的角为， 则， ∴与所成角的余弦值为． 18. 已知函数，其中. （1）解关于的不等式； （2）若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由在单调递增，得即可求解； （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，即在上恰有一个实数解，令，则在上恰有一个实数解，利用数形结合即可求解. 【小问1详解】 由函数在单调递增， 所以 【小问2详解】 原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 19. 某区为全面提高青少年健康素养水平，举办了“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛.已知共有10000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z近似服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为95分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ （2）复赛规则如下：①复赛题目由A，B两类问题组成，答对A类问题得30分，不答或答错得0分；答对B类问题得70分，不答或答错得0分；②A，B两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题. 已知参加复赛的学生甲答对A类问题的概率为0.8，答对B类问题的概率为0.6，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由. 附：若，则，，. 【答案】（1）小明有资格参加复赛 （2）学生甲应先回答A类问题，理由见解析 【解析】 【分析】（1）计算出、的值，可得出，计算出的值，与比大小，可得出结论； （2）分别计算出学生甲先回答类问题、先回答类问题得分的期望值，比较大小后可得出结论. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， ， ，， 所以，小明有资格参加复赛. 小问2详解】 若学生甲先答A类问题，设他的得分为随机变量X，则X的可能取值有0，30，100， ，，， 所以，随机变量X的分布列为， 则. 若学生甲先答B类问题，设该同学的得分为随机变量Y，则Y的可能取值有0、70、100， ，，， 所以，随机变量Y的分布列为， 则， 所以，，因此，学生甲应先回答A类问题. 20. 如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方． （1）求椭圆的标准方程； （2）记，的面积分别为，，若，求的值； （3）设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意由，BF=求解； （2）设点，，，，根据，得到，设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求解； （3）由（2）得到D的坐标，进而得到直线的方程，再令，得到点E的坐标，然后由，结合韦达定理求解. 【小问1详解】 解：设椭圆的焦距为． 依题意可得，， 解得，． 故． 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 设点，，，． 若，则，即有，① 设直线的方程为，与椭圆方程， 可得， 则，，② 将①代入②可得，解得， 则； 【小问3详解】 由（2）得 ，， 所以直线的方程为， 令，得，即． 所以． 所以， ， ， . 21. 对于定义域为的函数与实数，定义集合. （1）若，求； （2）若，且对任意实数均有，求的取值范围； （3）是否存在定义域为的连续函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 【答案】（1） （2）； （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将和代入定义，计算出与 的表达式，代入不等式化简后解出的范围； （2）等价转化为，再根据二次函数性质得到最值，从而得到不等式，解出即可； （3）根据反证法和连续函数的保号性即可得到证明. 【小问1详解】 已知函数，， 首先计算： 代入不等式： 因为，两边同除以得： 利用平方差公式： 所以： 又，故：. 因此，. 【小问2详解】 即，设， 对称轴， 故有最大值，故，即. 【小问3详解】 假设存在连续函数，使得， ， 由于连续，则也连续， 即， 否则，由保号性可知与矛盾. 同理，由， 可知， 即. 当时，可得，. ， 因为，由连续函数保号性， 可得且， 同理， 因为，由连续函数保号性， 可得且， 即， ， 即， 使得， 此时有，这与矛盾. 当时，同理可得矛盾. 综上，故不存在连续函数使之成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华二附中高三数学 2026.03 一､填空题. 1. 已知复数，则__________. 2. 已知，则__________. 3. 抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是________． 4. 一组数据从小到大排列为：，则该组数据分位数为__________. 5. 已知集合，若，则m的取值范围是______. 6. 如果函数是奇函数，则__________. 7. 数列中，，则的值为______. 8. 书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书顺序，则有________种不同的插法（具体数字作答） 9. 在平行四边形中，，，，若，则的最小值为_____. 10. 在正方体中，为的中点，在棱上，且，则过且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为________. 11. 现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______. 12. 已知首项，对任意正整数，存在不超过的正整数，使得，存在满足，则满足要求的正整数的个数为 . 二､选择题. 13. 调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（ ） A. 学生身高和体重没有相关性 B. 学生身高和体重呈正相关 C. 学生身高和体重呈负相关 D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 14. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 15. 若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 函数定义域为，若，且满足只要，均有，称为这个函数的卓越点． 判断下列两个命题： 命题：若对任意，均有，则存在卓越点： 命题：若和任意一条平行于轴直线都有无数个交点，则一定不存在卓越点． 则下列说法正确的是（ ） A. 命题正确，命题正确 B. 命题错误，命题正确 C. 命题正确，命题错误 D. 命题错误，命题错误 三､解答题. 17. 如图（1）是将一副直角三角尺拼成的平面图形，已知，，，现将沿着折起使之与构成二面角，如图（2）． （1）当三棱锥体积最大时，求三棱锥的体积； （2）在（1）的情况下，求与所成角的余弦值． 18. 已知函数，其中. （1）解关于的不等式； （2）若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 19. 某区为全面提高青少年健康素养水平，举办了“健康素养知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩采用百分制，排名前三百名的学生参加复赛.已知共有10000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： （1）由频率分布直方图，可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z近似服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且，已知小明的预赛成绩为95分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？ （2）复赛规则如下：①复赛题目由A，B两类问题组成，答对A类问题得30分，不答或答错得0分；答对B类问题得70分，不答或答错得0分；②A，B两类问题的答题顺序可由参赛学生选择，但只有在答对第一类问题的情况下，才有资格答第二类问题. 已知参加复赛的学生甲答对A类问题的概率为0.8，答对B类问题的概率为0.6，答对每类问题相互独立，且与答题顺序无关.为使累计得分的期望最大，学生甲应选择先回答哪类问题？并说明理由. 附：若，则，， 20. 如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方． （1）求椭圆标准方程； （2）记，的面积分别为，，若，求的值； （3）设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值． 21. 对于定义域为的函数与实数，定义集合. （1）若，求； （2）若，且对任意实数均有，求的取值范围； （3）是否存在定义域为的连续函数，使得？若存在，给出一个满足要求的函数；若不存在，请给出证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $