1.1.2三角形的外角教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》 1.1.2三角形的外角教学设计 学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一 课题 三角形外角 课时 1 课标要求 理解外角的概念：学生需要能够识别并定义三角形的外角，即三角形的一边延长线与另一边形成的角。 掌握外角性质：学生应该理解并能够证明三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和,三角形的外角大于任何一个不相邻的内角。 应用外角性质解决问题：学生需要能够在解决几何问题时灵活运用外角的性质。 培养逻辑推理能力：通过学习和应用外角的相关知识，培养学生观察、分析、推理的能力，提高解决实际问题的能力。 教材分析 首先通过图示帮助学生直观理解外角的位置和形成方式。概括外角的定义：三角形的一个外角是指将三角形的一条边延长后，这条延长线与另一条边所夹的角。 接着通过小组活动得到内角和定理的推理，①三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和。 ②三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角。 最后通过2个例题体现运用知识解决实际问题. 学情 分析 1. 学生已有知识基础、基本概念的理解：大部分学生已经掌握了三角形的基本概念，如内角和为180度。 2. 简单的几何推理：部分学生具备一定的几何推理能力，能够通过已知条件推导出未知信息。 3、图形识别能力：学生能够识别和绘制基本的几何图形，包括三角形及其外角。 4、 学习难点 外角概念的抽象性：外角是一个相对抽象的概念，学生在初次接触时可能会感到困惑，特别是如何正确识别一个角是外角。 5、 外角性质的证明：证明“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和”对学生来说是一个挑战，尤其是逻辑推理过程的严密性和准确性。 6、 应用外角性质解题：将外角性质应用于具体问题中，尤其是在复杂图形中找到合适的外角进行计算，对学生来说也是一个难点。 核心素养目标 1、理解并掌握三角形的外角的概念．能够在能够复杂图形中找出外角. 2、掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.一个外角大于任何一个不相邻的内角。 3、会利用三角形的外角性质解决问题. 教学重点 理解外角的概念，掌握外角的性质， 应用外角性质解决问题. 教学难点 证明“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和”是一个较为抽象的过程，需要学生具备一定的逻辑推理能力. 教学 准备 课件 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 课前检测 1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= 48°. 2.在△ABC中，已知∠A： ∠B：∠C= 2：3：5，则. △ABC是 直角 三角形. 3.什么是三角形的内角？其和等于多少？ 三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，其和180° 4、 国旗上的五角星的每个角是多少度？ 解：连接AC、AB、BC ∵多边形内角和（n-2)×180° ∴∠ABC=（5-2）×180°÷5=108° AB=CB ∠BAC=∠BCA=（180°-108°）÷2=36° ∠BAC=∠ABE=∠BCA=∠CBD=36° ∴∠DBE=∠ABC-∠ABE-∠CBD =108°-36°-36° =36° 所以国旗上的五角星的每个角是36度 1、学生独立完成习题1、2、3. 2、合作交流完成求国旗上的五角星的每个角的度数 1、由于三角形的外角性质实际是内角和定理的推理，所以设计练习内容是巩固内角和知识为新授奠基。 2、利用内角和知识求国旗上的五角星的每个角的度数，学习本即课后设计了利用外角知识求国旗上的五角星的五个角的度数和，体现解题的多样性。 二引入 在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？ 思考：一共转了多少度实际就是求外角和的度数。 问题引入，激发学生兴趣。 三、探究 1、三角形的外角的概念 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 2、三角形外角的三个特征: ①∠ 1的顶点在三角形的一个顶点上; ②∠ 1的一条边是三角形的一条边; ③∠ 1的另一条边是三角形的某条边的延长线 3、 画一个三角形，并画出它的所有外角。 想一想: （1）、每一个三角形有几个外角？ （2）、每一个顶点处相对应的外角有几个？ （3）、这些外角中有几个外角相等？ 4、三角形的外角的性质 填一填： （1）如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,则∠ACD= 130° . （2）探究∠A、∠B,及外角∠ACD的关系。 解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理） ∠ACB+∠ACD=180°（邻补角定义） ∴∠ACD=∠A+∠B 三角形内角和定理的推论 推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论2：三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角. 应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 强调 三角形外角与内角的关系： （1）位置关系：相邻和不相邻. （2）数量关系：外角与相邻内角互补，外角大于不相邻的任何一个内角. 1、理解外角的概念和外角的顶点和边的特征。 2、小组活动画三角形所有外角，并指出相等的外角。 3、探究外角的性质（内角和定理的推论） 1、探究新知过程从认识外角，掌握外角的顶点和边的位置关系，然后通过画三角形的外角进一步理解掌握外角的概念。 2、借助三角形内角和定理和邻补角概念探索外角性质，即三角形内角和定理的推论。 四、典例精析 例题1：已知，如图1-7，在△ABC中，∠B=∠C,AD平分外角∠EAD,求证AD∥BC. 证明： ∠EAC=∠B+∠C(三角形一个外角等于不相邻的两个内角和） ∠C= ∠EAC ∵AD平分外角∠EAD, ∴∠DAC= ∠EAC ∴∠C=∠DAC ∴AD∥BC 例题2：已知，如图1-8，P是△ABC中的一点，连接 PB、PC，求证∠BPC＞∠A. 证明一：延长BP∠AC于D ∵∠BPC是△PDC的外角（外角定义） ∴∠BPC＞∠PDC(三角形外角大于任何一个不相邻的内角） ∵∠PDC是△ABD的外角（外角定义） ∴∠PDC＞∠A(三角形外角大于任何一个不相邻的内角） ∴∠BPC＞∠A. 证明二：在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180° 在△PBC中,∠BPC+∠PBC+∠PCB=180° ∴∠A+∠ABC+∠ACB=∠BPC+∠PBC+∠PCB ∠PBC＜∠ABC，∠PCB＜∠ACB ∴∠BPC＞∠A. 例题3：如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3, ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. 结论：三角形外角和等于360° 学习例题，鼓励学生用多种方法思考，注意书写规范和思维的严谨性。 利用所学知识解决实际问题。例题2利用两种方法思维求证，其一通过作辅助线采用外角知识三角形外角大于任何一个不相邻的内角求证。其二利用内角和知识，三角形的内角和等于180°，结合不等式性质求证，培养学生的思维方法和几何观念。 五、尝试 基础达标： 1.判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ） 2.说出下列图形中∠1和∠2的度数： ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 3、如图：D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°，求（1）∠B 的度数（2）∠C的度数. 解：因为∠ADC是△ABD的外角. 所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°. 又因为∠B=∠BAD， 所以∠B=80°×=40° 在△ABC中： ∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°. 4.已知:如下图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证: ∠1>∠2. 证明: ∵ ∠1是△ABC的一个外角(已知), ∴ ∠1>∠3( 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ). ∵∠3是△CDE的一个外角 (外角定义). ∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角). ∴ ∠1>∠2(不等式的性质). 能力提升： 5.如图，探究∠BDC、∠1、∠2、∠3之间的关系 解：延长AD至E ∠CDE是△ADC的外角 ∴∠EDC=∠3+∠CAD ① ∠EDE是△ADB的外角 ∴∠EDB=∠2+∠BAD ② ①+②得∠EDC+∠EDB=∠3+∠CAD+∠2+∠BAD 而∠EDB+∠EDC=∠BDC,∠CAD+∠BAD=∠1 ∴∠BDC= ∠1+ ∠2+ ∠3. 拓展迁移： 6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= 360° . 完成课堂作业 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 六、提升 适时小结，兴趣延伸 三角形内角和定理：三角形内角和等于180°。 三角形外角的三个特征: 1. 的顶点在三角形的一个顶点上; 2. 一条边是三角形的一条边; 3. 另一条边是三角形的某条边的延长线 推论1；三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和 推论2：三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角. 三角形外角和等于360° 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。 ( 三角形的外角 )板书设计 ( 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线 ) ( 定义 ) ( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角. ) ( 性质 ) ( 三角形的外角和 ) ( 三角形的外角和等于 360 ° ) 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 （课外练习） 基础达标： 1. 如下图所示,求以下各图中的∠1的度数。 ∠1=40° ∠1=120° ∠1=115° 2.如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　B　) A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 3、如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°,∠BAC=70°. ∠B= 40° ； ∠C= 70°。 第2题 第3题 第4题 4.如图，直线AB，CD被BC 所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°， 则∠3＝ 80° 5.如图，类似于三角形，我们称∠1+ ∠2+ ∠3+ ∠4为四边形的外角和，已知四边形的内角和为360º，你能用今天所学的方法进行推理计算吗？能知道多边形的外角和吗? 解：连接BD、AC. ∠1=∠ABD+∠ADB ① ∠2=∠BAC+∠BCA ② ∠3=∠CDB+∠CBD ③ ∠4=∠DCA+∠DAC ④ ①+②+③+④ ∠1+∠2+∠3+∠4 =∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠BCA +∠CDB+∠CBD +∠DCA+∠DAC =∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB+∠BAC+∠ADB+∠BCA +∠DCA =∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠BCD=360° 结论：任意多边形的外角和均为360° 能力提升： 6、（1）如图（甲），在五角星图形中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。 （2）、把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问：它们的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？ 解：AD与CE相交于F,BD与CE相交于G 甲：在△BEG中 ∠FGD=∠E+∠B ① 在△ACF中 ∠GFD=∠A+∠C ② ∠D=∠D ③ ①+②+③ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =∠FGD+∠GFD+∠D =360° 乙：在△BEG中 ∠FGD=∠E+∠B ① 在△ACF中 ∠GFD=∠CAD+∠C ② ∠D=∠D ③ ①+②+③ ∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E =∠FGD+∠GFD+∠D =360° 丙：解：在△BEG中 ∠FGD=∠E+∠B ① 在△ACF中 ∠GFD=∠A+∠C ② ∠D=∠D ③ ①+②+③ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =∠FGD+∠GFD+∠D =360° 拓展迁移： 7.在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC， ∠B=80° ∠C=30 ° 1）求∠DAE 2）你能发现∠DAE与∠B、∠C的关系吗 3）若只知 ∠B-∠C=20°，你能求出∠DAE吗？ 解：（1） ∵∠B=80°,∠C=30° ∴∠BAC=180°-80°-30°=70° ∵AE平分∠BAC ∴∠BAE=∠CAE=35° ∠AED=∠CAE+∠C=65° ∵AD⊥BC，∠ADB=90° ∴∠DAE=90°-∠AED=90°-65°=25° （2）∠DAE=（β-α）,理由如下 设∠B=α,∠C=β ∴∠BAC=180°-α-β ∵AE平分∠BAC ∴∠CAE=（180°-α-β）=90°-α- β ∠AEB=∠CAE+∠C=90°- α- β+α ∠AED=90°-（β-α） ∵AD⊥BC，∠ADB=90° ∴∠DAE=90°-∠AED=（β-α） （3）∠DAE=（β-α）, = ×20° =10° 教学反思 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $