1.5.2三角形的角平分线 教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》 1. 5.2三角形的角平分线教学设计 学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一 课题 三角形的角平分线 课时 1 课标要求 1、 借助角平分线的性质定理和判定定理，推导出三角形角平分线的性质，并能灵活运用解决实际问题．  2、 能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别. 教材分析 《角平分线》北师版八年级下册第一章三角形的证明第五节的内容，本节共2课时，该教学设计为本节的第2课时，主要学习如何运用角平分线的性质定理及判定定理推导出三角形角平分线有关知识。角平分线性质定理及判定定理在初中几何中主要用于证明两条线段相等与如何证明一个点在角的平分线上，通过本节课的学习让学生能够熟练地对角平分线的性质定理及判定定理灵活的理解与应用。同时本节课的学习为学生在九年级对三角形内心的学习做好铺垫作用。在培养学生学科素养方面，通过本节课的学习主要培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学学科核心素养。 学情 分析 本节课的教学对象是八年级的学生，学生已经初步具备了逻辑推理的能力、用数学语言规范表达自己的想法的能力，对于推理证明的基本要求、基本步骤和方法已经初步掌握，同时也积累了一些解决几何问题的经验及方法.通过前面的几何部分的学习，学生思维活跃、参与意识强，对图形性质的探究非常感兴趣，喜欢参与探究性活动，也特别乐于解决一些有挑战性的问题.所以本节课学生对角平分线的性质定理和判定定理能够准确把握，但在添辅助线时会遇到困难. 核心素养目标 1.通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中角平分线的性质. 2. 能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别. 3.通过小组成员的合作交流学习，学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题．  教学重点 三角形角平分线的性质的证明. 教学难点 添加辅助线利用角平分线的性质定理和判定定理解决问题 教学 准备 课件 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 1、角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 符号语言：∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PD=PE. 2、角平分线判定定理：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 符号语言;∵P在∠AOB的内部,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE, ∴OP平分∠AOB. 3、如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(课本第38页例题2） (1)如果CD=4cm,AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. 解：(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，DC⊥AC ∴DE=CD=4 又∵AC=BC ∠C=90° ∴ ∠B=45° ∴ ∠BDE=45° ∴ BE=DE=4（等角对等边） 在等腰RT△BDE中，由勾股定理得 (2) 证明：∵ DE⊥AB,DC⊥AC ∴在Rt△ACD和Rt△AED中 DE=CD AD=AD ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL） ∴AC=AE( 全等三角形对应边相等） 又∵BE=DE=CD ∴ AB=AE+BE=AC+CD 1、 学生独立回答角平分线的性质定理和判定定理。 2、 完成课本38页例题2的学习 1、温故知新，通过复习回顾，关注学生符号语言表达的准确性。 2、课前设计课本38页例题2的学习，目的是巩固角平分线的性质定理和判定定理，为本节课的新授三角形的角平分线铺垫。 二、引新 创设情境，引入课题 如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么地方？ 学生独立思考，并上台展示自己的思路。 激发学生的求知欲，顺利导入新课 三、探究 探究一;三角形的角平分线 1、分别作出△ABC的三条角平分线 问题（1）观察三个三角形的形状？它们分别代表什么三角形？ 问题（2）观察三条角平分线，你发现了什么？ 问题（3）通过观察思考，你能得出什么结论？ 2、作品展示 3、发现：三角形的三条角平分线相交于一点. 并且这点到三边的距离相等 4、证明发现 已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P， 证明：P点在∠BAC的角平分线上．且PD=PE=PF 证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足． ∵BM是△ABC平分线， ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)． 同理：PE=PF． ∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上 (在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)． ∴△ABC的三条角平分线相交于点,且PD=PE=PF 5、 课堂小结： 三角形角平分线定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 几何语言 如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC, ∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF. 注:三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 探究二：三角形三边的垂直平分线的交点与三条角平分线的交点有什么不同? 三条垂直平分线 三条角平分线 锐角三角形 交于三角形内部 交于三角形内部一点 直角三角形 交于斜边中点 钝角三角形 交于三角形外部 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心） 到三角形三边的距离相等（内接园圆心） 问题解决：如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么位置？ 由于三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等。所以作三角形的角平分线.其交点P就是凉亭的位置，如图所所示. ( P ) 1、 作三角形的角平分线。 2、 猜测三角形三条角的平分线相交于一点。 3、 证明猜测 4、 课堂小结三角形角平分线的性质。 5、 合作探究三角形的垂直平分线和角平分线的不同的（注意不同类型的三角形） 6、 完成导入新课的问题 1、 通过动手操作发现三角形三条角平分线交于一点，培养学生动手操作能力。使学生经历“动手操作—猜想—画图—改写—证明”这一系列的探究过程，培养学生分析问题能力、表达能力，规范学生的几何书写能力。 2、 设计小组探究三角形三边的垂直平分线的交点与三条角平分线的交点有什么不同。使学生准确的说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别。便于以后运用知识解决问题不产生混淆概念。 四、尝试 基础达标： 1．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　C　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 2．△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列结论一定正确的是（ D ） A．BD = DC B．BE⊥AC C．FA = FB D．点F到三角形三边的距离都相等 第1题 第2题 3．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD， AD过点P，且与AB垂直．若AD=8,BC=10，则△BCP 的面积为（ C ） A．16 B．20 C．40 D．80 4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,BD= 2CD,点D到AB的距离是5.6，则BC= 16.8 . 第3题 第4题 5.△ABC的两条角平分线AD，BE相交于点F，下列 结论一定正确的是（ D ） A．BD = DC B．BE⊥AC C．FA = FB D．点F到三角形三边的距离都相等 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　B　） A．15 B．30 C．45 D．60 第5题 第6题 能力提升： 7．如图，钝角三角形△ABC的面积是20，最长边BC=10，CD平分∠ACB，点P，Q分别是CD，AC上的动点，则AP+PQ的最小值为（ C ） A.2 B.3 C.4 D.5 解答提示：过A点作BC的垂线交BC于E，交CD于P,过P点作AC的垂线交AC于Q点,由于CD平分∠ACB，所以PE=PQ，PA+PQ=PA+PM=AM.(垂直线最短）.△ABC的面积是20，最长边BC=10，底边上的高AM=4,所以AP+PQ的最小值是4. 拓展迁移 8.如图所示，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N． 求证：PM=PN 解：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD， AB=BC,BD=BD 在△ABD和△CBD中， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB=∠CDB， ∴BD平分∠ADC， ∵PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM=PN． 9.在△ABO中，AB=AO，∠BAO=90°，AD⊥BO于D，过O点引射线OF交BA延长线于F点．过B点作BE⊥OF于E点、分别交AD、A于点G，H． (1)求证： (2)若AH=AG； ①判断BE是否是△CBF的角平分线，并说明理由； ②说明．BH=2OE (1)证明：∵BE⊥OF于E点， ∴∠BEO=90°， ∴∠BAO=90°=∠BEO ∵∠ABH+∠BHA=90°，∠AOF+∠OHE=90°，∠BHA=∠OHE， ∴∠ABH=∠AOF 在△ABH和△AOF中 ∠ABH=∠AOH ∠BAH=∠OAF=90° AB=AO (2)解：①BE是△OBF是角平分线． 理由如下：∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG， ∵∠AGH=∠BGD，∴∠AHG=∠BGD ∵AD⊥BO于D点， ∴∠GBD+∠BGD=90°， ∵∠BAO=90°， ∴∠ABH+∠AHB=90°， ∴∠GBD=∠ABH， ∴BE是△OBF是角平分线． ②证明：∵△ABH≌△AOF，∴BH=OF， ∵BE是△OBF是角平分线，∴∠ EBO=∠EBF 在△BOE和△BFE中 ∠EBO=∠EBF ∠BEO=∠BEF=90° BE=BE ∴△BOE≌△BFE(AAS) ∴EF=OE= ∴BH=2OE． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 五、提升 适时小结，兴趣延伸 1、三角形角平分线定理 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 几何语言 如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC, ∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF. 2、三角形垂直平分线于角平分线的不同点 垂直平分线：到三角形三个顶点的距离相等（外接圆圆心） 角平分线：到三角形三边的距离相等（内接园圆心） 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。 板书设计 三角形角平分线定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 几何语言 如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC, ∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 （课外练习） 基础达标： 1．下列命题是真命题的是（　D　） A．同旁内角互补 B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形 C．两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 2、△ABC的外角平分线CE、BD相交于点P,P到AB的距离是3，则P到AC的距离是（ C ） A.1 B.2 C.3 D.4 第2题 第3题 第4题 3．如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，那么作法的合理顺序是（ C ） ①作射线OC； ②在射线OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE； ③分别以D、E为圆心，大于的长为半径在∠AOB内作弧，两弧交于点C． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①② 4.如图：∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E,且AB=3cm,BD=2cm,则DE= 1 . 5.已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分线，点D是OC上的一点，过D作直线DE⊥OA,垂足为E,且直线DE交OB于F,若DE=2,则DF= 4 . 6.如图P是∠AOB的角平分线OC上的一点，PN⊥OB，M是线段ON上的一点，已知OM=3,ON=4,点D是OA上的一点，若满足PD=PM，则OD= 3或5 . 第5题 第6题 第7题 能力提升： 7.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，BE、CD交于点O，连接OA．下列结论：①BE=CD;②BE⊥CD;③OA平分∠CAE;④∠AOB=45°其中正确结论的是 ①②④ ． 【解答提示】：证△ABE≌△ACD,全等三角形的对应边相等，故①正确；根据△ABE≌△ACD的对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，故②正确；过A分别作BE、CD的垂线交BE、CD于M、N，由于△ABE≌△ACD,它们的面积相等，底(BE=CD)也相等，所以高也相等(AM=AN),根据角平分线的判定定理故④正确；假设③正确，根据ASA证明△AOD≌△AOB,得到AD=AB,不一定成立，故OA平分∠CAE不一定成立。故③不一定正确。 所以正确的答案是：①②④ 8.如图，在△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于点D，下列四个结论：①EF=BE+CF;②∠BOC=90°+1//2∠A;③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD=m,AE+AF=n则 ，其中正确的有（ A ）。 A.①②③ B.①②④ C. ②③④ D.①③④ 第8题 第9题 拓展迁移： 9.已知：任意一个三角形的三条角平分线都交于一点．如图，在△ABC中，BC、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE=AF，解答下列问题： （1）证明：DE=DF； （2）若∠A=60°，AB=8，BC=7，AC=5，求EF的长 (1)证明：连接AD， ∵BC、CD分别平分∠ABC、∠ACB ∴AD分别平分∠CAB 在△ADE和△ADF中 AD=AD;AE=AF;∠EAD=∠FAD ∴△ADE≌△ADF ∴DE=DF (2),∠A=60°,AE=AF ∴△AEF是等边三角形,∠AFE=60° 在BC上取M、N两点使BM=BE;NC=CF △CDN≌△CDF(SAS) ∴DF=DN，∠DFC=∠DNC=120° ∠DNM=60° 同理DE=DM，∠DMB=60° ∴△DMN是等边三角形， 设DE=DF=X,则DM=DN=MN=x, AE=AF=EF=2x BM=BE=AB-AE=8-2x CN=FC=AC-AF=5-2x BC=BM+MN+CN 即7=8-2X+X+5-2X 求出X=2 EF=2X=4 教学反思 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $