1.5 角平分线 (第2课时 三角形三条内角的平分线 )（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

5.角平分线 第2课时 三角形三条内角的平分线 第一章 三角形的证明 学 习 目 标 1 2 会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”。 会运用三角形内角的平分线的性质和判定解决问题。 情景引入 角平分线的性质与判定的内容是什么？ 定理　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理　在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 典例分析 例1.如图，在△ABC 中，AC=BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD. A C B E D ∵AC = BC，∴∠B = ∠BAC（等边对等角）。 ∵∠C = 90°，∴∠B = ×90°=45°。 ∴∠BDE=90°–45°=45°。∴BE = DE（等角对等边）。 在等腰直角三角形 BDE 中， cm（勾股定理）。 ∴AC = BC = CD + BD = cm. （1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE = CD = 4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)。 典例分析 例1.如图，在△ABC 中，AC=BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. （2）求证：AB = AC + CD. A C B E D （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL） ∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）. ∵BE = DE = CD， ∴AB = AE + BE = AC + CD. 新知探究 探究1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三条角平分线相交于三角形内的一点。 新知探究 发现：交点到三条边的距离相等。 探究2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 你能证明这个结论吗？ 典例分析 方法技巧 分析：要证明∠A 的平分线经过点 P，需要什么条件？已知的两条角平分线相交于点 P，由此你能得到哪些相关的结论？ 例2.已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P. 求证：∠A 的平分线经过点 P. D E F A B C P N M ∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即∠A 的平分线经过点 P. 证明：BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足为 D，E， ∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 新知探究 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 典例分析 方法技巧 根据角平分线的性质以及角平分线上的点到三条边的距离相等解题. 例3.已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF. 求证：CF = EB. 证明：∵ AD 平分∠CAB， DE⊥AB，∠C = 90° (已知)， ∴CD＝DE (角平分线的性质). 在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中， 　　CD = ED (已证)， DF = DB (已知)， ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF = EB (全等三角形的对应边相等). C F A E D B 课堂小结 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 A B C P M N E F D 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 变式训练 1.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ） A.△ABC三条中线的交点 B.△ABC三边的垂直平分线的交点 C.△ABC三条角平分线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点 C 变式训练 3. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，且∠B +∠D = 180°，求证：AE = AD + BE. A C B E D A C B E D F 证明：过点 C 作 CF⊥AD，交 AD 的延长线于点 F. ∵AC 平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE ＝ CF，AE ＝ AF （角平分线性质）， ∠CEB ＝∠CFD ＝ 90°. ∵∠B +∠ADC ＝ 180°，∠CDF +∠ADC ＝ 180°， ∴∠B ＝ ∠CDF， ∴△CBE ≌△CDF （AAS）， ∴DF ＝ BE. ∵AF ＝ AD + DF， ∴AF ＝ AD + BE，∴AE ＝ AD + BE . 感谢聆听! $