1.5 角平分线（分层作业，2基础&3提升题型+培优）数学新教材北师大版八年级下册

1.5 角平分线 题型一 认识角平分线的性质定理 一、单选题 1．已知点是三角形的两条角平分线的交点，关于这个点，下列说法正确的是（   ） A．到三角形的三个顶点的距离相等 B．到三角形三边的距离相等 C．不一定在第三个角的平分线上 D．与顶点的连线垂直于该顶点的对边 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的性质，掌握三角形内心到三边的距离相等是解题的关键． 点是三角形的两条角平分线的交点，即为三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等． 【详解】解：∵ 点是两条角平分线的交点， ∴ 点是三角形的内心， ∴ 点到三角形三边的距离相等，B正确，符合题意； A、内心到顶点的距离不一定相等，故错误，不符合题意； C、三条角平分线必交于一点，因此点一定在第三个角的平分线上，故错误，不符合题意； D、内心与顶点的连线不一定垂直于对边，故错误，不符合题意． 故选：B． 2．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论错误的是（   ） A．是的角平分线 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质、角平分线的尺规作图、等角对等边，勾股定理，掌握相关性质定理是解题的关键．根据角平分线的作法即可判断A；根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，即可判断B；根据含的直角三角形的性质和三角形面积公式即可判断C；根据含的直角三角形的性质结合勾股定理即可判断D． 【详解】解：由作法得是的平分线，故A选项的结论正确，不符合题意； ，， ， ， ， ，故B选项的结论正确，不符合题意； ， ， ， ，故C选项的结论正确，不符合题意； 设，则， ，， ， 解得（负值已舍去）， ， 即，故D选项的结论错误，符合题意． 故选：D． 3．如图，三条角平分线将分为三个三角形，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线的性质与三角形面积公式，掌握同高等底的三角形面积之比等于底之比是解题的关键． 点是的内心，到三边的距离相等，三个小三角形的高相等，面积比等于对应底边的长度比． 【详解】解：∵是和角平分线的交点 ∴点到的距离相等 ∴三个小三角形的高相等 ∵，， ∴面积比等于底边比 ∵已知 ∴． 故选：C． 二、填空题 4．已知点在第一、三象限的角平分线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，角平分线的性质．点在第一、三象限的角平分线上，则横坐标与纵坐标相等，据此列出方程求解． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， 点到坐标轴的距离相等， ∴， 解得． 故答案为：． 5．如图，在中，，经尺规作图得到、与相交于点，有下列结论：①；②；③．其中一定成立的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线性质，线段垂直平分线性质． 由作图可知平分，得，可判断①；根据线段垂直平分线性质得，结合，得，可判断②：由垂直平分线段性质得，结合，可判断③． 【详解】解：由作图可知平分， ∴， ∴①正确； ， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴②正确； ∵，， ∴， ∴③正确． 故①②③正确， 故答案为：①②③． 三、解答题 6．如图，与的两边分别相交于点，，平分，，． (1)①求证：． 小红的解题方法是：过点作，，构造一对全等三角形… 小黄的解题方法是：过点作交于点，构造一个等边三角形… 小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接… 任选其中一个方法，补全图形，并写出证明过程； (2)猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解； (2)，证明见详解． 【分析】（1）小红的解题方法是：过点作，，通过证明，即可求得；小黄的解题方法是：过点作交于点，通过证明，即可求得；小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接；通过证明，即可求得； （2）过点作，，通过证明，可得，，进而求解． 【详解】（1）证明：小红的解题方法是：过点作，， ， 又平分，，， ，， 在四边形中， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； 小黄的解题方法是：过点作交于点， 平分，， ， , ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； 小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接， 平分，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 过点作，， 由（1）得， ，， ， ，， ，同理可得， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是解题的关键． 题型二 认识角分线的判定定理 一、单选题 1．在锐角内一点P，且点P到三边的距离相等，则点P是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．重心 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，掌握到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角平分线上，可得到三边距离相等的点是三条角平分线的交点． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴点P是三条角平分线的交点， 故选A． 2．下列命题的逆命题不成立的是（   ） A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 C．两条直线平行，同位角相等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了判断一个命题的逆命题的真假，实数的性质，角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定定理，把原命题的结论和题设互换，写出对应命题的逆命题，再根据实数的性质，角平分线的性质，平行线的性质和全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、原命题的逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，该命题不成立（例如，，满足平方相等，但是这两个数不相等），故此选项符合题意； B、原命题的逆命题为：角平分线上的点到该角的两边的距离相等，该命题成立，故此选项不符合题意； C、原命题的逆命题为：同位角相等，两直线平行，该命题成立，故此选项不符合题意； D、原命题的逆命题为：如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等，该命题成立，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为，由题意得，且，，根据角平分线的判定定理可证平分，从而得到答案． 【详解】解：如图，作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为， 由题意得，且，， ∴平分，即点在外角的平分线上． 故选：B． 二、填空题 4．如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据角的平分线的判定，得到射线是的平分线，继而得到，解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴射线是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 5．如图，，请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作出的角平分线． (2)在（1）的基础上，若是的平分线，且交于点，交于点，求证：点在的平分线上． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查作图－复杂作图，角平分线的性质和判定定理，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，即可证明点在的平分线上． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）证明：如图，过点作于点，于点，于点M． 平分 ． 同理 ． 点O在的平分线上． 6．如图，已知于点，于点，，相交于点，． (1)写出图中所有全等三角形并证明； (2)求证：点在的平分线上． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的判定条件是解题关键． （1）利用垂直得到直角，结合对顶角相等及，先证得，再结合公共角和直角，证明． （2）由得，结合与，根据角平分线判定定理证得结论． 【详解】（1）解：，，证明如下： ，， , ， ， ， ， 即， ， . （2）证明：由（1）知，可得， 又，， 点在的平分线上． 7．如图，已知为的平分线，，点P在上，于M，于N，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了角平分线的判定定理，角平分线的定义，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理．根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，进一步可得，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【详解】证明：∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点P在上，，， ∴． 8．如图，中，点为的角平分线与外角的角平分线的交点，连接．求证：平分外角． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 作于，于，于，先根据角平分线的性质得到，，利用等量代换得到，然后根据角平分线定理的逆定理可得结论． 【详解】解：如图，作于，于，于， 点为的角平分线与外角的角平分线的交点， ，， ， 平分外角． 题型一 运用角平分线的性质求线段的长度 一、单选题 1．如图，，，于点．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、含角的直角三角形的性质． 作于H，根据角平分线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质和等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：作于H． ∵，，， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 2．如图，在中，，作外角的平分线交的延长线于点，则点到直线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过作垂线构造全等三角形，结合勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点． ∵是的外角平分线，且，， ∴． 设，则． 在和中，，，， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴． 在中，由勾股定理得， 即，解得． 故点到直线的距离为； 故选：B． 3．如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，连接，若的面积为4，，则的长为（   ） A．5 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， ， ， 平分，， ， 的面积为， ， 点为的中点， ． 故选：D． 二、填空题 4．如图，在中，为的角平分线，若，则边上的高线长 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．先设出边上的高线长为，再通过计算的长度，结合角平分线的性质得到与的等量关系，从而求出的值． 【详解】解：设边上的高长为 ，， ， 平分，，是边上的高的长， ， 故答案为：． 5．如图，已知，平分，点在上，过点作交于点，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质以及含角的直角三角形的性质．过点作于点，作于点，先根据平行线的性质和含角的直角三角形的性质求出的长度，再利用角平分线的性质得到，从而得到点到的距离． 【详解】解：如图，过点作于点，作于点， ， ， 平分，点在上， ， ， ， ， ， 平分，点在上，，， ， 即点到的距离为， 故答案为：． 6．如图，在中，，的平分线相交于点，连接并延长交于点，过点作于点．若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内心的性质，含角的直角三角形的性质，掌握三角形内心的性质是解题的关键． 先过点作的垂线，利用角平分线性质得垂线段相等，再由三角形内心性质得平分，求出的度数，最后在直角三角形中用 的性质求的长． 【详解】解：如图，过点作于点． 平分，，， ． 又平分， ∴点O为三角形内心， 平分， ， 在中，． 故答案为：6． 三、解答题 7．如图， 在 中， 点D在上，且平分 过点D作 于点E，若，，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，先结合角平分线的性质得，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵平分 ， ， ∵， 在中，， 即 ∴， 解得（负值已舍去） 8．如图，平分，，在的延长线上截取，连接． (1)求证：； (2)若，． ①求线段的长； ②求点C到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)①13；② 【分析】本题考查平行线的判定，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，通过等腰三角形将角度关系与线段关系进行转化是解题关键． （1）利用角平分线得到相等角，再利用已知的相等角，得到内错角相等，从而证明平行关系； （2）①利用等边对等角得到，从而求出，通过勾股定理求出； ②利用角平分线的性质，将求点C到直线的距离转化为求点C到直线的距离，利用面积关系列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴； （2）解：① ∵， ∴， 又， ∴， ； ②设点C到直线的距离为d．根据角平分线的性质可知点C到直线的距离等于d． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故点C到直线的距离为． 9．如图，在中，平分交于点，于点，于点，．若，求的长． 【答案】 【分析】该题考查了角平分线的性质定理，三角形面积公式，根据角平分线的性质得出，再根据等面积得出，即可求解． 【详解】解：平分，，， ， 设中边上的高为， ， 又， ， ∵， ， ． 10．如图，中，为边上的高线． (1)如图1，求的长； (2)如图2，当为的角平分线时，求的长． 【答案】(1)； (2)的长为 【分析】本题考查的是勾股定理的应用及角平分线的性质， （1）先求出，根据求出结论即可； （2）过点E作于点F，得出，求出，再根据求出结论即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 答：的长为； （2）解：如图2，过点E作于点F， ∵平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ， ∴， ∴， 答：的长为． 题型二 运用角平分线的性质求角的度数 一、单选题 1．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线重合，连，接并延长．若，则的度数为（）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线性质，根据题意，两把相同的长方形直尺的宽度一致，根据摆放方式可知，点P到射线，的距离相等，进而得是的角平分线，有即可求得答案． 【详解】解：∵两把相同的长方形直尺的宽度一致， ∴点P到射线，的距离相等， ∴是的角平分线， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，，平分交于点D，交于点E，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和算出,再根据角平分线和平行线即可求解． 本题考查了三角形内角和，角平分线，平行线的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】在中， ，， ， 平分， ， ， ． 故选：B． 3．如图，在中，．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点P，射线交于点D．若，则的度数为（    ） A．80° B．72° C．64° D．78° 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图角平分线，三角形的内角和定理和外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由等边对等角以及角平分线，，则，在中，由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题 4．如图，为的角平分线，点P为上一点，点D，E分别为射线，上的点，且，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，如图所示，过点P作交于点M，过点P作交于点N，然后根据题意分两种情况讨论，当点D在点时，由角平分线的性质得到，证明出，得到，进而求解即可；当点D在点时，利用等边对等角求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 如图所示，过点P作交于点M，过点P作交于点N，当点D在点时， ∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点D在点时， ∵ ∴ 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 5．如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算 ． 【答案】81 【分析】根据作图痕迹可得AD是的平分线，EF是线段BC的垂直平分线，根据角与角之间的关系即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据作图痕迹可得AD是的平分线， ∴， 根据作图痕迹可得EF是线段BC的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：81． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质，解题的关键是掌握相关性质并熟练运用数形结合的思想． 6．如图，在中，，点D在的外部，连接，过点D作，交的延长线于点E，于点F，若．则的度数为 ． 【答案】52 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，熟练掌握其性质并能正确进行计算是解决此题的关键． 根据题意得出平分，利用三角形的外角性质求得，，进一步计算即可求解． 【详解】解：，，， 平分， ∵， ∴， ， 故答案为：52． 7．如图，在中，点为边上的两点，，，，垂足分别为，且，若，则 （结果用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的判定定理可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，又，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，求的大小； (2)点在上，若平分，求证：点在的平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形外角性质和角平分线的性质与判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先利用角平分线定义求出的度数，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，通过即可求解； （2）连接，过点作三条垂线段，先依据角平分线的性质得到垂线段相等的关系即，再利用角平分线的判定定理“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，证明平分，进而得出点在的平分线上． 【详解】（1）解：平分， ， 是的外角， ， 又， ； 答：； （2）证明：如图，连接，过点作于点于点于点， 平分， ， 平分， ， ， 又， 点在的平分线上． 9．在中，，平分，交于点D． (1)如图1，E是上一点，且． （i）若，求证：． （ii）若，探究与的数量关系． (2)如图2，若，，，，求的长． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键． （1）（i）利用角平分线性质证明即可；（ii）利用角平分线性质得到，再证明即可得出结论； （2）在上截取，连接，先求出，过点D作的延长线于点G，作，再证明，得到，从而进一步求出结果． 【详解】（1）证明：（i）， ． ， ． 平分， ； （ii），理由如下： 如图1，过点D作于点M，于点N． 平分， ． ，， ，即． 在和中， ， ． （2）如图2，在上截取，连接． ， ． 平分， ． ， ． 过点D作的延长线于点G，作， 则有，， ， ． ， ， ， ， ． 题型三 运用角平分线的性质求面积 一、单选题 1．如图，，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，则的面积是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质、含的直角三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．过点作于，根据角平分线的性质得到，根据含角的直角三角形的性质求出，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 的面积为：， 故选：． 2．如图，中，平分，，，若的面积等于，则的面积为（    ）    A．12 B．6 C．3 D． 【答案】C 【分析】过D点作于E，于F，利用角平分线的性质得，再根据三角形面积公式，利用得到，则，然后利用三角形面积公式计算的面积即可． 【详解】解：过D点作于E，于F，如图，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键在于熟知性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3．如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是30，则的面积是（    ） A．36 B．30 C．24 D．66 【答案】A 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，角平分线的性质定理等知识点，解题关键是掌握角平分线的性质并能熟练运用它来求解． 先根据角平分线的性质，得出，再根据的面积是30，求得，从而可求得的面积． 【详解】解：∵AD是的角平分线，DE，DF分别是和的高， ∴， ∵的面积是30， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积是， 故选：A． 二、填空题 4．如图，在中，的三条角平分线相交于点，于点．若，，则的周长是 ． 【答案】45 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形面积公式，掌握将大三角形分割为以内心为顶点的小三角形并利用等高求和的方法是解题的关键． 点是的内心，到三边的距离相等，都等于，将的面积拆分为三个小三角形的面积和，利用面积公式推导出周长． 【详解】解：过点作于，作于． ∵点 是三条角平分线的交点 ∴点 到三边的距离相等 即 ∵， 且 ，， ∴ ∵ ∴ 则 的周长是 ． 故答案为：45． 5．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图——作已知角的角平分线，角平分线的性质，过作于点，由作图可知，平分，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， 由作图可知，平分， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 6．如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于 ． 【答案】6 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于， 平分 的面积为 故答案为：6． 7．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为4，则的面积为 ．      【答案】6 【分析】利用基本作图得到平分，再根据角平分线的性质得点D到、的距离相等，于是利用三角形面积公式得到的面积的面积，从而可计算出的面积． 【详解】解：由作法得平分，则点D到、的距离相等， ∴的面积的面积， ∵的面积为4， ∴的面积是6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质． 8．如图，已知的周长是16，、分别平分和，于，且，的面积是 ． 【答案】 【分析】将三角形面积转化为三个小三角形的面积和求解即可． 【详解】解：如图，过O点分别向和作垂线，垂足分别为E和F，连接， ∵、分别平分和，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和求三角形的面积，解题关键是得到O点到三边的距离相等． 三、解答题 9．在如图所示的中，平分交于点D． (1)若，，求的度数； (2)过点D作于点E，若，，，求的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答． （1）根据三角形内角和定理得出，进而利用角平分线的定义得出即可； （2）过点D作于点F，根据角平分线的性质得出，进而利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的角平分线交于D， ∴， ∴； （2）解：过点D作于点F， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴的面积的面积的面积． 10．如图，在中，是它的角平分线，． (1)求的值； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）作于点E，于点F，根据角平分线的性质得，则． （2）作于点G，则，所以； （3）由， ，得计算即可． 【详解】（1）作于点E，于点F， ∵是的角平分线，， 所以， 所以． ∴的值是． （2）作于点G，则， 因为， 所以． （3）因为， ， 所以． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形面积的计算，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 一、单选题 1．如图，在中，，高线和的平分线交于点，过点作于点，下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、三角形全等的判定()及三角形面积公式的综合应用。①利用角平分线得，结合直角三角形两锐角互余，推导与相等； ②过点作于点，由角平分线性质得，再根据三角形面积公式，推导； ③由、平分，结合证得； ④通过分析与的关系，判断不成立． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； 如解图，过点作于点， ∵，平分， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴，但无法判断，故③错误，④正确.综上所述， 一定正确的是①②④． 故选：B． 2．如图，和都是等边三角形，且、、在同一条直线上，和交于，和交于点，和交于点，下列说法，①，②，③，④，⑤，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． 根据等边三角形的性质得到，，，证明，即可得到，①正确；根据得到，根据及平角的定义得到，证明即可得到，②正确；根据得到，进而求出，根据三角形外角的性质得到，作交于M，交于N，根据全等三角形对应边上的高相等得到，根据角平分线的判定定理得到平分，进而求出，③正确；截取，连接，证明，得到，进而证明是等边三角形，得到，即，⑤正确；无法判断，④错误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，，①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，作交于M，交于N， ， ∴平分， ∴，③正确； 如图，截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即，⑤正确； 根据现有条件无法判断，④错误； 故选：D． 3．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，在的延长线上，交于，交于，连接．下列结论：①；②：：；③垂直平分；④其中正确的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理和逆定理，三角形外角的性质，角平分线的定义， 根据角平分线定义得，再根据三角形外角的性质得，即可解答①；作，，，根据角平分线性质定理得，再根据角平分线性质定理的逆定理得平分，然后根据解答；接下来根据平分，解答③；最后根据平行线的性质得，根据角平分线的定义得，即可解答④． 【详解】解：如图， ∵平分，平分， ∴． ∵， ∴，则①正确； 过点P作于点M，于点N，于点S， ∴， ∴平分． ∵，则不正确； ∵平分， ∴垂直平分，则③正确； ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴.则正确． 本题正确的有：． 故选：B． 4．如图，的外角，的平分线、交于点，于，于，点在上，，则下列结论中正确的个数为（    ） ①平分； ②：； ③若，则； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式、三角形的外角性质等，解题的关键是熟练运用角平分线的性质和三角形的相关定理进行推理计算. 本题需要逐一分析四个结论，通过角平分线的性质、三角形面积公式、三角形外角与内角的关系以及线段的和差关系来判断每个结论的正确性. 【详解】结论①： 过点作于， 平分，根据角平分线的性质，可得， 又平分，根据角平分线的性质，可得， ， 又，根据角平分线的判定定理，可知平分， 故①正确； 结论②： 三角形的面积公式为（为底，为高）， 对于和，以为底时，高分别为，由①知， ，故②正确； 结论③： 平分，平分，平分 ， ，故③正确； 结论④： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在 和中， ， ， ， ， ， 故④正确． 故选：D． 二、填空题 5．如图，在Rt中，，，，是的角平分线，点E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段和最值问题和勾股定理，利用角平分线构造全等三角形是解题关键． 线段和最值问题一般借助对称或者旋转构造全等，将两条线段放置在直线的两边，当两条线段在同一直线上时，达成最小值．本题中可以在上取点G，使得，通过全等可以证出，故最小为．而的长不固定，其最小值等同于点C到的距离，用面积公式即可求出答案． 【详解】解：如图，在上取点G，使得， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 当C、F、G三点共线时，取到最小值， ∵直线外一点与直线上各点的连接的所有线段中，垂线段最短． ∴当时，最小，此时为Rt斜边上的高， 在Rt中，，因此， ， 故答案为：． 6．如图，在中，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点A，B，再分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线OP．分别以O，A为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，作直线分别与，，相交于点E，F，G．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的基本作图及性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 过点作于点，利用垂直平分线和角平分线性质以及角度的和差关系证得、为直角等腰三角形，设，则，再利用等腰直角三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由作图可知为的垂直平分线，为的角平分线，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角等腰三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ． 7．如图，已知在中，，，垂足为点H，平分，，以下说法正确的是： ． ① ② ③的周长比的周长大3 ④当时， 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的应用，勾股定理的应用，解题的关键是通过作辅助线，构造全等三角形． 在上截取，在上截取，连接，证明，则，，由，得，则，可得．故正确；由，通过角度关系，可得，故正确；先证，可得，．由等腰三角形的判定和性质，可得的周长比的周长大3．故正确；设，由勾股定理可得，可求，，则可得，故正确． 【详解】解：在上截取， ， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． ． ， ．故正确； 平分， ． ， ． ， ， ， ． 即，故正确； 在上截取，连接， 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． ． ． 的周长为，的周长为， 的周长比的周长大3．故正确； ， ． ． ，， ． 设， ． ，， ． ，， ． ． 解得，即． ． ．故正确． 故答案为：． 三、解答题 8．如图，在中，，平分，于点，点在边上，． (1)求证：． (2)当，时，求的长． (3)若点、分别是、的中点，连接并延长交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， （1）证明即可得到答案； （2）先证明得到，求得，再证明，然后在中，根据勾股定理即可求解； （3）延长至点，使得，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明；连接，证明，由全等三角形的性质可得，易得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴,, 在和中 ∴, ∴． （2）解：∵平分， ∴, ∵， ∴, 在和中 ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵，由勾股定理得：, ∴, 由（1）得, ∴, 设，， 在中，, ∴， 解得：， ∴． （3）如下图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 连接，如图， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．中，，． (1)如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 【答案】(1) (2)，画图和理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理， （1）延长交延长线于N点，根据题意证明出，得到，然后证明出，得到，即可证明出； （2）过M作交延长线于N点，交于Q点，首先证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：，，，，．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等． 【详解】（1）， 理由：延长交延长线于N点， ∵，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）， 理由：过M作交延长线于N点，交于Q点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 10．综合与探究： 【问题背景】如图，，点在的平分线上，于点 (1)【操作探究】如图①，点在射线上，连接，过点作交射线于点，过点作于点． ①补全图形，则的度数为______； ②若点在线段上，求证：； ③若点在射线上，，，求的长； (2)【拓展应用】如图②，点在线段上，连接，，，直接写出的面积． 【答案】(1)①图形见解析，；②证明见解析；③的长为或 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，多项式乘多项式与图形面积； （1）①由角平分线得到，，再根据三角形内角和得到，即可根据求解； ②证明，得到，则，结合，得到； ③点在线段上，由②可得，代入求值即可；若点在射线上，在下方，由②同理可得，，则，代入求值即可； （2）由，，，取一点，使，，过作交直线于，连接，证明，得到，，设，，则，，，根据，得到，连接，取中点，连接，根据，得到，代入整理得，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：①连接，补全图形如图所示： ∵，点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②若点在线段上， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ③若点在线段上，由②可得， ∵，， ∴， ∴； 若点在射线上，在下方，如图： 由②同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴，， 取一点，使，，过作交直线于，连接， ∴，， ∴， ∴，， 设，，则，，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 连接，取中点，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 代入得， 整理得， ∴． 11．如图1，平分，点，点分别在射线上，且，垂足为点． (1)求证：； (2)如图2，以为对称轴，将射线翻折，交于点． ①求证：； ②如图3，连接，用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据互余关系，即可得证； （2）①过点作，垂足为，根据轴对称的性质可得，进而可推出，根据角平分线的性质可得，证明，再证明，即可得证； ②在射线上取点，使，连接，证明，再根据垂直平分线的性质可证是等腰三角形，再证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴． ∴， ， ∴； （2）①证明：过点作，垂足为， ∵以为对称轴，将射线翻折，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴； ②解：，理由如下： 在射线上取点，使，连接， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是综合运用以上知识，正确作出辅助线． 12．已知点是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点作，垂足为． (1)如图①，当点在线段上时，猜想：__________；（数量关系） (2)如图②，当点在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； (3)如图③，在上题的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，求线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作于，利用角平分线性质得，结合推出，证明，从而得； （2）过点作于，先证得，再证得，通过线段和差推导； （3）在上截取，连接，先证，再结合角平分线性质得平分，计算角度得，证)，从而得． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵平分，，， ∴，． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：如图，过点作于， ∵平分，，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及线段的和差转化，属于几何综合题，重点考查辅助线的构造与全等模型的应用． （1）角平分线的是构造全等的基础，通过作垂线或截取线段，能快速得到全等所需的边、角条件． （2）多次全等的递进推导，是实现线段转化和角度计算的关键，尤其在第（2）（3）问中，需要通过多步全等完成复杂的数量关系推导． 13．如图1，等边中，分别为边上的点，，连接，交于点． (1)求：的度数． (2)如图2，作平分交于点，交于点，连接，． ①求证：平分． ②试判断线段三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，最后根据三角形的外角的性质以及等量代换即可解答； （2）①先说明平分，如图：过G点作交于点M，作交于点P，作交于点N，根据角平分线的性质定理可得，即；最后根据角平分线的判定定理即可证明结论；②再说明，再根据等角对等边可得，再说明，易证可得，最后根据等量代换以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）①证明：∵平分， ∴． ∵， 又∵， ∴． ∴平分． 如图：过G点作交于点M，作交于点P，作交于点N， ∴． ∴． ∴平分． ②结论：．理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ． ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． ∴线段三者之间的数量关系为：． 14．如图，在中，，，点D是内一点，且平分，，点E是延长线上一点，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见详解； (2) (3)见详解； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定及性质、三角形外角的性质、线段垂直平分线的判定及性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由平分得，根据 “”即可证明； （2）根据等腰三角形性质得结合角平分线性质和三角形外角即可解答； （3）在线段上截取，连接，由“”证得，根据全等三角形性质，和线段的和差即可求证结论． 【详解】（1）证明：平分 在和中 （2）解：， 平分 是的外角 （3）解：在线段上截取，连接， ，， 是等边三角形， ， 15．如图，已知，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点． ①请猜想与的数量关系：___________（填“”或“＝”或“”）； ②请证明①中的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)①=；②证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由可得，根据即可得证； （2）①猜想； ②先证明，进一步证明，再根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2）解：①猜想， 故答案为：=． ②证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴． 16．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 17．如图，和都是等边三角形，且点在一条直线上，连接和，交、于点．和相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． (3)求证：平分 【答案】(1)证明见解析 (2)为等边三角形，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则； （2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形． （3）过点分别作于点，于点，由全等三角形对应边上的高相等得，根据角平分线的性质证明平分． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：为等边三角形，理由如下： 由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． （3）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）知，根据全等三角形的性质，全等三角形对应边上的高相等， ∴， ∵，，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 18．【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，，见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形有关的内容，利用全等三角形性质解题． （1）可证，得，由对顶角相等得，可得． （2）可证，得，，在四边形中， ，又因为，得出 ，可得． （3）可证，得，易证，则，过点作，由，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得，由角平分线的判定定理，知点在的角平分线上，则，所以． 【详解】（1）解：，设与交于点O． ． ， 即． 在和中 ， ． ， ． （2）解：① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． （3）解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 19．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出下列各点的坐标； A______；B______；C______； (2)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与重合），连接，过点A作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)，， (2)①见解析；②的大小不变，为定值 【分析】（1）根据绝对值的非负性及平方的非负性可得，，进而可得，，当点C在上方时，作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，利用全等三角形的判定及性质即可求解； （2）①延长，，它们相交于点，利用全等三角形的判定及性质及等腰三角形的性质即可求解； ②作，，垂足分别是，，利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，， 解得：，． ，， 当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ； 故答案为：，，； （2）解：①延长，，它们相交于点，如图：   等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：   ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 20．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到，的条件即可得到答案； （2）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到的条件即可得到答案； 【详解】（1）证明：方法一，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，使得，连接，   　　　　　　　 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，　　　　 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 角平分线 题型一 认识角平分线的性质定理 一、单选题 1．已知点是三角形的两条角平分线的交点，关于这个点，下列说法正确的是（   ） A．到三角形的三个顶点的距离相等 B．到三角形三边的距离相等 C．不一定在第三个角的平分线上 D．与顶点的连线垂直于该顶点的对边 2．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．则下列结论错误的是（   ） A．是的角平分线 B． C． D． 3．如图，三条角平分线将分为三个三角形，且，则等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知点在第一、三象限的角平分线上，则 ． 5．如图，在中，，经尺规作图得到、与相交于点，有下列结论：①；②；③．其中一定成立的有 （填序号）． 三、解答题 6．如图，与的两边分别相交于点，，平分，，． (1)①求证：． 小红的解题方法是：过点作，，构造一对全等三角形… 小黄的解题方法是：过点作交于点，构造一个等边三角形… 小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接… 任选其中一个方法，补全图形，并写出证明过程； (2)猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 题型二 认识角分线的判定定理 一、单选题 1．在锐角内一点P，且点P到三边的距离相等，则点P是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．重心 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．下列命题的逆命题不成立的是（   ） A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 C．两条直线平行，同位角相等 D．全等三角形的对应边相等 3．两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 二、填空题 4．如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是 ． 三、解答题 5．如图，，请用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作出的角平分线． (2)在（1）的基础上，若是的平分线，且交于点，交于点，求证：点在的平分线上． 6．如图，已知于点，于点，，相交于点，． (1)写出图中所有全等三角形并证明； (2)求证：点在的平分线上． 7．如图，已知为的平分线，，点P在上，于M，于N，求证：． 8．如图，中，点为的角平分线与外角的角平分线的交点，连接．求证：平分外角． 题型一：运用角平分线的性质求线段的长度 一、单选题 1．如图，，，于点．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在中，，作外角的平分线交的延长线于点，则点到直线的距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在中，，平分交于点D，点E为的中点，连接，若的面积为4，，则的长为（   ） A．5 B．4 C．6 D．8 二、填空题 4．如图，在中，为的角平分线，若，则边上的高线长 ． 5．如图，已知，平分，点在上，过点作交于点，，则点到的距离为 ． 6．如图，在中，，的平分线相交于点，连接并延长交于点，过点作于点．若，，则的长为 ． 三、解答题 7．如图， 在 中， 点D在上，且平分 过点D作 于点E，若，，求的长度． 8．如图，平分，，在的延长线上截取，连接． (1)求证：； (2)若，． ①求线段的长； ②求点C到直线的距离． 9．如图，在中，平分交于点，于点，于点，．若，求的长． 10．如图，中，为边上的高线． (1)如图1，求的长； (2)如图2，当为的角平分线时，求的长． 题型二 运用角平分线的性质求角的度数 一、单选题 1．两把相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，记两把直尺的接触点为P，其中一把直尺边缘和射线重合，另把直尺的下边缘与射线重合，连，接并延长．若，则的度数为（）      A． B． C． D． 2．如图，在中，，，平分交于点D，交于点E，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，．以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点P，射线交于点D．若，则的度数为（    ） A．80° B．72° C．64° D．78° 二、填空题 4．如图，为的角平分线，点P为上一点，点D，E分别为射线，上的点，且，若，则的度数为 ． 5．如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算 ． 6．如图，在中，，点D在的外部，连接，过点D作，交的延长线于点E，于点F，若．则的度数为 ． 7．如图，在中，点为边上的两点，，，，垂足分别为，且，若，则 （结果用含的式子表示）． 三、解答题 8．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，求的大小； (2)点在上，若平分，求证：点在的平分线上． 9．在中，，平分，交于点D． (1)如图1，E是上一点，且． （i）若，求证：． （ii）若，探究与的数量关系． (2)如图2，若，，，，求的长． 题型三 运用角平分线的性质求面积 一、单选题 1．如图，，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，则的面积是（    ） A．4 B．8 C． D． 2．如图，中，平分，，，若的面积等于，则的面积为（    ）    A．12 B．6 C．3 D． 3．如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是30，则的面积是（    ） A．36 B．30 C．24 D．66 二、填空题 4．如图，在中，的三条角平分线相交于点，于点．若，，则的周长是 ． 5．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积 ． 6．如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于 ． 7．如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为4，则的面积为 ．      8．如图，已知的周长是16，、分别平分和，于，且，的面积是 ． 三、解答题 9．在如图所示的中，平分交于点D． (1)若，，求的度数； (2)过点D作于点E，若，，，求的面积． 10．如图，在中，是它的角平分线，． (1)求的值； (2)求证：； (3)求的长． 一、单选题 1．如图，在中，，高线和的平分线交于点，过点作于点，下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．如图，和都是等边三角形，且、、在同一条直线上，和交于，和交于点，和交于点，下列说法，①，②，③，④，⑤，正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点，，在的延长线上，交于，交于，连接．下列结论：①；②：：；③垂直平分；④其中正确的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 4．如图，的外角，的平分线、交于点，于，于，点在上，，则下列结论中正确的个数为（    ） ①平分； ②：； ③若，则； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．如图，在Rt中，，，，是的角平分线，点E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是 ． 6．如图，在中，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点A，B，再分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线OP．分别以O，A为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，作直线分别与，，相交于点E，F，G．若，，则的长为 ． 7．如图，已知在中，，，垂足为点H，平分，，以下说法正确的是： ． ① ② ③的周长比的周长大3 ④当时， 三、解答题 8．如图，在中，，平分，于点，点在边上，． (1)求证：． (2)当，时，求的长． (3)若点、分别是、的中点，连接并延长交于点，求证：． 9．中，，． (1)如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论； (2)若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由． 10．综合与探究： 【问题背景】如图，，点在的平分线上，于点 (1)【操作探究】如图①，点在射线上，连接，过点作交射线于点，过点作于点． ①补全图形，则的度数为______； ②若点在线段上，求证：； ③若点在射线上，，，求的长； (2)【拓展应用】如图②，点在线段上，连接，，，直接写出的面积． 11．如图1，平分，点，点分别在射线上，且，垂足为点． (1)求证：； (2)如图2，以为对称轴，将射线翻折，交于点． ①求证：； ②如图3，连接，用等式表示线段之间的数量关系，并说明理由． 12．已知点是平分线上一点，的两边分别与射线相交于两点，且，过点作，垂足为． (1)如图①，当点在线段上时，猜想：__________；（数量关系） (2)如图②，当点在线段的延长线上时，探究线段与之间的数量关系； (3)如图③，在上题的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，求线段的长． 13．如图1，等边中，分别为边上的点，，连接，交于点． (1)求：的度数． (2)如图2，作平分交于点，交于点，连接，． ①求证：平分． ②试判断线段三者之间的数量关系，并说明理由． 14．如图，在中，，，点D是内一点，且平分，，点E是延长线上一点，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 15．如图，已知，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点． ①请猜想与的数量关系：___________（填“”或“＝”或“”）； ②请证明①中的猜想． 16．探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 17．如图，和都是等边三角形，且点在一条直线上，连接和，交、于点．和相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． (3)求证：平分 18．【综合与实践】 星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．    (1)如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °； (2)如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由； (3)如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数． 19．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)如图1，以为斜边构造等腰直角，当点在直线上方时，请直接写出下列各点的坐标； A______；B______；C______； (2)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与重合），连接，过点A作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 20．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 角平分线 题型一 认识角平分线的性质定理 一、单选题 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 二、填空题 4．【答案】 5．【答案】①②③ 三、解答题 6．【详解】（1）证明：小红的解题方法是：过点作，， ， 又平分，，， ，， 在四边形中， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； 小黄的解题方法是：过点作交于点， 平分，， ， , ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； 小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接， 平分，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 过点作，， 由（1）得， ，， ， ，， ，同理可得， ． 题型二 认识角分线的判定定理 一、单选题 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 二、填空题 4．【答案】 三、解答题 5．【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）证明：如图，过点作于点，于点，于点M． 平分 ． 同理 ． 点O在的平分线上． 6．【详解】（1）解：，，证明如下： ，， , ， ， ， ， 即， ， . （2）证明：由（1）知，可得， 又，， 点在的平分线上． 7．【详解】证明：∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点P在上，，， ∴． 8．【详解】解：如图，作于，于，于， 点为的角平分线与外角的角平分线的交点， ，， ， 平分外角． 题型一 运用角平分线的性质求线段的长度 一、单选题 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 二、填空题 4．【答案】4 5．【答案】 6．【答案】6 三、解答题 7．【答案】 8．【详解】（1）证明：∵平分， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴； （2）解：① ∵， ∴， 又， ∴， ； ②设点C到直线的距离为d．根据角平分线的性质可知点C到直线的距离等于d． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故点C到直线的距离为． 9．【答案】 10．【详解】（1）解：在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 答：的长为； （2）解：如图2，过点E作于点F， ∵平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ， ∴， ∴， 答：的长为． 题型二 运用角平分线的性质求角的度数 一、单选题 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】B 二、填空题 4．【答案】或 5．【答案】81 6．【答案】52 7．【答案】/ 三、解答题 8．【详解】（1）解：平分， ， 是的外角， ， 又， ； 答：； （2）证明：如图，连接，过点作于点于点于点， 平分， ， 平分， ， ， 又， 点在的平分线上． 9．【详解】（1）证明：（i）， ． ， ． 平分， ； （ii），理由如下： 如图1，过点D作于点M，于点N． 平分， ． ，， ，即． 在和中， ， ． （2）如图2，在上截取，连接． ， ． 平分， ． ， ． 过点D作的延长线于点G，作， 则有，， ， ． ， ， ， ， ． 题型三 运用角平分线的性质求面积 一、单选题 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】A 二、填空题 4．【答案】45 5．【答案】 6．【答案】6 7．【答案】6 8．【答案】 三、解答题 9．【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的角平分线交于D， ∴， ∴； （2）解：过点D作于点F， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴的面积的面积的面积． 10．【详解】（1）作于点E，于点F， ∵是的角平分线，， 所以， 所以． ∴的值是． （2）作于点G，则， 因为， 所以． （3）因为， ， 所以． 一、单选题 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 二、填空题 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】①②③④ 三、解答题 8．【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴,, 在和中 ∴, ∴． （2）解：∵平分， ∴, ∵， ∴, 在和中 ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵，由勾股定理得：, ∴, 由（1）得, ∴, 设，， 在中，, ∴， 解得：， ∴． （3）如下图，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 连接，如图， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．【详解】（1）， 理由：延长交延长线于N点， ∵，， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）， 理由：过M作交延长线于N点，交于Q点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 10．【详解】（1）解：①连接，补全图形如图所示： ∵，点在的平分线上， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②若点在线段上， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ③若点在线段上，由②可得， ∵，， ∴， ∴； 若点在射线上，在下方，如图： 由②同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴，， 取一点，使，，过作交直线于，连接， ∴，， ∴， ∴，， 设，，则，，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 连接，取中点，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， 代入得， 整理得， ∴． 11．【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴． ∴， ， ∴； （2）①证明：过点作，垂足为， ∵以为对称轴，将射线翻折，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴； ②解：，理由如下： 在射线上取点，使，连接， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． 12．【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵平分，，， ∴，． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：如图，过点作于， ∵平分，，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 13．【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）①证明：∵平分， ∴． ∵， 又∵， ∴． ∴平分． 如图：过G点作交于点M，作交于点P，作交于点N， ∴． ∴． ∴平分． ②结论：．理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ． ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． ∴线段三者之间的数量关系为：． 14．【详解】（1）证明：平分 在和中 （2）解：， 平分 是的外角 （3）解：在线段上截取，连接， ，， 是等边三角形， ， 15．【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2）解：①猜想， 故答案为：=． ②证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴． 16．【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 17．【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：为等边三角形，理由如下： 由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． （3）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）知，根据全等三角形的性质，全等三角形对应边上的高相等， ∴， ∵，，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 18．【详解】（1）解：，设与交于点O． ． ， 即． 在和中 ， ． ， ． （2）解：① 证明如下：如图2 ， 即 在和中 ② 证明如下：如图2 （已证） 在四边形中， 又， ， ． （3）解：． 如图3，过点作．设与交于， 则． ， ． 即 在和中 ，． 又， ， ， ，． 又 ． ． ， 平分． ． 19．【详解】（1）解：∵， ，， 解得：，． ，， 当点C在上方时： 作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：    ∴， ∵， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ，即：， 解得：， ，， ； 故答案为：，，； （2）解：①延长，，它们相交于点，如图：   等腰直角中，，，且， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， 即， ． ②的大小不变，总为，理由如下： 作，，垂足分别是，，如图：   ， 由①可知：，， 在和中， ， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质及绝对值和平方的非负性，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 20．【详解】（1）证明：方法一，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，使得，连接，   　　　　　　　 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，　　　　 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 试卷第2页，共36页 试卷第1页，共36页 学科网（北京）股份有限公司 $