第9章 平面直角坐标系 单元复习（5大知识点总结+8大题型+易错警示+解题技巧）2025-2026学年人教版数学七年级下册易错题重难点培优讲义

该初中数学单元复习讲义以表格形式系统梳理平面直角坐标系的核心知识点、常考考点及高频易错点，通过题型归纳和错题警示呈现知识脉络，清晰展示象限划分、坐标与距离等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的象限判断到提升的坐标与方位角综合应用，结合“左减右加”平移口诀等技巧，培养学生几何直观和推理意识。同步练习覆盖不同难度，助力教师实施精准分层教学，提升学生自主复习效率。

第9章 平面直角坐标系 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.平面直角坐标系的概念 1.平面直角坐标系的三要素（原点、坐标轴、单位长度）； 2.象限的划分与点的坐标符号特征； 3.坐标轴上点的坐标特征 1.混淆象限的划分顺序（误将逆时针当作顺时针）； 2.忽略坐标轴上的点不属于任何象限； 3.建立坐标系时未统一单位长度或未明确正方向 2.点的坐标与距离 1.由点的位置写出坐标（横纵坐标的对应关系）； 2.点到坐标轴的距离（横坐标对应y轴距离，纵坐标对应x轴距离）； 3.平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 1.颠倒点到坐标轴的距离（误将横坐标当作到x轴距离）； 2.求平行于坐标轴的线段长度时，未取坐标差的绝对值； 3.漏解多情况问题（如到坐标轴距离相等的点可能在多象限） 3.坐标与图形位置 1.用坐标表示地理位置（建立坐标系描述物体位置）； 2.用“方位角+距离”表示物体相对位置； 3.网格中确定点的坐标与图形面积 1.建立坐标系时选择原点不当，导致坐标计算复杂； 2.描述方位角时混淆“北偏东”与“东偏北”； 3.网格中求不规则图形面积时，割补法应用错误 4.坐标与平移 1.点的平移规律（左减右加横坐标，上加下减纵坐标）； 2.图形平移与坐标变化的关系； 3.由平移前后的坐标求平移方向与距离 1.平移规律混淆（左右平移误改纵坐标，上下平移误改横坐标）； 2.忽略“坐标系平移”与“点的平移”的区别（坐标系平移相当于点反向平移）； 3.多步平移时漏加或错加平移单位 5.坐标规律探究 1.循环型点的坐标规律； 2.平移型、对称型坐标规律； 3.新定义下的坐标变换规律 1.未找出规律的循环周期或递推关系； 2.忽略规律中的特殊情况（如起点、终点坐标）； 3.新定义问题中未准确理解坐标变换规则 【易错题型】 【题型1】坐标概念与距离计算的常见误区 1.易错点总结 混淆点到坐标轴的距离：误将点到x轴的距离当作，到y轴的距离当作； 遗漏多解情况：求“到两坐标轴距离相等”“平行于坐标轴且长度为定值”的点时，只考虑单一象限或单一方向； 平移规律应用错误：左右平移时改变纵坐标，上下平移时改变横坐标。 2.纠错技巧 牢记距离公式：点到x轴距离为，到y轴距离为，可简记为“横对y，纵对x”； 多解问题分类讨论：按点所在象限、坐标轴正负方向逐一分析，避免漏解； 平移规律口诀：“左减右加横不变，上加下减纵不变”，平移时先确定变化的坐标轴，再套用规律。 【例题1】.（25-26七年级下·福建厦门·月考）平面直角坐标系内一点到轴、轴的距离分别为3和5，且该点在第四象限，则该点坐标为___________． 【答案】 【分析】点在第四象限时，横坐标大于0， 纵坐标小于0， 到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值，进而得出该点的坐标． 【详解】解：该点到轴、轴的距离分别为3和5， 纵坐标为，横坐标为， 又该点在第四象限， 纵坐标为，横坐标为5， 该点坐标为． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴1个单位长度，则P的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，解题的关键是明确第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，以及点到坐标轴的距离与坐标的对应关系． 根据点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标，纵坐标求解即可． 【详解】解：∵ 点距离轴个单位长度， ∴ 的纵坐标的绝对值为， ∵ 点距离轴个单位长度， ∴ 的横坐标的绝对值为， 又∵ 点在第二象限，第二象限内点的横坐标，纵坐标， ∴ 点的坐标为． 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据x轴上点的坐标特点求出a的值即可； （2）根据点P到两坐标轴的距离相等列出关于a的方程，求出a的值即可． 本题主要考查了点的坐标，熟知坐标轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意，得． 解得． 当时，． 所以，点P的坐标为． （2）解：当时， 解得． 则． 此时，点P的坐标为． 当时， 解得． 则，． 此时，点P的坐标为． 所以，点P的坐标为或． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，把点到轴的距离记作，到轴的距离记作． (1)若，求的值； (2)若，，求点的坐标． 【答案】(1)30 (2) 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，解题的关键是熟练掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值． （1）把代入式子中进行计算，然后根据点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可解答； （2）根据点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据绝对值的意义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 则点的坐标为， ∴； （2）解：由得，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【基础题型】 【题型2】象限与坐标轴上点的坐标判断 1.考点总结 各象限内点的坐标符号（第一象限、第二象限、第三象限、第四象限）； 坐标轴上点的特征（x轴上，y轴上，原点）； 由点的坐标符号判断所在象限或坐标轴。 2.解题技巧 符号判断三步法：①看横坐标符号（正/负/0）；②看纵坐标符号（正/负/0）；③对照象限/坐标轴特征匹配； 特殊点快速识别：若横、纵坐标有一个为0，直接判定在坐标轴上；若两个都为0，判定为原点； 举例验证：不确定时可举具体坐标代入（如判断所在象限，可假设，简化分析）。 【例题2】.（25-26八年级上·安徽安庆·月考）若单项式与单项式是同类项，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据同类项的定义，求出的值，进而求出点的坐标，判断即可. 【详解】解：∵单项式与单项式是同类项， ∴， ∴， ∴， ∴点即点在第三象限. 【变式题2-1】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】确定点的横纵坐标的符号，进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴点在第四象限. 【变式题2-2】.（25-26八年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据轴上的点的横坐标为0，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∴. 【变式题2-3】.（25-26八年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)在同一平面直角坐标系中，点的坐标为，且轴，求点的坐标； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，进行求解即可； （2）根据二四象限上的点的横纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：由题意，得， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 【题型3】用坐标表示地理位置 1.考点总结 建立适当的平面直角坐标系（选择合适原点、确定正方向和单位长度）； 由地理位置写出坐标，或由坐标描述地理位置； 结合实际情境（如校园、地图）的坐标应用。 2.解题技巧 建系三原则：①原点选在中间位置，使多数点坐标为正；②x轴、y轴与实际方向一致（如x轴正东、y轴正北）；③单位长度根据实际距离合理设定（如1cm代表100m）； 坐标描述步骤：①确定参照点（原点）；②说明坐标轴正方向；③给出各点坐标及单位长度含义； 方位角辅助：复杂位置可结合“方位角+距离”补充描述，避免歧义。 【例题3】.（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合表示弘义阁的点的坐标和表示本仁殿的点的坐标，画出正确的平面直角坐标系，再读取表示乾清门的点的坐标，即可作答． 【详解】解：如图所示： 表示乾清门的点的坐标是， 故选：B ． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落幕．如图是冬运会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，、，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件建立直角坐标系，确定点B坐标即可． 【详解】解：根据条件建立如图所示的直角坐标系， 由直角坐标系可知点的坐标为． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·广东茂名·期末）茂名市电白区博贺渔港是全国十大渔港之一，如题图所示，A，B是两个海上观测站的位置，A在博贺渔港O北偏东方向上，，则B在博贺渔港O的（    ）． A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏西方向 【答案】A 【分析】设正南方向与的夹角为，根据题意，得，根据方向角的意义解答即可． 本题考查了方向角的应用，熟练掌握方向角的意义是解题的关键． 【详解】解：设正南方向与的夹角为，根据题意，得， 故B在博贺渔港O的南偏东方向， 故选：A． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）振湖塔位于肥东县六家畈潜溪村，被誉为“合肥版比萨斜塔”，因地宫被盗致地基不稳而倾斜，是合肥地区仅存的清代密檐式砖塔．如图，小明一家前去参观，小明站在点处，振湖塔在点处，则从点看点的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏西 C．北偏西 D．南偏东 【答案】A 【分析】本题考查的是方向角，准确理解方向角的定义及确定物体间相对位置是解题的关键，根据图中的角度标识及方位角的判定规则，确定从点看点的方位． 【详解】解：由图可知，从点看点的方向是南偏东． 故选：． 【题型4】点的平移与坐标变化 1.考点总结 点的单一平移（左、右、上、下）的坐标变化； 点的多步平移（连续两次及以上平移）的坐标计算； 由平移前后的坐标反推平移方向与距离。 2.解题技巧 单一平移规律：左移个单位，右移个单位；上移个单位，下移个单位； 多步平移合并：先算横坐标总变化量（所有左右平移单位相加），再算纵坐标总变化量（所有上下平移单位相加）； 反向推导：平移后坐标平移前坐标平移量（正数为右/上，负数为左/下）。 【例题4】.（25-26八年级下·上海·月考）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据将点向左平移3个单位，即横坐标减去3，再根据将点向下平移4个单位，即纵坐标减去4，可得答案． 【详解】解：将点向左平移3个单位长度可得点的坐标为，即，再将点向下平移4个单位长度得到点，即． 【变式题4-1】.（2026·广西玉林·一模）将平面直角坐标系平移，使原点移至点，这时在新坐标系中原来点的坐标是__________． 【答案】 【分析】坐标系平移原点到点，原点相对于新坐标系反向平移，根据坐标平移的变化规律即可求解.平面直角坐标系原点移至点，说明坐标系沿轴向右平移个单位长度，沿轴向下平移个单位长度，原点在新坐标系中需反向平移，根据平移规律即可得原点在新坐标系的横坐标为，纵坐标为， 【详解】解：在新坐标系中原来点的坐标是. 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【答案】B 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点和平移后的点，列方程求解． 【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∴， 解得， 故选：B． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【答案】B 【分析】平面直角坐标系平移中点的变化规律为：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，根据坐标变化判断平移方法即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，平移后点B的坐标为， ∴两点纵坐标相等，没有发生上下平移，故排除C、D选项； 又∵，横坐标减少4，符合左移减的规律， ∴平移方法为向左平移4个单位长度． 【提升题型】 【题型5】坐标与方位角的综合应用 1.考点总结 用“方位角+距离”表示物体相对位置； 结合坐标系转化方位角为坐标； 跨学科情境（航海、测绘）中的坐标应用。 2.解题技巧 方位角规范描述：以正北或正南为基准，如“北偏东30°”“南偏西45°”，避免“东偏北30°”这类不规范表述； 坐标转化步骤：①以观测点为原点建立坐标系；②根据方位角确定射线方向；③根据距离确定点的坐标； 单位统一：先将实际距离转化为坐标系中的单位长度（如1海里对应1个单位），再计算坐标。 【例题5】.（25-26六年级上·黑龙江鸡西·期末）如图是乐乐家到学校的路线图    (1)乐乐家在超市的 方向，距离 米． (2)邮局在学校的北偏西方向900米处，请你在图上标出邮局的位置． (3)如图，乐乐从家经过超市步行去学校，用时20分钟，乐乐步行的平均速度是 米/分． 【答案】(1)南偏东（或东偏南）；600 (2)见解析 (3)75 【分析】此题主要考查用方向角和距离确定物体的位置； （1）根据方向角和距离解答即可； （2）根据方向角和距离确定物体的位置，画图即可． （3）用乐乐从家经过超市步行去学校的距离除以20，计算即可． 【详解】（1）解：乐乐家在超市的南偏东（或东偏南）； 距离600米； 故答案为：南偏东（或东偏南）；600． （2）解：邮局的位置如图，    （3）解：乐乐从家经过超市步行去学校的距离为， ∴（米/分）， 则乐乐步行的平均速度是75米/分． 故答案为：． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下图所示的是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图． (1)在我方潜艇的北偏东的方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离我方潜艇20n mile的有________________________________________________． 【答案】(1)敌方战舰B到我方潜艇的距离 (2)敌方战舰A和敌方战舰C 【分析】本题考查方向角，平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握方向角的定义，确定点的位置的方法． （1）确定点的位置要知道点的方向和距离，由此即可得到答案； （2）由图上距离，即可得到答案． 【详解】（1）解：有敌方战舰和小岛，还需要知道敌方战舰到我方潜艇的距离． （2）解：敌方战舰和敌方战舰． 【变式题5-2】.（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图是某街区的平面示意图． (1)老顶山在广场的 方向大约 千米处． (2)八一路小学位于广场南偏东方向2千米处，请在图中画出八一路小学的大概位置． (3)李叔叔乘出租车从英雄台经广场去老顶山，要付多少元车费？出租车收费标准如下表：（注：本题中不考虑出租车等候时间费用） 里程 收费 以下（含） 元 以上每增加（不足按算） 元 【答案】(1)正东，3 (2)见解析 (3)李叔叔乘出租车从英雄台经广场去老顶山，要付费10.8元 【分析】本题考查了用方向角和距离确定位置，有理数的混合运算，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． （1）根据方向角的定义即可得到结论； （2）根据方向角的定义即可得到结论； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：老顶山在广场的正东方向大约3千米处， 故答案为：正东，3； （2）解：如图所示； （3）解：（元）， 答：李叔叔乘出租车从英雄台经广场去老顶山，要付费元． 【变式题5-3】.（23-24七年级下·广西南宁·期中）园林部门为了对市内某旅游景区内的古树名木进行系统养护，建立了相关的地理信息系统，其中一项工作就是要确定这些古树的位置．已知该旅游景区有树龄百年以上的古松树4棵，），古槐树6棵．为了加强对这些古树的保护，园林部门根据该旅游景区地图，将4棵古松树的位置用坐标表示为． (1)请在图中画出对应的平面直角坐标系； (2)在所建立的平面直角坐标系中，写出6棵古槐树的位置的坐标； (3)已知在的北偏西米处，试用方位角和距离描述相对于的位置． 【答案】(1)见详解 (2)，，，，，； (3)在的南偏东，5.4米处． 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出原点的位置是解题的关键． （1）先根据点坐标确定坐标原点，建立平面直角坐标系即可； （2）写出6棵古槐树的坐标即可； （3）据方位角的概念，可得答案． 【详解】（1）解：画出平面直角坐标系如图所示∶ （2）解：根据平面直角坐标系可知： 6棵古槐树的坐标分别为∶，，，，，； （3）解：∵在的北偏西，5.4米处， ∴在的南偏东，5.4米处． 【题型6】多条件约束下的点的坐标求解 1.考点总结 结合象限、距离、平行关系等多个条件求点的坐标； 含参数的点的坐标问题（根据条件列方程求参数）； 存在性问题（判断是否存在满足条件的点）。 2.解题技巧 条件转化：将文字条件转化为数学关系式（如“在第二象限”→，“到x轴距离为3”→）； 列方程求解：含参数时，根据约束条件列方程（如“点在y轴上”→）； 验证筛选：求出坐标后，代入所有条件验证，排除不符合的解。 【例题6】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；点M的坐标为或 【分析】（1）由A、B的坐标，根据，列出关于m的方程，解方程； （2）过C作于H，轴于G，由C的坐标得到，，先求出，得到，设M的坐标是，根据三角形面积公式得出，求出，即可得到M的坐标． 【详解】（1）解：∵，，点A、B在原点两侧，且， ， ； （2）解：过C作于H，轴于G，如图所示： 的坐标是， ，， ， ， 设M的坐标是， ， ， 的坐标是或． 【点睛】注意纵轴上两点间的距离为这两个点纵坐标之差的绝对值． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·广东茂名·开学考试）在平面直角坐标系中，点和． (1)如果点在轴上，点在轴上，求、的值； (2)如果轴，且，求、的值． (3)点和点是否能同在第三象限内，若能，求出、的范围，若不能，请说明理由； 【答案】(1)， (2)，或 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，平行于轴的线段特征，第三象限点的坐标特征． （1）根据轴上点的纵坐标等于，轴上点的横坐标等于，列方程得到的值． （2）根据平行于轴的线段横坐标相等及线段长度为，列方程得到的值． （3）根据第三象限点的横、纵坐标均小于，列不等式解答即可． 【详解】（1）解：点在轴上，点在轴上， ，，解得：，； （2）解：轴，且， ，，解得，或； （3）解：不能，理由如下： ∵若点和点同在第三象限内， 则有：①，而且②， 不等式组①无解， 点和点不可能同在第三象限内． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·宁夏银川·月考）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点A，B的坐标． (2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1)点A坐标为，点B的坐标为； (2) (3)秒或秒 【分析】（1）利用非负数的性质可以求得、的值，则可得到点A和点C的坐标，根据长方形的性质，可以求得点的坐标； （2）根据题意点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点移动4秒时，点运动的路程，进而确定点P的位置和点的坐标； （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况：点在上和点在上，分别求出两种情况下点移动的时间即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点A坐标为，点C的坐标为， ∴， 由长方形的性质可得， ∴点B的坐标为； （2）解：点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， 当点P移动4秒时，点运动的路程为， ，，且， 当点移动4秒时，点P在线段上，且， 即当点移动4秒时，此时点的坐标是； （3）解：由题意可得，在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当点在上时， 点移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当点在上时． 点移动的时间是：（秒）， 故在移动过程中，当点到轴的距离为5个单位长度时，点移动的时间是秒或秒． 【变式题6-3】.（23-24七年级下·辽宁大连·月考）根据以下素材，探索完成任务． 你了解坐标在坐标系中运算吗？ 问题情境 材料一 在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 材料二 规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点之间的折线距离为d；例如：图中，点与点之间的折线距离为．     解决问题 任务一 （1）若点，则轴，的长度为 ． （2）若点，且轴，且，则点D的坐标为 ． 任务二 （1）如图，已知，若，则 ； （2）如图，已知，若，求t的值．      任务三 如图，已知，点Q在x轴上，且三角形的面积为3，求的值． 【答案】任务一：（1）3；（2）点D的坐标为或；任务二：（1）5；（2）；任务三：或． 【分析】本题考查新定义：两点间的折线距离，绝对值方程．理解并掌握折线距离的定义和计算方法是解题的关键． 任务一：（1）根据规定的计算方法进行计算即可；（2）设，根据规定建立方程求解即可； 任务二：（1）根据规定的计算方法进行计算即可；（2）根据规定建立方程求解即可； 任务三：根据规定建立方程求解出点坐标，再根据规定的计算方法进行计算即可． 【详解】解：任务一： （1）； 故答案为：； （2）∵点，且轴， 设， ∴，即， 解得， ∴点D的坐标为或； 故答案为：或； 任务二： （1）， 故答案为：； （2），即， 解得； 任务三：设，则， 由题意得，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当时，则； 当时，则； 综上，的值为或． 【培优题型】 【题型7】坐标规律探究（循环/递推型） 1.考点总结 循环型点的坐标规律（按固定周期重复）； 递推型点的坐标规律（横纵坐标按特定公式变化）； 结合图形变换（平移、旋转）的规律探究。 2.解题技巧 列举前几项：写出前5-6个点的坐标，观察横纵坐标的变化规律（如循环周期、增减幅度）； 分类找周期：若坐标按象限循环，先确定周期（如4个点为一个周期），再用“序号÷周期”求余数，对应周期内的坐标； 总结通项公式：递推型规律可通过分析横纵坐标与序号的关系，总结出通项公式（如第个点的坐标为）。 【例题7】.（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则点的坐标为________________． 【答案】 【分析】根据图中信息以及点的分布情况，得每一象限一类，周期为4，则点在第四象限，再结合点，，，且这些点的横坐标都是下标与1的和除以4得到的，纵坐标与横坐标互为相反数，所以的横坐标为，纵坐标为，即可作答． 【详解】解：根据点的特征，把这些点分为4类，每一象限一类，周期为4， 则， 点在第四象限． 点，，，且这些点的横坐标都是下标与1的和除以4得到的，纵坐标与横坐标互为相反数， 点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 【变式题7-1】.（2026·江西吉安·一模）光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达，依此类推，经过第2025次全反射到达，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点的下标的情况判断偶数点的横坐标与纵坐标的变化规律，再进一步求解即可． 【详解】解：， ∵如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达， ∴下标为奇数的点的纵坐标为，下标为偶数的点的纵坐标为， ∴的纵坐标为， ∵下标为偶数的两个点之间的距离为， ∴的横坐标为：， ∴的坐标为． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)；理由见解析 【分析】本题考查了点的坐标规律，发现规律是关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：观察发现：点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ，， ，， 故答案为：①；②； （2）解：． 理由：由点的坐标的变化规律可知：横坐标依次增加1，纵坐标以3，0，，0为周期循环． ，，，为动点A在运动过程中的连续四点， ． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： （1）建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系． （2）分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积． （3）确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． （4）代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形）， 可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为： 其中． 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：如图，已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（轴、轴1个单位长度表示） 任务3：如图，挖空部分为圆形，圆心坐标为，组合图形的重心坐标为，则挖空圆面积是_____；（取3） 【答案】任务1：任务2：任务3：3 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确理解各个图形的重心坐标计算公式是解题的关键． 任务1：根据题干所给的公式直接带入计算求解即可； 任务2：先分别求出矩形、矩形、矩形重心坐标及面积，代入公式计算即可； 任务3：利用公式求出整体图形的面积以及重心坐标，假设挖空圆面积为,根据负面积法公式列出方程求解即可． 【详解】解：任务1：根据给出公式得， ， ∴梯形薄板的重心坐标为； 任务2：如下图，将圆图形进行分割， ∵矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， 矩形重心坐标为，即，面积为， ∴， ， ∴薄板的重心坐标为； 任务3：整体图形的面积为， 将图形分割成左侧的矩形和右侧的三角形， 矩形的重心坐标为，即，矩形的面积为； 三角形的重心坐标为，即，三角形的面积为； 整体图形的重心坐标为； 假设挖空圆面积为,根据公式可得， ， 解得， 故答案为：3． 【题型8】新定义下的坐标变换 1.考点总结 自定义坐标变换规则（如“伴随点”“对角点”）； 按新规则进行坐标计算与推理； 结合新定义解决存在性、最值问题。 2.解题技巧 理解新规则：将自定义规则转化为数学表达式（如“点的伴随点为”）； 举例验证规则：代入简单坐标（如）计算，验证对新规则的理解是否正确； 逆向推导：若已知变换后的坐标，反向套用规则求出原坐标，或列方程求解参数。 【例题8】.（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点坐标规律探索，找到正确的规律是解决本题的关键． 根据各点坐标得出每4次变换为一个循环是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴经过一次变换为：， 经过二次变换为：， 经过三次变换为：， 经过四次变换为：， ∴变换周期为4， ∵， ∴． 故选D． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点C在第三象限内，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】(1)5 (2)点D是“角平分线点”，理由见解析 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）求出点到两个坐标轴的距离，根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，结合第三象限内点的符号特征，求出的值，进而确定点的坐标，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点到轴的距离为5，到轴的距离为3， ∵， ∴点的“长距”为5； （2）是，理由如下： ∵点的长距为4， ，解得或， 点C在第三象限内， 当时，点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点D是“角平分线点”． 【变式题8-2】.（22-23七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形和图形上任意两点间距离的最小值称为图形与图形的“相关距离”，记作．特别地，若图形与图形有公共点，则规定． (1)若图形为点，图形为线段，其中，． 直接写出点与线段的“相关距离”，即______； 点是轴上的一个动点，当时，求点的坐标？ (2)已知点，，，，若线段上存在点使得，直接写出的取值范围． 【答案】(1) ； 或； (2)或． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中两点之间的距离，解决本题的关键是理解“相关距离”，根据“相关距离”的定义计算． 根据垂线段最短可知，图形和图形的“相关距离”，是当时，线段的长度，根据两点的坐标即可求出的长度； 分当点在点的右侧、点在图形的左侧、点在内，三种情况求解； 分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况求出点的坐标，再根据点的坐标求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据垂线段最短可知， 图形和图形的“相关距离”，是当时，线段的长度， 点与线段的“相关距离”为：， 故答案为：； 解：设点的坐标是， 当点在点的右侧时，则有， 此时点的横坐标是， 即点的坐标是； 当点在图形的左侧时，则有， 此时点的横坐标是， 即点的坐标是； 当点在图形上时， ， ； 综上所述，点的坐标是或； （2）解：如下图所示， 设点的坐标是， 当点在点的左侧时，可得：， ， 解得：， 或， 解得：或， 即； 当点在点的右侧时，可得：， ， 解得：， 或， 解得：或， 即； 综上所述，的取值范围是或． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．图中的，两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为， ①在点，，中，为点的“等距点”的是_____． ②若点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为_____． (2)若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)①，；② (2)的值为 【分析】本题主要考查点的坐标，读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题是解答本题的关键． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可； ②根据等距点的定义可得或，求出m的值，即可得出点B的坐标； （2）根据“等距点”的定义，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：点到、轴的距离中最大值为， 点到、轴的距离中最大值为，点到、轴的距离中最大值为，点到、轴的距离中最大值为， 为点的“等距点”的是点E和点， 故答案为：，； 点到、轴的距离中最大值为，若点的坐标为，且，两点为“等距点” 当时，则时，点到、轴的距离中最大值为，此时与点不是等距点； 当时，则时，点到、轴的距离中最大值为，此时与点是等距点； 当时，则时，点到、轴的距离中最大值为，此时与点不是等距点； 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵，两点为“等距点”， 若时，则或，解得：或不满足，舍去； 若时，则或，解得：或不满足，舍去 综上所述，的值为． 同步练习 一、单选题 1．如图，小手盖住的点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：小手盖住的点在第二象限，其坐标可能是． 2．点的坐标为，若，，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系内第四象限的符号特征，即可得出答案 【详解】解：∵， ∴点位于第四象限． 3．如图．在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“”方向排列，依次为：，，，，，，，…，根据这个规律，第2024个点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 第2024个点为组中的最后一个数字，故横坐标为：0；从以上四组数据看，偶数组第2、4组最后一个数为：，，则第506组纵坐标为，由此求解即可． 【详解】解：通过图象可知，每四组为一个周期， 对应的数据为：第一组：； 第二组：； 第三组：； 第四组：； 而， 则第2024个点为组中的最后一个数字，故横坐标为：0； 从以上四组数据看，偶数组第2、4组最后一个数为：，， 则第506组纵坐标为， 故第2024个点的坐标为：． 4．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作，如图，点，点，则线段的“轴距”为，记作，已知点，点，若，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分情况讨论：时，；时，或，再分别验证即可． 【详解】解：由题知， 因为，且点，点， 则时，， 时，点，点，符合题意； 时，点，点，符合题意； 时，或， 时，点，点，符合题意； 时，点，点，不符合题意， 综上所述，的值为或． 二、填空题 5．2026年米兰—科尔蒂纳冬季奥运会上我国创境外参加冬奥会历史最好成绩，圆满完成各项参赛任务．本届冬奥会的吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，它们不仅代表了冬奥会和冬残奥会，更承载着环保、包容与创新的深刻寓意．如图，将吉祥物图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：由图象可得点的坐标为 6．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是轴上一动点，当面积为面积的两倍时，点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是求点到坐标轴的距离、三角形的面积，解题关键是灵活运用数形结合思想． 先求出，再根据点的坐标得到点到的距离求出面积，设点坐标为，根据三角形面积公式得，解得的值即可确定点的坐标． 【详解】解：依题得：， ， 设点坐标为， 则， ， 解得， 点的坐标为或． 故答案为：或． 7．在平面直角坐标系中，已知点．若轴，则线段的最小值为___________． 【答案】5 【分析】本题考查坐标与图形性质及垂线段最短的应用．先根据轴确定点所在的直线，再利用垂线段最短的性质求出线段的最小值． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， 点的纵坐标为，即点在直线上， 根据垂线段最短的性质，当时，线段的长度最小， 此时点的横坐标与点的横坐标相同，即， 点的坐标为， 由两点间距离公式可得，的长度为， 故答案为：5 8．如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________． 【答案】 【分析】（1）直接根据图象作答即可； （2）根据题意得到每经过6次回到起点，据此进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知，第1次碰到长方形边上的点的坐标为； （2）如图， 第1次碰到长方形边上的点的坐标为； 第2次碰到长方形边上的点的坐标为； 第3次碰到长方形边上的点的坐标为； 第4次碰到长方形边上的点的坐标为； 第5次碰到长方形边上的点的坐标为； 第6次碰到长方形边上的点的坐标为； 第7次碰到长方形边上的点的坐标为； 故每经过6次为一个循环， ∵， ∴第2021次碰到长方形边上的坐标为． 三、解答题 9．已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点的坐标为，且直线轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标为0，再列方程求解即可； （2）由直线轴，可得M，N的纵坐标相等，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴ ； （2）解：直线轴， ， 解得， ， 点的坐标为． 10．如图， (1)写出平面直角坐标系内点M，N，L，O，P的坐标； (2)在平面直角坐标系内描出点，，，． 【答案】(1)，，，， (2)见解析 【分析】（1）根据点在平面直角坐标系中的位置，写出点的坐标即可； （2）根据点的坐标，在坐标系中描点即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ，，，，； （2）解：A，B，C，D各点的位置如图所示． 11．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在小正方形的格点上． (1)将向右平移4个单位长度后得到，请在图中画出； (2)在（1）的条件下，请写出，，三点的坐标． 【答案】(1)； (2)，，． 【分析】对于(1)，依据图形平移的性质，需将的三个顶点、、分别沿水平方向向右平移4个单位长度，得到对应点、、，再依次连接这三个点，从而得到平移后的；对于(2)，先通过网格确定各顶点的原始坐标，再结合平面直角坐标系中“点向右平移时，横坐标增加平移的单位长度，纵坐标保持不变”这一坐标变化规律，计算出、、的坐标． 【详解】（1）解：观察网格可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 将点向右平移4个单位长度，其横坐标变为，纵坐标不变，得到对应点； 将点向右平移4个单位长度，其横坐标变为，纵坐标不变，得到对应点； 将点向右平移4个单位长度，其横坐标变为，纵坐标不变，得到对应点． 按照顺序连接、、这三个点，完成的绘制． （2）已知原顶点，向右平移4个单位长度后，的坐标为； 原顶点，向右平移4个单位长度后，的坐标为； 原顶点，向右平移4个单位长度后，的坐标为． 12．长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒个单位长度的速度移动，与点第二次相遇时停止，设点移动的时间为秒． (1)点的坐标为 ； (2)当时， ；（用含的代数式表示） (3)当点第一次移动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从位置出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向平行移动，当点停止时直线也随之停止．在移动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (4)连接，，，当 的面积为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 (4)的值为或或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系和一元一次方程的应用： （1）根据题意可知，，，据此即可求得答案； （2）当时，点在上运动； （3）分两种情况讨论：当时，此时直线运动的距离点运动的距离，当）时，此时直线运动的距离点运动的距离； （4）分三种情况讨论：当点由向运动时，当点由向运动时，当点由向运动时. 【详解】（1）根据题意可知，，． ∵的坐标为，的坐标为， ∴，． ∴的坐标为． 故答案为： （2）（2）当时，点在上运动，可得． 故答案为： （3）①当时，此时直线运动的距离点运动的距离，可得 ， 解得 x 所以． 所以点的坐标为． ②当时，此时直线运动的距离点运动的距离，即 解得 所以． 所以点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． （4）①当点由向运动时，，． 根据题意，可得 ，即 解得 ②当点由向运动时，，． 根据题意，可得 ，即 解得 ③当点由向运动时，，． 根据题意，可得 ，即 解得 综上所述，当的值为或或时，的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 平面直角坐标系 核心知识点 常考考点 高频易错点 1.平面直角坐标系的概念 1.平面直角坐标系的三要素（原点、坐标轴、单位长度）； 2.象限的划分与点的坐标符号特征； 3.坐标轴上点的坐标特征 1.混淆象限的划分顺序（误将逆时针当作顺时针）； 2.忽略坐标轴上的点不属于任何象限； 3.建立坐标系时未统一单位长度或未明确正方向 2.点的坐标与距离 1.由点的位置写出坐标（横纵坐标的对应关系）； 2.点到坐标轴的距离（横坐标对应y轴距离，纵坐标对应x轴距离）； 3.平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 1.颠倒点到坐标轴的距离（误将横坐标当作到x轴距离）； 2.求平行于坐标轴的线段长度时，未取坐标差的绝对值； 3.漏解多情况问题（如到坐标轴距离相等的点可能在多象限） 3.坐标与图形位置 1.用坐标表示地理位置（建立坐标系描述物体位置）； 2.用“方位角+距离”表示物体相对位置； 3.网格中确定点的坐标与图形面积 1.建立坐标系时选择原点不当，导致坐标计算复杂； 2.描述方位角时混淆“北偏东”与“东偏北”； 3.网格中求不规则图形面积时，割补法应用错误 4.坐标与平移 1.点的平移规律（左减右加横坐标，上加下减纵坐标）； 2.图形平移与坐标变化的关系； 3.由平移前后的坐标求平移方向与距离 1.平移规律混淆（左右平移误改纵坐标，上下平移误改横坐标）； 2.忽略“坐标系平移”与“点的平移”的区别（坐标系平移相当于点反向平移）； 3.多步平移时漏加或错加平移单位 5.坐标规律探究 1.循环型点的坐标规律； 2.平移型、对称型坐标规律； 3.新定义下的坐标变换规律 1.未找出规律的循环周期或递推关系； 2.忽略规律中的特殊情况（如起点、终点坐标）； 3.新定义问题中未准确理解坐标变换规则 【易错题型】 【题型1】坐标概念与距离计算的常见误区 1.易错点总结 混淆点到坐标轴的距离：误将点到x轴的距离当作，到y轴的距离当作； 遗漏多解情况：求“到两坐标轴距离相等”“平行于坐标轴且长度为定值”的点时，只考虑单一象限或单一方向； 平移规律应用错误：左右平移时改变纵坐标，上下平移时改变横坐标。 2.纠错技巧 牢记距离公式：点到x轴距离为，到y轴距离为，可简记为“横对y，纵对x”； 多解问题分类讨论：按点所在象限、坐标轴正负方向逐一分析，避免漏解； 平移规律口诀：“左减右加横不变，上加下减纵不变”，平移时先确定变化的坐标轴，再套用规律。 【例题1】.（25-26七年级下·福建厦门·月考）平面直角坐标系内一点到轴、轴的距离分别为3和5，且该点在第四象限，则该点坐标为___________． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴1个单位长度，则P的坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，把点到轴的距离记作，到轴的距离记作． (1)若，求的值； (2)若，，求点的坐标． 【基础题型】 【题型2】象限与坐标轴上点的坐标判断 1.考点总结 各象限内点的坐标符号（第一象限、第二象限、第三象限、第四象限）； 坐标轴上点的特征（x轴上，y轴上，原点）； 由点的坐标符号判断所在象限或坐标轴。 2.解题技巧 符号判断三步法：①看横坐标符号（正/负/0）；②看纵坐标符号（正/负/0）；③对照象限/坐标轴特征匹配； 特殊点快速识别：若横、纵坐标有一个为0，直接判定在坐标轴上；若两个都为0，判定为原点； 举例验证：不确定时可举具体坐标代入（如判断所在象限，可假设，简化分析）。 【例题2】.（25-26八年级上·安徽安庆·月考）若单项式与单项式是同类项，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式题2-1】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式题2-2】.（25-26八年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为_____． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为． (1)在同一平面直角坐标系中，点的坐标为，且轴，求点的坐标； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【题型3】用坐标表示地理位置 1.考点总结 建立适当的平面直角坐标系（选择合适原点、确定正方向和单位长度）； 由地理位置写出坐标，或由坐标描述地理位置； 结合实际情境（如校园、地图）的坐标应用。 2.解题技巧 建系三原则：①原点选在中间位置，使多数点坐标为正；②x轴、y轴与实际方向一致（如x轴正东、y轴正北）；③单位长度根据实际距离合理设定（如1cm代表100m）； 坐标描述步骤：①确定参照点（原点）；②说明坐标轴正方向；③给出各点坐标及单位长度含义； 方位角辅助：复杂位置可结合“方位角+距离”补充描述，避免歧义。 【例题3】.（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为，表示本仁殿的点的坐标为，则表示乾清门的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨圆满落幕．如图是冬运会的会徽，将其放在平面直角坐标系中，、，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·广东茂名·期末）茂名市电白区博贺渔港是全国十大渔港之一，如题图所示，A，B是两个海上观测站的位置，A在博贺渔港O北偏东方向上，，则B在博贺渔港O的（    ）． A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏西方向 【变式题3-3】.（25-26七年级上·安徽合肥·期末）振湖塔位于肥东县六家畈潜溪村，被誉为“合肥版比萨斜塔”，因地宫被盗致地基不稳而倾斜，是合肥地区仅存的清代密檐式砖塔．如图，小明一家前去参观，小明站在点处，振湖塔在点处，则从点看点的方向是（    ） A．南偏东 B．北偏西 C．北偏西 D．南偏东 【题型4】点的平移与坐标变化 1.考点总结 点的单一平移（左、右、上、下）的坐标变化； 点的多步平移（连续两次及以上平移）的坐标计算； 由平移前后的坐标反推平移方向与距离。 2.解题技巧 单一平移规律：左移个单位，右移个单位；上移个单位，下移个单位； 多步平移合并：先算横坐标总变化量（所有左右平移单位相加），再算纵坐标总变化量（所有上下平移单位相加）； 反向推导：平移后坐标平移前坐标平移量（正数为右/上，负数为左/下）。 【例题4】.（25-26八年级下·上海·月考）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后到达点，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（2026·广西玉林·一模）将平面直角坐标系平移，使原点移至点，这时在新坐标系中原来点的坐标是__________． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【变式题4-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【提升题型】 【题型5】坐标与方位角的综合应用 1.考点总结 用“方位角+距离”表示物体相对位置； 结合坐标系转化方位角为坐标； 跨学科情境（航海、测绘）中的坐标应用。 2.解题技巧 方位角规范描述：以正北或正南为基准，如“北偏东30°”“南偏西45°”，避免“东偏北30°”这类不规范表述； 坐标转化步骤：①以观测点为原点建立坐标系；②根据方位角确定射线方向；③根据距离确定点的坐标； 单位统一：先将实际距离转化为坐标系中的单位长度（如1海里对应1个单位），再计算坐标。 【例题5】.（25-26六年级上·黑龙江鸡西·期末）如图是乐乐家到学校的路线图    (1)乐乐家在超市的 方向，距离 米． (2)邮局在学校的北偏西方向900米处，请你在图上标出邮局的位置． (3)如图，乐乐从家经过超市步行去学校，用时20分钟，乐乐步行的平均速度是 米/分． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）下图所示的是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图． (1)在我方潜艇的北偏东的方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离我方潜艇20n mile的有________________________________________________． 【变式题5-2】.（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图是某街区的平面示意图． (1)老顶山在广场的 方向大约 千米处． (2)八一路小学位于广场南偏东方向2千米处，请在图中画出八一路小学的大概位置． (3)李叔叔乘出租车从英雄台经广场去老顶山，要付多少元车费？出租车收费标准如下表：（注：本题中不考虑出租车等候时间费用） 里程 收费 以下（含） 元 以上每增加（不足按算） 元 【变式题5-3】.（23-24七年级下·广西南宁·期中）园林部门为了对市内某旅游景区内的古树名木进行系统养护，建立了相关的地理信息系统，其中一项工作就是要确定这些古树的位置．已知该旅游景区有树龄百年以上的古松树4棵，），古槐树6棵．为了加强对这些古树的保护，园林部门根据该旅游景区地图，将4棵古松树的位置用坐标表示为． (1)请在图中画出对应的平面直角坐标系； (2)在所建立的平面直角坐标系中，写出6棵古槐树的位置的坐标； (3)已知在的北偏西米处，试用方位角和距离描述相对于的位置． 【题型6】多条件约束下的点的坐标求解 1.考点总结 结合象限、距离、平行关系等多个条件求点的坐标； 含参数的点的坐标问题（根据条件列方程求参数）； 存在性问题（判断是否存在满足条件的点）。 2.解题技巧 条件转化：将文字条件转化为数学关系式（如“在第二象限”→，“到x轴距离为3”→）； 列方程求解：含参数时，根据约束条件列方程（如“点在y轴上”→）； 验证筛选：求出坐标后，代入所有条件验证，排除不符合的解。 【例题6】.（25-26八年级上·陕西西安·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点A、B在原点两侧，且，连接． (1)求m的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使得？若存在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式题6-1】.（25-26八年级下·广东茂名·开学考试）在平面直角坐标系中，点和． (1)如果点在轴上，点在轴上，求、的值； (2)如果轴，且，求、的值． (3)点和点是否能同在第三象限内，若能，求出、的范围，若不能，请说明理由； 【变式题6-2】.（25-26八年级上·宁夏银川·月考）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点A，B的坐标． (2)当点P移动4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间． 【变式题6-3】.（23-24七年级下·辽宁大连·月考）根据以下素材，探索完成任务． 你了解坐标在坐标系中运算吗？ 问题情境 材料一 在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为； 材料二 规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点之间的折线距离为d；例如：图中，点与点之间的折线距离为．     解决问题 任务一 （1）若点，则轴，的长度为 ． （2）若点，且轴，且，则点D的坐标为 ． 任务二 （1）如图，已知，若，则 ； （2）如图，已知，若，求t的值．      任务三 如图，已知，点Q在x轴上，且三角形的面积为3，求的值． 【培优题型】 【题型7】坐标规律探究（循环/递推型） 1.考点总结 循环型点的坐标规律（按固定周期重复）； 递推型点的坐标规律（横纵坐标按特定公式变化）； 结合图形变换（平移、旋转）的规律探究。 2.解题技巧 列举前几项：写出前5-6个点的坐标，观察横纵坐标的变化规律（如循环周期、增减幅度）； 分类找周期：若坐标按象限循环，先确定周期（如4个点为一个周期），再用“序号÷周期”求余数，对应周期内的坐标； 总结通项公式：递推型规律可通过分析横纵坐标与序号的关系，总结出通项公式（如第个点的坐标为）。 【例题7】.（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，从点，，，，，，…，依次扩展下去，则点的坐标为________________． 【变式题7-1】.（2026·江西吉安·一模）光纤通讯是利用光的全反射原理．在一段水平笔直放置的光纤中，以光纤中心轴线为x轴建立平面直角坐标系，如图，一束光从出发，经过第1次全反射到达，在经过第2次全反射到达，在经过第3次全反射到达，依此类推，经过第2025次全反射到达，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点O出发，按图中顺序运动，即→→→→→→→…，按这样的运动规律，完成下列任务： (1)直接写出下列各点的坐标： ①：______；②：______； (2)在动点A的运动过程中，若有连续四点，，，，请写出，，，之间满足的数量关系，并说明理由． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·福建厦门·期末）物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心． 根据以下素材，探索完成任务． 素材一 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 若顶点坐标分别为，则中线交点坐标为 圆 几何中心 圆心 素材二 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： （1）建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系． （2）分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积． （3）确定这几个简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． （4）代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标，其中． 素材三 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形）， 可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为： 其中． 任务1：已知一块均匀梯形薄板，将其分割为一个矩形和一个直角三角形．矩形重心坐标为，直角三角形重心坐标为，若矩形面积为8，三角形面积为4，求梯形薄板的重心坐标． 任务2：如图，已知一块均匀薄板，由30块边长为的小正方形组成，求这块均匀薄板的重心坐标．（轴、轴1个单位长度表示） 任务3：如图，挖空部分为圆形，圆心坐标为，组合图形的重心坐标为，则挖空圆面积是_____；（取3） 【题型8】新定义下的坐标变换 1.考点总结 自定义坐标变换规则（如“伴随点”“对角点”）； 按新规则进行坐标计算与推理； 结合新定义解决存在性、最值问题。 2.解题技巧 理解新规则：将自定义规则转化为数学表达式（如“点的伴随点为”）； 举例验证规则：代入简单坐标（如）计算，验证对新规则的理解是否正确； 逆向推导：若已知变换后的坐标，反向套用规则求出原坐标，或列方程求解参数。 【例题8】.（25-26八年级上·安徽蚌埠·月考）法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． (1)点的“长距”为______； (2)若点的长距为4，且点C在第三象限内，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【变式题8-2】.（22-23七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：图形和图形上任意两点间距离的最小值称为图形与图形的“相关距离”，记作．特别地，若图形与图形有公共点，则规定． (1)若图形为点，图形为线段，其中，． 直接写出点与线段的“相关距离”，即______； 点是轴上的一个动点，当时，求点的坐标？ (2)已知点，，，，若线段上存在点使得，直接写出的取值范围． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·江苏苏州·月考）平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．图中的，两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为， ①在点，，中，为点的“等距点”的是_____． ②若点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为_____． (2)若，两点为“等距点”，求的值． 同步练习 一、单选题 1．如图，小手盖住的点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 2．点的坐标为，若，，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图．在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“”方向排列，依次为：，，，，，，，…，根据这个规律，第2024个点的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作，如图，点，点，则线段的“轴距”为，记作，已知点，点，若，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 二、填空题 5．2026年米兰—科尔蒂纳冬季奥运会上我国创境外参加冬奥会历史最好成绩，圆满完成各项参赛任务．本届冬奥会的吉祥物是一对名为蒂娜和米罗的白鼬姐弟，它们不仅代表了冬奥会和冬残奥会，更承载着环保、包容与创新的深刻寓意．如图，将吉祥物图片放入网格中，若图片上点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为__________． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是轴上一动点，当面积为面积的两倍时，点的坐标为___________． 7．在平面直角坐标系中，已知点．若轴，则线段的最小值为___________． 8．如图，动点从点出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹后的路径与长方形的边的夹角为，第1次碰到长方形边上的点的坐标为___________．第2021次碰到长方形边上的坐标为___________． 三、解答题 9．已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点的坐标为，且直线轴，求点的坐标． 10．如图， (1)写出平面直角坐标系内点M，N，L，O，P的坐标； (2)在平面直角坐标系内描出点，，，． 11．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在小正方形的格点上． (1)将向右平移4个单位长度后得到，请在图中画出； (2)在（1）的条件下，请写出，，三点的坐标． 12．长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，动点从点出发，沿的方向以每秒个单位长度的速度移动，与点第二次相遇时停止，设点移动的时间为秒． (1)点的坐标为 ； (2)当时， ；（用含的代数式表示） (3)当点第一次移动到点时，有一条垂直于轴的直线开始从位置出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向平行移动，当点停止时直线也随之停止．在移动过程中，当点在直线上时，求点的坐标； (4)连接，，，当 的面积为时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $