精品解析：陕西宝鸡市2025-2026学年高三下学期高考模拟测试（二）数学试题

2026年宝鸡市高考模拟检测试题（二） 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上. 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效. 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数满足，则在复平面内，对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 6. “绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（ ） A. B. C. D. 7. 的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的形状是 A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线右支上两点，若，则中点横坐标的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 11. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的单调递增区间为 D. 若方程在上有且只有6个根，则 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，与共线，则_____________. 13. 若在上单调递减，则实数的最大值为_______． 14. 如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为_____． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 16. 记为等比数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 已知函数的图象在点处的切线方程是. （1）求实数的值； （2）若，求证：. 18. 作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. （1）用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； （2）现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； （3）用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）． （1）为椭圆上顶点时求的面积； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． ①若，求折叠后的值； ②是否存在，使得折叠后与距离与折叠前与距离之比为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年宝鸡市高考模拟检测试题（二） 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上. 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效. 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解确定，再由交集运算即可求解； 【详解】， 所以， 故选：C 2. 复数满足，则在复平面内，对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则计算出复数z即可判断在第几象限. 【详解】因为，故， 故z对应的点为，在第一象限. 故选：A 3. 若，是正数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质可得“”“”、“” “”，结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 当时，由，得， 则“”“”； 当时，由，得， 则“” “”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性和值域，运用排除法求解. 【详解】设，则有， 是奇函数，排除D； ，排除B； 当时，，排除C； 故选：A. 5. 在正方体中，E，F分别为的中点，则（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】A 【解析】 【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD. 【详解】解：在正方体中， 且平面， 又平面，所以， 因为分别为的中点， 所以，所以， 又， 所以平面， 又平面， 所以平面平面，故A正确； 选项BCD解法一： 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设， 则， ， 则，， 设平面的法向量为， 则有，可取， 同理可得平面的法向量为， 平面的法向量为， 平面的法向量为， 则， 所以平面与平面不垂直，故B错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故C错误； 因为与不平行， 所以平面与平面不平行，故D错误， 故选：A. 选项BCD解法二： 解：对于选项B，如图所示，设，，则为平面与平面的交线， 在内，作于点，在内，作，交于点，连结， 则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角， 由勾股定理可知：，， 底面正方形中，为中点，则， 由勾股定理可得， 从而有：， 据此可得，即， 据此可得平面平面不成立，选项B错误； 对于选项C，取的中点，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项C错误； 对于选项D，取的中点，很明显四边形为平行四边形，则， 由于与平面相交，故平面平面不成立，选项D错误； 故选：A. 6. “绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B为“两位游客选择的景点不同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式求出，然后利用条件概率公式即得. 【详解】由题可得，, 所以. 故选：D. 7. 的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的形状是 A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理，再结合已知可求得，从而可得，可判断的形状. 【详解】解：中，由正弦定理得：， ∴，又， ∴， ∴， ∴或， 即或， ∴为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 【点睛】本题考查判断三角形的形状，利用正弦定理化边为角后，由正弦函数性质可得角的关系，得三角形形状． 8. 在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线右支上两点，若，则中点横坐标的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的第二定义可得，即可利用中位线以及三点共线求解最值. 【详解】双曲线右支上的点到右焦点的距离与到准线的距离之比等于离心率.（双曲线的第二定义） 由双曲线为等轴双曲线，故离心率为， 双曲线右焦点为,连接，取中点为， 过，分别作准线的垂线，垂足分别为, 设，则， 故根据双曲线的第二定义可得： ， 则，当且仅当三点共线时，取最小值， 故此时中点的横坐标最小为， 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用双曲线第二定义得，即可利用三点共线求解. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与均为的最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，得到，结合等差数列的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为， 因为，可得， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以，所以C不正确； 对于D中，由，可得数列为递减数列，且，所以， 所以和均为的最大值，所以D正确. 故选：ABD. 10. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若在上恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定ABC的正误，对于D，恒成立问题，可通过参变分离求最值来解决. 【详解】【解】A选项，，定义域为，，令，解得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 函数在时取得极大值也是最大值，故A对， B选项，时，，，当时，如下图所示： 函数有且只有唯一一个零点，故B错， C选项，当时为单调递减函数，， ，，故C对， D选项，，故，由于函数在上恒成立， ，设，定义域为，则， 设，解得，单调递增，单调递减，，故，故D对. 故选：ACD. 11. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数 C. 的单调递增区间为 D. 若方程在上有且只有6个根，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据函数图象即得代入两点坐标，求得的值，即得函数解析式，再根据各选项的要求逐一分析，计算，结合正弦函数的图象性质即可判断. 【详解】由图可知，且经过，故可得， 由①，结合，则得，代入②，化简得，即， 由图知，原函数的最小正周期满足，解得，故，即. 对于A，当时，因，故直线是的一条对称轴，故A正确； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数，故B错误； 对于C，因， 由，可得， 即的单调递增区间为，故C正确； 对于D，由可得，设，因，则， 依题意函数与在上必有6个交点，作出函数的图象如下： 由图知，需使，解得，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，与共线，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先通过向量加法的坐标运算求出坐标，依据向量共线的坐标表示列出方程，求得的值，利用向量减法的坐标运算求出的坐标，即可求出的模长. 【详解】，与共线，可得，解得，所以，所以. 故答案为：. 13. 若在上单调递减，则实数的最大值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知在上恒成立，分离参数，令，由基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【详解】因为在上单调递减， 所以在上恒成立，所以在上恒成立， 所以在上恒成立，令， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以， 故实数的最大值为. 故答案为：. 14. 如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积，再求容器中水的体积. 【详解】作几何体的轴截面图如图，，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点， ，分别是球和球与圆台侧面的切点，，分别是与圆台上下底面的切点， 则，，，， 且，，， 过点作交于，显然，四边形为矩形， 且，， 在中，，，， 由，得，则，. 在中，，， 在中，， 在中，，， 因此圆台的上底面半径，下底面半径，高， 圆台的体积， 而球的体积，球的体积， 所以容器中水的体积. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1） 连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 16. 记为等比数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设结合与的关系可得，进而得到数列的公比为，即可得到，再由题设得到即可求得，进而求解即可； （2）由（1）可得，进而利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 由， 当时，， 两式相减得，，即， 因为数列为等比数列，所以数列的公比为， 当时，，而，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 所以， 则， 两式相减得，， 则. 17. 已知函数的图象在点处的切线方程是. （1）求实数的值； （2）若，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再根据导数几何意义以及切线方程即可求解. （2）先由（1）得解析式，再由解析式结构特征结合导数工具分和两段研究的值的情况即可得证. 【小问1详解】 由题， 所以由导数几何意义以及切线方程得， . 【小问2详解】 由（1）， 因为，故当时恒成立； 令，则在上恒成立，且当且仅当时， 所以在上单调递增， 所以，所以当时即恒成立， 所以当时，， 综上得：若，. 18. 作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. （1）用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； （2）现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； （3）用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由男性居民与女性居民的人数比，可知样本中男性居民与女性居民的人数，计算其中观看这场苏超联赛的人数，用频率估计概率即可； （2）利用新定义，结合条件概率的公式计算即可； （3）利用全概率公式计算，代入求值即可. 【小问1详解】 由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 所以样本中，观看了这场苏超联赛的频率为. 用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人， 估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. 【小问2详解】 因为， 所以. 因为， 所以. 所以. 【小问3详解】 由分层随机抽样知，抽取的5名居民中，男性居民有3人，女性居民有2人. 根据频率估计概率知，男性居民中观看了这场苏超联赛的概率为，没有观看这场苏超联赛的概率为. 设3名被抽取的男性居民中，恰好抽到人被访谈为事件，则（） 设被访谈的2名居民中观看了这场苏超联赛的男性居民恰好为人为事件，则， 所以 ， ， . 所以. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与椭圆交于两点（其中点在轴上方）． （1）为椭圆上顶点时求的面积； （2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． ①若，求折叠后的值； ②是否存在，使得折叠后与距离与折叠前与距离之比为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据点斜式求解直线方程，即可联立直线与椭圆方程，得交点坐标，即可利用面积公式求解， （2）①建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算即可求解； ②联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据两点距离公式可得，根据即可求解. 【小问1详解】 由椭圆方程，知， 当为椭圆上顶点时，又， 则直线的方程为，即， 联立，解得或，， 则． 【小问2详解】 ①时在折叠前图中，直线方程为， 由（1）可知此时， 此时， 由题意，折叠后， 以O为坐标原点，折叠后以原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，则， 所以. ②折叠前设，直线， 由，得，， 而，即， 且， 折叠后按①中的方式建立空间直角坐标系， 折叠后A，B在新图形中对应点记，， 则 ， 由，知， 整理得，解得或（舍去）， ，，故存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $