精品解析：江西吉安市四所县二中2023-2024学年高一上学期1月联考数学试卷

江西吉安市永丰新干吉水吉安县四所二中2023-2024学年高一上学期1月 联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由于， 解不等式得， 所以， 所以． 2. 下列命题中，正确的是( ). A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质解决此问题即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，，则，所以，故D错误. 故选： C. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解 . 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为； 若函数有意义，则，解得． 则函数的定义域为. 4. 总体是由编号为000，001，002，……，198，199的200个个体组成． 利用下列随机数表，从200个体中选取5个个体选取方法：从随机数表的第1行第3列开始，从左至右依次选取三个数字（作为个体编号），则选出的第5个个体编号是（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 0807 3613 4869 6938 7481 A 080 B. 198 C. 023 D. 134 【答案】D 【解析】 【详解】从随机数表的第1行第3列开始选，个体编号依次为：166，080，140，198，080（重复剔除），134，第5个编号为134. 5. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用中间值法和幂函数的单调性比较大小. 【详解】因为. 又因为，且在上单调递增，， 所以，即.综上，. 故选：A. 6. 某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率公式求解即得. 【详解】九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面分别记为， 两位参赛博主任选一个主题的试验的样本空间 ，共25个样本点， 两位参赛博主抽到不同主题的事件 ，共20个样本点， 所以两位参赛博主抽到不同主题的概率为. 故选：D 7. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C． 8. 已知定义在 上的函数 满足 ，对任意的 ，且 ，恒成立，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，已知不等式化为，得出在上是减函数，利用此单调性解不等式即可． 【详解】因为，已知式两边同除以后可化为， 设，因此， 所以当时，，因此在上是减函数， 不等式化为，即， 所以，解得． 故选：A． 【点睛】方法点睛：在已知式出现关于定义域内和的不等式时，一般可转化得出（或就是已知不等式）或，由此可得函数是增函数（如果不等号是小于号，则函数是减函数），这样可利用函数的单调性求解其他问题． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的取值范围是 B. 若的值域为，则的取值范围是 C. 若，则的单调减区间为 D. 若在上单调递减，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由恒成立判断A，由有解判断B，结合对数函数的单调性求减区间判断C，由对数函数性质判断D． 【详解】选项A，恒成立，，解得，A正确； 选项B，有解，因此，解得或，B正确； 选项C，时，，由得或，因此其减区间是，C错； 选项D，在上单调递减，则，解得，D正确． 故选：ABD． 10. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（    ） A. B C. 剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数 D. 剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，求出剩下的28个样本数据的和、去掉的两个数据和、原样本数据和，列出方程即可； 对于B选项，写出和的表达式即可； 对于C选项，根据中位数定义判断即可； 对于D选项，根据分位数定义判断即可. 【详解】A. 剩下的28个样本数据的和为，去掉的两个数据和为，原样本数据和为，所以，因为=，所以，故A选项正确； B.设，， 因为，所以，所以， 所以，故B选项正确； C. 剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数，故C选项错误； D. ，所以原数据的22%分位数为从小到大的第7个； ，所以剩下28个数据22%分位数为从小到大的第7个； 因为去掉了最小值，则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则方程的根的个数可能为（ ） A. 2 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】ACD 【解析】 【分析】先画出的图象，再讨论方程的根，求得的范围，再数形结合，得到答案. 【详解】画出的图象如图所示： 令，则，则， 当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点， 即方程的根的个数为2个，A正确； 当时，即时，，则 故，， 当时，即，则有2解， 当时，若，则有3解；若，则有2解， 故方程的根的个数为5个或4个，CD正确； 故选：ACD 【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. =_________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算求解即得. 【详解】. 故答案为：1 13. 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题. 已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 .乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，则甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别记为，然后利用独立事件和对立事件的概率公式求得及结论． 【详解】甲、乙、丙三个家庭回答正确的概率分别记为， 由题意，，，，， 所以甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率是 ． 故答案为：． 14. 已知函数，若方程有4个不同的实根，，，且，则________. 【答案】14 【解析】 【分析】画出和的图象，根据图像，结合对数运算以及对称性即可求出结果. 【详解】，其图像如图所示， 因为方程有4个不同的实根，，，且， 即与有四个不同的交点， 由图知，，得到，即，变形得到， 又当时，，其对称轴为，所以， 故， 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域为集合A，集合. （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合A，把代入并求出集合B，再利用补集、并集的定义求解即得. （2）利用交集的结果，结合集合的包含关系列式求解. 【小问1详解】 函数有意义，则，解得，即， 当时，解不等式，得，则，， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由，得，而，显然， 当，即时，，于是，解得，则， 当，即时，，显然有，所以， 所以实数的取值范围是. 16. 某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）由频率分布直方图求样本中分位数； （2）已知样本中男生与女生的比例是 ，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为14，请计算样本的方差. 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据频率，确定分位数，在区间上，设其为，然后按比例计算可得； （2）先求出总样本的均值，再根据方差公式计算． 【小问1详解】 根据频率分布直方图知分位数，在区间上，设其为， 则，解得， 所以样本中分位数是：． 【小问2详解】 总样本的均值为， 设男生个体依次为，女生个体依次为， 则，， ， ， 总体样本方差为，其中 同理， 所以总样本的方差为， 故总样本的方差为． 17. 某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，当年产量为5台时，需另投入成本225万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入-成本）； （2）当该产品年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为40台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是920万元 【解析】 【分析】（1）根据题干函数，由利润的定义，分段给出利润函数的表达式； （2）根据（1）的利润函数，结合二次函数和基本不等式分别求出两段的最大值，进行比较，得出最大利润. 【小问1详解】 由题意，当时，，所以. 当时， 当时， . 所以年利润关于年产量的函数关系式为 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， . 因为，故当时，年利润最大，最大年利润是920万元. 综上，当年产量为40台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是920万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值. （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围. （3）是否存在实数，使得在区间上的取值范围是？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义由求出的值，并检验可得结果； （2）利用函数奇偶性以及单调性解不等式可得成立，再由换元法求出函数，的最大值即可； （3）结合函数单调性得出方程有两个不相等的实数根，由换元法以及指数函数值域可得方程有两个不相等的正根，由判别式以及根的符号解不等式可得结果。 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得.所以. 由，可知函数是奇函数，所以. 【小问2详解】 因为，且是上的奇函数， 所以（*）. 由（1）知，， 由指数函数性质得，在上恒正且单调递增，故函数在上单调递增. 则由（*）得成立，即成立. 设，则， 所以， 所以. 设， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 即实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，函数在上单调递增， 设存在实数，使得函数在区间上的取值范围是， 则即 所以方程，即有两个不相等的实数根， 即方程有两个不相等的实数根. 令，则，故方程有两个不相等的正根， 结合韦达定理，可得解得， 所以实数的取值范围为. 19. 定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③． （1）求和的值； （2）试用单调性的定义证明：函数在上是减函数； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过给赋值可得结果. （2）利用定义法可证明函数在上是减函数. （3）通过题目条件把不等式转化为，利用函数定义域和单调性可得，分离参数即可得到的取值范围. 【小问1详解】 令，有，得． 令，有，又，所以． 令，得， 令，得． 【小问2详解】 任取且， 则， 因为且，所以，所以，则， 所以，即，所以函数在上是减函数． 【小问3详解】 由（1）知，则． 因为函数的定义域为，且在上是减函数， 所以由，得，则． 对勾函数在上单调递增，所以， 所以，即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西吉安市永丰新干吉水吉安县四所二中2023-2024学年高一上学期1月 联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，正确是( ). A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D 若，则 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 总体是由编号为000，001，002，……，198，199的200个个体组成． 利用下列随机数表，从200个体中选取5个个体选取方法：从随机数表的第1行第3列开始，从左至右依次选取三个数字（作为个体编号），则选出的第5个个体编号是（ ） 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 0807 3613 4869 6938 7481 A. 080 B. 198 C. 023 D. 134 5. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 某网络平台举办美食短视频大赛，要求参赛的博主从九江茶饼、北京烤鸭、上海生煎包、西安肉夹馍、武汉热干面这5个美食主题中任选一个主题进行拍摄，则甲、乙两位参赛博主抽到不同主题的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A. B. C. 5 D. 6 8. 已知定义在 上的函数 满足 ，对任意的 ，且 ，恒成立，则不等式的解集（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 若的定义域为，则的取值范围是 B. 若值域为，则的取值范围是 C. 若，则的单调减区间为 D. 若在上单调递减，则的取值范围是 10. 已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的28个样本数据的方差为，平均数为;去掉的两个数据的方差为，平均数为﹔原样本数据的方差为，平均数为，若=，则下列说法正确的是（    ） A. B C. 剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数 D. 剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数 11. 已知函数，则方程的根的个数可能为（ ） A 2 B. 6 C. 5 D. 4 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. =_________. 13. 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题. 已知甲家庭回答正确这道题的概率是 ，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是 .乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，则甲、乙、丙三个家庭中恰好有2个家庭回答正确这道题的概率为_________. 14. 已知函数，若方程有4个不同的实根，，，且，则________. 四．解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的定义域为集合A，集合. （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围. 16. 某中学400名学生参加全市高中数学竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）由频率分布直方图求样本中分位数； （2）已知样本中男生与女生的比例是 ，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为14，请计算样本的方差. 17. 某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，当年产量为5台时，需另投入成本225万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值. （2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围. （3）是否存在实数，使得在区间上的取值范围是？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 19. 定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③． （1）求和的值； （2）试用单调性的定义证明：函数在上是减函数； （3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $