精品解析：山东德州市平原县第一中学2025-2026学年高一下学期期末模拟考试一数学试题

高一下学期期末模拟考试一 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，则. 2. 某公司三个部门的员工数量之比为，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从部门抽取员工6名，则从部门抽取员工的数量为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先由从部门抽取员工6名列方程求出，再根据分层抽样的定义可求得结果. 【详解】由题意得，解得， 所以从部门抽取员工的数量为. 故选：B 3. 已知在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理，即，解得， 又，所以，所以. 故选：B 4. 已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则C与B相互对立 B. 若，则 C. 若事件A与B相互独立，则 D. 若事件A与B相互独立，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概念可判断A；根据事件的包含关系可判断B；根据并事件的概率和独立事件概率关系可判断CD. 【详解】对于A，因为不一定互斥，所以由得不到C与B对立，错误； 对于B，若，则，错误； 对于C，若事件A与B相互独立，则， 则，正确； 对于D，若事件A与B相互独立，则相互独立， 则，错误. 故选：C 5. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算法则，分别求得，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为向量满足，，， 可得，， 所以. 故选：D. 6. 为了研究我市甲、乙两个智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是（ ） A. 甲店月营业额的平均值在内 B. 乙店月营业额总体呈上升趋势 C. 7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少 D. 乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图对选项逐一分析即可知，甲店月营业额的平均值为，可判断A正确；由折线图可知乙店每月的营业额总体呈上升趋势，故B正确；易知甲店月份的总营业额为，乙店的总营业额为，所以C正确；根据折线图可知甲店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差比甲店的大，所以D错误. 【详解】对于A，甲店月营业额的平均值为，，所以A正确； 对于B，根据乙店的营业额折线图可知乙店每月的营业额逐月变大，所以总体呈上升趋势，故B正确； 对于C，由营业额折线图可知，甲店的月份的总营业额为， 乙店的月份的总营业额为，，所以C正确. 对于D，根据甲､乙两店的营业额折线图可知甲店的月营业额极差为， 乙店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差比甲店的大，所以D错误； 故选：D. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用二倍角公式得到关于一元二次方程，求解，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据二倍角正弦公式计算可得； 【详解】由得， 即，解得或（舍）. 又， 所以， 所以. 故选：D. 8. 在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用面积比可得，结合等面积法可得,即可利用向量的模长求解. 【详解】由, 由于，则,, 因此, 又, 化简得， 故, 因此, 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是虚数单位，以下说法正确的是（ ） A. 复数的虚部是1 B. C. 若复数是纯虚数，则 D. 若复数满足，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的定义与代数形式的运算性质，逐项判断即可． 【详解】对于A，复数的虚部是，选项A错误； 对于B，，选项B正确； 对于C，设，则，，，选项C错误； 对于D，设，、，则， 令，得且，所以，选项D正确． 故选：BD． 10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（ ） A. B. 事件A与事件C互斥 C. 事件A与C相互独立 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据古典概型分析求解；对于BCD：利用列表法结合古典概型求，进而结合互斥事件、独立事件以及事件的运算分析求解. 【详解】对于选项A：因为第二次的点数有，共6个可能值， 事件B包含的点数有，共3个可能值，所以，故A正确； 因为第一次的点数有，共6个可能值，可得， 对于事件C，列表可得： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 2 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 3 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 4 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 5 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 6 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 可知共有个基本事件，且，则， 又因为事件，即，则. 对于选项B：因为，所以事件A与事件C不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，可知事件A与C相互独立，故C正确； 对于选项D：因为，故D正确； 故选：ACD. 11. 在锐角中，角的对边分别为，且．则（ ） A. 的面积为 B. C. 若，则 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角形面积公式判断A，利用正弦定理及三角恒等变换化简可判断B，根据余弦定理及条件化简，再由二倍角的正余弦、正切公式化简求值可判断C，根据条件判断A点的轨迹，得出范围，再由对勾函数性质求范围即可判断D. 【详解】对于A，由，所以，故A正确； 对于B，由，可得，所以，故B错误； 对于C，，又，， 所以，即， 所以，即，所以， 即，所以， 由为锐角知，故解得，故C正确； 对于D，因为，所以，作于，过作，且，如图， 所以A点的轨迹为线段（不包含端点及中点，否则三角形为直角三角形，不符合题意），由图形可知，且， 令，且，则在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当或时，，所以， 即的取值范围为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将正确答案写在答题卡的相应位置上.） 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简即可求解. 【详解】由，所以， 所以， 所以. 13. 如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】中，利用正弦定理求出，在中，，代入求值即可. 【详解】因为， 在中，， 由正弦定理得，即，解得， 在中，， 即纪念碑高为米. 故答案为：. 14. 某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示，根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，则至少有一件产品是一级品的概率为__________． 【答案】0.973 【解析】 【详解】由柱状图可知，100件样本中，一级品共70件，因此任取1件产品是一级品的概率为，任取1件产品不是一级品的概率为.“取出3件中至少有1件一级品”的对立事件是“取出的3件都不是一级品”，因此从出厂的所有产品中随机取出3件，至少有一件产品是一级品的概率为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. （1）求实数的值； （2）求的坐标； （3）已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据A，E，C三点共线，存在实数k，使得求解即可； （2）结合（1）的结论，利用向量的坐标运算即可求解； （3）由A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，得，设，则，再利用（2）的结论即可求解. 【小问1详解】 复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， 复数在复平面内对应的向量， ， 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得， 所以，解得，； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以， 设，则， 因为，所以，解得， 即点A的坐标为. 16. 为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（假设每名学生的成绩均不低于50分）. （1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于75分的人数； （3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生至多有2人被抽到的概率. 【答案】（1），平均数为；中位数为 （2）900 （3） 【解析】 【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于1可求出的值，由小矩形底边中点横坐标乘以小矩形的面积之和可得平均数，根据中位数左右两边小矩形面积相等可得中位数； （2）由频率分布直方图求出不低于75分的频率再乘以2000即可求解； （3）分别求出成绩为，，应抽出的人数，求出基本事件的总数以及成绩在的学生至多有2人被抽包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，第4组的频率为， 所以． 由频率分布直方图可估计所抽取的名学生成绩的平均数为： ． 由于前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为，故中位数在第3组中． 设中位数为，则有，解得，即所求的中位数为． 【小问2详解】 由（1）可知，名学生中成绩不低于分的频率为 ，用样本估计总体， 可以估计高三年级名学生中成绩不低于75分的人数为． 【小问3详解】 由（1）可知，位于，，的人数分别为： ，，， 这三组中所抽取的人数分别为，，， 设事件 “成绩在的学生至多有2人被抽到”， 则=“成绩在的学生全都被抽到” 记成绩为的名学生分别为，，，成绩为的2名学生分别为，，成绩为的名学生为， 则从中随机抽取人的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 成绩在的学生全都被抽到包含的基本事件为，有1个． 故． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，. （1）求B； （2）若，，求a、c. 【答案】（1） （2），或， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式求出，即可得解； （2）首先求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理求出，最后解得即可. 【小问1详解】 因为， 即， 即， 由正弦定理可得， ，， ，，， ，. 【小问2详解】 由（1）可得. ，， ，又， 即， ，由，解得或. 18. 某学校计划举办人工智能创新挑战赛，挑战赛包括个人赛和团队赛两种类型．个人赛中，每位选手回答随机给出的个题目，若答对不少于个题目，则其个人赛挑战成功．团队赛中，名选手组成一个团队，且平分成两个小组分别挑战甲、乙两个题目．每个团队可自主从以下两种参赛方式中选择一种参赛：方式一，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人中至少一人答对，则该小组挑战成功，若两小组都挑战成功，则该团队挑战成功；方式二，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人都答对，则该小组挑战成功，若两小组至少有一组挑战成功，则该团队挑战成功． （1）某选手参加个人赛，若其前两个题答对的概率均为，后两个题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响，求该选手个人赛挑战成功的概率； （2）假设某团队的每位选手答对甲、乙两题的概率分别为，，若对任意，均有选择方式二参赛时该团队挑战成功的概率更大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式直接计算； （2）根据独立事件概率的乘法公式分别计算概率，结合二次函数性质可得解. 【小问1详解】 设“选手甲答对第个题”（，，，），“该选手个人赛挑战成功”， 由题意，，且，，，相互独立． ， ， ， ， 所以 ； 【小问2详解】 设“该团队回答甲题的小组的第个选手答对甲题”，“该团队回答乙题的小组的第个选手答对乙题”，则，，，． 设该团队选择方式参赛时挑战成功的概率为， 则 ， ， 于是， 令， 则对，恒有， 因为抛物线的开口向上，且对称轴， 所以在上单调递减， 若，只需， 解得，或， 又，所以，即的取值范围为． 19. 已知锐角三个角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量，，且． （1）求A； （2）若的面积，且，求的周长； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的坐标表示，结合正弦定理求解即得. （2）由（10的结论，利用三角形面积公式及余弦定理求解即得. （3）由（1）的结论，结合正弦定理角化边，再余弦定理及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得， 由正弦定理，得，则， 整理得：，显然，于是，而， 所以. 【小问2详解】 由三角形面积公式，得， 由余弦定理，得， 由，得，两边平方得， 于是，解得，则． 又，解得， 所以的周长为． 【小问3详解】 由，得， 由正弦定理和余弦定理得， 又，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期期末模拟考试一 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）的共轭复数等于（ ） A. B. C. D. 2. 某公司三个部门的员工数量之比为，现采用分层抽样的方法从这三个部门抽取18名员工进行问卷调查，若从部门抽取员工6名，则从部门抽取员工的数量为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知在中，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知事件A，B，C满足：，，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则C与B相互对立 B. 若，则 C. 若事件A与B相互独立，则 D. 若事件A与B相互独立，则 5. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了研究我市甲、乙两个智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是（ ） A. 甲店月营业额的平均值在内 B. 乙店月营业额总体呈上升趋势 C. 7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少 D. 乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，的平分线交于点为的中点．若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是虚数单位，以下说法正确的是（ ） A. 复数的虚部是1 B. C. 若复数是纯虚数，则 D. 若复数满足，则 10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（ ） A. B. 事件A与事件C互斥 C. 事件A与C相互独立 D. 11. 在锐角中，角的对边分别为，且．则（ ） A. 的面积为 B. C. 若，则 D. 的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将正确答案写在答题卡的相应位置上.） 12. 已知，则__________． 13. 如图所示的是某城市的一座纪念碑，一位学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则该同学通过测量计算出纪念碑高为__________米.（保留根号） 14. 某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测，某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示，根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从出厂的所有产品中随机取出3件，则至少有一件产品是一级品的概率为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，复数在复平面内对应的向量为，且A，E，C三点共线. （1）求实数的值； （2）求的坐标； （3）已知点，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标. 16. 为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分），按照，，…，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（假设每名学生的成绩均不低于50分）. （1）求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）用样本估计总体，若高三年级共有2000名学生，试估计高三年级这次测试成绩不低于75分的人数； （3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取3人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生至多有2人被抽到的概率. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，. （1）求B； （2）若，，求a、c. 18. 某学校计划举办人工智能创新挑战赛，挑战赛包括个人赛和团队赛两种类型．个人赛中，每位选手回答随机给出的个题目，若答对不少于个题目，则其个人赛挑战成功．团队赛中，名选手组成一个团队，且平分成两个小组分别挑战甲、乙两个题目．每个团队可自主从以下两种参赛方式中选择一种参赛：方式一，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人中至少一人答对，则该小组挑战成功，若两小组都挑战成功，则该团队挑战成功；方式二，将甲、乙两个题目随机分配给两个小组，每小组中的两名选手各自独立答题，若两人都答对，则该小组挑战成功，若两小组至少有一组挑战成功，则该团队挑战成功． （1）某选手参加个人赛，若其前两个题答对的概率均为，后两个题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响，求该选手个人赛挑战成功的概率； （2）假设某团队的每位选手答对甲、乙两题的概率分别为，，若对任意，均有选择方式二参赛时该团队挑战成功的概率更大，求的取值范围． 19. 已知锐角三个角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量，，且． （1）求A； （2）若的面积，且，求的周长； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $