精品解析：2022年吉林省长春市东北师大附中九年级数学综合模拟练习（五）

东北师大附中初三年级数学综合练习（五） 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 如图，点从数轴上的原点开始，向左移动2个单位长度到点，则点表示的数为（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 社会各界爱心人士为抗击疫情驰援吉林，捐款捐物，截至年月日，吉林省红十字基金会共接收捐款约元人民币，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，各小方格内的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为a，乙持钱为b，则下列方程组中正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，其坐标是，且与轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD的顶点A、C在函数y＝x的图象上运动，下列各点可能落入正方形内部的是（　　） A. （1，3） B. （2，3.2） C. （3，3﹣） D. （4，3+） 7. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为1，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点、在反比例函数的图象上，则的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：_______． 10. 分解因式：=______． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为____________． 12. 已知，一个含有角的三角尺按照如图所示位置摆放，则的度数为_________． 13. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，E是边AD的中点，F是边AB上的一点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF，连结A′C．若AB＝5，BD＝6，当点A′到∠A的两边的距离相等时，A′C的长是_____． 14. 已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，如图所示，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的纵坐标与横坐标之和为______． 三、解答题（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率． 17. 某单位购进一种垃圾分类机器人， 据实验分析：在对生活垃圾进行分类时，机器人每小时比人工多分类桶垃圾，机器人分类桶垃圾所用的时间与人工分类桶垃圾所用的时间相同．求机器人每小时进行垃圾分类的桶数． 18. 两个完全相同的矩形纸片、如图放置，． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，，则线段的长为______． 19. 图、图、图都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上．在图、图、图中，分别以为边画一个面积为的三角形，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图中画，使； （2）在图中画，使是轴对称图形； （3）在图中画，使边上的高将分成面积比为的两部分． 20. 为了了解学生对“预防新型冠状病毒”知识的掌握情况，学校组织了一次线上知识培训，培训结束后进行测试，在全校2000名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 15名男生测试成绩统计如下：（满分100分）78，90，99，93，92，95，94，100，90，85，86，95，75，88，90 15名女生测试成绩统计如下：（满分100分）77，82，83，86，90，90，92，91，93，92，92，92，92，98，100 【整理、描述数据】 70.5～75.5 75.5～80.5 80.5～85.5 85.5～90.5 90.5～95.5 95.5～100.5 男生 1 1 1 5 5 2 女生 0 1 2 3 7 2 【分析数据】 （1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示： 性别 平均数 众数 中位数 方差 男生 90 90 90 44.9 女生 90 32.8 在表中：________．________； （2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中“预防新型冠状病毒”知识测试合格的学生有多少人？ （3）通过数据分析得到的结论，你认为男生和女生中谁的成绩比较好？请说明理由． 21. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；请根据图象解答下列问题： （1）货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为　　； （2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值； （3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值． 22. 问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片，点在上，点在上，小华同学将这张矩形纸片沿翻折得到四边形，交于点，小华认为是等腰三角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由． 问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点的对应点落在上时，已知，，，写出、、满足的数量关系，并证明你的结论． 问题应用：如图③，在 中，，将 沿对角线翻折得到，交于点若点为的中点，则的面积为 23. 如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．同时点从点出发，以相同的速度沿运动，当点到达终点时，点也停止运动，以，为邻边作．设与重合部分的面积为，点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）当点落在边上时，求的值； （3）求与之间的函数关系式； （4）当点落在一边的垂直平分线上时，直接写出的值． 24. 已知抛物线（其中为常数，且）． （1）当时，抛物线的顶点坐标为______； （2）当时，若函数值随的增大而减小，求的取值范围； （3）当时，若函数（其中为常数，且）的图象上有两个点到轴的距离为3，求的取值范围； （4）点是抛物线上一点，其横坐标为，当时，若点的坐标为，连接，以为边向上作正方形，设正方形的周长为，当抛物线与正方形的边有两个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中初三年级数学综合练习（五） 一、选择题：（每小题3分，共24分） 1. 如图，点从数轴上的原点开始，向左移动2个单位长度到点，则点表示的数为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】用0减去2即可求得点B表示的数． 【详解】解：由题意得，点B表示的数为：0−2＝−2． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴，主要利用了向左平移减，向右平移加，是基础题． 2. 社会各界爱心人士为抗击疫情驰援吉林，捐款捐物，截至年月日，吉林省红十字基金会共接收捐款约元人民币，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，的值等于原数的整数位数减， ∵共有位整数， ∴， 将原数的小数点移到最高数位后可得，符合要求， ∴． 3. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，各小方格内的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从正面看，得到的图形即可． 【详解】解：主视图从左往右2列，正方形的个数依次为3，1． 故选：B． 【点睛】考查三视图中的主视图知识；用到的知识点为：主视图是从物体正面看，得到的图形． 4. 《九章算术》记载：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”大意是：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为a，乙持钱为b，则下列方程组中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，找到等量关系是解题关键；根据题意，两个等量关系为“甲原有的钱＋乙的一半钱”，“乙原有的钱＋甲钱数的”，由此列出方程组即可． 【详解】设甲持钱为a，乙持钱为b，根据题意列方程得： 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，其坐标是，且与轴正半轴的夹角的正切值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴于点，则有，，然后通过，再求出的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 根据点在第一象限内，其坐标是， ∴，， ∵与轴正半轴的夹角的正切值为， ∴， ∴． 6. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD的顶点A、C在函数y＝x的图象上运动，下列各点可能落入正方形内部的是（　　） A. （1，3） B. （2，3.2） C. （3，3﹣） D. （4，3+） 【答案】C 【解析】 【分析】正方形ABCD上所有点中B、D两点到y=x的距离最远为，故只要判断点到y=x的距离和的大小即可求解. 【详解】正方形ABCD上所有点中B、D两点到y=x的距离最远为， ∴点在正方形内部时，点到直线y＝x的距离＜， 点（1，3）到直线y＝x的距离为＞，不可能； （2，3.2）到直线y＝x的距离为＞，不可能； （3，3﹣）到直线y＝x的距离为＜，可能； （4，3+）到直线y＝x的距离为＞，不可能； 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的性质，正方形的性质，点与圆的位置关系；能够将点与正方形问题转化为点与圆的问题是解题的关键． 7. 如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为1，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题目作图知，是的平分线，过点作，则，进而求解． 【详解】解：过点作于点，则， 由题目作图知，是的平分线， 则， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点、在反比例函数的图象上，则的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设点的坐标为，然后根据中线的性质分别用含有的代数式表示点和点的坐标，然后计算的面积即可． 【详解】解：设点 ∵是的中线， ∴点是的中点， ∴ ∵点、在反比例函数的图象上， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选B． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象的面积问题，能够运用中线的性质表示点的坐标并代入运算是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 10. 分解因式：=______． 【答案】a（b+1）（b﹣1） 【解析】 【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1）， 故答案为a（b+1）（b﹣1）． 11. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零即可求解． 【详解】解：方程 的判别式为 ， 由于有两个相等的实数根， 因此 ，即 ， 解得 ． 故答案为：1． 12. 已知，一个含有角的三角尺按照如图所示位置摆放，则的度数为_________． 【答案】∠1+∠2＝90° 【解析】 【分析】先利用平行线的性质得出∠1＝∠3，∠2＝∠4，最后利用直角三角形的性质即可． 【详解】解：如图， 过直角顶点作l3∥l1， ∵l1∥l2， ∴l1∥l2∥l3， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝90°． 故答案为：∠1+∠2＝90°． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是作出辅助线，是一道基础题目． 13. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，E是边AD的中点，F是边AB上的一点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF，连结A′C．若AB＝5，BD＝6，当点A′到∠A的两边的距离相等时，A′C的长是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=5，BD⊥AC，DO=BO=BD=3，AO=CO，AC平分∠DAB，由勾股定理可求AO，AC的长，由角平分线的性质可得点A'在线段AC上，由平行线分线段成比例可求AH的长，即可求A'C的长． 【详解】如图，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，BD⊥AC，DO＝BO＝BD＝3，AO＝CO，AC平分∠DAB， ∴AO＝＝4， ∴AC＝2AO＝8， ∵点A′到∠DAB的两边的距离相等， ∴点A'在∠DAB的平分线上，即点A'在线段AC上， ∵将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF， ∴AH＝A'H，EF⊥AC， ∴EF∥DB， ∴， ∴AO＝2AH， ∴AH＝2， ∴A'C＝AC﹣AA'＝8﹣4＝4， 故答案为4 【点睛】本题考查翻折变换，菱形的性质，角平分线的性质，确定点A'的位置是本题的关键． 14. 已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，如图所示，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的纵坐标与横坐标之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和两点之间线段最短，先确定点P所在的位置，然后根据题意和图形求出点P的横坐标和纵坐标，再将横坐标和纵坐标相加，即可解答本题． 【详解】解：连接AC，与对称轴交于点P，则此时PB+PC＝AC，PB+PC取得最小值， ∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝2， ∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ，解得， 即直线AC的解析式为， ∵点P在二次函数的对称轴上的一动点， ∴点P的横坐标为﹣1， ∵点P在直线AC上， ∴点P的纵坐标， ∴点P的纵坐标与横坐标之和为：， 故答案为：． ． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、轴对称，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 三、解答题（共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 将代入得：原式． 16. 经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转．假设这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率． 【答案】两人之中至少有一人直行的概率为． 【解析】 【详解】【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出“至少有一人直行”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两人之中至少有一人直行的结果数为5， 所以两人之中至少有一人直行的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．概率=所求情况数与总情况数之比． 17. 某单位购进一种垃圾分类机器人， 据实验分析：在对生活垃圾进行分类时，机器人每小时比人工多分类桶垃圾，机器人分类桶垃圾所用的时间与人工分类桶垃圾所用的时间相同．求机器人每小时进行垃圾分类的桶数． 【答案】． 【解析】 【分析】设机器人每小时分类桶垃圾，根据“机器人分类120桶所用的时间与人工分类90桶所用的时间相同”，列出关于的分式方程． 【详解】设机器人每小时进行垃圾分类桶，则人工每小时进行垃圾分类桶． 依题意得 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：机器人每小时进行垃圾分类桶． 【点睛】考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 18. 两个完全相同的矩形纸片、如图放置，． （1）求证：四边形为菱形． （2）若，，则线段的长为______． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由矩形性质可得，，，再证明，所以，然后通过菱形的判定方法即可求证； （）由（）得四边形为菱形，所以，设，则，在中，，即，求出即可． 【小问1详解】 证明：∵两个完全相同的矩形纸片、， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：由（）得四边形为菱形， ∴， ∵两个完全相同的矩形纸片、， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 19. 图、图、图都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上．在图、图、图中，分别以为边画一个面积为的三角形，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图中画，使； （2）在图中画，使是轴对称图形； （3）在图中画，使边上的高将分成面积比为的两部分． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析． 【解析】 【分析】（）在网格上取点，使得即可； （）在网格上取点，使得即可； （）利用相似三角形的性质取格点即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 理由：由网格可知，，， ∴， ∵， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 理由：由网格可知， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴即为所求； 【小问3详解】 解：如图，即为所求， 理由：由网格可知：，，，， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴高将分成面积比为的两部分， ∵， ∴即为所求． 20. 为了了解学生对“预防新型冠状病毒”知识的掌握情况，学校组织了一次线上知识培训，培训结束后进行测试，在全校2000名学生中，分别抽取了男生，女生各15份成绩，整理分析过程如下，请补充完整． 【收集数据】 15名男生测试成绩统计如下：（满分100分）78，90，99，93，92，95，94，100，90，85，86，95，75，88，90 15名女生测试成绩统计如下：（满分100分）77，82，83，86，90，90，92，91，93，92，92，92，92，98，100 【整理、描述数据】 70.5～75.5 75.5～80.5 80.5～85.5 85.5～90.5 90.5～95.5 95.5～100.5 男生 1 1 1 5 5 2 女生 0 1 2 3 7 2 【分析数据】 （1）两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示： 性别 平均数 众数 中位数 方差 男生 90 90 90 44.9 女生 90 32.8 在表中：________．________； （2）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全校学生中“预防新型冠状病毒”知识测试合格的学生有多少人？ （3）通过数据分析得到的结论，你认为男生和女生中谁的成绩比较好？请说明理由． 【答案】（1）92，92；（2）1800；（3）女生的成绩比较好，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得； （2）用总人数乘样本中合格人数所占比例可得； （3）根据平均数与方差的意义说明即可． 【详解】解：（1）女生数据77，82，83，86，90，90，92，91，93，92，92，92，92，98，100中， 92出现的次数最多 ∴众数是92 ∴x=92 女生数据从小到大排列为：77，82，83，86，90，90， 91，92， 92，92，92，92，93，98，100 ∴中位数是92 ∴y=92； 故答案为：92；92； （2）（人） 即估计全校学生中“预防新型冠状病毒”知识合格的学生有1800人； （3）女生的成绩比较好． ∵虽然男、女生成绩的平均数相同，但女生成绩的众数、中位数都高于男生， 男生成绩的方差大于女生成绩的方差 ∴女生掌握知识的整体水平比男生好． 【点睛】本题考查了频数分布直方表，众数，中位数，正确的理解题意是解题的关键． 21. 甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；请根据图象解答下列问题： （1）货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为　　； （2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值； （3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值． 【答案】（1）y＝60x；（2）当x＝3.9时，轿车与货车相遇；（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）先求出线段CD对应的函数关系式，再根据两直线的交点即可解答； （3）分两种情形列出方程即可解决问题． 【详解】解：（1）设货车离甲地距离y（干米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝k1x，根据题意得5k1＝300， 解得k1＝60， ∴y＝60x， 即货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝60x； 故答案为：y＝60x； （2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）. ∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上， ， 解得， ∴CD段函数解析式：y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）； 解方程组，解得， ∴当x＝3.9时，轿车与货车相遇； （3）当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20， 由题意60x﹣（110x﹣195）＝20或110x﹣195﹣60x＝20， 解得x＝3.5或4.3小时. 答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用，求出货车与轿车的速度是解题的关键． 22. 问题呈现：如图①，在一次数学折纸活动中，有一张矩形纸片，点在上，点在上，小华同学将这张矩形纸片沿翻折得到四边形，交于点，小华认为是等腰三角形，你认为小华的判断正确吗？请说明理由． 问题拓展：如图②，在“问题呈现”的条件下，当点的对应点落在上时，已知，，，写出、、满足的数量关系，并证明你的结论． 问题应用：如图③，在 中，，将 沿对角线翻折得到，交于点若点为的中点，则的面积为 【答案】问题呈现：小华的判断是正确的，理由见解析；问题拓展：，证明见解析；问题应用： 【解析】 【分析】问题呈现：根据矩形性质可知由折叠，得，进而得到所以是等腰三角形． 问题拓展：由矩形性质可知，由折叠，得，，，，由问题呈现，得在中，利用勾股定理得到； 问题应用：先证明与全等，得到，，过点作于，则，在中，由勾股定理求出，从而求出，最后求的面积． 此题属于四边形的综合题．考查了矩形的性质、平行四边形的判定以及折叠的性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键． 【详解】解：问题呈现：小华的判断是正确的． 在矩形中，， ． 由折叠，得， ． ． 是等腰三角形． 问题拓展：． 在矩形中，， 由折叠，得，，，， 由问题呈现，得 在中，， ； 问题应用： 四边形为平行四边形，，， ，，， 由折叠性质可知， ，，， ，， 点为的中点， ， ， ． ， 如图，过点作于， 则， 在中，， ， ． 故答案为：． 23. 如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．同时点从点出发，以相同的速度沿运动，当点到达终点时，点也停止运动，以，为邻边作．设与重合部分的面积为，点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）当点落在边上时，求的值； （3）求与之间的函数关系式； （4）当点落在一边的垂直平分线上时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）的值分别为或或． 【解析】 【分析】（）当时，在边上，得，当时，在边上，得； （）当点落在上时，由，得，解得； （）当时，，当时，设与交于，由得，则，即，，所以；当时，过作于， （）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，由已知可得，，，分当在上时，过作于，当在上时，延长交轴于，过作于，再通过两点间的距离，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：当时，在边上， ∵，， ∴， 当时，在边上， ∵， ∴， 综上所述，； 【小问2详解】 解：当点落在上时，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：； 【小问3详解】 解：当时，如图， ∴， 当时, 设与交于，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当时，过作于，如图， ∵，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即 ∴， ∴， 综上所述，； 【小问4详解】 解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，由已知可得：，，， 当在上时，过作于，如图， ∵，， ∴， 当在垂直平分线上时，到距离相等， ∴，解得， 同理，当在垂直平分线上时，到距离相等， ∴，解得； 当在垂直平分线上时，到距离相等， ∴，解得， 此时不在上，故不符合题意，舍去； 当在上时，延长交轴于，过作于，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 当在垂直平分线上时，到距离相等， ∴， 解得：（舍去）， 当在垂直平分线上时，到距离相等， ∴， 解得（此时不在上，舍去）； 当在垂直平分线上时，到距离相等， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题考查了平行四边形，相似三角形的判定与性质，建立函数关系式，两点间的距离公式，垂直平分线的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 24. 已知抛物线（其中为常数，且）． （1）当时，抛物线的顶点坐标为______； （2）当时，若函数值随的增大而减小，求的取值范围； （3）当时，若函数（其中为常数，且）的图象上有两个点到轴的距离为3，求的取值范围； （4）点是抛物线上一点，其横坐标为，当时，若点的坐标为，连接，以为边向上作正方形，设正方形的周长为，当抛物线与正方形的边有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 （4）或 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线解析式，得到具体二次函数．利用配方法，求出顶点坐标． （2）先求出抛物线的对称轴．分两种情况讨论，当时和当时分别进行讨论即可． （3）问题转化为方程在上有两个不同解，分别画图，利用数形结合的方法最终得到满足两个解的的取值范围． （4）先由点横坐标得，再由得水平，再分情况画图利用数形结合的方法求解即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线为，配方得，故顶点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为，分两种情况： 当时，抛物线开口向上，在时随x的增大而减小，要使时随x的增大而减小，则，得； 当时，抛物线开口向下，在时随x的增大而减小，要使时随x的增大而减小，则，得​． 综上，或． 【小问3详解】 解：到轴距离为3即， 如图， 此时，且时， ∴， 解得：， ∴， 如图，当时，则， 当抛物线的顶点的纵坐标为时，符合题意， ∴， 解得：，符合题意， 如图， 当时，， ∴， 解得：，此时有三个点满足不符合题意， ∴； 综上，的范围是 或  或 ． 【小问4详解】 解：∵抛物线（），点P的横坐标为，代入得． 点， ∴轴，如图，当，即， ∴边长． 当在抛物线上时， ∴， ∴， ∴， ∴周长， 当时，即，如图， 此时符合题意， ∴， ∴正方形周长， ∵ ， ∴， 当时，如图， 只有一个交点，不符合题意． 当时，有3个交点，不符合题意， 综上，满足条件的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $