精品解析：江苏省南京市江宁区上元中学2021-2022学年苏科版八年级数学下册期中复习综合练习题

江苏省南京市江宁区上元中学 2021-2022学年苏科版八年级数学下册期中复习综合练习题 （范围：第7章——第10章） 一．选择题 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，调查方式合适的是（ ） A. 为了了解100个灯泡的使用寿命，选择全面调查 B. 为了了解某景区全年的游客量，选择抽样调查 C. 为了了解一批炮弹的杀伤半径，选择全面调查 D. 为了了解一批袋装食品防腐剂是否超标，选择全面调查 3. 下列事件：①对顶角相等，②矩形的对角线相等，③同位角相等，④平行四边形是中心对称图形，其中不是必然事件的是（ ） A. ① B. ②③ C. ③ D. ④ 4. E，F，G，H分别为矩形ABCD四边的中点，则四边形EFGH一定是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 非特殊的平行四边形 5. 若把分式 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（　　） A. 扩大10倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 6. 已知，则分式的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. - 7. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若平行四边形ABCD的周长为18，则△ABE的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 18 8. 如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 9. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图1，测得，当时，如图2，（　　） A. B. 2 C. D. 2 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①③ 二．填空题 11. 当x_________时，有意义；若分式的值为零，则x的值为______． 12. 为了了解我校八年级的1200名学生的数学期中成绩，随机抽取80名学生的数学成绩进行分析，在该抽样中，样本是指___________． 13. 期中考试结束后，老师统计了全班40人的数学成绩，这40个数据共分为6组，第1至第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，那么第6组的频率是______． 14. 从一副扑克牌中任意抽取1张．①这张牌是“”；②这张牌是“黑桃”；③这张牌是“小王”；④这张牌是“黑色的”．估计上述事件发生的可能性的大小，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序列____________． 15. 已知平行四边形ABCD的周长为30cm，它的对角线AC和BD相交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长大5cm，AB=_____cm． 16. 已知三个数x，y，z满足，，，则的值为_____． 17. 如图，中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是________． 18. 已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为_______． 19. 如图，的顶点在矩形的边上，点与点、不重合，若的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_____． 20. 如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE=1，AF=2，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+FP 的 最小值为 _____. 三．解答题 21. 计算与化简: （1）； （2）. （3）先化简，然后a在－1、1、2三个数中任选一个你喜欢的数代入求值. 22. 解下列方程并检验 (1) (2) 23. 某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查．设计的问题：是否对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：．很少，．有时，．常常，．总是．将调查结果的数据进行了整理，绘制成统计图（部分）： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，“常常”对应扇形的圆心角度数为______； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有多少名？ 24. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的3倍多10个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）取走5个球（其中没有红球），求从剩余球中摸出球是红球的概率． 25. 如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别为，的中点，延长至，使，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由． 26. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品． 27. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）请画出关于原点对称的图形，并写出三点的坐标． （2）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的． 28. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A，D不重合），PE的延长线与BC的延长线交于点Q． （1）求证：E是PQ的中点； （2）连结PB，F是BP的中点，连结EF，当PB=PQ时． ①求证：四边形AFEP是平行四边形； ②求AP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市江宁区上元中学 2021-2022学年苏科版八年级数学下册期中复习综合练习题 （范围：第7章——第10章） 一．选择题 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列调查中，调查方式合适的是（ ） A. 为了了解100个灯泡的使用寿命，选择全面调查 B. 为了了解某景区全年的游客量，选择抽样调查 C. 为了了解一批炮弹的杀伤半径，选择全面调查 D. 为了了解一批袋装食品防腐剂是否超标，选择全面调查 【答案】B 【解析】 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，但所费人力、物力和时间较少分析解答即可． 【详解】A.为了了解100个灯泡的使用寿命，因调查具有破坏性，宜采用抽样调查，故不符合题意； B.为了了解某景区全年的游客量，因工作量很大，宜采用抽样週查，故符合题意； C.为了了解一批炮弹的杀伤半径，因调查具有破坏性，宜采用抽样调查，故不符合题意； D.为了了解一批袋装食品防腐剂是否超标，因调查具有破坏性，宜采用抽样调查，故不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 3. 下列事件：①对顶角相等，②矩形的对角线相等，③同位角相等，④平行四边形是中心对称图形，其中不是必然事件的是（ ） A. ① B. ②③ C. ③ D. ④ 【答案】C 【解析】 【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断． 【详解】解：①对顶角相等是必然事件； ②矩形的对角线相等是必然事件； ③同位角相等是随机事件； ④平行四边形是中心对称图形是必然事件． 故选C． 【点睛】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. E，F，G，H分别为矩形ABCD四边的中点，则四边形EFGH一定是（　　） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 非特殊的平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形判定条件即可求出结果. 【详解】如图, 连结AC,BD. 、H、F、G分别是AB、AD、BC、DC中点, , , . 四边形EFGH是菱形; 所以B选项是正确的. 【点睛】本题主要考查菱形的判定条件，熟悉掌握是关键. 5. 若把分式 中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（　　） A. 扩大10倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大10倍后可得： ， ∴缩小为原来的 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 6. 已知，则分式的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. - 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键． 7. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若平行四边形ABCD的周长为18，则△ABE的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形性质可得AB+AD=9cm，OB=OD，又由OE⊥BD，可得BE=DE，继而可求得△ABE的周长为AB+AD． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，AB=CD，AD=BC， ∵平行四边形ABCD的周长是18cm， ∴AB+AD=9cm， ∵OE⊥BD，OB=OD, ∴BE是BD的垂直平分线， ∴BE=DE， ∴△ABE的周长为：AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=9cm． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题比较简单，得出BE=DE是解题的关键． 8. 如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知，当时，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ∵为边上的一动点， ∴时有最小值，即有最小值， 此时在中，，， ， 即最小值为． 9. 将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图1，测得，当时，如图2，（　　） A. B. 2 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可求得． 【详解】解：如图1， ∵，， ∴四边形是正方形， 连接，则， ∴， 如图2，，连接， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键． 10. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据翻折的性质证△ABF≌△DAE（ASA），得出AF＝DE＝3，BF＝AE，即可判断①正确；根据DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1，即可判断②错误；由勾股定理得出BF＝5，由S△ABF求出即可求得③正确；根据S△ABF＝AB•AF＝BF•AH，求出AH，即可判断④正确，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝CD＝4，∠BAD＝∠D＝90°， ∵CE＝1， ∴DE＝3， 由折叠的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG， ∴BF⊥AE，AH＝GH， ∴∠BAH+∠ABH＝90°， ∵∠FAH+∠BAH＝90°， ∴∠ABH＝∠FAH， 在△ABF和△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（ASA）， ∴AF＝DE＝3，BF＝AE，故①正确； ∵DF＝AD﹣AF＝4﹣3＝1， ∴AD＝4DF，故②错误； 在Rt△ABF中， ∵BF＝＝＝5， ∴S△ABF＝ AB•AF＝×4×3＝6，故③正确； ∵S△ABF＝AB•AF＝BF•AH， ∴4×3＝5AH， ∴AH＝， ∴AG＝2AH＝， ∵AE＝BF＝5， ∴GE＝AE﹣AG＝5﹣＝0.2，故④正确； 综上所述：正确的是①③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 二．填空题 11. 当x_________时，有意义；若分式的值为零，则x的值为______． 【答案】 ①. ≠-1 ②. 2 【解析】 【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义；分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0． 【详解】解：根据题意得：x+1≠0，解得：x≠-1； 分式的值为零， 则x2-4=0，解得x=2或x=-2 当x=-2时，x+2=0． 故当x=2时，分式的值是0． 故答案为：≠-1；2． 12. 为了了解我校八年级的1200名学生的数学期中成绩，随机抽取80名学生的数学成绩进行分析，在该抽样中，样本是指___________． 【答案】80名学生的数学成绩 【解析】 【分析】本题考查样本．根据样本是总体所抽取的一部分个体，可得答案． 【详解】解：在该抽样中，样本是指80名学生的数学成绩． 故答案为：80名学生的数学成绩 13. 期中考试结束后，老师统计了全班40人的数学成绩，这40个数据共分为6组，第1至第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，那么第6组的频率是______． 【答案】0.2 【解析】 【分析】先求出第5、6两组的频数，然后求出这两组的频率之和，再减去第5组的频率即为第6组的频率． 【详解】第5、6两组的频数为：， 所以，第5、6两组的频率之和为：， ∵第5组的频率为0.1， ∴第6组的频率为． 故答案为：0.2． 【点睛】本题是对频率、频数灵活运用的考查，把第5、6两小组看作一个整体求解是解题的关键． 14. 从一副扑克牌中任意抽取1张．①这张牌是“”；②这张牌是“黑桃”；③这张牌是“小王”；④这张牌是“黑色的”．估计上述事件发生的可能性的大小，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序列____________． 【答案】③①②④ 【解析】 【分析】此题主要考查了随机事件发生的可能性的大小，首先分别求出一副扑克牌中含“”、“黑桃”、“小王”、“黑色的”的张数各是多少，然后根据每张牌被抽到的机会相等，只要比较出哪个事件的可能结果最多，即可判断出这些事件发生的可能性的大小，并将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列即可． 【详解】解：一副扑克牌中含“” 4 张，“黑桃”13 张，“小王”1 张，“黑色的” 27 张， ， ∴将这些事件按发生的可能性从小到大顺序排列：③①②④． 故答案为：③①②④． 15. 已知平行四边形ABCD的周长为30cm，它的对角线AC和BD相交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长大5cm，AB=_____cm． 【答案】10 【解析】 【分析】由“平行四边形ABCD的周长为30cm”可得AB+BC=15，由“△AOB的周长比△BOC的周长大5cm”可得AB-BC=5cm，解之即可． 【详解】解：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，OA=OC， ∵平行四边形ABCD的周长为30cm， ∴AB+BC=15（cm）， ∵△AOB的周长比△BOC的周长大5cm， ∴（AB+OA+OB）-（BC+OB+OC）=AB-BC=5（cm）， 解得AB=10cm，BC=5cm． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质----平行四边形的对边相等，对角线互相平分． 16. 已知三个数x，y，z满足，，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将，，分别化简为3xyz＝xz+yz，4xyz＝xy+xz，5xyz＝yz+xy，再将三个式子相加得到xyz与xy+yz+xz的关系，代入所求式子即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴3xyz＝xz+yz①， ∵， ∴， ∴4xyz＝xy+xz②， ∵， ∴， ∴5xyz＝yz+xy③， 由①+②+③得： 12xyz＝2xy+2yz+2xz， ∴xy+yz+xz＝6xyz， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是利用题干给出的三个式子化简得出xyz与xy+yz+xz的关系． 17. 如图，中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据旋转的性质得出，，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上， ∴，， ∴， ∴． 18. 已知关于x的方程的解是负数，则n的取值范围为_______． 【答案】n＜2且 【解析】 【详解】解：解方程得：x=n﹣2， ∵关于x的此方程的解是负数， ∴n﹣2＜0， 解得：n＜2． 又∵原方程有意义的条件为：， ∴，即． 故答案为：n＜2且． 19. 如图，的顶点在矩形的边上，点与点、不重合，若的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积和为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得S△ADE=S△ADF=4，由矩形的性质可得阴影部分两个三角形的面积和=S△ADF=4． 【详解】解：∵四边形AFDE是平行四边形 ∴S△ADE=S△ADF=4， 四边形ABCD是矩形， 阴影部分两个三角形的面积和， 故答案为：4. 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键. 20. 如图，在周长为 12 的菱形 ABCD 中，AE=1，AF=2，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EP+FP 的 最小值为 _____. 【答案】3 【解析】 【分析】观察题目，此题运用菱形的性质、轴对称的性质，即可进行解答； 【详解】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P， ∴EP+FP=EP+F′P． 由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′． ∵四边形ABCD为菱形，周长为12， ∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD， ∵AF=2，AE=1， ∴DF=AE=1， ∴四边形AEF′D是平行四边形， ∴EF′=AD=3， ∴EP+FP的最小值为3． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键． 三．解答题 21. 计算与化简: （1）； （2）. （3）先化简，然后a在－1、1、2三个数中任选一个你喜欢的数代入求值. 【答案】（1） （2） （3），当时，原式 【解析】 【分析】（1）提取公因式后，将除法转化为乘法计算即可； （2）先通分，然后计算； （3）先化除法为乘法，然后利用提取公因式、完全平方公式、平方差公式进行因式分解，通过约分对已知分式进行化简，最后代入求值． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的基本步骤及法则． 22. 解下列方程并检验 (1) (2) 【答案】(1) x=；(2) x= 【解析】 【分析】（1）两边都乘以2(x+3)，把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）两边都乘以2(x-1)，把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：(1)两边都乘以2(x+3)，去分母得：4x+2x+6=7， 移项合并得：6x=1， 解得：x=， 检验：当x=时，x+3≠0， ∴x=是分式方程的解； (2) 两边都乘以2(x-1)，去分母得：3-2=6x-6， 解得：x=， 检验：当x=时，x-1≠0， ∴x=是分式方程的解． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出x的值后不要忘记检验． 23. 某校随机抽取部分学生，对“学习习惯”进行问卷调查．设计的问题：是否对自己做错的题目进行整理、分析、改正；答案选项为：．很少，．有时，．常常，．总是．将调查结果的数据进行了整理，绘制成统计图（部分）： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，“常常”对应扇形的圆心角度数为______； （2）请你补全条形统计图； （3）若该校有名学生，请你估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共有多少名？ 【答案】（1），，； （2）见解析； （3）名 【解析】 【分析】（）根据“有时”的条形统计图和扇形统计图的数据计算出总人数，然后代入求解即可； （）计算出“常常”的人数，然后补全条形统计图即可； （）计算出样本中“总是”所占比例，再乘以即可； 本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，读懂题意，获取信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：（名）， ∴“很少”所占百分比，“总是”所占百分比，“常常”对应扇形的圆心角度数为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：（名）， 由题意得“常常”对应所占百分比为， ∴“常常”对应得人数为（名）， ∴补全的条形统计图如下图所示； 【小问3详解】 解：（名），（名）． 答：估计其中“常常”和“总是”对错题进行整理、分析、改正的学生共名． 24. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的3倍多10个．已知从袋中摸出一个球是红球的概率是． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）取走5个球（其中没有红球），求从剩余球中摸出球是红球的概率． 【答案】（1）30个；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可求出结论； （2）设白球有x个，则黄球有个，列出方程即可求出x，再根据概率公式即可求出结论； （3）先求出总球数，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：（1）根据题意得：（个）． 答：袋中红球的个数有30个． （2）设白球有x个，则黄球有个， 根据题意得， 解得． 则从袋中摸出一个球是白球的概率． （3）因为取走5个球后，还剩95个球，其中红球的个数没有变化， 所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率是． 【点睛】此题考查的是概率问题，掌握概率公式是解题关键． 25. 如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别为，的中点，延长至，使，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，由平行线的性质得出，证出，由证明即可； （2）证出，由等腰三角形的性质得出，，同理：，得出，由三角形中位线定理得出，，得出四边形是平行四边形，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，，， ， 点，分别为，的中点， ，， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：当时，四边形是矩形；理由如下： ，， ， 是的中点， ， ， 同理：， ， ， ，， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 26. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品． 【答案】甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品 【解析】 【分析】设甲工厂每天能加工x件产品，表示8出乙工厂每天加工1.5x件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多10天列出方程求解即可． 【详解】解：设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品， 根据题意得，， 解得x=40． 经检验，x=40是原方程的解，并且符合题意． 1.5x=1.5×40=60． 答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用题，读懂题意列出方程时解决此题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）请画出关于原点对称的图形，并写出三点的坐标． （2）将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的． 【答案】（1）A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣5）； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）根据旋转的性质作出对应点的位置即可． 【小问1详解】 解：如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣5）； 【小问2详解】 如图所示，△A2B2C2即为所求． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 28. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A，D不重合），PE的延长线与BC的延长线交于点Q． （1）求证：E是PQ的中点； （2）连结PB，F是BP的中点，连结EF，当PB=PQ时． ①求证：四边形AFEP是平行四边形； ②求AP的长． 【答案】（1）见解析；（2） ①见解析；②AP的长为 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明△PDE≌△QCE，即可得E是PQ的中点； （2）①根据三角形的中位线和直角三角形的中线等于斜边的一半即可证明四边形AFEP是平行四边形； ②设AP=x，则PD=2-x，由（1）知，△PDE≌△QCE，可得CQ=PD=2-x，BQ=BC+CQ=4-x，根据三角形中位线定理列出方程即可求出AP的长． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠ECQ=90°， ∵E是CD的中点， ∴DE=CE， 又∵∠DEP=∠CEQ， ∴△PDE≌△QCE（ASA）， ∴PE=QE， ∴E是PQ的中点； （2）①∵E是PQ的中点， ∴PE=QE=PQ， ∵F是BP的中点， ∴PF=FB=PB， ∵PB=PQ， ∴PF=PE， 在Rt△ABP中，F是BP的中点， ∴AF=BP=PF， ∴AF=PF=PE， ∵EF∥BC，AD∥BC， ∴EF∥AD， ∵PE=PF， ∴∠PEF=∠PFE， ∵FA=FP， ∴∠FAP=∠APF， ∵EF∥AP， ∴∠APF=∠PFE， ∴∠AFP=∠EPF， ∴AF∥PE， ∴四边形AFEP是平行四边形； ②设AP=x，则PD=2﹣x， 由（1）知，△PDE≌△QCE， ∴CQ=PD=2﹣x， ∴BQ=BC+CQ=4﹣x， ∵点E、F分别是PQ、PB的中点， ∴EF是△PBQ的中位线， ∴EF=BQ=， 由①知AP=EF，即， 解得， ∴AP的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识点．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $