精品解析：2021年华数之星中年级组复评试卷

2021年华数之星复评试卷（2021年3月13日考试） 小学中年级组 一、填空题 1. 悦悦对一本1000页的书稿进行校对，从头至尾编的页码为1~1000。校对时发现应将页码213－223书页提前到185页后186页前，页码564~588书页提前到400页后401页前。那么，原页码219的新页码是______，新页码460的原页码是______。 2. 如图所示，一个正五边形与两个正六边形相邻，它们边长相等，则______。 3. 5个互不相同自然数，任选2个相加（可能相同）得到的10个和中，最小的三个和分别25、26、29，最大的两个和分别为46、50，问：原来5个数的和是______。 二、解答题 4. 一条圆形跑道长600米，因为铺设水管，其中跑道上AB一段被挖开，形成一个大坑。AB跑道长度为150米。有一机器人放在跑道上循环行走，前进的步长（跑道弧长）为d米，可调整步长d的大小，但调后不再改变，并且d小于600米。请设计出两种（d的不同长度）方案，使得机器人不断循环，并且永远不会落入坑里。（碰到A或B也算落入坑里）。每种方案包括：（1）步长d的值（不同方案的d的值）。（2）机器人的出发点。 5. 黑板上写有自然数2到20，甲乙轮流擦去一个，剩下两个数时，若这两个数互质，则甲胜；若这两个数不互质，则乙胜。如果甲先擦，那么甲能保证获胜吗？如能，请给出一种获胜策略；如不能，请说明理由。 6. 没有数码9的三位数有多少个？它们的和是多少？ 三、附加题 7 将任意两个正整数a和b依次输入到程序中，程序将按照以下步骤执行： 步骤1：令g的值等于0； 步骤2：当a＜b时，依次输出g和a的值，结束整个程序；否则将原来的a替换为a−b作为a， 并且将g的值增加1作为g；当a＜b时，依次输出g和a，否则重复执行步骤2。 现在向程序依次输入正整数122和7，请问程序输出g值是______，a的值是______。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年华数之星复评试卷（2021年3月13日考试） 小学中年级组 一、填空题 1. 悦悦对一本1000页的书稿进行校对，从头至尾编的页码为1~1000。校对时发现应将页码213－223书页提前到185页后186页前，页码564~588书页提前到400页后401页前。那么，原页码219的新页码是______，新页码460的原页码是______。 【答案】 ①. 192 ②. 435 【解析】 【分析】首先，根据移动规则，原页码213~223被移动到185页后186页前，原页码564~588被移动到400页后401页前 最终顺序为： 原页码1~185（组A） 原页码213~223（组B） 原页码186~212（组C） 原页码224~400（组D） 原页码564~588（组E） 原页码401~563（组F） 原页码589~1000（组G） 新页码从1开始按此顺序编号。 （1）因为原页码213~223被移动到185页后186页前，故原页码219属于组B，根据原页码219与组B中第一个数213差6，又因为组B新页码第一个数为186，可以得到219的新页码。 （2）因为原页码564~588被移动到400页后401页前，根据上面的分组，组E新页码第一个数为401，564~588共25页，组E新页码最后一个数为425，故组F新页码第一个数为426，组G没有变化，组G新页码第一个数还是589，所以新页码460属于组F，新页码460与组F中第一个数426差34，又因为组F原页码第一个数为401，可以得到新页码460的原页码。 【详解】（1）原页码219在组B中， 原页码219与本组开始页码213的差为：219－213＝6， 因此新页码为：186＋6＝192 （2）新页码460在组F中， 组E中页码个数：588－564＋1＝25（个）， 组F新的开始的页码为：400＋25＋1＝426， 新页码460与426的差为：460－426＝34， 因此原页码为：401＋34＝435 【点睛】分组定位，偏移计算：先将全书按两次调整划分为7个组（A－G），建立原页码与新页码的对应区间；解题时先判断页码所在组，确定组内起点后，用“差值算偏移”快速求解。 2. 如图所示，一个正五边形与两个正六边形相邻，它们的边长相等，则______。 【答案】54° 【解析】 【分析】正多边形每条边相等，每个角相等，多边形内角和＝（边数－2）×180°，正五边形每个内角＝（5－2）×180°÷5＝108°，正六边形每个内角＝（6－2）×180°÷6＝120°，根据图示可以做辅助线，把所求角度分成一些可以计算的小角度然后相加求出对应角的度数。 【详解】 如图所示，把正五边形与正六边形的交点分别记作D和G，两个正六边形的另外两个顶点分别记作E，F，连接AD、BD。已知正五边形与正六边形的边长相等，两个正六边形的内角相等，∠BCD＝∠DFA＝（6－2）×180°÷6＝120°，△BCD与△DFA大小形状完全相同，都是等腰三角形且BD＝AD，在△BCD中，∠CDB＝∠CBD＝（180°－120°）÷2＝30°，同理在△ADF中，∠ADF＝∠FAD＝30°，则∠ADG＝120°－30°＝90°，在正五边形中∠CDG＝（5－2）×180°÷5＝108°，所以∠BDA＝360°－∠CDG－∠CDB－∠ADG＝360°－108°－30°－90°＝132°，可得在等腰△ABD中，∠ABD＝∠BAD＝（180°－132°）÷2＝24°，因此∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝24°＋30°＝54°。 【点睛】本题重点考查正多边形的内角计算方法及正多边形对应边相等，对应角相等的特性，结合三角形内角和及等腰三角形特点综合求解。 3. 5个互不相同的自然数，任选2个相加（可能相同）得到的10个和中，最小的三个和分别25、26、29，最大的两个和分别为46、50，问：原来5个数的和是______。 【答案】90 【解析】 【分析】把这5个不同的自然数分别用字母a、b、c、d、e来表示，并且a＞b＞c＞d＞e，最大的两个和分别为a＋b＝50，a＋c＝46，最小的三个和分别为c＋d＝29，c＋e＝26，d＋e＝25，结合后两个最小的和可得c－d＝1，通过和差公式计算出c＝（29＋1）÷2＝15，即可求出原来5个数的和。 【详解】设这5个不同的自然数分别为字母a、b、c、d、e，并且a＞b＞c＞d＞e，由已知条件可得： 最大的两个和依次为a＋b＝50 a＋c＝46 最小的三个和依次为c＋d＝29 c＋e＝26 d＋e＝25 ＝（c＋e）－（d＋e）＝c－d＝26－25＝1 综合c＋d＝29，c－d＝1可得c＝（29＋1）÷2＝15 原来5个数的和为a＋b＋c＋d＋e＝（a＋b）＋c＋（d＋e）＝50＋15＋25＝90 所以原来5个数的和为90。 【点睛】本题重点考查用字母表示数字来简化条件，把题中给的条件转化成等量关系式结合和差公式更直观的找到一些数量之间的关系。 二、解答题 4. 一条圆形跑道长600米，因为铺设水管，其中跑道上AB一段被挖开，形成一个大坑。AB的跑道长度为150米。有一机器人放在跑道上循环行走，前进的步长（跑道弧长）为d米，可调整步长d的大小，但调后不再改变，并且d小于600米。请设计出两种（d的不同长度）方案，使得机器人不断循环，并且永远不会落入坑里。（碰到A或B也算落入坑里）。每种方案包括：（1）步长d的值（不同方案的d的值）。（2）机器人的出发点。 【答案】见详解 【解析】 【分析】圆形跑道总长600米，因此可以通过找600的最大公约数进行设计：若d是600的因数，则机器人将在有限个固定点循环，据此解答。 【详解】方案一：步长d＝300米，作一个长300米的弧，该弧包含AB且A B不在弧的端点上，机器人从该段弧的端点出发。 方案二：步长d＝200米，作一个长200米的弧，该弧包含AB且A B不在弧的端点上，机器人从该段弧的端点出发。 【点睛】解题时要注意步长选择，要确保路径点不包含A点或B点。 5. 黑板上写有自然数2到20，甲乙轮流擦去一个，剩下两个数时，若这两个数互质，则甲胜；若这两个数不互质，则乙胜。如果甲先擦，那么甲能保证获胜吗？如能，请给出一种获胜策略；如不能，请说明理由。 【答案】甲能保证取胜，具体策略见详解。 【解析】 【分析】自然数2到20是连续的自然数，共19个数，其中偶数10个，奇数9个。根据两个相邻的自然数一定互质，因此甲先擦去一个偶数，剩余的数按相邻位置两两配对擦去即可。 【详解】甲先擦，有保证取胜策略。具体策略如下： 甲先擦去20，然后配对{2，3}，{4，5}，{6，7}，{8，9}，{10，11}，{12，13}，{14，15}，{16，17}，{18，19}； 乙擦去任何一对中一个数，甲擦去该对中另一个数，余下的两个数必然属于同一配对组，因此互质，甲胜。（答案不唯一）。 【点睛】本题是一个博弈问题，关键在于学生能理解互质的性质并运用到实际解题中，解题时需注意配对方式的合理性。 6. 没有数码9的三位数有多少个？它们的和是多少？ 【答案】648个，320112 【解析】 【分析】如果一个三位数不含数字9，那么这个三位数每个数位上的数字都没有9，个位数字可以是08共9种写法，十位数字可以是08共9种写法，百位数字为18共8种写法，根据乘法原理可得一共有8×9×9＝648个不含数字9的三位数。求这些三位数的和分类讨论：百位数字18每个都出现了9×9＝81次，所以百位数字的和为81×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）＝81×36＝2916，十位数字08每个都出现了8×9＝72次，所以十位数字的和为72×（0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）＝72×36＝2592，个位数字和与十位数字和相同，这些三位数的和为2916×100＋2592×10＋2592×1＝320112 【详解】三位数不含数字9，个位数字可以是08共9种，十位数字可以是08共9种，百位数字为18共8种，一共有8×9×9＝648个不含数字9的三位数； 百位数的和：81×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）×100 ＝81×36×100 ＝291600 十位数和：72×（0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）×10 ＝72×36×10 ＝25920 个位数的和：72×（0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）×1 ＝72×36 ＝2592 这些不含数字9的三位数的和：291600＋25920＋2592＝320112 没有数码9的三位数有648个，它们的和是320112。 【点睛】本题重点考查用乘法原理及分类讨论的方法计算多位数的个数，同时结合位值原理计算所有符合条件的多位数的和。 三、附加题 7. 将任意两个正整数a和b依次输入到程序中，程序将按照以下步骤执行： 步骤1：令g的值等于0； 步骤2：当a＜b时，依次输出g和a的值，结束整个程序；否则将原来的a替换为a−b作为a， 并且将g的值增加1作为g；当a＜b时，依次输出g和a，否则重复执行步骤2。 现在向程序依次输入正整数122和7，请问程序输出g的值是______，a的值是______。 【答案】 ①. 17 ②. 3 【解析】 【分析】这个程序是用减法来实现带余数除法，输入的a和b依次为被除数和除数，每次将被除数减去除数，如果够减，g的值加1，直到不够减为止。此时输出的g为带余数除法的商，而a为余数。 详解】122÷7＝17…3 由此可知输出的g＝ 17，a＝3； 因此向程序依次输入正整数122和7，程序输出g的值是17，a的值是3。 【点睛】本题的关键在于能将程序理解为除法求商和余数的算法，即可一步求出答案。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $