2.3一元一次不等式与一次函数（1）导学案 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第二章 不等式与不等式组导学案 2.3一元一次不等式与一次函数（1) ► 学习目标与重难点 学习目标： 1．了解一元一次不等式与一次函数的关系。 2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图像，并利用不等关系进行比较 3．通过一元一次不等式与一次函数的图像之间的结合，培养学生的数形结合意识。 4. 体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。 学习重点： 理解一元一次不等式与一次函数的内在联系。 学习难点： “一次函数的图像”与“一元一次不等式的解”的相互转化。 ► 预习自测 一、知识链接 1、一次函数的一般表达式是 , 的图像是 .这条直线被x轴分成了 ，它们上面点的特征是：端点就是直线与x轴的交点坐标。此时函数值y=0,自变量 。 此交点把直线分为两部分，即： 当函数值y＞0时，对应图像 ， 当函数值y＜0时，对应图像 ， 2、一元一次不等式可化为 。 解法步骤是： 。 2、 自学自测 作出一次函数y=2x-5的图像 ①列表；②描点；③连线 x … 0 2.5 … y=2x-5 … -5 0 … ► 教学过程 1、 观察图像回答下列问题： (1)x取何值时， y =0? x=2.5时，y=0 (2)x取哪些值时， y >0 当x > 2.5时, y > 0 (3) x取哪些值时， y <0? x<2.5时，y<0 (4)x取哪些值时，y >3? x>4时，y>3 2、 观察图像回答下列问题 (1) x取何值时,2x-5=0 . (2)x取哪些值时，2x-5>0 . (3)x取哪些值时，2x-5<0? . (4)x取哪些值时，2x-5>3? . 3、【强调】（转化思想） 一次函数问题 一次不等式（方程）问题 例题1：如果y=-2x-5,那么当x取何值时, y>0? 思路一:运用函数图象解不等式. 作一次函数y=-2x-5的图象，由图象可得 当x<2.5时, y>0. 思路二:将函数问题转化为不等式问题. 即 解不等式-2x-5 >0 ∴当x<2.5时, y>0. 例题2：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 米，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑 3 米，哥哥每秒跑 4 米。列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： （1）何时哥哥追上弟弟？ （2）何时弟弟跑在哥哥前面？ （3）何时哥哥跑在弟弟前面？ （4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？ (5) 你是怎样求解的？与同伴交流 设哥哥起跑后所用的时间为x(s). 哥哥跑过的距离为y1(m)弟弟跑过的距离为y2(m).则哥哥与弟弟每人所跑的距离y(m)与时间x(s)之间的函数关系式分别是:y=4x y=3x+9 思路一:图象法 （1）何时哥哥追上弟弟？【9s时哥哥追上弟弟】 （2）何时弟弟跑在哥哥前面？【0--9s内弟弟在哥哥的前面】 （3）何时哥哥跑在弟弟前面？【9s后哥哥在弟弟的前面】 （4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？【弟弟先跑过20m；哥哥先跑过100m.】 思路二:代数法 哥哥y=4x 弟弟 y=3x+9 （1）何时哥哥追上弟弟？【4x=3x+9 x=9】 （2）何时弟弟跑在哥哥前面？【4x<3x+9 x<9】 （3）何时哥哥跑在弟弟前面？【4x>3x+9 x>9】 （4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？ 【4x=20 x=5 ; 3x+9=20, x=11/3 ∴弟弟先跑过20m 4x=100 x=25 ; 3x+9=100, x=91/3 ∴哥哥先跑过100m】 三、课堂练习、巩固提高 基础达标： 1、 已知一次函数 y=−2x+6，当 x>−1 时，y 的取值范围是 ；当 y<−2 时，x 的取值范围是 ． 2、如图，直线 y=kx+b 经过点 A−1,−2 和点 B−2,0，直线 y=2x 过点 A，则不等式 2x<kx+b<0 的解集为 。    第2题 第4题 第5题 3、一次函数y=ax+b(a>0)与x轴的交点坐标为(m,0)，则一元一次不等式ax+b≤0的解集应为(  ) A. x≤m B. x≤−m C. x≥m D. x≥−m3、 4、如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点(−1,3)，则不等式kx+b≥3的解集为(    ) A. x>−1 B. x<−1 C. x≥3 D. x≥−1 5.如图，直线y=ax+b与直线y=mx+n交于点P(−2,−1)，则根据图象可知不等式ax+b>mx+n的解集是( ) A. x>−2 B. x<−2 C. −2<x<0 D. x>−1 6、一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图所示，则下列结论：①k<0；②a<0，b<0；③当x=3时，y =y；④不等式kx+b>x+a的解集是x<3，其中正确的结论有 .(只填序号) 能力提升： 7.如图，在同一直角坐标系中，函数 和 的图象交于点A(m,n).若不等式 恰好有3个非负整数解，则( ) A.m=2 B.m=3 C.2＜m＜3 D.2＜m≤3 第6题 第7题 第9题 8.定义：点 A(x,y )为平面直角坐标系内的点，若满足 x=y，则把点 A 叫做“平衡点”．例如：M(1,1)，N(−2,−2)，都是“平衡点”，当 −1≤x≤3 时，直线 y=2x+m 上有“平衡点”，则 m 的取值范围是 ( )  ． A. 0≤m≤1 B. −3≤m≤1 C. −3≤m≤3 D. −1≤m≤0 拓展迁移 9.如图，直线y=−2x与直线y=kx+b (k≠0)相交于点A(a,2)，并且直线y=kx+b经过x轴上的点B(2,0)． (1)求直线y=kx+b所对应的函数解析式; (2)求两条直线与y轴围成的三角形的面积; (3)直接写出不等式(k+2)x+b≥0的解集． 4、 总结反思、拓展升华 知识：1、知道一元一次不等式和一次函数可以互相 转化。 2、会用图象法解一元一次不等式，及用一元一次不等式帮助解决一次函数问题。 能力：作图象以及从图像获取有效信息的能力。 思想：分类、转化、类比、数形结合。 五、【作业布置】 基础达标： 1、一次函数 y=kx+b(k,b为常数，且k≠0),与x轴的交点坐标是（6,0），且已知y随x的增大而增大。请回答下列问题： X 时, kx+b= 0 ? X 时, kx+b> 0 ? X 时, kx+b< 0 ? 2、 已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是 . 3、 如图，一次函数y =x+b与一次函数y =kx+3的图象交于点P(1,2)，则关于不等式x+b>kx+3的解集是(  ) A. x>0 B. x>1 C. x<1 D. x<0 4、 如图所示，已知一次函数y=kx+b的图象经过A(1,2)、B(−1,0)两点，y=mx+n的图象经过A、C(3,0)两点，则不等式组0<kx+b<mx+n的解集是(  ) A. 0<x<1 B. −1<x<3 C. −1<x<1 D. 1<x<3 第3题 第4题 第5题 5.如图所示，一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)与正比例函数y=mx(m是常数，m≠0)的图象相交于点M(1,2)，下列判断错误的是(   ) A. 关于x的方程mx=kx+b的解是x=1 B. 关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x>1 C. 当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大 D. 关于x，y的方程组y−mx=0y−kx=b的解是x=1，y=2 6.一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的函数图象，如图，试根据图象，回答下列问题： 1)慢车比快车早出发 小时 2)快车追上慢车时行驶了 千米 3)快车比慢车早 小时到达B地 4)快车和慢车的速度分别是 . 5)快车追上慢车需 小时 能力提升： 7.如图，直线y=-x+m与y=nx+b(n≠0）的交点的横坐标为-2，有下列结论： ①当x=-2时，两个函数的值相等； ②b=4n； ③关于x的不等式nx+b＞0的解集为x＞-4； ④x＞-2是关于X的不等式-x+m＞nx+b的解集. 其中所有正确结论的序号是 . 拓展迁移： 8. 如图，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A(0,2) 和 点 B(−3,0)． （1）当 x<0 时，直接 写出y 的取值范围； （2）当 0<y<2 时，直接写出 x 的取值范围； （3）当 x≥−1 时，求 y 的取值范围． 9.已知直线x-2y=-k+6与直线x+3y=4k+1的交点在第四象限. （1）求k的取值范围； （2）若k为非负整数，求出直线x-2y=-k+6的所有函数表达式. 课堂作业参考答案： 1、 y＜8；x＞4 2、 -2<x<-1 3、 A 4、 D 5、 A 6、 ①③④ 7、 D 8、 B 解答提示：∵x=y,∴x=2x+m. x=-m, ∵−1≤x≤3 ，∴−1≤-m≤3,得到−3≤m≤1 9、解：(1)把A(a,2)代入y=−2x中，得−2a=2， ∴a=−1，∴A(−1,2)2=-k+b 0=2k+b 把A(−1,2)，B(2,0)代入y=kx+b中得 ∴k= − ，b=， ∴一次函数的解析式是y=−x+； (2)设直线AB与Y轴交于点C，则C(0, ) (3)不等式(k+2)x+b≥0可以变形为kx+b≥−2x， 结合图像得到解集为：x≥−1．  课外作业参考答案 1、 =6；＞6；＜ 6. 2、 （2,3） 3、 B 4、 C 5、 B 6、 （1）2；（2）276；（3）4;（4） 69Km/h, 46Km/h；（5）2 7、 ①②③ 8、（1）y＜2；（2）-3＜x＜0 （3）解答提示：函数y=kx+b经过 A(0,2) ， B(−3,0)，用待定系数法求出解析式y= x+2,当x=-1,y= ，∴x≥−1 ,y≥ 9、解（1）由题意，得 解得 ∴两直线的交点坐标为（k+4,k-1) ∵交点在第四象限 ， ∴-4＜K＜1 （2）若k为非负整数，K=0 所以x-2y=-k+6的解析式为： 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $