2.2 不等式的实际运用 导学案 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第二章 不等式与不等式组导学案 2.2不等式的实际运用 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1、理解并初步掌握利用一元一次不等式解决实际问题，探究归纳运用不等式解决实际问题的基本步骤。 2、经历运用不等式解决实际问题，发展学生抽象、分析、解决问题的能力。 3、发展学生数学应用意识，体会生活处处有数学。 学习重点： 建立“建模”思想，即把文字语言转化为数学符号语言（>,<,≥,≤>）。 学习难点： 解集的整数解：实际问题中求出的解集往往是范围，需要在这个范围内找出符合题意的整数（如租几辆车，买几本书）。 ► 预习自测 一、知识链接 1. 解一元一次不等式的步骤： 。 解一元一次不等式的依据是: 。 2. 不等式的基本性质是 1、如果a>b 那么 。 2、如果a>b，c>0 那么 。 3、如果a>b，c<0 那么 。 4、如果a>b，b>c 那么 。 ► 教学过程 一、创设情境、导入新课 准备题：某种商品进价为200元，标价为300元出售，商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于5%。请你帮助售货员计算一下，这种商品最多可以按几折销售？ 利润率= ，不等关系 。 设这种商品可以按x折销售列出不等式 解这个不等式，得x . 所以，这种商品最多可按 折销售 2、 合作交流、新知探究 例1、一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣一分。在这次竞赛中，小明被评为优秀(85分或85分以上)，小明至少答对了几道题？ 解：设小明答对了x道题，则答错或不答的共有(25–x)道，根据题意，得 4x-1×(25-x)≥85 解这个不等式，得x≥22 答：小明至少答对了22道题。 归纳： 应用一元一次不等式解决实际问题的关键是什么？基本步骤有哪些？ （类比应用一元一次方程解决实际问题的基本步骤） 1.审：明确题意和题目中的数量关系； 2.找：找出表示题目全部含义的不等关系 3.设：用字母表示题目中的未知数； 4.列：根据不等关系列出一元一次不等式； 5.解：解不等式得解集 6.验：检验解集是否符合题意，是否符合实际； 7.答：写出答案，包括单位。 例2、小颖准备用21元钱买笔和笔记本。已知每枝笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2个笔记本，请你帮她算一算，她还可能买几枝笔？ 解：设她还可能买x 枝笔，根据题意，得3x+2.2×2≤21 解这个不等式，得x≤ ∵x只能取正整数,∴x可以取1、2、3、4、5. 答：她还可能买1枝、2枝、3枝、4枝或5枝笔。 三、课堂练习、巩固提高 1、 不等式10(x－4）＋x≥－84的非正整数解是 . 2、 2、若关于x的不等式x－1≤a有四个非负整数解，则整数a的值为 。 3、不等式3x−1≥x+3的解集是(   ) A.  x≤4 B.  x≥4 C.  x≤2 D.  x≥2 4、某种商品的进价为900元，出售时标价为1650元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则最多可打(  ) A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折 5.下面解不等式的过程是否正确，如不正确，请找出，并改正. 解不等式： 解：去分母，得5(4-3X)-15＜3（7-5x） ① 去括号，得20-15x-15＜21-15x ② 移项，合并，得 5＜21 ③ 因为x不存在，所以原不等式无解. ④ 能力提升： 6.学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元． (1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？ (2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？ 拓展迁移 7.某中学体育组因教学需要本学期购进篮球和排球共100个，共花费2600元，已知篮球的单价是20元/个，排球的单价是30元/个． (1)篮球和排球各购进了多少个(列方程组解答)？ (2)因该中学秋季开学成立小学部，教学资源实现共享，体育组提出还需购进同样的篮球和排球共30个，但学校要求花费不能超过800元，那么排球最多能购进多少个(列不等式解答)？ 4、 总结反思、拓展升华 应用一元一次不等式解决实际问题的关键是什么？基本步骤有哪些 1.审：明确题意和题目中的数量关系； 2.找：找出表示题目全部含义的不等关系 3.设：用字母表示题目中的未知数； 4.列：根据不等关系列出一元一次不等式； 5.解：解不等式得解集 6.验：检验解集是否符合题意，是否符合实际； 7.答：写出答案，包括单位。 五、【作业布置】 基础达标： 1.不等式3(1−x)>2−4x的解在数轴上表示正确的是(  ) A. B. C. D. 2.关于x的方程3x−2m=1的解为正数，则m的取值范围是( ) A. m<− B. m>- C. m> D. m< 3.不等式6−4x≥3x−8的非负整数解为( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为(  ) A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 5.世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个团队至少要有 人进公园，买40张门票反而合算. 6、 m取何值时，关于x 的方程 的解大于1。 能力提升： 7. 接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒． （1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗． （2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 拓展迁移： 8.红星中学计划组织春季研修活动，活动组织负责人从公交公司了解到如下租车信息： 校方从实际情况出发，决定租用A、B型客车共5辆，而且租车费用不超过1900元． (1)请为校方设计可能的租车方案； (2)在(1)的条件下，校方根据自愿的原则，统计发现有193人参加春季研修活动，请问校方应如何租车，既能全部坐下且又省钱？ 课堂练习参考答案： 1、 x=0,-1,-2,-3,-4. 2、 2≤a＜3 3、 D 4、 A 5、 答：第④步错误，应该改成无论x取何值，该不等式总是成立的，所以x取一切数. 6、解：(1)设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，依题意有 x+3y=1240 3x+2y=1760， 解得 x=400 y=280． 故1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元； (2)设租用甲种客车m辆，依题意有 45m+30(8−m)≥330， 解得m≥6， 故6≤m≤8， 租出方案： 方案一、租用甲种客车6辆，租用乙种客车2辆 方案二、租用甲种客车7辆，租用乙种客车1辆 方案三、租用甲种客车8辆，租用乙种客车0辆 方案一费用400×6+280×2=2400+560=2960(元)； 方案二费用400×7+280=2800+280=3080(元)； 方案三400×8=3200(元)； 2960<3080<3200， 故最节省的租车费用是2960元． 7、解：(1)设购进篮球x个，购进排球y个，根据题意可得：25-x x+y=100 20x+30y=2600， 解得：x=40 y=60， 答：购进篮球40个，购进排球60个； (2) 设购进排球z个，购进篮球(30−z)个，根据题意可得：30z+20(30−z)≤800， 解得：z≤20， 答：最多购进排球20个．  课外作业参考答案： 1、 A 2、 B 3、 B 4、 C 5、 33 6、解：解这个方程去分母得x-2(6m-1)=6x-3(5m-1) 解得 根据题意，得 解得m＞2 7、解：（1）设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗， 由题意可得， 解得 ， 答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗； 2）设A型车a辆，则B型车（12﹣a）辆， 由题意可得， ， 解得6≤a＜9， ∵a为正整数， ∴a＝6，7，8， ∴共有三种运输方案， 方案一：A型车6辆，B型车6辆， 方案二：A型车7辆，B型车5辆， 方案三：A型车8辆，B型车4辆， ∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗， ∴A型车辆数越少，费用越低， ∴方案一所需费用最少，此时的费用为5000×6+3000×6＝48000（元）， 答：方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元． 8、解：(1)设租用A车x辆， 由题意得：400x+280(5−x)≤1900， 解得x≤256， 所以x可取0、1、2、3、4， 所以租用车方案为： 2)设租用A车x辆， 由题意得：48x+30(5−x)≥193 解得x≥ ， 所以x至少为3， 由(1)知x可取3、4， 当x=3时，400×3+280×2=1760(元)，此时费用为1760元， 当x=4时，400×4+280×1=1880(元)，此时费用为1880元， 1760元<1880元． 所以A车租3辆，B车租2辆，最省钱． 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $