第13讲 一元一次不等式与一次函数的关系（1知识点+5大题型+过关测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材北师大版

第13讲 一元一次不等式与一次函数的关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合. (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合. (3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合. (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合. 【题型1 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 例1．（2026九年级·全国·专题练习）若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，解一元一次不等式，求得一次函数与坐标轴的交点是解题的关键．由图象可知，经过点，然后求出，再代入得，最后解不等式即可． 【详解】解：由图象可知，，经过点， ∴， ∴， 把代入得： ， 即， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 例2．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线经过和两点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．可以从函数图象的角度去分析，就是确定的解集就是确定直线在直线上方且在直线下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：∵直线经过和两点， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）已知一次函数的图象如图所示，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象和一元一次不等式的解集，根据图象直接解答即可． 【详解】解：根据函数图象可知：当时，， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）（1）已知一次函数的图象经过两点，则当x 时，． （2）如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质， （1）利用待定系数法把点代入，可得关于k、b的方程组，再解出方程组可得k、b的值，进而得到函数解析式，再解不等式即可； （2）根据当时，图象在x轴上方，此时，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵一次函数的图象经过两点， ∴， 解得：， 这个一次函数的表达式为． 解不等式， 解得． 故答案为：； （2）解：由题意可得：一次函数中，当时，图象在x轴上方，， 则关于x的不等式的解是， 故答案为：． 【题型2 根据两条直线的交点求不等式的解集】 例3．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）如图，函数，的图象交于点，则关于x的不等式 的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据两直线的交点求不等式的解集，一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，利用数形结合的思想方法是解题的关键． 先根据点P的坐标求得m的值，进而求得的解集，然后根据函数图象得到直线在直线上方时的x的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵点在函数的图象上， 把代入，得， 解得， ∴， 则， 解得， ∴的解集为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象的上方， ∴的解集为， 综上，的解集为． 故答案为：． 例4．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，直线与直线相交于点P，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是根据函数图象的位置关系确定不等式的解集． 不等式的解集，对应直线的图象在直线图象下方时的取值范围；结合两直线交点，确定该取值范围． 【详解】解：不等式的解集，即直线在直线下方时的取值范围． 由图知，两直线交于，当时，的图象在的图象下方． 故答案为：． 变式1．（2025八年级上·重庆·专题练习）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是根据函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系找出不等式是关键．解不等式，可得出，再根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标即可得出不等式的解集，结合二者即可得出结论． 【详解】解：， ； 观察函数图象，发现： 当时，直线的图象在的图象的上方， 不等式的解为． 综上可知：不等式的解集为． 故答案为：． 变式2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，已知一次函数与图象的交点坐标为现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则其中正确的结论是 ．(填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系及数形结合思想．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．也考查了一次函数的性质和一次函数与一元一次方程． 直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与的图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限， ∴，所以①正确； ∵一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ∴， ∴，所以②错误； ∵一次函数与的图象的交点坐标为， ∴时，，所以③正确； 把代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点坐标为， ∴当时，， ∴当时，，所以④正确． 故答案为：①③④． 【题型3 一次函数与一元一次不等式综合问题】 例5．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)若点在直线上，连接，求的面积． (3)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积、一次函数与几何综合 【分析】本题主要考查了一次函数图象的交点问题，求一次函数解析式，根据直线的交点求出不等式的解集，解题的关键是数形结合，求出两条直线的交点坐标． （1）把代入解析式，求出m的值，把点A的坐标求出k的值即可； （2）先求出点C与点B的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可； （3）由（1）知，由（2）知，然后根据函数图象求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得：， ， 将代入，得： ， 解得：； （2）解：由（1）得， 直线的解析式为：， 当时，，则， 当时，，则直线与轴交点为， （3）解：由（1）知，由（2）知， 根据函数图象可知，当时，直线在直线的下方，直线与直线在x轴的上方， ∴不等式的解集为：． 例6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点，直线与x轴交于点A． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)四边形的面积为10； (3)． 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题及三角形的面积公式等，熟练掌握一次函数的图形性质是解决本题的关键． （1）由直线求得P的坐标，代入即可得到结论； （2）由直线的解析式求得B、C的坐标，由直线求得A的坐标，然后根据四边形的面积等于的面积减去的面积即可得到结论； （3）利用图象直接得出结论． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为：； （2）解：把代入，得： ，解得， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 过P点作轴于H，如下图所示： ∴四边形的面积为 ； （3）解：∵， ∴由图象知：不等式的解集为． 变式1．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，直线经过A、B，点，的坐标分别为，，直线与坐标轴交于 、两点． (1)求k、b的值，并求出直线直线交点的坐标． (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了求函数解析式、两直线交点问题、根据函数图像确定不等式解集等知识点，掌握一次函数的相关性质是解答本题的关键． （1）把点A，B的坐标代入即可求得直线的解析式，然后与直线联立即可解答； （2）直接根据函数图像和点E的坐标即可写出的解集． 【详解】（1）解：把点A，B的坐标代入得， 解得， ∴直线的解析式是． 解方程组，得， ∴点E的坐标是． （2）解：由（1）可得点E的坐标是 由函数图像可得不等式的解集为． 变式2．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，过点的直线与直线交于． (1)求直线对应的表达式． (2)直接写出时，的取值范围． (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求直线围成的图形面积、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】（1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，再利用点的坐标和点的坐标可求直线的解析式； （2）根据不等式的解集为直线在直线的下方所对应的的取值范围，结合图象作答即可； （3）根据可得结论． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵直线过点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的表达式； （2）由函数图象可知：当时，直线在直线的下方， ∴时，的取值范围为； （3）∵直线与轴相交于点，与轴相交于点， 当时，得：；当时，得：， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为． 【题型4 一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题】 例7．（24-25九年级上·山东临沂·开学考试）在如图所示的坐标系下， (1)画出函数与的图象，并利用图象解答下列问题： (2)求方程组； (3)不等式 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】图象法解二元一次方程组、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、画一次函数图象 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及二元一次方程组，属于基础题，关键是正确作出图象，根据图象进行求解． （1）求出两直线与坐标轴的交点，连接即可； （2）由图象可知两直线的交点即可确定方程组的解； （3）由图象可知，不等式的解集为：． 【详解】（1）解：对于函数， 当，， 当，，解得：， ∴直线与两坐标轴交点为， 同理可求直线与两坐标轴交点为， ∴可画图象如图所示： （2）解：由图象可知：两直线的交点为， ∴方程组的解为：； （3）解：由图象可知：不等式的解集为：． 例8．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，直线：与直线：相交于点． (1)求的值； (2)写出方程组的解； (3)写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题主要考查了求一次函数图象上的点的坐标，一次函数与二元一次方程组，数形结合思想，对于（1），将点代入可得答案； 对于（2），根据两条直线的交点即为对应方程组的解解答； 对于（3），观察图象，从交点向右，且在x轴上方，即符合题意． 【详解】（1）∵点在直线上， ∴， 解得； （2）观察图象可知， 方程组的解是； （3）当时，． 变式1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【答案】(1) (2)； (3)； 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据一次函数与x轴的交点坐标求出方程的解即可； （2）根据两条直线的交点坐标求出方程组的解即可；根据图象求出不等式的解集即可； （3）根据一次函数与x轴，y轴的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴交于点， 方程的解是； （2）解：两直线的交点坐标为， 关于x，y的方程组的解是； 根据函数图象可知：当时，一次函数的图象的图象在一次函数的上面， ∴于的不等式的解集为； （3）解：根据函数图象可知：当时，一次函数的图象在x轴的上面， ∴关于的不等式的解集为； 根据函数图象可知：当时，一次函数的函数值小于4， ∴不等式的解集为． 变式2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求的面积； (4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为3，直接写出a的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)2或0 【知识点】一次函数与几何综合、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是待定系数法求函数解析式． （1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线中，即可求出m值，从而求得P点的坐标，进而求得方程组的解； （2）结合两个函数图象解题即可． （3）先求出点A、B的坐标，然后根据计算面积； （4）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）∵点在直线：， ∴， ∵点在直线：， ∴， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为． （2）由（1）可知：，：， 要使不等式，则的函数图象在函数图象的上面， 结合函数图象可知此时， 故不等式的解集为：． （3）令时，，解得， ∴点A的坐标为， 令时，，解得， ∴点B的坐标为， ∴． （4）当时，；当时，， ∵， ∴， 解得：或． ∴a的值为2或0． 【题型5 含绝对值的函数与一元一次不等的综合问题】 例9．请用描点法研究函数图象与性质，并用它完成下列各题． ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 0 2 3 2 1 0 … ②描点③连线． (1)_______，并画出函数的图象； (2)当时，最大值_______，最小值_______； (3)求出函数与函数的交点坐标； (4)直接写出的解集． 【答案】(1)，画图见解析 (2)3， (3)交点坐标为， (4)或 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、用描点法画函数图象、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求函数值，画函数图象，解题的关键是数形结合． （1）将，代入求出，然后根据表格中的数据画图即可； （2）首先得到当时，，然后根据图象求解即可； （3）分别得到和时函数的表达式，然后分别和函数联立求解即可； （4）首先画出的图象，然后由（3）得结论求解即可． 【详解】（1）将，代入 得，， 画图如下： （2）当时， ∴由图象可得，当时，最大值，最小值； （3）当时， ∴联立和得， 解得 ∴和的交点坐标为； 当时， ∴联立和得， 解得 ∴和的交点坐标为； 综上所述，函数与函数的交点坐标为，； （4）如图所示， ∵函数与函数交于点， ∴由图象可得，当或时，函数图象在函数图象上面 ∴的解集为或． 例10．某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x … 0 1 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为________； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题： ①当________时，函数有最大值，最大值为________； ②方程的解是________． (3)已知直线，请结合图象，直接写出满足不等式的x的取值范围________． 【答案】(1)1；作图见解析 (2)①；2；②或2 (3) 【知识点】用描点法画函数图象、已知直线与坐标轴交点求方程的解、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】（1）把代入解析式即可求得，描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ． 函数图象如图所示． 故答案为：1； （2）观察函数的图象， ①当时，函数有最大值，最大值为2； ②方程的解是或2． 故答案为：，或2； （3）画出直线如图， 观察图象，不等式的的取值范围是； 故答案为：． 变式1．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性质及其应用的过程．下面，我们对函数展开探索，请补充完整以下探索过程： (1)列表： 0 2 4 6 8 5 2 5 直接写出的值，______，______． (2)在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象． (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，则不等式的解集为______． 【答案】(1)4，2 (2)见解析 (3)或 【知识点】用描点法画函数图象、根据两条直线的交点求不等式的解集、从函数的图象获取信息、函数的三种表示方法 【分析】本题考查函数图象及性质，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题． （1）把，代入中可求，将，代入即可求出； （2）描点补全图象即可； （3）不等式，即的图象在的上方时，对应自变量的取值范围，数形结合可得答案． 【详解】（1）把，代入中得：， ， 当时，， ． （2）描点连线，如下图所示， （3）由图象可得， 不等式，即的图象在的上方， 解集为或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·月考）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，核心是将不等式的求解转化为一次函数图像中对应的的取值范围，体现了数形结合的思想． 法1：结合函数图像，不等式的解集就是直线在轴上方部分对应的横坐标的取值范围； 法2：将点，点代入，可求得，将代入不等式，然后解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：法1：直线与x轴交于点， 当时，函数图像在轴上方，此时， 不等式的解集是． 法2：将点，点代入， 得，解得， 将，代入，得， ， ， 即． 故选：． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，点在直线上，则当时，的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，及一次函数与不等式．熟悉结合一次函数的图像，及其在某一点的函数值，求自变量的取值范围是解题的关键．本题中根据已知点的坐标，和图像中随的增大而减小，即可得出所求的的取值范围． 【详解】解：由图像可知当时，，且随的增大而减小， ∴当时，． 故选：． 3．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与不等式的关系，运用数形结合思维分析并正确确定和的交点是解题的关键．由题意首先确定和的交点以及作出的大致图象，进而根据图象进行判断即可． 【详解】解：∵的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上． 又∵在的图象上． ∴与相交于点． 则函数图象如图． 则不等式的解集为． 故选：B． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．随x的增大而减小 B． C．方程组的解为 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图像和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图像中有效的获取信息，熟练掌握图像法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图像，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图像可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、把代入得，解得， 故方程组的解为， 故选项C正确，不符合题意． D、由图像可知：当时，，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 5．（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，以下说法错误的是（    ） A．的面积为3 B．方程组的解为 C．点D的坐标为 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，一次函数与二元一次方程组的关系，与不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．A、求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；B、根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；C、依据题意，由直线为可得与y轴的交点坐标，即可得解；D、依据题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围，结合直线：与直线：都经过，从而可以判断得解． 【详解】解：A．把代入直线，则， 解得， 在中，令，则 ， ∴， ∴， ∵直线经过，交y轴于点， 把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 在直线：中，令，则 ， ∴， ∴， ∴，故A正确； B．∵直线：与直线都经过， ∴方程组的解为故B正确； C．由题意，∵直线为， ∴令，则． ∴，故C错误； D．由题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围， 又∵直线：与直线：都经过， ∴结合图象可得，不等式的解集是，故D正确． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线＝＋与轴交于点，与轴交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴下方部分图象的取值，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴交于点， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用图象法解不等式是解题的关键． 观察一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由图象得，当时，， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏淮安·月考）如图，点和点在一次函数的图象上，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式与一次函数，观察图象即可求解，数形结合是解题的关键；的解集表示函数的图象位于直线的上方时，自变量的取值，观察图象即可得解． 【详解】解：由图象知，不等式的解集是； 故答案为：． 9．（2025九年级上·江苏南京·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，若直线与线段有公共点，则n满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于n的一元一次不等式是解题的关键．由直线与线段有公共点，可得出点B在直线上或在直线右下方，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围，在其内任取一数即可得出结论． 【详解】解：∵直线与线段有公共点， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）一次函数与的图象如图，则下列结论： ①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系．熟练掌握相关知识，和数形结合的思想是解题的关键．根据一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，结合图象求解即可． 【详解】解：①∵，， 当时，， 则， 由图知一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴关于x的方程的解是，故①正确； ②由图知，，， ∴函数经过二、三、四象限，不经过第一象限，故②正确； ③由图知，时，直线在直线的下方， ∴关于x的不等式的解集是，故③错误． 综上，正确的是①②， 故答案为：①②． 三、解答题 11．（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，已知一次函数（k、b为常数，）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若，，结合图象求： (1)关于x的方程的解； (2)关于x的不等式的解集； (3)当x的取值在什么范围时，? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围． （1）写出点坐标，即可解答； （2）写出点坐标，即可解答； （3）写出点坐标，即可解答． 【详解】（1）解：， ， 关于x的方程的解为； （2）解：结合图象可得， 关于x的不等式的解集为； （3）解：由，，可得， ， 所以当x的取值在时，． 12．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，过点的直线与直线交于点． (1)求直线对应的函数表达式； (2)当时，x的取值范围是________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的交点，一次函数的解析式，结合图象求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）先求，结合确定解析式即可． （2）根据交点坐标，结合图象确定解集即可． 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， ∴， ∵直线经过、， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵直线：与直线：交于点，且， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，已知直线经过点，，直线与该直线交于点． (1)求两直线交点的坐标； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是待定系数法求解析式和一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是会用待定系数法求直线解析式． （1）利用待定系数法代入求出直线的表达式即可；两直线的解析式联立方程组，解方程组得到点的坐标； （2）根据图象，找出点右边的部分且在x轴上方的的取值范围即可． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得， 直线的表达式为； ∵直线与直线相交于点， ， 解得， 点的坐标为：； （2）解：由图象可知，点右边直线在的上面， 不等式的解集为： ． 14．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，一次函数和的图象交于点． (1)求出______；______． (2)求方程组的解． (3)请直接写出的解集． 【答案】(1)，3 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）交点的横纵坐标即为方程组的解； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：由图象可知，两直线的交点为， 把代入，得：，解得； 把代入，得：，解得； （2）∵两直线的交点为， ∴方程组的解为； （3）由图象可知：的解集为． 15．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点， B，直线 分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且 ，直线与直线交于点． (1)求直线与 的函数表达式． (2)求的面积． (3)根据图像写出关于x的不等式 的解集． (4)在直线 上是否存在一点 P，使得 ？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线函数表达式为；直线函数表达式为； (2) (3) (4)点坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨论是解题的关键． （1）由点和点坐标可求出直线函数表达式，再求出点坐标，根据点和点坐标可求出直线函数表达式； （2）分别求出点和点坐标，进而根据面积公式求解即可； （3）根据图象即可解答； （4）分类讨论，点在点上方和下方，然后表示出的面积，再根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得：， ∴直线函数表达式为； 由题可知， ， 将代入得，， 解得：， ∴直线函数表达式为； （2）解：令，得， ∴， 令，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当时，， ∴关于x的不等式 的解集是． （4）解：当点在点上方时，如图， 此时， ， 解得：（负值已舍去）， 此时， ； 当点在点下方时，如图， 此时， ， 解得：（正值舍去）， 此时， ； 综上，满足题意的点坐标为或． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）小亮根据学习函数的经验，对函数的图像与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小亮的探究过程，请补充完成： (1)当时，； 当时，______； 当时，______； (2)在平面直角坐标系中画出的图象（无需列表），并根据图像回答：该函数有______（填“最大值或最小值”），这个值为______． (3)直接写出关于x的方程（k为常数且）的解的个数及对应k的取值范围． 【答案】(1)， (2)画图见解析，最大值，； (3)当或时，关于的方程（为常数且）有1个解，当时，关于的方程（为常数且）有2个解，当时，关于的方程（为常数且）无解. 【分析】本题考查的是画一次函数的图象，一次函数的性质，利用图象法求解一次方程的解. （1）根据绝对值的性质化简即可. （2）根据一次函数的解析式，利用描点法画图即可；①根据图象可得函数最大值；②根据函数图象可得增减性. （3）根据（为常数且）过定点，再利用图象法求解即可. 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 当时，. （2）解：的图象如图所示： 该函数有最大值，这个值为； （3）解：∵（为常数且）过定点， 当直线与直线平行时，如图， 此时，关于的方程（为常数且）有1个解， 如图，当时， 此时关于的方程（为常数且）有1个解， 如图，当直线过时， ∴， 解得：， 此时关于的方程（为常数且）有1个解， 当时，如图， 此时关于的方程（为常数且）有2个解， 当时，如图， 此时关于的方程（为常数且）无解， 综上：当或时，关于的方程（为常数且）有1个解; 当时，关于的方程（为常数且）有2个解; 当时，关于的方程（为常数且）无解. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第13讲一元一次不等式与一次函数的关系 州内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01析教材学知识 ☑知识点1：利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (I)一元一次不等式a+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合 (2)一元一次不等式+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合 (3)一元一次不等式x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=x+b1图象在一次函数y=x+b2图象上方的点的横 坐标所组成的集合 (4)一元一次不等式x+b1<k2x+b2的解集，一次函数yk+b1图象在一次函数y=2x+b2图象下方的点的横 坐标所组成的集合。 02 练题型强知识 【题型1由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 例1.(2026九年级全国专题练习)若一次函数y=x+b的图象如图所示，则关于x的不等式k:+3b>0的 解集为 例2.(24-25八年级上江苏苏州月考)如图，直线y=x+b经过A(-4,0)和B(-1,4)两点，则不等式 0<kx+b<4的解集为一· 1/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A 变式1.(25-26八年级上江苏扬州月考)己知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示，则当y>0时，x 的取值范围是」 2 21 变式2.(25-26八年级上江苏泰州·期末)(1)己知一次函数y=kx+b的图象经过A(0,1),B(2,0)两点，则 当x」 时，y≤0. (2)如图是一次函数y=x+b的图象，则关于x的不等式kx+b>0的解为 【题型2根据两条直线的交点求不等式的解集】 例3.(25-26八年级上江苏徐州月考)如图，函数，=mx,2=cr+b的图象交于点P(2,1),则关于x的 不等式kx+b>mx≥-1的解集为 V2=hx+b yi=mx .2 例4.(25-26八年级上·江苏宿迁·月考)如图，直线y=kx+b(k≠0)与直线y=-2x+1相交于点P,则关于x 2/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的不等式kx+b<-2x+1的解集是一 -2+1 y=kx+b 变式1，(2025八年级上·重庆.专题练习)如图，直线y=-x+m与y=x+3的交点的横坐标为-2，则关于x 的不等式-x+m>x+3>0的取值范围为 y=x+3 y=-x+m -2 变式2.(25-26八年级上·江苏无锡月考)如图，己知一次函数y=x+2与y=mx+n图象的交点坐标为 (-2,-4现有下列四个结论：①a>0;②mn>0;③方程ax+2=mx+n的解是x=-2;④若 mr+m<ar+2<0,则-2<x<-2 其中正确的结论是」 (填写序号) 3 v=ax+2 y=mx+n 【题型3一次函数与一元一次不等式综合问题】 例5.(24-25八年级上江苏苏州阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=c+4与正比例函数 y=3x交于点A(1,m）. y=3x y=k+4 3/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求m和k的值 (2)若点B(3,n在直线y=x+4上，连接OB,求A0B的面积. (3)结合图象，直接写出关于x的不等式0<kx+4<3x的解集。 例6.(24-25八年级上江苏宿迁·期末)如图，己知直线l:y=x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,与 直线2：y=2x+8交于点P(-2,a),直线与x轴交于点A. 不y p B (1)求直线的解析式； (2)求四边形OAPC的面积； (3)直接写出不等式kx+2≥2x+8的解集 变式1.(2425八年级上江苏盐城阶段练习)如图所示，直线y=+b经过A、B,点A,B的坐标分别为 A0,2),B1,0),直线=7-3与坐标轴交于C、D两点. y=kx+by y=x-3 A B D E I)求k、b的值，并求出直线AB直线CD交点E的坐标. 1 (2)直接写出不等式kx+b>二x-3的解集 变式2.(24-25八年级上山东青岛阶段练习)如图，过点A(-2,0)的直线：y=:+b与直线：y=-x+1 交于P(-l,a. 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求直线对应的表达式. (2)直接写出kx+b<-x+1时，x的取值范围. (3)求四边形PAOC的面积。 【题型4一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题】 例7.(2425九年级上山东临沂·开学考试)在如图所示的坐标系下， 5 3 2 -5-4-3-2-1012345x (1)画出函数y=-x+4与y=x-2的图象，并利用图象解答下列问题： (2)求方程组 x+y=4 x-y=29 (3)不等式-x+4>x-2 例8.(24-25八年级上安微六安阶段练习)如图，直线4：y=x+1与直线：y2=mx+n相交于点P(a,2】 a (1)求a的值； 2)写出方程组少=x+1 y=mx+n 的解； (3)写出y>y2>0时，x的取值范围， 变式1.(24-25九年级上·全国.课后作业)如图，一次函数y=ax+b的图象与x、y轴分别交于B,A两点，与 正比例函数y=c交于点P. 5/14 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P 24分 (1)关于x的方程ax+b=0的解是 (2)关于x,y的二元一次方程组 y=ax+b 的解为，关于x的不等式kx>ax+b的解集为 y=kx (3)关于x的不等式ax+b>0的解集为，不等式ax+b<4的解集为 变式2.(23-24七年级下山东烟台期末)如图，直线4：y=2x+1与直线：y=x+4相交于点P(1,b), 与x轴分别交于A,B两点. VA v=2x+1 y=mx+4 A B 2x-y=-1 (I)求b,m的值，并结合图象写出关于x,y的方程组 mr-ys-4的解； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式2x+1≥mx+4的解集； (3)求△ABP的面积： (4)垂直于x轴的直线x=a与直线4，Z分别交于点C,D,若线段CD的长为3，直接写出a的值， 【题型5含绝对值的函数与一元一次不等的综合问题】 例9.请用描点法研究函数y=-x-1+3图象与性质，并用它完成下列各题 5 4 3 2 .1 543-3-9124 ①列表： -201234- 6/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=-x-1+3 .\0 ②描点③连线. (1)a= 并画出函数y=-x-1+3的图象； (2)当-3≤x≤6时，y最大值=一，y最小值= 3)求出函数y=x+1与函数y=-x-1+3的交点坐标； 4直接写出x+1>-x-1+3的解集。 例10.某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的 关系这一课题.在研究过程中，他们将函数y=-x++2确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性 质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系。请你根据以下探究过程，回答问题. (1)作出函数y=-x+1+2的图象 ①列表： -3 0 其中，表格中m的值为 ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象 5 3 2 6-54-3-2-19123456x (2)观察函数y=-x+1+2的图象，回答下列问题： ①当x= 时，函数y=-x++2有最大值，最大值为 ②方程-x+1+2=-1的解是x= 6)已知直线，=专-兮请结合图象，直接写出满足不等式--x+1+2的x的取值范围 11 5 变式1，在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象研究函数性 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 质及其应用的过程.下面，我们对函数y= x-3-m展开探索，请补充完整以下探索过程： 2 (1)列表： -4 -2 0 2 6 y … 5 2 直接写出m,n的值，， n= I= (2)在给出的平面直角坐标系中，利用表格中的数据描点、连线画出该函数图象. 7 65 3 8-764-3-2-101245678x 3)已知函数y=- 子+1的图象如图所示。结合你片国的函数图象，则不等式号-m≥-宁+1的销集为 03 串知识识框架 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象 在轴上方的点的横坐标所组成的集合 (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象 在x轴下方的点的横坐标所组成的集合 元一次不等式与一次 函数的关系 (3)一元一次不等式kx+b1>k2x+b2的解集，一次函 数y=kIx+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点 的横坐标所组成的集合 (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函 数y=kIx+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点 的横坐标所组成的集合 04 过关测稳提升 一、单选题 1.(25-26八年级上浙江绍兴·月考)如图，直线y=x+b与x轴交于点A-2,0),与y轴交于点B(0,3), 那么不等式kx+b>0的解集是() B A.x>-2 B.x>3 C.x<-2 D.x<3 2.(25-26八年级上江苏无锡·月考)如图，点P在直线y=x+b上，则当y≥4时，x的取值范围是(). A.x22 B.x≤2 C.x≥0 D.x≤0 3.(25-26八年级上江苏无锡月考)如图，函数y=mx和y=+b的图象相交于点P(1,m),则不等式 -b≤kx-b≤mx的解集为() 9/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=kx+b P y=mx A.0≤x≤1 B.-1≤x≤0 C.-1≤x≤1 D.-m≤x≤m 4.(25-26八年级上安徽宿州月考)在同一平面直角坐标系中，一次函数八-2+2与乃=虹+(k<0)的 图像如图所示，则下列结论错误的是() y1= 2x+2 h=6+b A.随x的增大而减小 B.b>3 1 C.方程组 y= x+2 x=2 2 的解为 y=3 D.当x>2时，<2 y=kx+b 1 5.(25-26八年级上广西贺州期中)如图，己知直线4：y=x+b与直线：y=-二x+m都经过 2 直线1交y轴于点B(0,4),交x轴于点A,直线Z交y轴于点D,以下说法错误的是() B D A.△ABD的面积为3 6 y=kx+b X=- 5 B.方程组 1的解为 y=2x+m 5 C.点D的坐标为0 6 D当x3-时，x+b> 2术+m 10/14