精品解析：甘肃省天水市甘谷县模范初级中学2025-2026学年下学期第一次检测考试试题 九年级 数学

2025-2026学年度第二学期第一次检测考试试题 九年级 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项：∵与不是同类项，不能合并，∴A运算错误． B选项：∵根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得，∴B运算正确． C选项：∵根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，可得，∴C运算错误． D选项：∵根据单项式乘法法则，可得，∴D运算错误． 3. 《中庸》名句：“致中和，天地位焉，万物育焉．”由此可见，对称美自古以来就是华夏民族和谐平衡思想的体现．下列选项分别是甘肃省博物馆、白银市博物馆、天水市博物馆、平凉市博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C． 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D． 是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 4. 天水麦积山石窟景区年接待游客约45000000人次，数据45000000用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 5. 数据2，3，5，5，6的中位数和众数分别是（ ） A. 3，5 B. 5，6 C. 5，5 D. 4，5 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵将数据2，3，5，5，6按从小到大排列后为：2，3，5，5，6，数据个数为5，是奇数， ∴中位数为排序后的第3个数，即5， 又∵数据中5出现的次数最多，为2次， ∴众数为5． 6. 一元二次方程的两根为、，则的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由根与系数的关系可求得，，再对所求分式通分后代入计算即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 7. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像即可判断出、b、c与0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定答案． 【详解】解：∵抛物线开口向上 ∴＞0 ∵抛物线对称轴＞0 ∴b＜0 ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上 ∴c＞0 ∴当＞0，b＜0时，一次函数的图像过第一、三、四象限； 当c＞0时，反比例函数的图像过第一、三象限． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质． 8. 在中，，，，，则（     ） A. 5 B. C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，再证明，利用相似三角形的性质求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 半径为的圆中，弦长为，则圆心到这条弦的距离为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到半弦长，再结合半径，在直角三角形中用勾股定理计算圆心到弦的距离． 【详解】解：如图所示，的半径，弦长， 过点作交于点， ， ，即圆心到这条弦的距离为． 10. 如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知，，结合菱形的性质得，过点M作于点H，则，那么，设菱形的边长为a，则，那么点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，利用最大值即可求得运动时间，即可知菱形边长． 【详解】解：根据题意知，，， ∵四边形为菱形，， ∴， 过点M作于点H，连接交于点O，如图， 则， 那么，的面积为， 设菱形的边长为a， ∴， ∴点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为， ∴，解得，（负值舍去）， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】x≥3且x≠4． 【解析】 【详解】试题解析：根据题意知： 解得：x≥3且x≠4 故答案为：x≥3且x≠4． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13. 不透明袋中共有个红个白球，随机摸个球，是红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】确定所有等可能结果的总数，再确定摸出红球的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：袋中球的总个数为：， 随机摸出个球是红球的概率为． 14. 点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数求出，的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． 15. 一个扇形的半径为6，弧长是，则这个扇形的圆心角为________． 【答案】##120度 【解析】 【详解】解：设这个扇形的圆心角度数为， 根据弧长公式可得：， 两边同时除以得：， 解得， 即这个扇形的圆心角为． 16. 已知，，，……则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字规律，能够找到规律是解题关键；根据所给式子找出规律进行计算即可得到答案． 【详解】解：由，，，猜想出：； 验证：当时，； 当时，； 所以，猜想成立， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共9小题，共96分） 17. 计算或化简 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值、零指数幂、算术平方根、锐角三角函数值，再计算乘法，最后进行加减计算； （2）先计算单项式乘多项式、平方差公式，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程并检验： 【答案】，检验见解析 【解析】 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：将代入原方程分母和，均不为0；将代入原方程分母和，均不为0； 故均为原方程的解． 19. 解不等式组： ，把解集在数轴上表示出来，并写出所有整数解． 【答案】，不等式组的所有整数解为2，3，4，5，数轴表示见解析． 【解析】 【分析】分别求解不等式组中两个不等式的解集，找出两个解集的公共部分得到不等式组的最终解集，画出数轴，再从解集中提取所有整数即可． 【详解】解： 解不等式①得 解不等式②得 所以不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 可知不等式组的所有整数解为2，3，4，5． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，将除法变乘法，进行约分化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 21. 如图，四边形是矩形，连接． （1）实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) （2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了基本作图-角平分线，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作图—角平分线的作法，进行作图即可； （2）利用矩形的性质和直角三角形的性质得到，，，利用角平分线得到，则，即可证明猜想． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：猜想， 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵． ∴，， ∵， ∴ ∵的平分线，交于点M． ∴， ∴， ∴ 22. 甘肃是一个历史悠久、文化底蕴深厚的省份．这里有着丰富多彩的旅游资源，包括自然景观、历史文化等方面．婷婷选取了具有文化底蕴的其中五个景点：莫高窟，张掖七彩丹霞，C鸣沙山月牙泉，D平山湖大峡谷，麦积山石窟．为了解九年级学生对每个景点文化底蕴的了解程度，随机抽取了九年级若干名学生进行调查（每人只选一个最喜欢的景点），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了_____________名学生． （2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图． （3）九（2）班计划在“莫高窟、张掖七彩丹霞、鸣沙山月牙泉、平山湖大陕谷”四个景点中任选两个景点组织春游，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“莫高窟、鸣沙山月牙泉”这两个景点的概率． 【答案】（1）50 （2） 补全条形统计图如图所示． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联、补画条形统计图、列表或画树状图的方法求概率等知识，解题关键是通过条形统计图和扇形统计图获得所需信息． （1）利用“选择莫高窟人数其占比”，即可求得调查的学生总数； （2）分别求得喜欢张掖七彩丹霞的学生人数和喜欢平山湖大峡谷的学生人数，然后补画条形统计图即可； （3）根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案． 【小问1详解】 解：（名） 故答案为：50． 【小问2详解】 B景点的人数有(人)， D景点的人数有(人)； 【小问3详解】 “莫高窟、张掖七彩丹霞、鸣沙山月牙泉、平山湖大峡谷”四个景点分别用表示，根据题意画出树状图如图所示． 由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中恰好选中“莫高窟、鸣沙山月牙泉”这两个景点的情况有2种，则恰好选中“莫高窟、鸣沙山月牙泉”这两个景点的概率是． 23. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 【答案】世纪钟建筑的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可． 【详解】解：如图，延长与相交于点， 根据题意，可得， 有，，，，， 在Rt中，， ， 在中，， ． ， ． ． ． 答：世纪钟建筑的高度约为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据一次函数解析式，先求得点A的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可解答； （2）根据一次函数解析式，先求得点C的坐标，从而求得，进而得到，结合，求得点P的纵坐标，再代入反比例函数解析式求得横坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入中得：， 解得， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点的坐标为或． 25. 如图，是的直径，，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）当的半径为2，时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，证明垂直平分，得出，证明，得出，说明，即可证明结论； （2）根据是的直径，得出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出，证明，得出即可． 【小问1详解】 证明：连接，，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴点O、B在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵的半径为2， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，垂直平分线的判定，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 26. 已知正方形，为对角线上一点． （1）[建立模型] 如图1，连接，，求证：； （2）[模型应用] 如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）①等腰三角形，见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可得，，根据全等三角形的判定，即可证明； （2）①根据（1）证明可得，根据角的等量关系，得到，根据，可得，再根据角的数量关系，即可； ②根据正方形的性质，求出，过点作交于点，根据三角函数，求出，根据三线合一，可得，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， ∵是公共边， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ②∵四边形是正方形，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 过点作交于点， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 27. 如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+x+c与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，当△BCE面积最大时，求出点M的坐标； （3）在（2）的结论下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）M（2，）； （3）P（5，-）或（-3，-）或（-1，）． 【解析】 【分析】（1）令y＝﹣x+3=0，则x=4，即点C（4，0），点B（0，3），则抛物线，将点C坐标代入上式，即可求解； （2）由，即可求解； （3）分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 令y＝﹣x+3=0，，则x=4，当x=0时，y＝﹣×0 +3=3， 即点C（4，0），点B（0，3）， 则抛物线， 将点C坐标代入上式并解得：a=， 故抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 设点，则点， ， ∵，故S△BCE有最大值， 此时x=2，故点M（2，）； 【小问3详解】 ∵抛物线对称轴为直线x=1，C（4，0）, ∴A（-2，0）, 设点P（m，n），点Q（1，s）， ①当AM是平行四边形的一条边时， 当点P在对称轴的右侧时， 点M向左平移4个单位向下平移个单位得到A， 同理P（m，n）向左平移4个单位向下平移个单位得到Q（1，s）， 即m-4=1，解得：m=5，故点P（5，-）； 当点P在对称轴的左侧时， 同理可得点P（-3，-）； ②当AM是平行四边形的对角线时， AM的中点坐标为（0，），此坐标即为PQ的中点坐标， 即m+1=0，解得：m=-1， 故点P（-1，）； 综上，点P（5，-）或（-3，-）或（-1，）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期第一次检测考试试题 九年级 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 《中庸》名句：“致中和，天地位焉，万物育焉．”由此可见，对称美自古以来就是华夏民族和谐平衡思想的体现．下列选项分别是甘肃省博物馆、白银市博物馆、天水市博物馆、平凉市博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 天水麦积山石窟景区年接待游客约45000000人次，数据45000000用科学记数法表示为（     ） A. B. C. D. 5. 数据2，3，5，5，6的中位数和众数分别是（ ） A. 3，5 B. 5，6 C. 5，5 D. 4，5 6. 一元二次方程的两根为、，则的值为（     ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A. B. C. D. 8. 在中，，，，，则（     ） A. 5 B. C. D. 10 9. 半径为的圆中，弦长为，则圆心到这条弦的距离为（     ） A. B. C. D. 10. 如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：____________． 12. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是___________． 13. 不透明袋中共有个红个白球，随机摸个球，是红球的概率为________． 14. 点与点关于轴对称，则________． 15. 一个扇形的半径为6，弧长是，则这个扇形的圆心角为________． 16. 已知，，，……则______． 三、解答题（本大题共9小题，共96分） 17. 计算或化简 （1） （2） 18. 解方程并检验： 19. 解不等式组： ，把解集在数轴上表示出来，并写出所有整数解． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，四边形是矩形，连接． （1）实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) （2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 22. 甘肃是一个历史悠久、文化底蕴深厚的省份．这里有着丰富多彩的旅游资源，包括自然景观、历史文化等方面．婷婷选取了具有文化底蕴的其中五个景点：莫高窟，张掖七彩丹霞，C鸣沙山月牙泉，D平山湖大峡谷，麦积山石窟．为了解九年级学生对每个景点文化底蕴的了解程度，随机抽取了九年级若干名学生进行调查（每人只选一个最喜欢的景点），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了_____________名学生． （2）根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图． （3）九（2）班计划在“莫高窟、张掖七彩丹霞、鸣沙山月牙泉、平山湖大陕谷”四个景点中任选两个景点组织春游，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“莫高窟、鸣沙山月牙泉”这两个景点的概率． 23. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 25. 如图，是的直径，，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）当的半径为2，时，求的值． 26. 已知正方形，为对角线上一点． （1）[建立模型] 如图1，连接，，求证：； （2）[模型应用] 如图2，是延长线上一点，，交于点． ①判断的形状并说明理由； ②若为的中点，且，求的长． 27. 如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+x+c与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，当△BCE面积最大时，求出点M的坐标； （3）在（2）的结论下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $