专题10 图形的旋转（5知识点+18大题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

本讲义聚焦初中数学“图形的旋转”核心知识点，从旋转的定义、三要素及对应元素入手，系统梳理旋转的全等性、距离相等、旋转角相等等核心性质，进而延伸到坐标系中点的旋转规律、作图步骤及拓展应用，构建从概念到应用的递进学习支架。 资料通过18大题型系统覆盖从生活现象判断到综合问题解决，每个题型配备解题口诀与典例训练，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），提升推理能力（数学思维）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过过关检测查漏补缺，强化知识应用。

专题10 图形的旋转 （5知识点+18大题型+过关检测） 【题型1 判断生活中的旋转现象】 2 【题型2 判断由图形旋转而成的图案】 3 【题型3 旋转中心、旋转角、对应点】 4 【题型4 根据旋转的性质求解】 5 【题型5 根据旋转的性质证明相等】 6 【题型6 旋转的性质及辨析】 7 【题型7 旋转中的规律性问题】 8 【题型8 画旋转图形】 9 【题型9 利用旋转设计图案】 11 【题型10 求绕原点旋转90度的点的坐标】 11 【题型11 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 12 【题型12 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 13 【题型13 坐标与旋转规律问题】 14 【题型14 线段问题（旋转综合题）】 15 【题型15 面积问题（旋转综合题）】 16 【题型16 角度问题（旋转综合题）】 18 【题型17 其它问题（旋转综合题）】 19 【题型18 坐标系中的旋转】 20 · 掌握核心概念：理解图形旋转的定义、旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角），能准确识别旋转中心、对应点、对应线段、旋转角，区分旋转与平移、轴对称的差异。 · 吃透旋转性质：熟练掌握图形旋转的基本性质，理解旋转前后图形全等、对应点到旋转中心距离相等、旋转角相等的核心结论，能灵活运用性质求解线段长、角度、面积。 · 突破坐标旋转：掌握平面直角坐标系中，点绕原点、非原点旋转90°及任意角度的坐标变化规律，能快速写出旋转后点的坐标，解决坐标系中的旋转综合问题。 · 熟练实操应用：能根据旋转三要素画出旋转后的图形，利用旋转设计美观图案，解决旋转综合类的线段、角度、面积及规律探究问题，提升几何作图与推理能力。03 知识•梳理 知识点1：旋转的相关概念 1. 旋转定义 在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2. 旋转三要素（缺一不可） · 旋转中心：图形绕着转动的定点（可在图形上、图形内、图形外）； · 旋转方向：顺时针方向或逆时针方向； · 旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角（大于0°且小于360°）。 3. 对应元素 旋转前、后的图形互为对应图形，对应点、对应线段、对应角完全重合，旋转过程中图形的形状、大小均不改变，仅位置发生变化。 知识点2：图形旋转的核心性质（必记） 旋转性质口诀：旋转全等不形变，距心相等角相等，对应点连夹角，就是旋转角 1. 全等性：旋转前后的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等，图形面积、周长均不变； 2. 距离相等：对应点到旋转中心的距离相等； 3. 旋转角相等：任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角，且所有旋转角大小相等； 4. 位置不变性：旋转中心在旋转过程中位置保持不变。 知识点3：平面直角坐标系中点的旋转规律 1. 绕原点旋转90°的坐标规律（重点） · 点绕原点逆时针旋转90°→对应点； · 点绕原点顺时针旋转90°→对应点； · 绕原点旋转180°→横纵坐标均变号，对应点（中心对称）。 2. 绕非原点定点旋转90° 核心方法：构造直角三角形，利用全等三角形+坐标平移，先确定旋转中心与已知点的横纵距离，再根据旋转方向反向推导对应坐标，找准垂直与相等关系。 3. 绕原点旋转任意角度 结合旋转性质与三角函数初步判断坐标，核心抓住旋转前后点到原点距离不变，旋转角为对应连线夹角，利用全等或对称推导坐标。 知识点4：旋转作图步骤 1. 找：找出原图形的关键点（顶点、端点）； 2. 定：确定旋转中心、旋转方向、旋转角； 3. 转：分别作出各关键点绕旋转中心旋转后的对应点（保证到旋转中心距离相等，旋转角一致）； 4. 连：顺次连接各对应点，得到旋转后的图形。 知识点5：旋转的拓展应用 · 旋转是全等变换，可用于证明线段相等、角相等、三角形全等； · 利用旋转可将分散的线段、角集中到同一个图形中，解决几何计算与证明难题； · 旋转规律题：找循环周期，根据周期计算多次旋转后的位置与坐标。 04 题型•汇总 【题型1 判断生活中的旋转现象】 解题思路： 紧扣旋转定义：绕定点、有方向、转角度，区分旋转与平移（平移沿直线移动，无转动）、轴对称（对折重合），抓住“绕点转动、位置改变、形状大小不变”的核心特征判断。 解题口诀：生活旋转看定点，绕点转动有角度，平移直走不转弯，一眼就能分清楚 【典例1】．有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 跟随训练1．下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 跟随训练2．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以________（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着________（填“顺”或“逆”）时针方向旋转________度． 【题型2 判断由图形旋转而成的图案】 解题思路： 观察图案是否由一个基本图形，绕定点按一定角度重复转动形成，图案各部分形状大小一致，存在明显的旋转中心和固定旋转角，排除平移、轴对称形成的图案。 解题口诀：旋转图案找基本形，绕点转定角，重复出现无平移，对称旋转分分明 【典例2】．新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．在Word文档的图形编辑功能中，菜单“旋转”下有下图中显示的四个功能，分别简称为R、L、V、H．现有图甲，如果对其先操作R再操作V，所得到的图形是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 【题型3 旋转中心、旋转角、对应点】 解题思路： 旋转中心：对应点连线的垂直平分线交点，或不动的定点；旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角；对应点：旋转前后重合的点，找准三要素是解题关键。 解题口诀：找中心，连对点，垂直平分交点定，连线夹角旋转角 【典例3】．如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 跟随训练1．如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 跟随训练2．如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【题型4 根据旋转的性质求解】 解题思路： 核心利用旋转全等、对应点距心相等、旋转角相等，求线段长度、角度大小，直接套用性质，结合三角形内角和、等腰三角形性质计算。 解题口诀：旋转性质用全等，线段相等角相等，距心相等直接算 【典例4】．如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 跟随训练1． 如图，在等边三角形中，点是边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③的周长等于16；④是等边三角形． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 跟随训练2．如图，射线，互相垂直，，点B位于射线的上方，且在线段的垂直平分线l上，连接，．将线段绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离__． 【题型5 根据旋转的性质证明相等】 解题思路： 利用旋转前后图形全等，得对应线段相等、对应角相等；或利用对应点到旋转中心距离相等，证明线段相等，结合三角形全等辅助证明。 解题口诀：证相等，用旋转，全等性质来支撑，步骤严谨依据全 【典例5】．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别是、，边经过点A，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 【题型6 旋转的性质及辨析】 解题思路： 概念辨析题，牢记旋转不改变图形形状、大小，仅改变位置，对应点距心相等、旋转角相等，区分旋转与其他变换，排除错误说法。 解题口诀：旋转性质记心间，形状大小都不变，距心等，转角等 【典例6】．下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（    ） A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上 跟随训练2．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点____ ，逆时针方向旋转了____度. 【题型7 旋转中的规律性问题】 解题思路： 找旋转周期，计算每次旋转的角度，确定循环次数，用总次数除以周期，根据余数判断最终位置，抓住“循环重复”核心规律。 解题口诀：规律题，找周期，余数判断终位置，循环次数算清楚 【典例7】．正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 跟随训练1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 跟随训练2．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则与2024对应的点是______． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键． 由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【详解】解：第1次翻转，点落在， 第2次翻转，点落在0， 第3次翻转，点落在1， 第4次翻转，点落在， 第5次翻转，点落在3， ...... 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故答案为：C． 【题型8 画旋转图形】 解题思路： 严格按照“找关键点→定三要素→作对应点→顺次连线”步骤作图，保证对应点到旋转中心距离相等，旋转角大小一致，作图规范，标注清晰。 解题口诀：作图先找关键点，三要素要记全，对应点画准确，顺次连接成图形 【典例8】．数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 跟随训练1．如图，将线段绕点P按顺时针方向旋转，得到线段，其中点A、B的对应点分别是点、，则点的坐标是______． 跟随训练2．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出将绕点逆时针旋转后对应的； (2)在轴上求作一点，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型9 利用旋转设计图案】 解题思路： 选取简单基本图形（三角形、正方形、花瓣形），确定旋转中心和固定旋转角（如60°、90°、120°），多次旋转后拼接成美观对称图案，突出旋转重复的特点。 【典例9】．如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟随训练1．如图，图（1）、图（2）、图（3）、图（4）、图（5）中的图②是由图①经过轴对称，平移，旋转这三种运动变换而得到，请分别指出它们是由其中哪一种运动变换得到的． 跟随训练2．如图所示，是设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转； (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽． 【题型10 求绕原点旋转90度的点的坐标】 解题思路： 直接套用坐标规律：逆时针90°横纵互换、横坐标变号；顺时针90°横纵互换、纵坐标变号，牢记口诀快速计算。 解题口诀：绕原点，转九十，逆负横，顺负纵，横纵互换要记清 【典例10】．已知点经变换后到点，下面的说法正确的是（    ） A．点先向上平移个单位，再向左平移个单位到点，则点的坐标为 B．点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则点的坐标为 C．点与点关于原点中心对称，则点的坐标为 D．点与点关于轴对称，则点的坐标为 跟随训练1．如图，将线段绕点逆时针旋转得到，那么的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到，若点位于内（不含边界），点为点P绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标n的取值范围是________． 【题型11 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 解题思路： 构造直角三角形，利用旋转全等，先算已知点与旋转中心的横纵差，再根据旋转方向反向推导坐标，平移法辅助计算。 解题口诀：非原点，转九十，构造全等三角形，横差纵差反向推 【典例11】．如图，在平面直角坐标系中，已知、，把绕点A逆时针旋转后得到，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，已知点，，A与关于x轴对称，连接，现将线段以B点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标是_____．    【题型12 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 解题思路： 旋转180°直接横纵坐标变号；旋转特殊角（30°、60°）结合几何性质与全等推导，核心抓住点到原点距离不变。 解题口诀：旋转一八零，坐标全变号，特殊角度找全等 【典例12】．在平面直角坐标系中，把点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 跟随训练2．以原点为旋转中心，将点逆时针旋转得到点，则点的坐标为__________． 【题型13 坐标与旋转规律问题】 解题思路： 结合坐标旋转规律与周期规律，先求单次旋转坐标，再找循环周期，根据周期判断多次旋转后的坐标。 【典例13】．如图，中的与轴重合，，将绕原点顺时针旋转后得到，将绕原点顺时针旋转得到，如此继续下去，连续旋转2026次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 跟随训练2．如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点的坐标为___________． 【题型14 线段问题（旋转综合题）】 解题思路： 利用旋转全等得对应线段相等，将分散线段转化到同一三角形中，结合三角形三边关系、勾股定理求线段长度或证明线段关系。 【典例14】．在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 跟随训练1．如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 跟随训练2．中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【题型15 面积问题（旋转综合题）】 解题思路： 旋转前后图形面积相等，利用割补法，将不规则图形面积转化为规则图形（三角形、四边形）面积，或直接利用全等面积相等求解。 【典例15】．如图，中，，，，，D为AB中点．将绕点B旋转一周，设点A、C对应的点分别为、，的面积为S，则S的取值范围是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 跟随训练2．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题． 如图1，在中，，，，分别为，的中点，将以点为旋转中心，顺时针方向旋转后得到（点，的对应点分别为点，），连接，． 【初步感知】 （1）如图2，当，，三点恰好在同一条直线上，且点在线段上时，的度数为__________．（用含的式子表示） （2）如图3，在旋转过程中，试判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【延伸探究】 （3）如图4，当满足时，连接，，若设与的面积之和为，则是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【题型16 角度问题（旋转综合题）】 解题思路： 找准旋转角，利用旋转角相等、对应角相等，结合三角形内角和、外角性质、等腰三角形性质计算角度。 【典例16】．将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 跟随训练1．如图，绕点C顺时针旋转后得到了，且于点D，则的度数为______． 跟随训练2．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则______； (2)若，，求和的长． 【题型17 其它问题（旋转综合题）】 解题思路： 涵盖周长、最值、路径长等问题，核心还是旋转全等与性质，周长利用对应线段相等转化，路径长根据旋转轨迹（圆弧）计算，灵活转化问题。 【典例17】．两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 跟随训练1．在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________，最大值为___________________．    跟随训练2．在等腰中，，D是底边BC上一点，动点E在射线BC上，使得． 【探究发现】（1）如图1，当且点E在线段BC上时，猜想线段BD，DE，EC的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】（2）如图2，若且点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，若时，点D，E都在边BC上，，求的面积． 【题型18 坐标系中的旋转】 解题思路： 综合坐标旋转规律、旋转性质、作图与计算，分绕原点、非原点两种情况，先定旋转三要素，再求坐标、画图形、解综合问题。 【典例18】．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 跟随训练1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以、为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．在平面直角坐标系中，的顶点．点分别为边的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点对应点分别为，旋转角记为． (1)当线段与线段有交点时，记线段与线段的交点为． ①如图，求证：； ②如图，连接，点恰好在线段上时，求线段的长； (2)整个旋转过程中，在线段上取点，使得，连接，记的面积为． 填空： ①的取值范围是________； ②当的值最大时，此时点的坐标为________． 05 过关•检测 1．下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 2．如图中的四个三角形不能由最左侧的三角形经过平移或旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，将绕点B顺时针旋转，得到，连接交于点F，则与的周长之和为（   ） A．34 B．32 C．24 D．14 4．如图，等腰直角三角形中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，连接，则随着的增大，的度数（    ） A．增大 B．减小 C．不变 D．先增大后减小 5．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在和中，，，，分别是，上的点，，分别交于点，，．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．汽车在笔直的公路上移动属于______现象，车轮绕其车轴的运动属于______现象．（填“平移”或“旋转”） 8．如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 9．如图，与都是直角三角形，和都是直角，点在上，如果经顺时针旋转后能与重合，那么的度数是______． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，把绕点逆时针旋转得到，为的对应点，则点的坐标为______． 11．如图，在中，，，点M、N在边上，，，，则____________________ ． 12．如图，将绕点顺时针旋转90°得，连接后发现、、三点共线． (1)求证． (2)当时，求的长度． 13．如图，在中，，，将绕点A顺时针方向旋转角（），得到，连接． (1)当时，的面积为______；的度数为______； (2)当时，求的长． 14．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 15．如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 图形的旋转 （5知识点+18大题型+过关检测） 【题型1 判断生活中的旋转现象】 2 【题型2 判断由图形旋转而成的图案】 3 【题型3 旋转中心、旋转角、对应点】 6 【题型4 根据旋转的性质求解】 8 【题型5 根据旋转的性质证明相等】 11 【题型6 旋转的性质及辨析】 13 【题型7 旋转中的规律性问题】 14 【题型8 画旋转图形】 17 【题型9 利用旋转设计图案】 19 【题型10 求绕原点旋转90度的点的坐标】 22 【题型11 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 25 【题型12 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 28 【题型13 坐标与旋转规律问题】 30 【题型14 线段问题（旋转综合题）】 34 【题型15 面积问题（旋转综合题）】 39 【题型16 角度问题（旋转综合题）】 44 【题型17 其它问题（旋转综合题）】 47 【题型18 坐标系中的旋转】 54 · 掌握核心概念：理解图形旋转的定义、旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角），能准确识别旋转中心、对应点、对应线段、旋转角，区分旋转与平移、轴对称的差异。 · 吃透旋转性质：熟练掌握图形旋转的基本性质，理解旋转前后图形全等、对应点到旋转中心距离相等、旋转角相等的核心结论，能灵活运用性质求解线段长、角度、面积。 · 突破坐标旋转：掌握平面直角坐标系中，点绕原点、非原点旋转90°及任意角度的坐标变化规律，能快速写出旋转后点的坐标，解决坐标系中的旋转综合问题。 · 熟练实操应用：能根据旋转三要素画出旋转后的图形，利用旋转设计美观图案，解决旋转综合类的线段、角度、面积及规律探究问题，提升几何作图与推理能力。03 知识•梳理 知识点1：旋转的相关概念 1. 旋转定义 在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 2. 旋转三要素（缺一不可） · 旋转中心：图形绕着转动的定点（可在图形上、图形内、图形外）； · 旋转方向：顺时针方向或逆时针方向； · 旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角（大于0°且小于360°）。 3. 对应元素 旋转前、后的图形互为对应图形，对应点、对应线段、对应角完全重合，旋转过程中图形的形状、大小均不改变，仅位置发生变化。 知识点2：图形旋转的核心性质（必记） 旋转性质口诀：旋转全等不形变，距心相等角相等，对应点连夹角，就是旋转角 1. 全等性：旋转前后的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等，图形面积、周长均不变； 2. 距离相等：对应点到旋转中心的距离相等； 3. 旋转角相等：任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角，且所有旋转角大小相等； 4. 位置不变性：旋转中心在旋转过程中位置保持不变。 知识点3：平面直角坐标系中点的旋转规律 1. 绕原点旋转90°的坐标规律（重点） · 点绕原点逆时针旋转90°→对应点； · 点绕原点顺时针旋转90°→对应点； · 绕原点旋转180°→横纵坐标均变号，对应点（中心对称）。 2. 绕非原点定点旋转90° 核心方法：构造直角三角形，利用全等三角形+坐标平移，先确定旋转中心与已知点的横纵距离，再根据旋转方向反向推导对应坐标，找准垂直与相等关系。 3. 绕原点旋转任意角度 结合旋转性质与三角函数初步判断坐标，核心抓住旋转前后点到原点距离不变，旋转角为对应连线夹角，利用全等或对称推导坐标。 知识点4：旋转作图步骤 1. 找：找出原图形的关键点（顶点、端点）； 2. 定：确定旋转中心、旋转方向、旋转角； 3. 转：分别作出各关键点绕旋转中心旋转后的对应点（保证到旋转中心距离相等，旋转角一致）； 4. 连：顺次连接各对应点，得到旋转后的图形。 知识点5：旋转的拓展应用 · 旋转是全等变换，可用于证明线段相等、角相等、三角形全等； · 利用旋转可将分散的线段、角集中到同一个图形中，解决几何计算与证明难题； · 旋转规律题：找循环周期，根据周期计算多次旋转后的位置与坐标。 04 题型•汇总 【题型1 判断生活中的旋转现象】 解题思路： 紧扣旋转定义：绕定点、有方向、转角度，区分旋转与平移（平移沿直线移动，无转动）、轴对称（对折重合），抓住“绕点转动、位置改变、形状大小不变”的核心特征判断。 解题口诀：生活旋转看定点，绕点转动有角度，平移直走不转弯，一眼就能分清楚 【典例1】．有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题． 根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可． 【详解】∵ ①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转； ②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转； ③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转； ④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转． ∴ 属于旋转的是①和④． 故选：D． 跟随训练1．下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转运动；旋转运动是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．选项A、B、C均为平移运动，只有选项D的荡秋千是围绕固定点旋转． 【详解】解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动， A项为平移运动，无旋转中心； B项传送带为平移运动； C项电梯为上下平移运动； D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动． 故选：D． 跟随训练2．在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以________（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着________（填“顺”或“逆”）时针方向旋转________度． 【答案】 脚跟 顺 90 【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答． 【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度． 故答案为：脚跟；顺；90． 【题型2 判断由图形旋转而成的图案】 解题思路： 观察图案是否由一个基本图形，绕定点按一定角度重复转动形成，图案各部分形状大小一致，存在明显的旋转中心和固定旋转角，排除平移、轴对称形成的图案。 解题口诀：旋转图案找基本形，绕点转定角，重复出现无平移，对称旋转分分明 【典例2】．新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题图形旋转的性质：根据图形旋转的性质，判断原图形旋转后得到的图形，需明确旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系． 【详解】解：将如图所示的“葫娃”逆时针旋转九十度可得到选项A， 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样，故不能由题干所示图形旋转得来． 故选：A． 跟随训练1．在Word文档的图形编辑功能中，菜单“旋转”下有下图中显示的四个功能，分别简称为R、L、V、H．现有图甲，如果对其先操作R再操作V，所得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的旋转和翻转，理解R、L、V、H的意思是解决本题的关键． 根据题意得，先向右旋转，再垂直翻转即可得到图形． 【详解】解：由题意可得，先操作R，即向右旋转， 可得如下图： 再操作V，即垂直翻转， 可得如下图： 故选A． 跟随训练2．如图，均在格点上，是由经过两次图形的变换（平移、轴对称、旋转）得到的．下列结论：①1次旋转和1次平移；②2次轴对称；③1次平移和1次轴对称；④1次轴对称和1次旋转．其中所有正确结论的序号是________． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移和旋转不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列，一次轴对称会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列，据此可得轴对称的次数一定要是奇数次，平移和旋转不能得到，据此可得答案． 【详解】解：∵旋转和平移都不会改变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过平移或者旋转得到的是按照顺时针排列， ∴不能由经过1次旋转或者1次平移，故①不符合题意； ∵1次轴对称一定会改变变中三个内角字母的排列顺序（例如A、O、B顺时针排列），那么经过经过1次轴对称得到的是按照逆时针排列， ∴轴对称的次数一定要满足奇数次，故②不符合题意，③④符合题意， 故答案为；③④． 【题型3 旋转中心、旋转角、对应点】 解题思路： 旋转中心：对应点连线的垂直平分线交点，或不动的定点；旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角；对应点：旋转前后重合的点，找准三要素是解题关键。 解题口诀：找中心，连对点，垂直平分交点定，连线夹角旋转角 【典例3】．如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 跟随训练1．如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 【详解】解:∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 跟随训练2．如图，点、、、分别在正方形网格的格点上，设点的坐标为，B点的坐标为，小明发现，线段与线段存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是____． 【答案】或 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时， 连接， 分别作线段的垂直平分线交于点E， 点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时， 连接，分别作线段的垂直平分线交于点M， 点M即为旋转中心． 【详解】解：①当点A的对应点为点C时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点E，如图1所示， 点的坐标为，B点的坐标为， E点的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接，分别作线段的垂直平分线交于点M，如图2所示， 点的坐标为，B点的坐标为， M点的坐标为． 综上所述：这个旋转中心的坐标为或． 【点睛】利用分类讨论的思想方法，理解对应点连线的线段垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键． 【题型4 根据旋转的性质求解】 解题思路： 核心利用旋转全等、对应点距心相等、旋转角相等，求线段长度、角度大小，直接套用性质，结合三角形内角和、等腰三角形性质计算。 解题口诀：旋转性质用全等，线段相等角相等，距心相等直接算 【典例4】．如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点旋转到的位置， ∴， ∴， ∴． 跟随训练1． 如图，在等边三角形中，点是边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③的周长等于16；④是等边三角形． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】通过旋转可知，，，得，，所以，故①正确，由，，可知是等边三角形，故④正确，因为的周长等于，所以的周长等于16，故③正确，点是边上的一点，位置不确定，所以，角度不确定，故②不正确． 【详解】解：∵在等边三角形中， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，，，， ∴， ∴，故①正确， 又∵，， ∴是等边三角形，故④正确， ∴，， ∴的周长等于， ∴的周长等于16，故③正确， ∵， ∴， ∵点是边上的一点，位置不确定， ∴，角度不确定，故②不正确， 综上：①③④正确． 跟随训练2．如图，射线，互相垂直，，点B位于射线的上方，且在线段的垂直平分线l上，连接，．将线段绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离__． 【答案】 【分析】连接，由线段绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段得到绕点O按逆时针方向旋转得到，即可证明，设的垂直平分线交于点，根据勾股定理求出，，根据面积法即可求出答案． 【详解】解：连接，由线段绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段， 即绕点O按逆时针方向旋转得到， ， 设的垂直平分线交于点， 则，， ， ， 设点到射线的距离为， ， 解得． 【题型5 根据旋转的性质证明相等】 解题思路： 利用旋转前后图形全等，得对应线段相等、对应角相等；或利用对应点到旋转中心距离相等，证明线段相等，结合三角形全等辅助证明。 解题口诀：证相等，用旋转，全等性质来支撑，步骤严谨依据全 【典例5】．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A、B的对应点分别是、，边经过点A，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，由旋转前后对应边，对应角相等，可得，，，由三角形外角的性质可得，由等边对等角得出，即可求解． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 跟随训练1．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由题意可得，，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可得的度数. 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A. 跟随训练2．如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点， ∴，即点共线， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型6 旋转的性质及辨析】 解题思路： 概念辨析题，牢记旋转不改变图形形状、大小，仅改变位置，对应点距心相等、旋转角相等，区分旋转与其他变换，排除错误说法。 解题口诀：旋转性质记心间，形状大小都不变，距心等，转角等 【典例6】．下列四个图形中，最贴近“将线段绕其端点顺时针旋转”这个描述的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转、线段的定义，根据旋转及线段的定义逐一判断即可求解，掌握旋转及线段的定义是解题的关键． 【详解】解：A、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； B、该图形是由线段绕其端点顺时针旋转得到，符合题意； C、该图形是由线段绕其端点逆时针旋转得到，不合题意； D、该图形是由射线绕其端点顺时针旋转得到，不合题意； 故选：B． 跟随训练1．平移、轴对称、旋转所具有的共同性质不包括（    ） A．变换前后两个图形重合 B．对应线段相等 C．对应角相等 D．对应线段平行或在一条直线上 【答案】D 【分析】本题考查几何变换的类型，平行线的性质，利用平移，轴对称，旋转的性质一一判断即可． 【详解】解：平移、轴对称、旋转所具有的共同性质：变换前后两个图形重合，对应线段相等，对应角相等， 故选：D． 跟随训练2．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点____ ，逆时针方向旋转了____度. 【答案】 N 90 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 【详解】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 【题型7 旋转中的规律性问题】 解题思路： 找旋转周期，计算每次旋转的角度，确定循环次数，用总次数除以周期，根据余数判断最终位置，抓住“循环重复”核心规律。 解题口诀：规律题，找周期，余数判断终位置，循环次数算清楚 【典例7】．正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【详解】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 跟随训练1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，灵活运用周期性循环规律是解题的关键．根据线段的旋转方向和速度，以及点的运动路线，可确定点的坐标每秒为一个循环周期，进而通过计算秒在周期中的位置，求出此时点的坐标． 【详解】解：第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的正半轴上，， 即点的坐标每秒一个循环，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 故选：． 跟随训练2．正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则与2024对应的点是______． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键． 由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【详解】解：第1次翻转，点落在， 第2次翻转，点落在0， 第3次翻转，点落在1， 第4次翻转，点落在， 第5次翻转，点落在3， ...... 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故答案为：C． 【题型8 画旋转图形】 解题思路： 严格按照“找关键点→定三要素→作对应点→顺次连线”步骤作图，保证对应点到旋转中心距离相等，旋转角大小一致，作图规范，标注清晰。 解题口诀：作图先找关键点，三要素要记全，对应点画准确，顺次连接成图形 【典例8】．数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ） A．线段①与线段关于轴对称 B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的 C．线段④与线段②关于点成中心对称 D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④ 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的图形，轴对称的图形．根据旋转的图形，轴对称的图形的性质判断即可． 【详解】解：A、线段①与线段关于轴对称，正确，该选项不符合题意； B、线段①与线段关于轴对称，不是旋转得到的，原说法错误，，该选项符合题意； C、线段④与线段②关于点成中心对称，正确，该选项不符合题意； D、线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④，正确，该选项不符合题意； 故选：B． 跟随训练1．如图，将线段绕点P按顺时针方向旋转，得到线段，其中点A、B的对应点分别是点、，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】此题考查了图形的旋转作图．根据旋转的要求作出图形即可得到答案． 【详解】解：如图，线段即为所求，则点的坐标是， 故答案为： 跟随训练2．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出将绕点逆时针旋转后对应的； (2)在轴上求作一点，使值最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) 见解析 (2) 见解析 【分析】（1）根据旋转的定义解题即可； （2）根据轴对称的性质和两点之间线段最短，即可得解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 作图步骤：①作点关于轴的对称点； ②连接，交轴于点； 则此时最小． 【题型9 利用旋转设计图案】 解题思路： 选取简单基本图形（三角形、正方形、花瓣形），确定旋转中心和固定旋转角（如60°、90°、120°），多次旋转后拼接成美观对称图案，突出旋转重复的特点。 【典例9】．如图所示的四个图案，能通过基本图形旋转得到的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查的是图形变换中旋转的知识，解题的关键是掌握旋转的定义． 根据旋转的定义，逐一分析给出的四个图案是否可以通过基本图形旋转得到即可． 【详解】解：在平面内，将一个图形沿某一个定点方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转； 图案①可由一个基本图形三角形，绕其中心经过旋转得到； 图案②可由一个基本图形类似于花的花瓣绕其中心经过旋转得到； 图案③可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到； 图案④可由一个基本图形绕其中心经过旋转得到． 故选：D． 跟随训练1．如图，图（1）、图（2）、图（3）、图（4）、图（5）中的图②是由图①经过轴对称，平移，旋转这三种运动变换而得到，请分别指出它们是由其中哪一种运动变换得到的． 【答案】见解析 【分析】本题考查平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，进行分析判断． 【详解】解：图（1）中的图②是由图①经过平移变换而得到； 图（2）中的图②是由图①经过旋转变换而得到（绕点C旋转）； 图（3）中的图②是由图①经过旋转变换而得到（绕点A旋转）； 图（4）中的图②是由图①经过轴对称变换而得到（以所在的直线为对称轴）； 图（5）中的图②是由图①经过旋转变换而得到（绕点B旋转）． 跟随训练2．如图所示，是设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作． (1)作出关于直线的轴对称图形； (2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转； (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，画旋转图形； （1）根据轴对称的性质找出对应点位置，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质找出对应点位置，顺次连接即可； （3）根据图形适当涂色即可． 【详解】（1）解：如图1所示： （2）如图2所示： （3）如图3所示： 【题型10 求绕原点旋转90度的点的坐标】 解题思路： 直接套用坐标规律：逆时针90°横纵互换、横坐标变号；顺时针90°横纵互换、纵坐标变号，牢记口诀快速计算。 解题口诀：绕原点，转九十，逆负横，顺负纵，横纵互换要记清 【典例10】．已知点经变换后到点，下面的说法正确的是（    ） A．点先向上平移个单位，再向左平移个单位到点，则点的坐标为 B．点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则点的坐标为 C．点与点关于原点中心对称，则点的坐标为 D．点与点关于轴对称，则点的坐标为 【答案】B 【分析】根据点坐标的平移、旋转、中心对称、轴对称的变换规律，逐项判断即可得解． 【详解】解：A、点先向上平移3个单位，再向左平移4个单位后，点的坐标为，即，原说法错误，该选项不符合题意； B、将绕原点顺时针旋转后，坐标变为，说法正确，该选项符合题意； C、点关于原点中心对称的点坐标为，原说法错误，该选项不符合题意； D、点关于轴对称的点坐标为，原说法错误，该选项不符合题意． 跟随训练1．如图，将线段绕点逆时针旋转得到，那么的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，坐标变换公式，掌握平面直角坐标系中绕原点逆时针旋转的坐标变换规律是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，证，求得，再根据点在第一象限即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由， 线段绕点逆时针旋转得到， ， ， 在中，， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ， 点在第一象限， 点的坐标为， 故答案为：B． 跟随训练2．如图，在平面直角坐标系中，将绕原点顺时针旋转得到，若点位于内（不含边界），点为点P绕原点顺时针旋转的对应点，则点的纵坐标n的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出m的取值范围，然后根据旋转的性质和全等三角形的判定与性质求出点P的坐标，得出，即可求解．． 【详解】解：由图可知：，， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 若在直线上，则， 解得， ∵点位于内， ∴， 如图，连接，，过作轴于，过作轴于，则， ∵旋转， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又 ∴． 【题型11 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 解题思路： 构造直角三角形，利用旋转全等，先算已知点与旋转中心的横纵差，再根据旋转方向反向推导坐标，平移法辅助计算。 解题口诀：非原点，转九十，构造全等三角形，横差纵差反向推 【典例11】．如图，在平面直角坐标系中，已知、，把绕点A逆时针旋转后得到，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转的性质得出相等的边和角，然后根据点的坐标得出线段的长度，即可求解． 【详解】解：根据旋转的性质得，，， ∵、， ∴， 则， ∴点C坐标为， 又∵， ∴点D坐标为， 故选：A． 跟随训练1．如图，已知点，，A与关于x轴对称，连接，现将线段以B点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，由题意可得，从而得出，，由旋转的性质可得，过点作轴于点，证明，得出，，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点，A与关于x轴对称， ∴， ∵， ∴，， ∵将线段以B点为中心逆时针旋转得， ∴， 如图，过点作轴于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故选：A． 跟随训练2．如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标是_____．    【答案】 【分析】分别过、向轴作垂线，可得，利用全等得到到轴，轴的距离，进而根据所在象限可得相应坐标． 【详解】解：∵旋转， ∴， 作轴于点，轴于点，如图所示：    ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为． 【题型12 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 解题思路： 旋转180°直接横纵坐标变号；旋转特殊角（30°、60°）结合几何性质与全等推导，核心抓住点到原点距离不变。 解题口诀：旋转一八零，坐标全变号，特殊角度找全等 【典例12】．在平面直角坐标系中，把点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点绕原点旋转的坐标变化规律，理解绕原点旋转就是关于原点对称是解决问题的关键． 绕原点旋转实质是求关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标性质即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，把点绕原点旋转后的坐标就是求点关于原点对称的点的坐标， ∴把点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标为， ∴故选：D． 跟随训练1．将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质．先根据旋转性质确定线段长度与角度关系，再构造等腰直角三角形，利用边角关系求出点到坐标轴的距离，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，∵三角板绕原点顺时针旋转得到， ∴，． ∵， ∴． 过点作于，则， 在中，，， ∴，即为等腰直角三角形，． 在中，由勾股定理得， ∴． ∵点在第四象限， ∴点的坐标为； 故选：C． 跟随训练2．以原点为旋转中心，将点逆时针旋转得到点，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】连接，作轴，垂足为，容易判断是等腰直角三角形，则，，结合旋转的性质可知，点在轴负半轴上，且，从而得到点的坐标． 【详解】解：如图，连接，作轴，垂足为， ∵，轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵点由点绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴、、三点共线，即点在轴负半轴上， ∴点的坐标为． 【题型13 坐标与旋转规律问题】 解题思路： 结合坐标旋转规律与周期规律，先求单次旋转坐标，再找循环周期，根据周期判断多次旋转后的坐标。 【典例13】．如图，中的与轴重合，，将绕原点顺时针旋转后得到，将绕原点顺时针旋转得到，如此继续下去，连续旋转2026次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定初始点的坐标，根据旋转性质求出的坐标；由每次旋转计算出旋转一周的次数，得到坐标循环周期；用总旋转次数除以周期，根据余数确定对应的坐标位置，从而选出正确选项． 【详解】解：∵中，，与轴重合， ∴初始点的坐标为． ∵将绕原点顺时针旋转得到，，将绕原点顺时针再旋转（累计旋转）得到，， ∴的坐标为． ∵每次旋转，旋转一周需要的次数为：，即周期为， ∵， ∴旋转次后，点的位置与旋转次后的位置相同，坐标为． 故选：A． 跟随训练1．在平面直角坐标系中，等边如图放置，点A的坐标为．每一次将绕着点O逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，以此类推，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，点落在x轴负半轴，且，即可得到答案． 【详解】解：第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在x轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，, 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在x轴正半轴，， ……， 每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴， 而， 在x轴负半轴上，且， ∴点的坐标为． 跟随训练2．如图，边长为2的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2026次旋转后，顶点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正六边形的性质、平面直角坐标系中图形规律问题、全等三角形的判定与性质等知识点，正确分析出点D坐标的规律是解题的关键． 如图：连接，由勾股定理可得，求出，得到的值，进而求得的值，得到点D的坐标，由题意可得8次一个循环，即顶点D的坐标与旋转2次得到的点的坐标相同；如图：连接，将绕O旋转得到，过作轴于G，过D作于H，则，，，易证，再根据全等三角形的性质以及坐标与图形求得的坐标即可解答． 【详解】解：如图，连接， 在正六边形中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将正六边形绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转， ∴8次一个循环， ∵， ∴经过第2026次旋转后，顶点D的坐标与旋转2次得到的点的坐标相同， 如图：连接，将绕O旋转得到，过作轴于G，过D作于H，则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型14 线段问题（旋转综合题）】 解题思路： 利用旋转全等得对应线段相等，将分散线段转化到同一三角形中，结合三角形三边关系、勾股定理求线段长度或证明线段关系。 【典例14】．在中，，，点在边上，．若，，则的长为（    ） A．9 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】解题的核心思路是旋转构造．将绕点顺时针旋转至，连接、．首先利用证明，从而得到，并推导出．再证明，得到．这样，在中，由勾股定理得，即．最后代入已知数值，即可求出的长度． 【详解】解：如图， 将绕点顺时针旋转得到，连接． 由旋转可知，，且． ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴，． ∵中，，， ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得：． 又∵， ∴． 在与中， ∵，，， ∴． ∴． ∴，即． 已知，， 代入得：． 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转法构造全等三角形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是成功构造旋转全等，并利用角证明第二次全等，从而将转移到． 跟随训练1．如图，平面直角坐标系中，已知，，，线段上有一点，连，且绕点逆时针旋转得，则的最小值和最大值（   ） A．9，18 B．9，10 C．3， D．3， 【答案】C 【分析】过点作轴的垂线，根据全等三角形的判定与性质，得出点在直线上，据此求出的最大值及最小值即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， 由旋转可知，， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 所以点在直线上． 当与直线垂直时，取得最小值， 因为点坐标为， 所以的最小值为． 当点在点处时， 点坐标为， 则； 当点在点处时， 点坐标为， 则， 因为， 所以的最大值为， 显然只有C选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的性质和判定，勾股定理，实数的大小比较等知识点，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 跟随训练2．中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 【题型15 面积问题（旋转综合题）】 解题思路： 旋转前后图形面积相等，利用割补法，将不规则图形面积转化为规则图形（三角形、四边形）面积，或直接利用全等面积相等求解。 【典例15】．如图，中，，，，，D为AB中点．将绕点B旋转一周，设点A、C对应的点分别为、，的面积为S，则S的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转，三角形的面积，中点，正确作出图形是解题的关键． 过点D作所在的直线，确定：①当两点重合时，取得最小值，②当在同一直线上时，取得最大值，此时两点重合，逐一求解，即可解答． 【详解】解：过点D作所在的直线，如图，有，， 即， ①当两点重合时，取得最小值，如图 ∴， ∴， ②当在同一直线上时，取得最大值，此时两点重合，如图 ∴， ∴， 综上所述，． 故选A． 跟随训练1．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据旋转，可得，，，过点作于点，可判定为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得，最后通过求得答案． 【详解】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ，，． 如图，过点作于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ． ，， ． 跟随训练2．综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题． 如图1，在中，，，，分别为，的中点，将以点为旋转中心，顺时针方向旋转后得到（点，的对应点分别为点，），连接，． 【初步感知】 （1）如图2，当，，三点恰好在同一条直线上，且点在线段上时，的度数为__________．（用含的式子表示） （2）如图3，在旋转过程中，试判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【延伸探究】 （3）如图4，当满足时，连接，，若设与的面积之和为，则是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），，理由见解析 （3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、旋转的性质、三角形内角和定理以及最值问题的求解． （1）根据线段中点的定义可得，再由旋转的性质可得，，，，由等边对等角可得，证明，则由三角形外角和定理可得； （2）延长交于点，交于点，由（1）知，则，，则可推导，由此得到线段和之间的数量关系和位置关系； （3）连接，，二者交于点，由（1）得，，证明，则，推导，，当有最大值，有最大值，与的面积之和有最大值，当、、三点共线时，有最大值，由与的面积之和的最大值为即可解答． 【详解】（1）解：，，，分别为，的中点， ，， ， 由旋转的性质可得，，，，， ， ， ， 又， ， ； （2）解：，，理由如下， 如图，延长交于点，交于点， 由（1）知， ，， 又， ， ， 综上所述，，； （3）解：如图，连接，，二者交于点， 由（1）知，， ， ， ， 又，， ， ，， 设，则，， ， ， ， 即， ， ， 当有最大值，有最大值，与的面积之和有最大值， ， 当、、三点共线时，有最大值，最大值为， 的最大值为， 与的面积之和有最大值，此时． 【题型16 角度问题（旋转综合题）】 解题思路： 找准旋转角，利用旋转角相等、对应角相等，结合三角形内角和、外角性质、等腰三角形性质计算角度。 【典例16】．将一副三角板如图放置（为含的直角三角板，，，为含的直角三角板，）将三角板绕点逆时针旋转，使得三角板的一边所在的直线与垂直，则的度数为（    ）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，根据旋转的性质和已知条件进行分类讨论是解题的关键．根据题目要求，需要分两种情况讨论，第一种情况是当时，第二种情况是当时，再根据已知条件求解即可． 【详解】解：当时，如图，   ，， ， ， ， 旋转角为； 当时，如图，   ，， ， 旋转角为； 故选：C． 跟随训练1．如图，绕点C顺时针旋转后得到了，且于点D，则的度数为______． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了垂直的定义以及直角三角形两锐角互余的性质． 根据旋转的性质，可得知，，利用垂直的定义以及直角三角形两锐角互余求得的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵绕点C顺时针旋转后得到了， ∴，． ∵于点D， ∴， ∴， ∴． 故答案为：53． 跟随训练2．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则______； (2)若，，求和的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先根据旋转的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （）先根据旋转的性质可得，利用勾股定理可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， （2）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴在中，． 【题型17 其它问题（旋转综合题）】 解题思路： 涵盖周长、最值、路径长等问题，核心还是旋转全等与性质，周长利用对应线段相等转化，路径长根据旋转轨迹（圆弧）计算，灵活转化问题。 【典例17】．两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【详解】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 跟随训练1．在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为，，的中点，G，H分别为，的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为____________，最大值为___________________．    【答案】 8 【分析】根据题意，可固定四边形，平移或旋转其它图形，组合成四边形，求出周长，判断最小值，最大值． 【详解】    如图1，，， ∴四边形周长=；          如图2， ∴四边形周长为； 故答案为：最小值为8，最大值. 【点睛】本题考查图形变换及勾股定理，通过平移、旋转组成满足要求的四边形是解题的关键． 跟随训练2．在等腰中，，D是底边BC上一点，动点E在射线BC上，使得． 【探究发现】（1）如图1，当且点E在线段BC上时，猜想线段BD，DE，EC的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】（2）如图2，若且点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，若时，点D，E都在边BC上，，求的面积． 【答案】（1），证明见解析；（2）（1）中的结论成立，证明见解析 （3） 【分析】（1）将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解； （2）把绕点逆时针旋转，得到，连接，由（1）可知：，得出，则可得出结论； （3）如图3，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：． 证明如下： 如图1，将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接， ， ， 在和中， 在中，由勾股定理知：， （2）解：（1）中的结论仍成立． 理由：把绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，， ∴， ∵， ， 由（1）可知：， （3）解：∵，， ∴， ∴，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于， ， 如图，过A作， 则 的边上的高 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题关键． 【题型18 坐标系中的旋转】 解题思路： 综合坐标旋转规律、旋转性质、作图与计算，分绕原点、非原点两种情况，先定旋转三要素，再求坐标、画图形、解综合问题。 【典例18】．如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的坐标为，由于A、关于C点对称，列方程求解即可． 【详解】解：设的坐标为， ∵A和关于点对称， ∴， 解得， ∴点的坐标． 跟随训练1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以、为边作矩形，若将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质，熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 先根据题意得到，，再由矩形的性质可得，，，由旋转的性质可得，，，据此可得第二象限内的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，，， ∵将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，点在第二象限， ∴，，， ∴点的坐标为， 故选：D． 跟随训练2．在平面直角坐标系中，的顶点．点分别为边的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转，得到，点对应点分别为，旋转角记为． (1)当线段与线段有交点时，记线段与线段的交点为． ①如图，求证：； ②如图，连接，点恰好在线段上时，求线段的长； (2)整个旋转过程中，在线段上取点，使得，连接，记的面积为． 填空： ①的取值范围是________； ②当的值最大时，此时点的坐标为________． 【答案】(1)①见解析；② (2)； 【分析】（1）①连接，利用三角形中位线定理和旋转性质即可证得，利用全等三角形性质即可证得结论； ②利用勾股定理可得，由旋转得：，，设，则，，运用勾股定理建立方程求解即可； （2）①当轴，且点F在直线右侧时，此时S最大，当轴，且点F在直线左侧时，此时S最小，分别求得最大值和最小值即可； ②过点作轴于K，延长交于L，利用矩形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）①证明：如图1，连接， 点C，D分别为边的中点， 是的中位线， ， ， ， 由旋转得：， ， ， ； ②解：， ， ， 点C，D分别为边的中点， ，， 由旋转得：， ， 点恰好在线段上， ， 由①知，设， 则，， 在中，， ， 解得：， ； （2）解：①当轴，且点F在直线右侧时，如图3，延长交y轴于G， 则轴，此时S最大， ， ， ； 当轴，且点F在直线左侧时，如图4，延长交y轴于G， 则，此时S最小， ， 故答案为：； ②如图5，过点作轴于K，延长交于L， 则四边形是矩形， ， 又和是等腰直角三角形， ，， ， ， 故答案为： 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查平面直角坐标系中三角形旋转，熟练掌握点的坐标，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键 05 过关•检测 1．下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的定义， 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义． 【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动， ∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象； 选项A中汽车飞驰主要是平移运动； 选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主； 选项D中升降电梯是垂直平移运动． 故选：B． 2．如图中的四个三角形不能由最左侧的三角形经过平移或旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平移或旋转的定义，熟练掌握平移或旋转的定义是解题的关键．根据平移或旋转的定义进行判断即可． 【详解】解：如图，选项A，C，D中的三角形可以利用平移或旋转的方法得到．选项B中的三角形不能利用平移或旋转的方法得到． 故选：B． 3．如图，在中，，将绕点B顺时针旋转，得到，连接交于点F，则与的周长之和为（   ） A．34 B．32 C．24 D．14 【答案】B 【分析】勾股定理求出的长，根据旋转的性质，推出为等边三角形，进而得到，再根据三角形的周长公式进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点B顺时针旋转，得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴与的周长之和． 4．如图，等腰直角三角形中，，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，连接，则随着的增大，的度数（    ） A．增大 B．减小 C．不变 D．先增大后减小 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，由外角的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是定值， 5．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由旋转的性质可知：，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴， ∴； 故选A． 6．如图，在和中，，，，分别是，上的点，，分别交于点，，．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①将绕点逆时针旋转得对应三角形为，结合等腰三角形的性质及旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可判断；②将绕点顺时针旋转得对应三角形为，结合等腰三角形的性质及旋转的性质，由判定，由全等三角形的性质，即可判断； ③由全等三角形的性质得，即可判断；④过点作交于，作交于，结合等腰三角形的性质，由判定，由全等三角形的性质及角平分线的判定定理，即可判断． 【详解】解：①，， 将绕点逆时针旋转得对应三角形为， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， ， 故①正确； ②，， 将绕点顺时针旋转得对应三角形为， 由①同理可证：，（）， ， ， ， 故②正确； ③：由②得， ， 平分， 故③正确； ④过点作交于，作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， 平分， 故④正确； ①②③④都正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，角平分线的判定定理；能利用旋转的性质构建全等三角形是解题的关键． 7．汽车在笔直的公路上移动属于______现象，车轮绕其车轴的运动属于______现象．（填“平移”或“旋转”） 【答案】 平移 旋转 【分析】本题考查平移与旋转的认识，掌握知识点是解题的关键． 根据平移与旋转的定义，即可解答． 【详解】解：汽车在笔直的公路上移动属于平移现象，车轮运动属于旋转现象． 故答案为：平移，旋转． 8．如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 9．如图，与都是直角三角形，和都是直角，点在上，如果经顺时针旋转后能与重合，那么的度数是______． 【答案】/度 【分析】由旋转得出，再根据直角三角形性质求出结论即可． 【详解】解：顺时针旋转得到． ， ， ． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，把绕点逆时针旋转得到，为的对应点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理计算出线段的长度，再通过角度推导证明，从而确定点的坐标． 【详解】解：∵点，点，， ∴由勾股定理得：． ∵， ∴． ∵把绕点逆时针旋转得到 ∴，且． ∴， ∵点，． ∴点的坐标为． 11．如图，在中，，，点M、N在边上，，，，则____________________ ． 【答案】 【分析】将绕点B顺时针旋转，得，连接，证明为直角三角形，由勾股定理求出长，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∴将绕点B顺时针旋转，得，连接，如图， 则，，，，， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 12．如图，将绕点顺时针旋转90°得，连接后发现、、三点共线． (1)求证． (2)当时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）如图，设，交于F，根据旋转的性质得到，，，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形内角和定理即可得到结论． （2）由（1）知，求得∠EAD=90°，根据旋转的性质得到，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）证明：如图，设，交于F， ∵将绕点C顺时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：由（1）知， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得， ∴， ∵， ∴． 13．如图，在中，，，将绕点A顺时针方向旋转角（），得到，连接． (1)当时，的面积为______；的度数为______； (2)当时，求的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是理解题意，作出合适的辅助线，并熟练掌握相关基础性质． （1）由勾股定理和等腰三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，以及三角形面积公式求解即可； （2）连接，延长，交于点D，由题意可得是等边三角形，由直角三角形的性质可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 连接，由旋转可得，， ∵将绕点A顺时针方向旋转角（），得到，， ∴与边重合， ∴， ∴的面积为； 故答案为：，； （2）解：如图，连接，延长，交于点D， ∵将绕点A顺时针方向旋转角（），得到，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴垂直平分，则， ∴， ∵， ∴． 14．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运用三角形内角和定理，求出，再结合旋转的性质，求得； （2）运用勾股定理计算的长度，根据旋转的性质，得到，从而得到，最后运用勾股定理求得的长． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 15．如图，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为点E，D，连接，点D恰好落在线段上． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用旋转性质得到，，推出，从而证明； （2）由旋转的性质得，在已证的中，用勾股定理计算得​． 【详解】（1）证明：由旋转得，，，且点恰好落在线段上， ∴， ∴， ∴． （2）解：由旋转的性质可知， ∵，， ∴在中，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $