专题15 一元一次不等式(组)复习 优等生讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级下册

该初中数学讲义通过思维导图总览课程内容，以“定义-性质-解法-应用”为主线梳理一元一次不等式（组）知识，用知识速查表归纳核心内容与关键点，清晰呈现不等式性质、解集数轴表示等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于8大考点分层设计，创新压轴题如“梦想解”新定义题型，结合方案设计、利润问题等实际应用，培养推理意识与模型意识。例题含解题步骤解析与方法总结，课后巩固分层设置，助力学生掌握解题技巧，教师可据此实施精准教学。

专题15 一元一次不等式(组)复习 优等生讲义 (8大考点精讲+创新压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握 不等式的三个基本性质，能正确运用性质进行变形。 · 理解 一元一次不等式的解和解集的概念，能在数轴上表示解集。 · 熟练 解一元一次不等式（组），掌握去分母、去括号、移项、合并、系数化1等步骤，注意不等号方向的变化。 · 能灵活运用 一元一次不等式（组）解决实际问题，包括方案设计、最值问题、配套问题等。 · 掌握 含参数不等式（组）的解法，能根据整数解、无解等条件求参数范围。 · 体会 数形结合、分类讨论、模型思想在不等式中的应用。 ✨ 核心思想：不等号方向 · 数轴表示 · 建模求解 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 不等式的定义与性质 · 定义： 用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。 · 性质1： 若 ，则 （不等号方向不变）。 · 性质2： 若 ，且 ，则 ，（不等号方向不变）。 · 性质3： 若 ，且 ，则 ，（不等号方向改变）。 ☆ 一元一次不等式（组）的概念 · 一元一次不等式： 只含一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式。一般形式：（或＜，≥，≤）。 · 解集： 使不等式成立的未知数的取值范围，可在数轴上表示（空心圈表示不包含端点，实心点表示包含端点）。 · 一元一次不等式组： 由几个一元一次不等式组成的不等式组。解集是各个不等式解集的公共部分。 ☆ 解一元一次不等式（组）的步骤 · 去分母（注意分母的正负，若分母为负，不等号方向改变）。 · 去括号（注意符号）。 · 移项（改变符号）。 · 合并同类项。 · 系数化为1（注意系数正负，负数要改变不等号方向）。 · 对于不等式组，分别解每个不等式，然后利用数轴找公共部分，得出解集（口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找）。 ☆ 含参数不等式（组） · 已知解集求参数：根据解集特点，利用端点值相等列方程（组）求参数。 · 已知整数解个数求参数范围：先解不等式（组），再根据整数解的个数确定端点的取值范围。 · 已知无解或有解求参数：利用数轴或口诀，列出关于参数的不等式（组）。 ☆ 一元一次不等式（组）的应用 · 常见题型：分配问题、利润问题、行程问题、方案设计、租车（船）问题、商品采购等。 · 步骤：审题 → 设未知数 → 找出不等关系 → 列不等式（组） → 求解 → 检验实际意义 → 作答。 · 注意：结果通常为整数（人数、车辆数等），需结合实际取整。 ❉ 一元一次不等式（组）知识速查表 类别 核心内容 关键点 不等式的性质 加减不变，乘除正数不变，乘除负数改变方向 特别关注系数为负时的变号 解一元一次不等式 去分母、去括号、移项、合并、系数化1 每一步都要注意不等号方向是否改变 解一元一次不等式组 分别解每个不等式，取公共部分 利用数轴确定解集，记忆口诀 整数解问题 先解不等式（组），再根据整数解的个数确定参数范围 端点值的取舍要小心（空心与实心） 实际应用 根据题意列不等式（组），注意取整 常见模型：分配、利润、方案、路程等 核心考点 ·8大考点精讲 【考点1】不等式及其性质（1-5题） ❤ 方法总结 · 运用不等式的性质时，注意乘除负数要改变不等号方向。 · 判断选项正误时，可举反例（如 时，）。 · 利用已知不等式推理时，要严格依据性质，不能主观臆断。 · 实际问题中的不等关系（如跷跷板）可通过列不等式求解。 1．（2025春•嘉定区校级月考）下列说法不正确的是（　　） A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若2a＞2b，则a＞b 2．（2025秋•静安区校级期中）已知有理数a、b，a﹣b的差比a大，但比b小，则下列说法中正确的是（　　） A．a是正数，b是正数 B．a是正数，b是负数 C．a是负数，b是正数 D．a是负数，b是负数 3．（2025春•徐汇区校级月考）已知a＞b，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025春•上海期末）如果a＞b，那么 　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 5．（2025秋•黄浦区校级月考）小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的体重应小于 　 　 千克． 【考点2】不等式的解和解集（6-10题） ❤ 方法总结 · 识别一元一次不等式：只含一个未知数，次数为1，整式。 · 已知解集求参数：将解集表示成数轴形式，利用端点值列方程（组）。 · 解集的概念：能使不等式成立的未知数的值叫解，所有解的集合叫解集。 · 不等式组解集的确定：利用数轴找公共部分，或根据口诀。 6．（2025春•奉贤区期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．3x﹣5y＜1 B．x2﹣4x＞0 C． D．6＞5 7．（2025春•闵行区校级月考）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（　　） A． B． C． D． 8．（2025春•闵行区期中）已知某个不等式的解集是x＜﹣2，下列说法正确的是（　　） A．0是这个不等式的解 B．﹣3不是这个不等式的解 C．小于﹣3的数都是这个不等式的解 D．小于﹣1的数都是这个不等式的解 9．（2025春•闵行区校级月考）已知（m﹣4）x|m﹣3|+2＞6是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　 ． 10．（2025春•浦东新区期中）如果不等式组的解集为x＜5，那么m的取值范围是为 　 　 ． 【考点3】解一元一次不等式（11-17题） ❤ 方法总结 · 解不等式时，每一步都要检查不等号方向是否变化，特别是去分母和系数化1。 · 注意去分母时，常数项也要乘以分母的最小公倍数。 · 新定义运算（如 、）要先理解定义，转化为普通不等式求解。 · 解集在数轴上表示时，空心圈表示不含端点，实心点表示包含端点。 11．（2025春•金山区期末）下列有关不等式的解法中，错误的是（　　） A．x﹣2≥2，两边同加2，得x≥4 B．x+6≤0，两边同减6，得x≤﹣6 C．﹣x≥﹣6，两边同乘﹣1，得x≥6 D．﹣3x≥﹣6，两边同除以﹣3，得x≤2 12．（2025春•闵行区校级月考）解不等式，小聪的解题过程如下：①﹣6+x+1＜3x；②x﹣3x≤6﹣1；③﹣2x≤5；④．这个结果是错的，其中造成解答错误的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 13．（2025•浦东新区校级自主招生）若满足关于x的不等式|x2﹣4x+a|+|x﹣3|≤5的最大的x的值为3，则a＝　 　 ． 14．（2025春•杨浦区校级月考）若定义max{a，b}是a与b中的较大者，例如：max{1，3}＝3，max{5，5}＝5，若有y＝max{x+3，﹣x+8}，那么y的最小值是 　 　 ． 15．（2025春•浦东新区校级期中）定义新运算“※”如下：当a＞b时，a※b＝b﹣ab；当a＜b时，a※b＝b+ab．例如：4※3＝3﹣4×3＝﹣9，2※3＝3+2×3＝9，若3※（x+2）＜0，则x的取值范围是　 　 ． 16．（2025春•奉贤区校级期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 17．（2025春•虹口区校级月考）下面是小明解不等式的过程． 解：去分母得： 3（1+x）﹣2（2x+1）≤1① 去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤1② 移项得：3x﹣4x≤1+2﹣3③ 合并同类项得：﹣x≤0④ 两边同除以﹣1得：x≤0．⑤ （1）填空：小明的解题步骤存在一步或若干步错误，则他所有错误步骤的序号是　 　 ； （2）请你写出正确的解答过程． 【考点4】一元一次不等式的应用（18-21题） ❤ 方法总结 · 审清题意，找出不等关系（如“不低于”“超过”“不足”“至少”“至多”等）。 · 设未知数，列不等式（组），注意单位统一。 · 解不等式后，根据实际问题取整（人数、件数等），并作答。 · 优惠方案比较：分别计算两种优惠后的实际费用，再比较大小。 18．（2025春•上海校级期末）端午节是中国四大传统节日之一（与春节、清明节、中秋节并列），距今已有2000多年历史，于2009年被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某商店购进蛋黄肉粽跟碱水粽共100盒，已知蛋黄肉粽每盒利润为10元，碱水粽每盒利润为20元．如果购进的粽子销售完毕，所得总利润不低于1600元，那么最多能购进蛋黄肉粽多少盒？ 19．（2025春•上海月考）在一次知识竞赛中，共16道选择题，答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答不扣分，某同学有一道题未答，那么他至少答对多少题，成绩才能在60分以上？ 20．（2025春•闵行区校级月考）暑假期间，小巴和小蜀同学参加社会实践活动，在某糕点店制作了一批甜点进行售卖，其中“花生酥”和“纸杯蛋糕”的制作成本分别是每个2.5元和4元，每个“纸杯蛋糕”的售价比“花生酥”多1.5元，某天上午，他们一共售卖出30个“花生酥”和50个“纸杯蛋糕”，共盈利120元． （1）求“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价； （2）当天下午，小巴和小蜀又将制作的“花生酥”和“纸杯蛋糕”两种甜点共200个进行售卖、为了促销，他们还用50元钱租借了一个棉花糖机，制作一个棉花糖需要0.5元钱的成本，每销售一个“纸杯蛋糕”就赠送一个棉花糖．由于天气炎热销售过程中“纸杯蛋糕”有15%的损坏（无法售卖），且两种甜点的售价都保持不变，当天下午除损坏的“纸杯蛋糕”外，其余的“花生酥”和“纸杯蛋糕”全部售完．若要保证全天的总利润不低于300元，则“花生酥”全天的销量最少为多少个？ 21．（2025春•黄浦区期末）静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动． 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： （1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款 　 　 元；（用含有x的代数式表示） （2）顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【考点5】解一元一次不等式组（22-30题） ❤ 方法总结 · 分别解每个不等式，再在数轴上找公共部分得出解集。 · 含参数的不等式组，通常要讨论参数的范围，利用解集特点列不等式（组）。 · 新定义题型（如“邻好关系”）要理解定义，将条件转化为方程或不等式求解。 · 注意检查每一步的符号和方向。 22．（2025秋•徐汇区校级期中）若，且是最简分数，则x＝　 　 ． 23．（2025春•杨浦区校级月考）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 　 　 ． 24．（2025春•黄浦区校级月考）关于x，y的方程组有正整数解，且关于x的不等式组有解，则满足条件的整数m的值为　 　 ． 25．（2025春•徐汇区校级期中）若a＞b＞c，则不等式组的解集是　 　 ． 26．（2025春•闵行区校级月考）解不等式组：． 27．（2025春•上海校级期中）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 28．（2025春•杨浦区校级期末）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． （1）方程组的解x与y　 　 （填“具有”或“不具有”）“邻好关系”； （2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； （3）未知数为x，y的方程组，其中a与x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 29．（2025春•杨浦区校级月考）已知关于x、y的方程满足方程组． （1）若5x+3y＝﹣6，求m的值； （2）若x、y均为非负数，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，求S＝2x﹣3y+m的最大值和最小值． 30．（2025春•青秀区校级期末）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，x﹣2x＜2．第一步 x＜﹣2．第二步 解不等式②得，2（2x+2）≤3x+1．第三步 4x+4≤3x+1．第四步 4x﹣3x≤1﹣4．第五步 x≤﹣3．第六步 … （1）填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 　 　 ； （2）请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【考点6】一元一次不等式组的整数解（31-35题） ❤ 方法总结 · 先解不等式组，得到解集（用参数表示）。 · 根据整数解的个数，确定参数的取值范围，注意端点值的取舍（空心与实心）。 · 若要求所有整数解的和或最大最小整数解，直接找出整数即可。 · 注意：不等式组的解集可能无解，要检查参数范围。 31．（2025春•闵行区校级期中）已知关于x的不等式组恰好有三个整数解，则m的取值范围是 　 　 ． 32．（2025春•浦东新区校级月考）关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是 　 　 ． 33．（2025春•上海校级期中）不等式组的最大整数解与最小整数解的和是 　 　 ． 34．（2025春•浦东新区期中）解不等式组，并求出所有整数解． 35．（2025春•闵行区校级月考）（1）解下列不等式； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【考点7】一元一次不等式组的应用（36-41题） ❤ 方法总结 · 设未知数，根据题中多个不等关系列出不等式组。 · 求出整数解（方案），再选择最优方案（如费用最少）。 · 注意隐含着未知数为正整数（如车辆数、人数）的条件。 · 有时需要结合函数思想求最值（如线性规划思想）。 36．（2025春•杨浦区校级期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 37．（2025春•普陀区校级月考）开学之前，学校总务部门安排新生宿舍，如果每间宿舍住4个学生，那么还余20个人没有宿舍可住；如果每间住8人，那么其中一间不满也不空，其余各间全满，试问：要住宿舍的新生共有多少人？一共有多少间宿舍？ 38．（2025春•崇明区期末）某工人制造机器零件，如果每天比计划多做一件，那么8天所做的零件总数超过100件；如果每天比计划少做一件，那么8天所做的零件总数不足99件，问这个工人每天做多少件？ 39．（2025春•浦东新区期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． （1）求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 40．（2025春•崇明区校级期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． （1）求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； （2）学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？ 41．（2025春•浦东新区校级月考）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为am，宽为bm． （1）写出用b表示a的式子a＝　 　 ，当a＝20时，求b的值； （2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围． 【考点8】创新及压轴题（1-4题） ❤ 方法总结 · 新定义题型：认真阅读定义，将“梦想解”“关联方程”等转化为数学条件。 · 综合题常融合方程、不等式、整数解、方案设计等，需多角度分析。 · 注意隐含条件：如“整数”“正整数”“最简分数”等。 · 分类讨论：当参数范围不确定时，要分情况讨论。 1．（2025春•杨浦区校级期末）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+2＞0，方程的解为x＝2使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1和不等式x+2＞0的“梦想解”． （1）已知①；；③2（x+3）＜4；则方程3x+2＝5的解是它与①②③中的不等式　 　 的“梦想解”； （2）若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组﹣1＜x+y＜4的“梦想解”，求m的整数解． 2．（2025春•奉贤区期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，那么我们把这个一元一次方程叫作为这个不等式组的关联方程． （1）在方程①2x＝7；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组的关联方程是 　 　 ．（只需填序号） （2）如果不等式组的某个关联方程的根是整数，那么这个关联方程可以是 　 　 ．（写出一个即可） （3）如果方程2x﹣4＝0是关于x的不等式组的关联方程，请求出m的取值范围． 3．（2025春•闵行区校级月考）某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示： 购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 5 4 800 第二次购买 3 7 940 第三次购买 9 8 912 （1）求保温杯、台灯的标价； （2）某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？ 4．（2025春•宝山区月考）某公司计划购买A，B两种型号的打印机共20台，通过市场调研发现，购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元；购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元． （1）求购买A，B两种型号打印机每台的价格分别是多少元？ （2）根据公司实际情况，要求购买A型打印机的数量不低于B型打印机数量的，不超过B型打印机数量的一半，且购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元，求该公司按计划购买A，B两种型号打印机共有几种购买方案，哪种方案费用最低？并求出最低费用． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1 解一元一次不等式组（基础运算，求解集）。 · 练习2 三角形面积分割问题，列不等式组求线段范围（几何背景）。 · 练习3 玻璃球体积估计，根据水位变化列不等式组求体积范围。 1．（2025秋•宝山区校级月考）不等式组的解集是 　 　 ． 2．（2025春•普陀区期中）如图，一块三角形空地ABC，三边长分别为20m、30m、40m，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD长的取值范围是　 　 ． 3．（2025春•松江区校级月考）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 · 题1  已知整数解个数求参数范围（端点取舍）。 · 题2  新定义运算与不等式组整数解（“⊗”运算）。 · 题3  已知整数解个数求参数范围（数形结合）。 · 题4  含参数不等式组整数解求参数范围。 · 题5  分配问题（住宿安排），列不等式组求整数解。 · 题6  不等式组无解求参数范围。 · 题7  解一元一次不等式组（基础）。 · 题8  解不等式组，并讨论无解时的参数范围。 · 题9  原料分配问题，列不等式组求方案并比较利润。 · 题10 运输方案设计，求最少运费。 · 题11 销售利润与进货方案，整数解及捐赠问题。 · 题12 生产调配与车辆运输优化问题。 ※ 复习建议 本专题重点在于不等式的性质应用、一元一次不等式（组）的解法及实际应用。建议熟练掌握解不等式的步骤，特别注意系数为负时不等号方向的变化。对于含参数问题，要善于利用数轴分析整数解的范围。实际应用题中，要准确找出不等关系，注意结果取整。 1．（2025春•松江区校级月考）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（　　） A．6≤m＜9 B．6＜m≤9 C．6＜m＜9 D．6≤m≤9 2．（2025春•闵行区校级月考）对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23 3．（2025春•杨浦区校级月考）若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A．10＜a≤12 B．10≤a＜12 C．9≤a＜10 D．9＜a≤10 4．（2025春•虹口区期末）关于x的不等式组有两个整数解，那么m的取值范围是　 　 ． 5．（2025春•松江区校级月考）某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有宿舍 　 　 间． 6．（2025春•杨浦区校级期末）已知关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围为　 　 ． 7．（2025春•徐汇区校级期中）解不等式组． 8．（2025春•嘉定区校级月考）解不等式组：． （1）当m＝﹣1时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； （2）要使此不等式组无解，则m的取值范围是　 　 ． 9．（2025春•宝山区校级期末）某工厂现有甲种原料3600kg，乙种原料2410kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg和乙种原料8kg． （1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组． （2）问一共有几种符合要求的生产方案？并列举出来． （3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？（请用数据说明） 10．（2025春•杨浦区校级月考）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨． （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？ 11．（2025秋•徐汇区校级月考）某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/部） 4300 3600 售价（元/部） 4800 4200 （1）该店销售记录显示．三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？ （2）根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的，而用于购买这两种手机的资金低于81500元，请通过计算设计所有可能的进货方案． （3）在（2）的条件下，该店打算将四月份按计划购进的20部手机全部售出后，所获得利润的30%用于购买A，B两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买A仪器每台300元，购买B仪器每台570元，且所捐的钱恰好用完，试问该店捐赠A，B两款仪器一共多少台？（直接写出所有可能的结果即可） 12．（2025秋•普陀区校级月考）“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务． （1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？ （2）现要将这些帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A，B两地，由于两市通住A，B两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数如下表： A地 B地 每千顶帐篷 所需车辆数 甲市 4 7 乙市 3 5 所急需帐篷数（单位：千顶） 9 5 请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少．说明理由，并求出最少车辆总数． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 一元一次不等式(组)复习 优等生讲义 (8大考点精讲+创新压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握 不等式的三个基本性质，能正确运用性质进行变形。 · 理解 一元一次不等式的解和解集的概念，能在数轴上表示解集。 · 熟练 解一元一次不等式（组），掌握去分母、去括号、移项、合并、系数化1等步骤，注意不等号方向的变化。 · 能灵活运用 一元一次不等式（组）解决实际问题，包括方案设计、最值问题、配套问题等。 · 掌握 含参数不等式（组）的解法，能根据整数解、无解等条件求参数范围。 · 体会 数形结合、分类讨论、模型思想在不等式中的应用。 ✨ 核心思想：不等号方向 · 数轴表示 · 建模求解 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 不等式的定义与性质 · 定义： 用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。 · 性质1： 若 ，则 （不等号方向不变）。 · 性质2： 若 ，且 ，则 ，（不等号方向不变）。 · 性质3： 若 ，且 ，则 ，（不等号方向改变）。 ☆ 一元一次不等式（组）的概念 · 一元一次不等式： 只含一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式。一般形式：（或＜，≥，≤）。 · 解集： 使不等式成立的未知数的取值范围，可在数轴上表示（空心圈表示不包含端点，实心点表示包含端点）。 · 一元一次不等式组： 由几个一元一次不等式组成的不等式组。解集是各个不等式解集的公共部分。 ☆ 解一元一次不等式（组）的步骤 · 去分母（注意分母的正负，若分母为负，不等号方向改变）。 · 去括号（注意符号）。 · 移项（改变符号）。 · 合并同类项。 · 系数化为1（注意系数正负，负数要改变不等号方向）。 · 对于不等式组，分别解每个不等式，然后利用数轴找公共部分，得出解集（口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找）。 ☆ 含参数不等式（组） · 已知解集求参数：根据解集特点，利用端点值相等列方程（组）求参数。 · 已知整数解个数求参数范围：先解不等式（组），再根据整数解的个数确定端点的取值范围。 · 已知无解或有解求参数：利用数轴或口诀，列出关于参数的不等式（组）。 ☆ 一元一次不等式（组）的应用 · 常见题型：分配问题、利润问题、行程问题、方案设计、租车（船）问题、商品采购等。 · 步骤：审题 → 设未知数 → 找出不等关系 → 列不等式（组） → 求解 → 检验实际意义 → 作答。 · 注意：结果通常为整数（人数、车辆数等），需结合实际取整。 ❉ 一元一次不等式（组）知识速查表 类别 核心内容 关键点 不等式的性质 加减不变，乘除正数不变，乘除负数改变方向 特别关注系数为负时的变号 解一元一次不等式 去分母、去括号、移项、合并、系数化1 每一步都要注意不等号方向是否改变 解一元一次不等式组 分别解每个不等式，取公共部分 利用数轴确定解集，记忆口诀 整数解问题 先解不等式（组），再根据整数解的个数确定参数范围 端点值的取舍要小心（空心与实心） 实际应用 根据题意列不等式（组），注意取整 常见模型：分配、利润、方案、路程等 核心考点 ·8大考点精讲 【考点1】不等式及其性质（1-5题） ❤ 方法总结 · 运用不等式的性质时，注意乘除负数要改变不等号方向。 · 判断选项正误时，可举反例（如 时，）。 · 利用已知不等式推理时，要严格依据性质，不能主观臆断。 · 实际问题中的不等关系（如跷跷板）可通过列不等式求解。 1．（2025春•嘉定区校级月考）下列说法不正确的是（　　） A．若a＞b，则a+2＞b+2 B．若a＞b，则 C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若2a＞2b，则a＞b 【考点】不等式的性质．版权所有 【分析】根据不等式的性质，对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：因为a＞b， 则根据不等式的基本性质1得，a+2＞b+2． 故A选项不符合题意． 因为a＞b， 则根据不等式的基本性质2得，． 故B选项不符合题意． 因为a＞b， 则根据不等式的基本性质2得，ac2＞bc2（c≠0）． 故C选项符合题意． 因为2a＞2b， 则根据不等式的基本性质2得，a＞b． 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键． 2．（2025秋•静安区校级期中）已知有理数a、b，a﹣b的差比a大，但比b小，则下列说法中正确的是（　　） A．a是正数，b是正数 B．a是正数，b是负数 C．a是负数，b是正数 D．a是负数，b是负数 【考点】不等式的性质．版权所有 【分析】先根据已知条件列出关于a，b的不等式，根据不等式的性质判断a，b的正负即可． 【解答】解：∵a﹣b的差比a大， ∴a﹣b＞a， ∴b＜0， ∵a﹣b＜b， ∴a＜2b， ∵b＜0， ∴2b＜0， ∴a＜2b＜0，即a＜0， ∴a，b均为负数， 故选：D． 【点评】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． 3．（2025春•徐汇区校级月考）已知a＞b，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】不等式的性质．版权所有 【分析】根据不等式的性质，可得答案． 【解答】解：A、两边都乘以，不等号的方向不变，选项计算错误，不符合题意； B、两边都加，不等号的方向不变，选项计算错误，不符合题意； C、两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，选项计算正确，符合题意； D、两边都减，不等号的方向不变，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是关键． 4．（2025春•上海期末）如果a＞b，那么 　＜　 （填“＞”、“＜”或“＝”）． 【考点】不等式的性质．版权所有 【分析】用作差法比较即可． 【解答】解： ， ∵a＞b， ∴a﹣b＞0， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了不等式的性质和利用作差法比较两个代数式的大小．作差法比较大小的方法是：如果a﹣b＞0，那么a＞b；如果a﹣b＝0，那么a＝b；如果a﹣b＜0，那么a＜b；另外本题还用到了不等式的传递性，即如果a＞b，b＞c，那么a＞b＞c． 5．（2025秋•黄浦区校级月考）小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地．那么小明的体重应小于 　25　 千克． 【考点】不等式的性质．版权所有 【分析】设小明体重为x，则由题意得：妈妈体重为2x，爸爸体重为150﹣2x﹣x，150﹣2x﹣x＞x+2x，解不等式即得． 【解答】解：设小明体重为x， 由体重只有妈妈一半的小明得： 妈妈体重为2x． 由三人体重一共为150kg得： 爸爸的体重为：150﹣2x﹣x＝150﹣3x． 由爸爸坐在跷跷板一端，体重只有妈妈一半的小明和妈妈同坐在跷跷板的另一端．这时，爸爸的那一端仍然着地得： 150﹣3x＞x+2x， 6x＜150， x＜25． 故小明的体重应＜25kg． 故答案为：25． 【点评】由实际问题列出不等式，就是把实际问题转化为数学问题，通过不等式求解可使实际问题变得较为简单． 【考点2】不等式的解和解集（6-10题） ❤ 方法总结 · 识别一元一次不等式：只含一个未知数，次数为1，整式。 · 已知解集求参数：将解集表示成数轴形式，利用端点值列方程（组）。 · 解集的概念：能使不等式成立的未知数的值叫解，所有解的集合叫解集。 · 不等式组解集的确定：利用数轴找公共部分，或根据口诀。 6．（2025春•奉贤区期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．3x﹣5y＜1 B．x2﹣4x＞0 C． D．6＞5 【考点】一元一次不等式的定义．版权所有 【分析】根据一元一次不等式的定义判断即可． 【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； B、未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； C、是一元一次不等式，故此选项符合题意； D、没有未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是0是解题的关键． 7．（2025春•闵行区校级月考）若关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x，则关于x的不等式（a+b）x＞b﹣a的解集是（　　） A． B． C． D． 【考点】不等式的解集；不等式的性质．版权所有 【分析】先求出a与b的数量关系及正负，再代入即可求得． 【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为x， ∴a＜0，且x， ∴， ∴a＝3b，且b＜0， ∴（a+b）x＞b﹣a， 即4bx＞﹣2b， ∴x． 故选：A． 【点评】本题主要考查不等式的解集及不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 8．（2025春•闵行区期中）已知某个不等式的解集是x＜﹣2，下列说法正确的是（　　） A．0是这个不等式的解 B．﹣3不是这个不等式的解 C．小于﹣3的数都是这个不等式的解 D．小于﹣1的数都是这个不等式的解 【考点】不等式的解集．版权所有 【分析】根据不等式的解集的意义解答即可． 【解答】解：不等式的解集是x＜﹣2， 则0不是这个不等式的解，故选项A不符合题意； ﹣3是这个不等式的解，故选项B不符合题意； 小于﹣3的数都是这个不等式的解，故选项C符合题意； 小于﹣1的数不一定是这个不等式的解，如﹣1.5不是这个不等式的解，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了不等式的解集，掌握不等式的解集是解答本题的关键． 9．（2025春•闵行区校级月考）已知（m﹣4）x|m﹣3|+2＞6是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　2　 ． 【考点】一元一次不等式的定义．版权所有 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【解答】解：∵不等式（m﹣4）x|m﹣3|+2＞6是关于x的一元一次不等式， ∴|m﹣3|＝1，且m﹣4≠0， 解得：m＝4（舍去）或m＝2， 则m的值为2， 故答案为：2． 【点评】此题考查的是一元一次不等式，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 10．（2025春•浦东新区期中）如果不等式组的解集为x＜5，那么m的取值范围是为 m≥5　 ． 【考点】不等式的解集．版权所有 【分析】根据“同小取较小”的原则进行解答即可． 【解答】解：∵不等式组的解集为x＜5， ∴m≥5． 故答案为：m≥5． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 【考点3】解一元一次不等式（11-17题） ❤ 方法总结 · 解不等式时，每一步都要检查不等号方向是否变化，特别是去分母和系数化1。 · 注意去分母时，常数项也要乘以分母的最小公倍数。 · 新定义运算（如 、）要先理解定义，转化为普通不等式求解。 · 解集在数轴上表示时，空心圈表示不含端点，实心点表示包含端点。 11．（2025春•金山区期末）下列有关不等式的解法中，错误的是（　　） A．x﹣2≥2，两边同加2，得x≥4 B．x+6≤0，两边同减6，得x≤﹣6 C．﹣x≥﹣6，两边同乘﹣1，得x≥6 D．﹣3x≥﹣6，两边同除以﹣3，得x≤2 【考点】解一元一次不等式．版权所有 【分析】各项中不等式变形得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、x﹣2≥2，两边同加2，得x≥4，正确，不符合题意； B、x+6≤0，两边同减6，得x≤﹣6，正确，不符合题意； C、﹣x≥﹣6，两边同乘﹣1，得x≤6，故错误，符合题意； D、3x≥﹣6，两边同除以﹣3，得x≤2，正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】此题考查了解一元一次不等式，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解集． 12．（2025春•闵行区校级月考）解不等式，小聪的解题过程如下：①﹣6+x+1＜3x；②x﹣3x≤6﹣1；③﹣2x≤5；④．这个结果是错的，其中造成解答错误的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【考点】解一元一次不等式．版权所有 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：去分母，得：﹣6+x+1≥3x， 移项，得：x﹣3x≥6﹣1， 合并同类项，得：﹣2x≥5， 系数化为1，得：x， ∴其中造成解答错误的一步是第①步， 故选：A． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 13．（2025•浦东新区校级自主招生）若满足关于x的不等式|x2﹣4x+a|+|x﹣3|≤5的最大的x的值为3，则a＝　8　 ． 【考点】解一元一次不等式；绝对值．版权所有 【分析】由不等式解的最大值为3，可知x＝3时不等式成立，且x＞3时不等式不成立，代入x＝3得|a﹣3|≤5，即﹣2≤a≤8，分别验证a＝8和a＝﹣2，发现a＝﹣2时，x＝4满足不等式，故排除；a＝8，时x＝3满足且x＞3时不满足，因此a＝8符合条件． 【解答】解：当x＝3时，不等式化为|a﹣3|≤5， 解得：﹣2≤a≤8， 当a＝﹣2时， 由条件可得|16﹣16﹣2|+|1|＝2+1＝3≤5，不等式成立， 但x＝4＞3，与最大值为3矛盾； 当a＝8时， 代入x＝3， 可得：|9﹣12+8|+|0|＝5≤5，成立； 当x＞3时，|x2﹣4x+8|+|x﹣3|＞5， ∴左边＝x2﹣4x+8+x﹣3＝x2﹣3x+5， ∴当x＞3时，x2﹣3x+5＞5， 故不等式不成立； ∴a＝8满足条件． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值、解不等式，熟练掌握以上知识点是关键． 14．（2025春•杨浦区校级月考）若定义max{a，b}是a与b中的较大者，例如：max{1，3}＝3，max{5，5}＝5，若有y＝max{x+3，﹣x+8}，那么y的最小值是 　　 ． 【考点】解一元一次不等式；有理数大小比较．版权所有 【分析】根据题意列出一元一次不等式，再根据结果确定y的最小值． 【解答】解：当x+3≥﹣x+8时， 解得x， ∴y＝x+3． ∵x， x+3， 则y； 当x+3＜﹣x+8， 解得x， ∴y＝﹣x+8， ∵x， ﹣x+8， 则y， ∴y的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解不等式的计算方法． 15．（2025春•浦东新区校级期中）定义新运算“※”如下：当a＞b时，a※b＝b﹣ab；当a＜b时，a※b＝b+ab．例如：4※3＝3﹣4×3＝﹣9，2※3＝3+2×3＝9，若3※（x+2）＜0，则x的取值范围是　﹣2＜x＜1　 ． 【考点】解一元一次不等式；有理数的混合运算．版权所有 【分析】根据所定义的新运算，对x+2和3的大小进行分类讨论，再得出关于x的不等式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 当3＞x+2，即x＜1时， 由3※（x+2）＜0得， x+2﹣3（x+2）＜0， 解得x＞﹣2， 所以﹣2＜x＜1． 当3＜x+2，即x＞1时， 由3※（x+2）＜0得， x+2+3（x+2）＜0， 解得x＜﹣2， 此时不存在符合要求的x， 综上所述，x的取值范围是：﹣2＜x＜1． 故答案为：﹣2＜x＜1． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及有理数的混合运算，熟知解一元一次不等式的步骤及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键． 16．（2025春•奉贤区校级期末）解不等式，并把它的解集表示在数轴上． 【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【分析】先根据不等式的解法求解不等式，然后把它的解集表示在数轴上． 【解答】解：， 去分母得：2（2x+1）﹣18＜3（x﹣5）， 去括号得：4x+2﹣18＜3x﹣15， 移项得：4x﹣3x＜18﹣2﹣15， 合并同类项得：x＜1， 在数轴上表示为： ． 【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 17．（2025春•虹口区校级月考）下面是小明解不等式的过程． 解：去分母得： 3（1+x）﹣2（2x+1）≤1① 去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤1② 移项得：3x﹣4x≤1+2﹣3③ 合并同类项得：﹣x≤0④ 两边同除以﹣1得：x≤0．⑤ （1）填空：小明的解题步骤存在一步或若干步错误，则他所有错误步骤的序号是　①⑤　 ； （2）请你写出正确的解答过程． 【考点】解一元一次不等式．版权所有 【分析】（1）运用不等式性质、去括号法则、移项法则，合并同类项法则逐步检查，发现错误； （2）据解一元一次不等式的一般步骤和相关法则求解． 【解答】解：（1）第①步给两边乘以6时，不等式的右边没有乘，所以从第①步开始出现错误； 第⑤步两边同除以﹣1时，不等号的方向没有改变，所以第⑤步也错误； 故答案为：①⑤； （2）原不等式去分母得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤6， 去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤6， 移项得：3x﹣4x≤6+2﹣3， 合并同类项得：﹣x≤5， 两边同除以﹣1得：x≥﹣5． 【点评】此题考查解一元一次不等式．其关键是掌握相关法则和解一元一次不等式的一般步骤，要注意去分母时两边都要乘及两边乘以或除以负数时，不等号要改变方向． 【考点4】一元一次不等式的应用（18-21题） ❤ 方法总结 · 审清题意，找出不等关系（如“不低于”“超过”“不足”“至少”“至多”等）。 · 设未知数，列不等式（组），注意单位统一。 · 解不等式后，根据实际问题取整（人数、件数等），并作答。 · 优惠方案比较：分别计算两种优惠后的实际费用，再比较大小。 18．（2025春•上海校级期末）端午节是中国四大传统节日之一（与春节、清明节、中秋节并列），距今已有2000多年历史，于2009年被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，有赛龙舟、吃粽子等风俗活动．某商店购进蛋黄肉粽跟碱水粽共100盒，已知蛋黄肉粽每盒利润为10元，碱水粽每盒利润为20元．如果购进的粽子销售完毕，所得总利润不低于1600元，那么最多能购进蛋黄肉粽多少盒？ 【考点】一元一次不等式的应用．版权所有 【分析】设购进x盒蛋黄肉粽，则购进（100﹣x）盒碱水粽，利用总利润＝每盒蛋黄肉粽的销售利润×购进蛋黄肉粽的数量+每盒碱水粽的销售利润×购进碱水粽的数量，结合总利润不低于1600元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：设购进x盒蛋黄肉粽，则购进（100﹣x）盒碱水粽， 根据题意列一元一次不等式得：10x+20（100﹣x）≥1600， 整理得，10x≤400， 解得x≤40， 所以x的最大值为40，即最多能购进蛋黄肉粽40盒， 答：最多能购进蛋黄肉粽40盒． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 19．（2025春•上海月考）在一次知识竞赛中，共16道选择题，答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答不扣分，某同学有一道题未答，那么他至少答对多少题，成绩才能在60分以上？ 【考点】一元一次不等式的应用．版权所有 【分析】依据题意，设该同学答对了x道，则答错（16﹣1﹣x）据得分＞60分列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：由题意，设答对x道，则答错（16﹣1﹣x）道，由题意得， 6x﹣2（16﹣1﹣x）＞60， ∴x． ∵x是整数， ∴x最小是12， 答：至少答对12道． 【点评】本题主要考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题找出题目蕴含的不等关系列出不等式解决问题． 20．（2025春•闵行区校级月考）暑假期间，小巴和小蜀同学参加社会实践活动，在某糕点店制作了一批甜点进行售卖，其中“花生酥”和“纸杯蛋糕”的制作成本分别是每个2.5元和4元，每个“纸杯蛋糕”的售价比“花生酥”多1.5元，某天上午，他们一共售卖出30个“花生酥”和50个“纸杯蛋糕”，共盈利120元． （1）求“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价； （2）当天下午，小巴和小蜀又将制作的“花生酥”和“纸杯蛋糕”两种甜点共200个进行售卖、为了促销，他们还用50元钱租借了一个棉花糖机，制作一个棉花糖需要0.5元钱的成本，每销售一个“纸杯蛋糕”就赠送一个棉花糖．由于天气炎热销售过程中“纸杯蛋糕”有15%的损坏（无法售卖），且两种甜点的售价都保持不变，当天下午除损坏的“纸杯蛋糕”外，其余的“花生酥”和“纸杯蛋糕”全部售完．若要保证全天的总利润不低于300元，则“花生酥”全天的销量最少为多少个？ 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．版权所有 【分析】（1）设“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价分别为x元、y元，根据“每个“纸杯蛋糕”的售价比“花生酥”多1.5元，某天上午，他们一共售卖出30个“花生酥”和50个“纸杯蛋糕”，共盈利120元”列方程组求解即可； （2）设“花生酥”下午的销量为m个，则“纸杯蛋糕”下午的销量为（200﹣m）×（1﹣15%）＝170﹣0.85m个，再根据上午和下午的利润之和减去棉花糖的成本和无法售卖的“纸杯蛋糕”和得到全天的总利润，据此列不等式求解即可． 【解答】解：（1）设“花生酥”的单价为x元，“纸杯蛋糕”的售价单价为y元， 由题意得， 解得：， 答：“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价分别为4元、5.5元； （2）设“花生酥”下午的销量为m个，则“纸杯蛋糕”下午的销量为（200﹣m）×（1﹣15%）＝（170﹣0.85m）个， 由题意可得：（4﹣2.5）m+（5.5﹣4﹣0.5）×（170﹣0.85m）+120﹣50﹣4（200﹣m）×15%＝（50﹣0.25m）≥300， 解得：m≥144， ∵m为20的倍数， ∴“花生酥”下午的销量最少为160个， ∴保证总利润不低于300元，则“花生酥”全天的销量最少为160个． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握解一元一次不等式是关键． 21．（2025春•黄浦区期末）静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动． 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： （1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款 　0.85x 元；（用含有x的代数式表示） （2）顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【考点】一元一次不等式的应用；列代数式．版权所有 【分析】（1）由甲商店所购商品按原价打八五折，即可得出结果； （2）先算出顾客选择乙商店的优惠活动购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时的实际付款，再根据如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款为：0.85x元， 故答案为：0.85x； （2）在600≤x＜900时，选择乙商店的优惠活动后实际付款为：（x﹣120）元， 由题意得：x﹣120＜0.85x， 解得：x＜800， ∴600≤x＜800． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【考点5】解一元一次不等式组（22-30题） ❤ 方法总结 · 分别解每个不等式，再在数轴上找公共部分得出解集。 · 含参数的不等式组，通常要讨论参数的范围，利用解集特点列不等式（组）。 · 新定义题型（如“邻好关系”）要理解定义，将条件转化为方程或不等式求解。 · 注意检查每一步的符号和方向。 22．（2025秋•徐汇区校级期中）若，且是最简分数，则x＝　29或31　 ． 【考点】解一元一次不等式组；有理数的除法．版权所有 【分析】解不等式可得27＜x＜32，又是最简分数，求出x的值． 【解答】解：∵， ∴27＜x＜32， ∵是最简分数， ∴x＝29或31， 故答案为29或31． 【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组以及最简分数的定义． 23．（2025春•杨浦区校级月考）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 a≥4　 ． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【分析】先求出每个不等式组的解集，再根据已知得出关于a的不等式，解出a的取值范围即可． 【解答】解：， 解不等式①得：x≤2， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴a≥4， 故答案为：a≥4． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据每个不等式组的解集得出关于a的不等式是解答此题的关键． 24．（2025春•黄浦区校级月考）关于x，y的方程组有正整数解，且关于x的不等式组有解，则满足条件的整数m的值为　﹣1　 ． 【考点】解一元一次不等式组；解二元一次方程组．版权所有 【分析】根据解二元一次方程组的方法，利用加减消元法解方程组得出x，，然后根据方程组有正整数解，得出m＝﹣3或﹣1．再根据解一元一次不等式组的方法解不等式组，可得，由不等式组有解得出，得出m＞﹣1.4，进而得出答案． 【解答】解：解方程组， ①+②，得（m+4）x＝9， 解得：， 把代入②，得， 解得：． ∵方程组有正整数解， ∴对于x，m+4可以为1，3，9，对于y，m+4可以为1，2，3，4，6，12， ∴m+4为1或3，即x＝9或3，y＝12或4． 当m+4＝1时，m＝﹣3；当m+4＝3时，m＝﹣1， ∴m的值为﹣3或m＝﹣1． 解不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有解， ∴， 解得：m＞﹣1.4． 当m＝﹣1时，满足m＞﹣1.4，，y符合题意； 当m＝﹣3时，不满足m＞﹣1.4，不符合题意，舍去， ∴m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式组的方法，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 25．（2025春•徐汇区校级期中）若a＞b＞c，则不等式组的解集是b＜x＜a ． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合a＞b＞c，确定不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜a， 解不等式②得：x＞b， 解不等式③得：x＞c， 由题意可得不等式组的解集为：b＜x＜a． 故答案为：b＜x＜a． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键． 26．（2025春•闵行区校级月考）解不等式组：． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【分析】先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【解答】解：解不等式2（x﹣1）≤﹣x+7可得：x≤3， 解不等式可得：x＞﹣8， 所以该不等式组的解集为：﹣8＜x≤3． 【点评】本题主要考查了解不等式组，掌握解不等式的方法和步骤是解题的关键． 27．（2025春•上海校级期中）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集，再在数轴上表示即可． 【解答】解：， 由，得：x＞﹣1， 由2x+5≥3（5﹣x），得：x≥2， 原不等式组的解集为：x≥2， 在数轴上表示如下： ． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 28．（2025春•杨浦区校级期末）对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x﹣y|＝1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”． （1）方程组的解x与y　具有　 （填“具有”或“不具有”）“邻好关系”； （2）若方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值； （3）未知数为x，y的方程组，其中a与x，y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由． 【考点】解一元一次不等式组；绝对值；二元一次方程组的解；解二元一次方程组．版权所有 【分析】（1）先利用加减消元法求出方程组的解，进而求出|x﹣y|的值即可得到答案； （2）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据“邻好关系”的定义得到|x﹣y|＝1，即|1+m﹣2m+4|＝1，据此求解即可； （3）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据a与x，y都是正整数，求出a的值为1或2，进而讨论当a＝1和当a＝2时，方程组的解是否具有“邻好关系”即可． 【解答】解：（1）， ①×2﹣②得：12y＝48， 解得y＝4， 把y＝4代入①得：2x+20＝26， 解得：x＝3， ∴方程组的解为， ∴|x﹣y|＝|3﹣4|＝1， ∴方程组的解x与y具有“邻好关系”， 故答案为：具有； （2）， 用①+②得：6x＝6+6m， 解得：x＝1+m， 把x＝1+m代入①得：2（1+m）﹣y＝6， 解得y＝2m﹣4， ∴方程组的解为， ∵方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴|x﹣y|＝1， ∴|1+m﹣2m+4|＝1，即|5﹣m|＝1， ∴5﹣m＝1或5﹣m＝﹣1， ∴m＝4或m＝6； （3）， 用①+②得：ay+2y＝12，解得， 把代入到②得：， 解得， ∴方程组的解为， ∵a与x，y都是正整数， ∴是正整数， ∴（a+2）一定是12的正因数， ∴（a+2）的值可以为3或4或6或12， 又∵也是正整数， ∴（a+2）的值可以为3或4， ∴a的值可以为1或2， 当a＝1时，方程组的解为， ∴此时|x﹣y|＝|3﹣4|＝1，即此时该方程组的解x与y具有“邻好关系”； 当a＝2时，方程组的解为， ∴此时|x﹣y|＝|1﹣3|＝2，即此时该方程组的解x与y不具有“邻好关系”； 综上所述，存在a＝1，方程组的解为时，该方程组的解x与y具有“邻好关系”． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解绝对值方程，求一个数的绝对值，正确理解题意和熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． 29．（2025春•杨浦区校级月考）已知关于x、y的方程满足方程组． （1）若5x+3y＝﹣6，求m的值； （2）若x、y均为非负数，求m的取值范围； （3）在（2）的条件下，求S＝2x﹣3y+m的最大值和最小值． 【考点】解一元一次不等式组；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；不等式的性质．版权所有 【分析】（1）利用整体的思想可得：5x+3y＝2m，从而可得2m＝﹣6，然后进行计算即可解答； （2）先解方程组可得：，然后根据已知易得：x≥0，y≥0，从而可得，最后进行计算即可解答； （3）利用（2）的结论可得：S＝6m﹣21，然后再根据不等式的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ①+②得：5x+3y＝2m， ∵5x+3y＝﹣6， ∴2m＝﹣6， 解得：m＝﹣3； （2）， 解得：， ∵x、y均为非负数， ∴x≥0，y≥0， 即， 解得：3≤m≤5； （3）∵， ∴S＝2x﹣3y+m ＝2（m﹣3）﹣3（﹣m+5）+m ＝2m﹣6+3m﹣15+m ＝6m﹣21， ∵3≤m≤5， ∴18≤6m≤30， ∴﹣3≤6m﹣21≤9， 即﹣3≤S≤9， ∴S＝2x﹣3y+m的最大值为9，最小值为﹣3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，不等式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 30．（2025春•青秀区校级期末）以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得，x﹣2x＜2．第一步 x＜﹣2．第二步 解不等式②得，2（2x+2）≤3x+1．第三步 4x+4≤3x+1．第四步 4x﹣3x≤1﹣4．第五步 x≤﹣3．第六步 … （1）填空：乐乐的解题步骤存在一步或若干步错误，他所有错误步骤是 　第二步、第三步　 ； （2）请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．版权所有 【分析】（1）根据题目中的解答过程可知第一步、第三步出错了； （2）先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【解答】解：（1）由题目中的解答过程可知， 第一步和第三步错误， 故答案为：第二步、第三步； （2）解不等式①，得x＞﹣2， 解不等式②，得x≤2， ∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2， 在数轴上表示不等式组解集，如图所示： 【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【考点6】一元一次不等式组的整数解（31-35题） ❤ 方法总结 · 先解不等式组，得到解集（用参数表示）。 · 根据整数解的个数，确定参数的取值范围，注意端点值的取舍（空心与实心）。 · 若要求所有整数解的和或最大最小整数解，直接找出整数即可。 · 注意：不等式组的解集可能无解，要检查参数范围。 31．（2025春•闵行区校级期中）已知关于x的不等式组恰好有三个整数解，则m的取值范围是 　﹣3≤m＜﹣2　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．版权所有 【分析】根据题意，得出关于m的不等式组，据此得出m的取值范围即可． 【解答】解：由x﹣m＞0得，x＞m， 由1﹣2x＞x﹣2得，x＜1， 因为该不等式组恰好有三个整数解， 则这三个整数解为0，﹣1，﹣2， 所以﹣3≤m＜﹣2． 故答案为：﹣3≤m＜﹣2． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 32．（2025春•浦东新区校级月考）关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是 　2≤a＜3　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．版权所有 【分析】根据题意先解第一个不等式，再对整数解进行分析即可列出关于a的不等式继而得到本题答案． 【解答】解：∵不等式组， ∴解不等式①得：x≤4， 不等式②整理得：x＞a﹣2， ∵不等式组恰好只有四个整数解， ∴0≤a﹣2＜1， ∴2≤a＜3， 故答案为：2≤a＜3． 【点评】本题考查解一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组．熟练掌握解不等式的步骤和方法是关键． 33．（2025春•上海校级期中）不等式组的最大整数解与最小整数解的和是 　15　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解．版权所有 【分析】根据一元一次不等式组即的解法即可求出答案． 【解答】解：， 由①得：x＜11， 由②得：x， ∴不等式组的解集为x＜11， ∴x的最小整数为5，最大整数为10， ∴x的最小整数解与最大整数解的和为15． 故答案为：15． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，解此类题是要求出每一个不等式的解集，然后取公共部分即可得到不等式组的解集． 34．（2025春•浦东新区期中）解不等式组，并求出所有整数解． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．版权所有 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数． 【解答】解：， 解不等式①得，x≤1， 解不等式②得，x＞﹣3， ∴不等式组的解集是﹣3＜x≤1， ∴它的所有整数解是1，0，﹣1，﹣2． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 35．（2025春•闵行区校级月考）（1）解下列不等式； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．版权所有 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定其解集，最后找出其中的整数即可． 【解答】解：（1）， 去分母，得：5（3+2x）﹣10＜2（1+2x）， 去括号，得：15+10x﹣10＜2+4x， 移项，合并同类项，得：6x＜﹣3， 系数化为1，得：x； （2）， 解不等式①，得：x， 解不等式②，得：x≥﹣4， ∴原不等式组的解集为﹣4≤x， ∴它的整数解为﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0． 【点评】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组的步骤是解题关键． 【考点7】一元一次不等式组的应用（36-41题） ❤ 方法总结 · 设未知数，根据题中多个不等关系列出不等式组。 · 求出整数解（方案），再选择最优方案（如费用最少）。 · 注意隐含着未知数为正整数（如车辆数、人数）的条件。 · 有时需要结合函数思想求最值（如线性规划思想）。 36．（2025春•杨浦区校级期末）根据以下素材，探索完成任务． 背景 某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是50人，B型车的最大载客量是35人，已知A型车每辆的租金是450元，B型车每辆的租金是300元． 素材2 八年级的师生共有305人，根据学校预算，租车的费用需要控制在2900元（包含2900元）以内． 问题解决 任务1 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务2 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算2900元省多少钱？ 【考点】一元一次不等式组的应用．版权所有 【分析】任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车（8﹣a）辆，根据租用的两种客车的乘载总量不少于305人且租车总费用不超过2900元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各租车方案； 任务2：利用总租金＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出各租车方案所需总费用，比较、作差后，即可得出结论． 【解答】解：任务1：设租用A型车a辆，则租用B型车（8﹣a）辆， 根据题意得：， 解得：a， 又∵a为正整数， ∴a可以为2，3， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆； 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆； 任务2：选择方案1所需总租金为450×2+300×6＝2700（元）； 选择方案2所需总租金为450×3+300×5＝2850（元）． ∵2700＜2850，2900﹣2700＝200（元）， ∴花费最少的方案比预算2900元省200元钱． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 37．（2025春•普陀区校级月考）开学之前，学校总务部门安排新生宿舍，如果每间宿舍住4个学生，那么还余20个人没有宿舍可住；如果每间住8人，那么其中一间不满也不空，其余各间全满，试问：要住宿舍的新生共有多少人？一共有多少间宿舍？ 【考点】一元一次不等式组的应用．版权所有 【分析】设一共有x间宿舍，则要住宿舍的新生共有（4x+20）人，根据如果每间宿舍住4个学生，那么还余20个人没有宿舍可住；如果每间住8人，那么其中一间不满也不空，其余各间全满，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【解答】解：设一共有x间宿舍，则要住宿舍的新生共有（4x+20）人， 根据题意得：， 解得：5＜x＜7， ∵x是正整数， ∴x＝6， ∴4x+20＝44． 答：要住宿舍的新生共有44人，一共有多6间宿舍． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 38．（2025春•崇明区期末）某工人制造机器零件，如果每天比计划多做一件，那么8天所做的零件总数超过100件；如果每天比计划少做一件，那么8天所做的零件总数不足99件，问这个工人每天做多少件？ 【考点】一元一次不等式组的应用．版权所有 【分析】先设这个工人每天做x件，根据“8天所做零件的总数超过100件”“8天可做零件的总数不足99件”可列不等式组，求出x的值即可． 【解答】解：设这个工人每天做x件，根据题意得： ， 解得：11x＜13， ∵x取整数， ∴x＝12或13． 答：这个工人每天做12件或13件． 【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系列出不等式组，要注意x只能取整数． 39．（2025春•浦东新区期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． （1）求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【分析】（1）设采购一个A种机器人x万元、一个B种机器人y万元，根据题意列出二元一次方程组，即可得出答案； （2）设该公司可以采购A种机器a个，B种机器人（100﹣a）个，根据题意列出不等式组，即可得出答案． 【解答】解：（1）设采购一个A种机器人x万元、一个B种机器人y万元， ， 解得：， 答：采购一个A种机器人60万元、一个B种机器人65万元． （2）设该公司可以采购A种机器a个，B种机器人（100﹣a）个， ， 解得：60≤a≤75， 答：该公司可以采购A种机器人数量的范围60≤a≤75． 【点评】本题主要考查一元一次不等式组的应用及二元一次方程组的应用，找出等量关系和不等关系是解题的关键． 40．（2025春•崇明区校级期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． （1）求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； （2）学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？ 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【分析】（1）设乒乓球拍的单价是x元，羽毛球拍的单价是y元，根据“购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m副乒乓球拍，则购买（50﹣m）副羽毛球拍，根据“购买乒乓球拍的数量不少于羽毛球数量的，且购买费用不超过2535”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出学校共有3种购买方案． 【解答】解：（1）设乒乓球拍的单价是x元，羽毛球拍的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：乒乓球拍的单价是60元，羽毛球拍的单价是45元； （2）设购买m副乒乓球拍，则购买（50﹣m）副羽毛球拍， 根据题意得：， 解得：m≤19， 又∵m为正整数， ∴m可以为17，18，19， ∴学校共有3种购买方案． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 41．（2025春•浦东新区校级月考）如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为am，宽为bm． （1）写出用b表示a的式子a＝　50﹣2b ，当a＝20时，求b的值； （2）受场地条件的限制，a的取值范围为18≤a≤26，求b的取值范围． 【考点】一元一次不等式组的应用．版权所有 【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a＝20代入所列式子中求出b的值即可； （2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合18≤a≤26，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可． 【解答】解：（1）由题意得a+2b＝50，即a＝50﹣2b 当a＝20时，20＝50﹣2b， 解得b＝15． 故答案为：50﹣2b； （2） 解：∵18≤a≤26，a＝50﹣2b， ∴， 解这个不等式组得：12≤b≤16．． 答：矩形花园宽的取值范围为12≤b≤16． 【点评】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键． 【考点8】创新及压轴题（1-4题） ❤ 方法总结 · 新定义题型：认真阅读定义，将“梦想解”“关联方程”等转化为数学条件。 · 综合题常融合方程、不等式、整数解、方案设计等，需多角度分析。 · 注意隐含条件：如“整数”“正整数”“最简分数”等。 · 分类讨论：当参数范围不确定时，要分情况讨论。 1．（2025春•杨浦区校级期末）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程2x﹣3＝1与不等式x+2＞0，方程的解为x＝2使得不等式也成立，则称“x＝2”为方程2x﹣3＝1和不等式x+2＞0的“梦想解”． （1）已知①；；③2（x+3）＜4；则方程3x+2＝5的解是它与①②③中的不等式　②　 的“梦想解”； （2）若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组﹣1＜x+y＜4的“梦想解”，求m的整数解． 【考点】一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解；二元一次方程组的解；解二元一次方程组；不等式的定义；解一元一次不等式组．版权所有 【分析】（1）依据题意，先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断；（2）依据题意，先求出方程组的解，然后结合题意计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵3x+2＝5， ∴x＝1．解①得：x＞1，故方程3x+2＝5解不是①的“梦想解”； 解②得：x＜7，故方程3x+2＝5解是②“梦想解”； 解③得：x＜﹣1，故方程3x+2＝5解不是③的“梦想解”； 即方程3x+2＝5的解是不等式②的“梦想解”． 故答案为：②． （2）由题意，解方程组， ∴②×2﹣①得，x＝m﹣12， ∴把x＝m﹣12代入②得，2m﹣24﹣y＝m﹣5， ∴y＝m﹣19． ∴x+y＝2m﹣31． ∵此解是该方程组与不等式组﹣1＜x+y＜4的“梦想解”，∴﹣1＜2m﹣31＜4， ∴15＜m． ∴m的整数解为16、17． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． 2．（2025春•奉贤区期中）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，那么我们把这个一元一次方程叫作为这个不等式组的关联方程． （1）在方程①2x＝7；②x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组的关联方程是 　③　 ．（只需填序号） （2）如果不等式组的某个关联方程的根是整数，那么这个关联方程可以是 x﹣2＝0（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） （3）如果方程2x﹣4＝0是关于x的不等式组的关联方程，请求出m的取值范围． 【考点】一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解；解一元一次不等式组．版权所有 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，再写出方程即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案． 【解答】解：（1）解方程2x＝7得：x＝3.5， 解方程x+1＝0得：x＝﹣1， 解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2， 解不等式组得：， 所以不等式组的关联方程是③， 故答案为：③； （2）不等式组的解集为：， 这个关联方程可以是x﹣2＝0， 故答案为：x﹣2＝0（答案不唯一）； （3）解方程2x﹣4＝0得：x＝2， ， 由①得：x； 由②得：x； ∵方程2x﹣4＝0是关于x的不等式组的关联方程， ∴或， 解得m≥5， 即m的取值范围是m≥5． 【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次不等式组等知识点，能理解关联方程的定义是解此题的关键． 3．（2025春•闵行区校级月考）某研学基地为激发来研学学生参与活动的积极性，经常组织竞赛活动，并购买保温杯和台灯作为奖品奖励学生．该基地在某超市购买保温杯、台灯若干次，其中前两次购买时，均按标价购买；成为老顾客后，从第三次购买开始，保温杯、台灯同时以相同折扣数的打折价购买．前三次购买保温杯、台灯的数量及费用如下表所示： 购买保温杯的数量/个 购买台灯的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 5 4 800 第二次购买 3 7 940 第三次购买 9 8 912 （1）求保温杯、台灯的标价； （2）某日，甲、乙两校师生同时来到该基地研学，基地为两校组织了一次陶泥制作比赛，并颁发奖品20个保温杯和10个台灯（均按打折价购买），甲、乙两校各获得15个奖品，甲校所获奖品的购买金额不低于800元，乙校所获奖品的购买金额不低于750元，求甲、乙两校分别获得保温杯和台灯各多少个？ 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【分析】（1）设保温杯、台灯的标价分别为x元和y元，根据表中给的数量关系列出二元一次方程组解答即可； （2）求出第三次商品购进的打折数，然后利用不等式组解题即可． 【解答】解：（1）设保温杯、台灯的标价分别为x元和y元， ，解得， 答：保温杯、台灯的标价为80元和100元． （2）解：第三次购买的打折数为：折， 设甲校获得保温杯a个，则 ， 解得， 又∵a为整数， ∴a＝8， ∴甲校分别获得保温杯和台灯8个和7个，乙校分别获得保温杯和台灯12个和3个． 【点评】本题考查二元一次方程组和不等式组解应用题，理解题意找出数量关系是解题的关键． 4．（2025春•宝山区月考）某公司计划购买A，B两种型号的打印机共20台，通过市场调研发现，购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元；购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元． （1）求购买A，B两种型号打印机每台的价格分别是多少元？ （2）根据公司实际情况，要求购买A型打印机的数量不低于B型打印机数量的，不超过B型打印机数量的一半，且购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元，求该公司按计划购买A，B两种型号打印机共有几种购买方案，哪种方案费用最低？并求出最低费用． 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【分析】（1）设购买A种型号打印机每台的价格是x元，购买B种型号打印机每台的价格是y元，根据购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元；购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元l列方程组求解； （2）设购买A种型号打印机m台，则购买B种型号打印机（20﹣m）台，根据要求购买A型打印机的数量不低于B型打印机数量的，不超过B型打印机数量的一半；购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元；可列不等式组求解． 【解答】解：（1）设购买A种型号打印机每台的价格是x元，购买B种型号打印机每台的价格是y元，依题意有 ， 解得． 故购买A种型号打印机每台的价格是860元，购买B种型号打印机每台的价格是900元； （2）设购买A种型号打印机m台，则购买B种型号打印机（20﹣m）台，依题意有 ， 解得：5≤m． 故共有两种购买方案： 购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台，费用为860×5+900×15＝17800（元）； 购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用为860×6+900×14＝17760（元）； ∵17800＞17760， ∴购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用最低，最低费用为17760元． 【点评】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式组求解． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1 解一元一次不等式组（基础运算，求解集）。 · 练习2 三角形面积分割问题，列不等式组求线段范围（几何背景）。 · 练习3 玻璃球体积估计，根据水位变化列不等式组求体积范围。 1．（2025秋•宝山区校级月考）不等式组的解集是 　2＜x≤3　 ． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式2x+1＞5，得x＞2， 解不等式1﹣3x≥﹣8，得x≤3， 则不等式组的解集为2＜x≤3． 故答案为：2＜x≤3． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2．（2025春•普陀区期中）如图，一块三角形空地ABC，三边长分别为20m、30m、40m，李老伯将这块空地分成甲、乙两个部分，分割线为AD，要使得乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二，则CD长的取值范围是　不少于m且不超过16m ． 【考点】一元一次不等式组的应用．版权所有 【分析】设CD＝xm，则BD＝（40﹣x） cm，根据“乙块地的面积不少于整块空地面积的三分之一，但又不超过甲块地的面积的三分之二”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：设CD＝xm，则BD＝（40﹣x） cm， 根据题意得：， 解得：x≤16， ∴CD长的取值范围是不少于m且不超过16m． 故答案为：不少于m且不超过16m． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 3．（2025春•松江区校级月考）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 　40cm3＜a＜50cm3 ． 【考点】一元一次不等式组的应用．版权所有 【分析】设这样一颗玻璃球的体积为acm3，根据将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中，将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：设这样一颗玻璃球的体积为acm3， 由题意得：， 解得：40＜a＜50， 故答案为：40cm3＜a＜50cm3． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 · 题1  已知整数解个数求参数范围（端点取舍）。 · 题2  新定义运算与不等式组整数解（“⊗”运算）。 · 题3  已知整数解个数求参数范围（数形结合）。 · 题4  含参数不等式组整数解求参数范围。 · 题5  分配问题（住宿安排），列不等式组求整数解。 · 题6  不等式组无解求参数范围。 · 题7  解一元一次不等式组（基础）。 · 题8  解不等式组，并讨论无解时的参数范围。 · 题9  原料分配问题，列不等式组求方案并比较利润。 · 题10 运输方案设计，求最少运费。 · 题11 销售利润与进货方案，整数解及捐赠问题。 · 题12 生产调配与车辆运输优化问题。 ※ 复习建议 本专题重点在于不等式的性质应用、一元一次不等式（组）的解法及实际应用。建议熟练掌握解不等式的步骤，特别注意系数为负时不等号方向的变化。对于含参数问题，要善于利用数轴分析整数解的范围。实际应用题中，要准确找出不等关系，注意结果取整。 1．（2025春•松江区校级月考）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（　　） A．6≤m＜9 B．6＜m≤9 C．6＜m＜9 D．6≤m≤9 【考点】一元一次不等式组的整数解．版权所有 【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出23，解之可得． 【解答】解：解不等式3x﹣m＞0，得：x， 解不等式x﹣1≤5，得：x≤6， ∵不等式组有4个整数解， ∴23， 解得：6≤m＜9． 故选：A． 【点评】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组是解题的关键． 2．（2025春•闵行区校级月考）对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：a⊗b＝a﹣2b．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（　　） A．m≥20 B．20＜m≤23 C．20＜m＜23 D．20≤m＜23 【考点】一元一次不等式组的整数解；有理数的混合运算；整式的加减；解一元一次不等式．版权所有 【分析】已知不等式组利用题中的新定义化简，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出m的范围即可． 【解答】解：根据题意，原不等式组化为， 解①得：x， 解②得：x， ∵关于x的不等式组有且只有一个整数解， ∴12， 解得：20＜m≤23． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，定义新运算的题目，弄清题中的新定义是解本题的关键． 3．（2025春•杨浦区校级月考）若关于x的不等式组的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A．10＜a≤12 B．10≤a＜12 C．9≤a＜10 D．9＜a≤10 【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．版权所有 【分析】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组只有3个整数解得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【解答】解：， 解不等式①，得x， 解不等式②，得x≥3， ∵关于x的不等式组的解集只有3个整数解，（3个整数解是3，4，5）， ∴56， ∴10＜a≤12， 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组56是解题的关键． 4．（2025春•虹口区期末）关于x的不等式组有两个整数解，那么m的取值范围是　　 ． 【考点】一元一次不等式组的整数解．版权所有 【分析】先求不等式组的解集，再根据不等式组有两个整数解，可以写出这两个整数解，从而可以得到关于m的不等式组，再求解集即可． 【解答】解：由不等式组可得2m+1≤x＜1， ∵关于x的不等式组有两个整数解， ∴这两个整数解为﹣1，0， ∴﹣2＜2m+1≤﹣1， 解得， 即m的取值范围为， 故答案为：． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法． 5．（2025春•松江区校级月考）某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有宿舍 　5或6　 间． 【考点】一元一次不等式组的应用．版权所有 【分析】设共有宿舍x间，则共有学生（5x+12）人，根据“如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【解答】解：设共有宿舍x间，则共有学生（5x+12）人， 依题意得：， 解得：4＜x， 又∵x为整数， ∴x可以为5或6， 即共有宿舍5或6间， 故答案为：5或6． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 6．（2025春•杨浦区校级期末）已知关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围为　　 ． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组无解得出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【解答】解：， 解①得x＞﹣4a﹣3， 解②，得， 由题意可得：， ∴； 故答案为：． 【点评】本题考查了根据不等式组解集的情况求参数，正确理解不等式组无解的情况、得出关于a的不等式是解题的关键． 7．（2025春•徐汇区校级期中）解不等式组． 【考点】解一元一次不等式组．版权所有 【分析】解各不等式求得对应的解集后得出它们的公共部分即可． 【解答】解：解不等式组． ， 解不等式①得：x≤5， 解不等式②得：x＞2， 则原不等式组的解集为2＜x≤5； 【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 8．（2025春•嘉定区校级月考）解不等式组：． （1）当m＝﹣1时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； （2）要使此不等式组无解，则m的取值范围是m≥1　 ． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．版权所有 【分析】（1）当m＝﹣1时，不等式组为，分别求出解不等式①和②的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． （2）根据不等式组无解，可得3m≥3，即可得出答案． 【解答】解：（1）当m＝﹣1时，不等式组为， 解①得：x＜3． 解②得：x＞﹣3． 所以不等式组的解集﹣3＜x＜3， 在数轴上表示为： ； （2）， 解①得：x＜3． 解②得：x＞3m． ∵不等式组无解， ∴3m≥3， 解得m≥1， 故答案为：m≥1． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 9．（2025春•宝山区校级期末）某工厂现有甲种原料3600kg，乙种原料2410kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg和乙种原料8kg． （1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组． （2）问一共有几种符合要求的生产方案？并列举出来． （3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？（请用数据说明） 【考点】一元一次不等式组的应用．版权所有 【分析】（1）关系式为：A种产品需要甲种原料数量+B种产品需要甲种原料数量≤3600；A种产品需要乙种原料数量+B种产品需要乙种原料数量≤2410，把相关数值代入即可； （2）解（1）得到的不等式，得到关于x的范围，根据整数解可得相应方案； （3）分别求出两种情形下的利润即可判断； 【解答】解：（1）由题意． （2）解第一个不等式得：x≤320， 解第二个不等式得：x≥318， ∴318≤x≤320， ∵x为正整数， ∴x＝318、319、320， 500﹣318＝182， 500﹣319＝181， 500﹣320＝180， ∴符合的生产方案为①生产A产品318件，B产品182件； ②生产A产品319件，B产品181件； ③生产A产品320件，B产品180件； （3）第一种定价方案下：①的利润为318×1.15+182×1.25＝593.2（万元）， ②的利润为：319×1.15+181×1.25＝593.1（万元） ③的利润为320×1.15+180×1.25＝593（万元） 第二种定价方案下：①②③的利润均为500×1.2＝600（万元）， 综上所述，第二种定价方案的利润比较多． 【点评】考查一元一次不等式组的应用及最大利润问题；得到两种原料的关系式及总利润的等量关系是解决本题的关键． 10．（2025春•杨浦区校级月考）某市为了提升菜篮子工程质量，计划用大、中型车辆共30辆调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场．已知一辆大型车可运蔬菜8吨和肉制品5吨；一辆中型车可运蔬菜3吨和肉制品6吨． （1）符合题意的运输方案有几种？请你帮助设计出来； （2）若一辆大型车的运费是900元，一辆中型车的运费为600元，试说明（1）中哪种运输方案费用最低？最低费用是多少元？ 【考点】一元一次不等式组的应用．版权所有 【分析】（1）设安排x辆大型车，则安排（30﹣x）辆中型车，根据30辆车调拨不超过190吨蔬菜和162吨肉制品补充当地市场，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可得出各运输方案； （2）根据总运费＝单辆车所需费用×租车辆车可分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设安排x辆大型车，则安排（30﹣x）辆中型车， 依题意，得：， 解得：18≤x≤20． ∵x为整数， ∴x＝18，19，20． ∴符合题意的运输方案有3种，方案1：安排18辆大型车，12辆中型车；方案2：安排19辆大型车，11辆中型车；方案3：安排20辆大型车，10辆中型车． （2）方案1所需费用为：900×18+600×12＝23400（元）， 方案2所需费用为：900×19+600×11＝23700（元）， 方案3所需费用为：900×20+600×10＝24000（元）． ∵23400＜23700＜24000， ∴方案1安排18辆大型车，12辆中型车所需费用最低，最低费用是23400元． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 11．（2025秋•徐汇区校级月考）某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/部） 4300 3600 售价（元/部） 4800 4200 （1）该店销售记录显示．三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？ （2）根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的，而用于购买这两种手机的资金低于81500元，请通过计算设计所有可能的进货方案． （3）在（2）的条件下，该店打算将四月份按计划购进的20部手机全部售出后，所获得利润的30%用于购买A，B两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买A仪器每台300元，购买B仪器每台570元，且所捐的钱恰好用完，试问该店捐赠A，B两款仪器一共多少台？（直接写出所有可能的结果即可） 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【分析】（1）设售出甲手机x部，乙手机y部，根据销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，可得出方程组，解出即可； （2）设购进甲手机x部，则购进乙手机（20﹣x）部，根据购进乙种手机数不超过甲种手机数的，而用于购买这两种手机的资金低于81500元，可得出不等式组，解出即可得出可能的购进方案． （3）先求出捐款数额，设捐赠甲仪器x台，乙仪器y台，列出二元一次方程，求出整数解即可． 【解答】解：（1）设售出甲手机x部，乙手机y部， 由题意得，， 解得：． 答：售出甲手机12部，乙手机5部； （2）设购进甲手机x部，则购进乙手机（20﹣x）部， 由题意得，， 解得：12≤x＜13， ∵x取整数， ∴x可取12，13， 则可能的方案为： ①购进甲手机12部，乙手机8部； ②购进甲手机13部，乙手机7部． （3）①若购进甲手机12部，乙手机8部，此时的利润为：12×500+8×600＝10800， 设捐赠甲仪器x台，乙仪器y台， 由题意得，300x+570y＝10800×30%， ∵x、y为整数， ∴x＝7，y＝2， 则此时共捐赠两种仪器9台； ②若购进甲手机13部，乙手机7部，此时的利润为：13×500+7×600＝10700， 设捐赠甲仪器x台，乙仪器y台， 由题意得，300x+570y＝10700×30%， ∵x、y为整数， ∴x＝5，y＝3， 则此时共捐赠两种仪器8台； 综上可得问该店捐赠A，B两款仪器一共9台或8台． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程的应用及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式求解，难度较大． 12．（2025秋•普陀区校级月考）“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务． （1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？ （2）现要将这些帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A，B两地，由于两市通住A，B两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数如下表： A地 B地 每千顶帐篷 所需车辆数 甲市 4 7 乙市 3 5 所急需帐篷数（单位：千顶） 9 5 请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少．说明理由，并求出最少车辆总数． 【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．版权所有 【分析】（1）有两个等量关系：原来总厂每周生产帐篷数+分厂每周生产帐篷数＝9千，现在总厂每周生产帐篷数+分厂每周生产帐篷数＝14千，直接设未知数，可以根据等量关系列出二元一次方程组解决问题． （2）首先应考虑到影响车辆总数的因素有两个，帐篷顶数和每千顶帐篷所需车辆数，所需车辆总数是两者的积；其次应考虑到由总厂，分厂运送到A，B两地的帐篷数共四个量，即总厂﹣A，总厂﹣B，分厂﹣A，分厂﹣B的帐篷数，它们互相联系． 【解答】解：（1）设总厂原来每周制作帐篷x千顶，分厂原来每周制作帐篷y千顶． 由题意得： 解得： 所以1.6x＝8（千顶），1.5y＝6（千顶）． 答：在赶制帐篷的一周内，总厂、分厂各生产帐篷8千顶、6千顶． （2）设从（甲市）总厂调配m千顶帐篷到灾区的A地，则总厂调配到灾区B地的帐篷为（8﹣m）千顶， （乙市）分厂调配到灾区A，B两地的帐篷分别为（9﹣m），（m﹣3）千顶． 甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为n辆． 由题意得：n＝4m+7（8﹣m）+3（9﹣m）+5（m﹣3）（3≤m≤8）． 即：n＝﹣m+68（3≤m≤8）． 因为﹣1＜0，所以n随m的增大而减小． 所以当m＝8时，n有最小值60． 答：从总厂运送到灾区A地帐篷8千顶，从分厂运送到灾区A，B两地帐篷分别为1千顶、5千顶时所用车辆最少，最少的车辆为60辆． 【点评】解决含有多个变量的问题时，可以分析这些多个变量之间的关系，从中选取有代表性的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型． 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $