2.1.2 无理数 教学设计(表格式) 2025-2026学年湘教版数学七年级下册

《2.1.2 无理数》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本节课是初中数学七年级下册教材中数与代数领域的重要内容。它是在学生已经学习了有理数的基础上，对数系的进一步扩充，为后续学习实数的运算、二次根式等知识奠定了基础。本节课主要介绍无理数的概念，通过对一些具体例子的分析，让学生理解无理数是无限不循环小数。同时，通过引导学生对无理数进行估算，培养学生的数感和近似计算能力。 学习者分析 七年级学生在之前已经学习了有理数，对有理数的概念和运算有了一定的掌握。但对于无理数这种全新的数的形式，学生理解起来可能会有困难。尤其是无限不循环小数的概念，比较抽象，需要通过具体的实例引导学生逐步理解。另外，学生在数的估算方面也缺乏一定的经验，需要教师在教学过程中加强指导。 教学目标 1.能够理解无理数的概念，能正确识别无理数；掌握估算无理数的方法，能对一些简单的无理数进行估算。 2.通过观察、分析、归纳等活动，培养逻辑思维能力和自主探究能力；在估算无理数的过程中，提高学生的数感和近似计算能力。 3.通过对无理数的探索，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生勇于探索的精神。 教学重点 能够理解无理数的概念，能正确识别无理数；掌握估算无理数的方法，能对一些简单的无理数进行估算。 教学难点 通过观察、分析、归纳等活动，培养逻辑思维能力和自主探究能力；在估算无理数的过程中，提高学生的数感和近似计算能力。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 教师活动1： 教师出示问题： 1.什么是平方根？ 如果有一个数 r，使得 r2= a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 2.什么是算术平方根？ 正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根. 3. 0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 0的平方根就是0本身. 负数没有平方根. 4.什么是开平方？ 求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 这个非负数叫作被开方数. 学生活动1： 学生思考上节课学习的内容，回答教师提问的问题。 活动意图说明：通过复习旧知识，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。 环节二：新知探究 教师活动2： 教师出示课本问题：正方形的面积是2，边长是多少？ 2 的平方根是, 由于正方形的边长为正数，所以面积是2的正方形的边长为. 思考：是一个怎样的数呢？ 观察下列结果： 12 = 1， 22= 4； 1. 42= 1. 96， 1. 52 = 2. 25； 1. 412= 1. 988 1， 1. 422= 2. 016 4； 1. 4142 = 1. 999 396， 1. 4152 = 2. 002 225； 1. 414 22 = 1. 999 961 64 1. 414 32 = 2. 000 244 49； … … （1） 分别根据上述结果，估计2的算术平方根的大致范围； 由于12 < 2，2 < 22 ，所以1 < < 2. 由于1. 42 <2< 1.52 ，所以1.4< < 1.5. 同理可得，1. 41 < < 1. 42， 1. 414 << 1. 415， 1. 414 2 < < 1. 414 3. （2） 猜测是一个怎样的数？ 由（1）可以猜测应该比 1. 414 2大，比 1. 414 3小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数. 总结：无理数的定义 事实上，不是分数，从而它既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数 . 无限不循环小数叫作无理数. 从上述分析知道，是一个无限不循环小数，即是一个无理数. π = 3. 141 592 653… ， = 1. 732 050 807… ， = 2. 236 067 977… ，= 2. 645 751 311… 都是无理数. 与有理数一样，无理数也分为正无理数和负无理数. 例如，，，π是正无理数，-，-，-π是负无理数. 议一议：下面的说法正确吗？如果不正确，请说明理由. （1） 无限小数都是有理数； 错误，无限循环小数都是有理数 （2） 无理数都是无限小数； 错误，无理数都是无限不循环小数 （3） 带根号的数都是无理数； 错误，化简后仍带根号的数都是无理数 （4） 无理数都是带根号的数. 错误，π是无理数，不带根号 学生活动2： 学生思考教师提出的问题。 师生共同估计的大小。 学生根据教师引导总结无理数的概念。 组织学生进行小组讨论，让学生列举一些无理数的例子，加深对无理数概念的理解。 活动意图说明：通过具体的例子，让学生直观地感受无理数的特点，培养学生的观察能力和归纳能力；小组讨论可以激发学生的思维，促进学生之间的交流与合作。 环节三：新知探究 根据实际需要，有时需用一个有限小数来近似地表示一个无理数. 例如 π=3.141 592 653…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到 π≈3. 14，π≈3. 142，…，我们称 3. 14，3. 142 分别是 π 的精确到小数点后面第二位、第三位的近似值. 3. 14，3. 142，3. 141 6，…都是π的近似值，称它们为近似数. 近似数的精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 按四舍五入法对圆周率π取近似数时，有 π≈3(精确到个位)， π≈3.1(精确到0.1，或叫作精确到小数点后面第一位)， π≈3.14(精确到0.01，或叫作精确到小数点后面第两位)， π≈3.142(精确到0.001，或叫作精确到小数点后面第三位)， π≈3.141 6(精确到0.000 1，或叫作精确到小数点后面第四位). 利用计算器可以求一个正数的算术平方根或它的近似值. 例3：用计算器求下列各式的值. （1）（2）（结果精确到小数点后面第三位）. 解 （1） 依次按键： 显示结果：32. 所以=32. （2） 依次按键： 显示结果：2. 828 427 125. 所以≈ 2. 828. 拓展提升： 下列说法是否正确？请举例说明. （1） 一个正数a，先开平方，然后再平方，最后的结果等于a； 正确 举例： = 4，4 2 =16. （2） 一个数b，先平方，然后求它的算术平方根，最后的结果等于b. 错误 举例： 42 =16，=4. （-4）2 =16，=4. 一个数b，先平方，然后求它的算术平方根，最后的结果等于│b│. 做一做： =成立吗？若不成立，请举例说明 不一定，比如当a=-2时不成立 学生活动3： 学生探究一个无理数 的近似值。 学生学习如何用计算器求无理数的近似值. 活动意图说明：强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。 板书设计 课题：2.1.2 无理数 一、无理数的定义 二、无理数的估算 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是( B ). A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 估计的值在( C ). A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 3.面积为13的正方形边长为a，则a的值在( C ). A.3.58和3.59之间 B.3.59和3.60之间 C.3.60和3.61之间 D.3.61和3.62之间 4.用计算器求下列各数的近似值.(结果精确到0.01) （1） （2）- （3） 选做题： 5.下列各数中，是无理数的是( B ) A. -2023 B. C. 0 D. 6.给出下列说法： ①无限小数都是无理数； ②无理数都是无限小数； ③带根号的数都是无理数； ④开方开不尽的数是无理数. 其中错误的是__①③____.（填序号） 【综合拓展类作业】 7.求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得，还可以通过一组数的内在联系，运用规律求得.请同学们观察下表: n 16 0.16 0.0016 1600 160000 ... 4 x 0.04 y 400 ... (1)表格中x=___0.4____ , y=__40____; （2）发现规律：如果被开方数的小数点向右移动2位，那么它的算术平方根的小数点就向_右___移动__1_位；如果被开方数的小数点向左移动4位，那么它的算术平方根的小数点就向_左___移动__2_位； (3) 利用你发现的规律，探究下面的问题: 已知≈1.435，填空: __0.1435_________ ___1435______ 课堂总结 本节课你学到了什么？ 无理数常见的几种类型： 1.无规律的无限不循环小数，例如2.236 067 978… 2.有规律的无限不循环小数，例如0.585 885 888 588 885 …(相邻两个5之间8的个数逐次加1)； 3.圆周率π及某些含π的数，例如π-3. 4.开方开不尽的数，例如. 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各数3.141 592 6，，1.212 212 221 …(每相邻两个1之间依次多一个2)，，2 - π，-2 022， 中，无理数有（ C ）个. A.1 B.2 C.3 D.4 2.有一个数值转换器，原理如图，当输入的x=64时，输出的y等于( C ). A.2 B.8 C. D. 选做题： 3. 在数轴上，离最近的整数是( B ) A.7 B.6 C.5 D.4 4. 大、中、小三个正方形按如图所示的方式摆放，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是( B ). A. 1 B. C. D. 3 【综合拓展类作业】 5.已知2a+1的算术平方根是5，10+3b的平方根是±4，c是的整数部分，求a-5b+c的算术平方根. 解：∵ 2a +1的算术平方根是5， ∴2a +1=25，解得a=12. ∵10 +3b的平方根是±4， ∴10 +3b=16，解得b=2. ∵ 16<19<25，∴ 4<<5. 又∵ c是的整数部分， ∴c = 4. ∴ a-5b+c=12-5×2+4=6. ∴ a- 5b +c的算术平方根是 . 教学反思 从教学目标的达成情况来看，大部分学生能够理解无理数的概念并进行简单识别，在一定程度上掌握了估算无理数的方法，达成了知识与技能目标。但在过程与方法目标的实现上，部分学生在自主探究和逻辑思维能力的锻炼方面还有待提高，例如在归纳无理数概念时，部分学生缺乏主动思考和总结的能力。情感态度与价值观目标的达成较为理想，学生对数学的好奇心和探索精神得到了激发。 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $