7.2.1三角函数的定义课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第七章 三角函数 7.2.1三角函数的定义 《人教B版2019高中数学必修第三册》 知识点 1.任意角三角函数的定义 在平面直角坐标系中，设角α终边上任意一点P(x,y)，原点到点P的距离r= 则：sinα= , cos= ，tanα= 2.常见题型方法 已知终边上一点求三角函数直接用定义：求r→代入sin= ,cos=​,tan= 已知终边在某直线上取直线上简单点（如(1,k)或(−1,−k)），分象限讨论符号 判断符号先确定角所在象限，再用 “一全正二正弦三正切四余弦” 1.任意角的正弦、余弦与正切的定义 初中的时候我们学过，在一个直角三角形中，如果锐角α的对边为a，邻边为b，斜边为c，则有 sinα= , cos= , tanα= . 当α是一个锐角时，上述正弦、余弦与正切，能否通过α终边上的点的坐标来定义呢？这种定义的方式能否推广到任意角？ 1 当α是锐角时，它的终边在第一象限内．如图7-2-1所示，在α终边上任取一个不同于坐标原点的点P(x,y)，作PM垂直Ox于点M，记r=，则ΔOMP是一个直角三角形，且OM=x PM=y OP=r 由此可知 sin= = ， cosα= = ， tanα= = . 探究新知 可以看出，任意角的正弦、余弦与正切可以用类似的方式定义. 探究新知 如图7-2-2所示，对于任意角α来说，设P(x,y)是α终边上异于原 点的任意一点，r= ，则由三角形相似的知识可知跟P在α终边上的位置无关，只与角α终边的位置有关.一般地，称为角α的正弦，记作sinα;称为角α的余弦，记作cosα，因此 图7-2-2 sinα= , cos= 当角a的终边不在y轴上时，同样可知与点P在a终边上的位置无关，此时称为角α的正切，记作tanα，即 tanα= 由上可知，对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当α≠ . (k∈Z) 时，有唯一的正切与之对应.角a的正弦、余弦与正切，都称为a的三角函数. 2 kπ+ 微提醒： α=时，x的值为0，不能做分母. 探究新知 已知角α的终边经过点P(2,-3)，求sinα, cosα和tan a. 例1 解 设x=2 y=-3，则r==22+(−3)2=13.于是 sinα = = = − ， cosα = = = − ， tanα = . 3 探究新知 求下列各角的正弦、余弦和正切． (1)0; (2)π; (3) . 例2 解 (1)角0的终边在x轴正半轴上，在x轴的正半轴上取点（1,0)，所以r==1，因此 (2)角π的终边在x轴负半轴上，在x轴的负半轴上取点（-1,0)，所以r==1，因此 (3)角的终边在y轴负半轴上，在y轴的正半轴上取点（0,--1)，所以r==1，因此 sin0 = = 0，cos0 = = 1，tan0= =0. sinπ = = 0，cosπ = = -1，tanπ= =0. sin = ，cos = ，tan不存在. 4 5 = -1 = 0 探究新知 求的正弦、余弦和正切． 例3 解 - 如图7-2-3所示，在的终边上取点P，使得OP=2. 作PM⊥Ox，则在RtΔOMP中， ∠POM = π− = . 因此MP=1,OM=，从而可知P的坐标为(−,1)，因此 sin = ,cos= ，tan = . 6 7 正弦、余弦与正切在各象限的符号 从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0．它们的符号与什么有关？试总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律. 如果P(x,y)是a终边上异于原点的任意一点，r= ，则sinα = ，由r>0可知，sina的正负与a终边上点的纵坐标的符号相同，所以，当且仅当α的终边在第一、二象限，或y轴正半轴上时，sinα>0;当且仅当a的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时，sinα<0. 探究新知 用类似方法可以得到： 当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时， cosα>0；当且仅当α的终边在第二、三象限，或x轴负半轴上时， cosα<0. 当且仅当α的终边在第一、三象限时，tanα>0；当且仅当α的终边在第二、四象限时，tana<0． 以上结果可用图7-2-4直观表示. 微提醒： 一全正二正弦三正切四余弦 探究新知 例4 确定下列各值的符号． (1) cos260o； （2）sin（-）； （3）tan（-672o20′); (4)tan 解 （1）因为260°是第三象限角，所以cos260o<0. （2）因为-是第四象限角，所以sin（-）<0. （3）由-672o20′=47o40′+(-2)×360o，可知-672o20′是第一象限角，所以tan（-672o20′)>0. （4）由=+2,可知是第三象限角，所以tan>0 探究新知 例5 设sinθ<0且tanθ>0，确定θ是第几象限角. 解 因为sinθ<0，所以θ的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上；又因为tanθ>0，所以θ的终边在第一、三象限. 因此满足sinθ<0且tanθ>0的θ是第三象限角. 练习A 1 分别根据下列条件，求各角的正弦、余弦和正切. （1）已知角α的终边经过点P(,);  （2）已知角β的终边经过点Q(-,) （3）已知角γ的终边经过点M(-3,-1). r==1,sinα=,cosα=,tanα= r==1,sinβ=,cosβ=-,tanβ= r==,sinγ=-,cosγ=-,tanγ= 练习A 2 求角的正弦和余弦. 解 角的终边在y轴正半轴上，在y轴的正半轴上取点（0,1)，所以r==1，因此 sinα = = 1 , cosα= = 0 练习A 3 填写下表. 角α 0° 90° 180° 270° 360° α的弧度数 sinα cosα tanα 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 0 不存在 0 不存在 0 微提醒：在坐标轴上取单位长度，则r等于单位长度，0o与360o同. 练习A 4 确定下列各值的符号. (1)sin 156°; (2)cos; (3)cos(-80°) ; (4)tan(-); (5)sin(-); (6)tan 556°12'. 解 找到每个角的 -2~ 2 (1)sin 156°>0; (2)cos<0; (3)cos(-80°)>0; (4)tan(-)<0; (5)sin(-)>0; (6)tan 556°12'>0. 练习A 5 填空. （1）如果sinα>0，且cosα<0，则a是第     象限角； （2）如果tanα>0，且cosα<0，则α是第     象限角； （3）如果sinα<0，且tanα<0，则a是第     象限角； （4）如果cosα>0，且sinα<0，则a是第     象限角. 二 三 四 四 练习B 1 已知sinα=−，cos=−，求a的终边与以原点为圆心、2为半径的圆的交点坐标. 解 设角α的终边与以原点为圆心、半径为2的圆的交点坐标为(x,y)。 根据三角函数的定义： sinα = ,cosα= 其中r=2，sinα=−，cos=− . 解，得x=- ,y=-1 所以，交点坐标为（- ,-1） 练习B 2 设α是三角形的一个内角，在sina,cosa,tana中，哪些有可能是负值？ 三角形的内角α满足0∘<α<180∘ 1.sinα：在0∘<α<180∘范围内，正弦值始终为正（sinα>0），所以sinα不可能为负. 2.cosα：当0∘<α<90∘时，cosα>0； 当α=90∘时，cosα=0； 当90∘<α<180∘时，cosα<0.所以cosα可能为负. 3.tanα：当0∘<α<90∘时，tanα>0； 当α=90∘时，tanα无意义； 当90∘<α<180∘时，tanα<0.所以tanα可能为负. 所以，cosα和tanα有可能是负值 练习B 3 根据下列条件，确定θ是第几象限角. (1)cosθ与tanθ异号； (2) cosθ与tanθ同号； (3)sinθ与cosθ异号； (4) sinθ与tanθ同号. (1) 第三或第四象限角； (2) 第一或第二象限角； (3) 第二或第四象限角； (4) 第一或第四象限角 练习B 4 已知P(x,-1)在角a的终边上，而且cosα=，求x和sina的值. 由r== ，cosα= = ，得 = 讨论：x = 0时，r=​=1，满足方程. x时，=2，解得 x= 或 x= ∴x = 0 时，r=1，sina==-1 x = 时，r=2，sina= x = 时，r=2，sina= 练习B 5 已知角α的终边在直线y=2x上，求sina,cosa,tana的值. 分两种情况讨论（角 α 的终边在第一象限或第三象限）： 当α的终边在第一象限时，取点P(1,2)，r= = ； 当α的终边在第三象限时，取点P(−1,−2)r= = sinα= , cos= ，tanα= ∴当α的终边在第一象限时：sinα=​​，cosα=，tanα=； 当α的终边在第三象限时：sinα=−，cosα=−​​，tanα=2。 小结 1.sinα= , cos= ，tanα= 2.三角函数值在各象限的符号： 一全正：正弦、余弦、正切都为正 二正弦：只有sinα>0 三正切：只有tanα>0 四余弦：只有cosα>0 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 3.特殊角三角函数值（必背） 4.常见题型方法：已知终边上一点求三角函数（直接代入法）；已知终边在某直线上取直线上简单点（如(1,k)或(−1,−k)），分象限讨论符号；判断符号. 5.一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，即α与β终边相同时同名三角函数值相等. 微提醒：利用三角形三边与三角函数的对应关系，及正弦、正切在锐角范围能是增函数，余弦是减函数辅助记忆. 巩固练习 1.已知在平面直角坐标系xoy中，角α与角β均以ox为始边，且它们的终边关于直线y=x对称，已知sinα=，则cosβ=（ ） A.- B. C.- D. 3 4 5 α β 图示这种情况∠α+∠β= ， 结合两张图可知，cosβ=. 角α的正弦为正，还可以在第二象限，同学自己讨论一下，结果一样cosβ=. 故此题选B B 巩固练习 2.已知 sinθcosθ<0，且 ∣cosθ∣=cosθ，则角θ是第____象限角。 解析： 由|cosθ|=cosθ，可知 cosθ≥0，结合 sinθcosθ<0，得 sinθ<0, cosθ>0，所以角θ是第四象限角。 （注：∣a∣=a⇔a≥0；∣a∣=−a⇔a≤0） 四 巩固练习 3.若三角形的两内角 A,B 满足 sinAcosB<0，则此三角形为 三角形。 解析： 三角形内角的取值范围是(0,π)，故 sinA>0。因为 sinAcosB<0，所以 cosB<0，所以 B 是钝角，故此三角形是钝角三角形。 钝角 巩固练习 4.函数 y=+​+ 的值域是________。 要使函数有意义，需满足​x≠kπ+2π​ (k∈Z)且sinx≠0且cosx≠0且tanx≠0,​即角x的终边不在坐标轴上。 ① 当x是第一象限角时，sinx>0, cosx>0, tanx>0，此时 y=1+1+1=3； ② 当x是第二象限角时，sinx>0, cosx<0, tanx<0，此时 y=1−1−1=−1； ③ 当x是第三象限角时，sinx<0, cosx<0, tanx>0，此时 y=−1−1+1=−1； ④ 当x是第四象限角时，sinx<0, cosx>0, tanx<0，此时 y=−1+1−1=−1。 综上所述，函数的值域是 {−1,3}。 {−1,3} 提升练习 5.已知角α的终边落在直线 y=3x 上，求角α的正弦、余弦、正切值。 解析： ① 当角α的终边在第一象限时，在终边上取点 P(1,3)，则 r=∣OP∣=​=由三角函数的定义，得 sinα=​=​=​​，cosα=​=​=​​​​，tanα=​=3； ② 当角α的终边在第三象限时，在终边上取点 P(−1,−3)，则 r=∣OP∣=​，由三角函数的定义，得 sinα=​=​=-​​，cosα=​=​=-​​​​，tanα=​=3. 提升练习 1.函数y=loga​(x−3)+2（a>0，且 a=1）的图象过定点 P，且角α的终边过点 P，则 sinα+cosα 的值为______。 解析： 因为函数y=loga​(x−3)+2（a>0，且 a=1）的图象过定点 P(4,2)，且角α的终边过点 P，所以 x=4，y=2，r=2​，所以 sinα=​​，cosα=， 所以 sinα+cosα=​​+​​=. 提升练习 2.已知角α,β的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，终边关于y轴对称，若角α的终边上有一点 (​,−​)，则 tanβ 的值为______。 解析： ∵ 角α的终边上有一点 (​,−​)，且α与β的终边关于y轴对称 ∴ 角β的终边上有一点 (-​,−​)， ∴ tanβ=​=​. 提升练习 3.已知角α终边上一点 P(4,3m)，且 sinα=​​m，则 m 的值为______。 解析： ∵ P(4,3m)，∴ r=​，∴ sinα=​==​​m， 两边平方得 ​=​​m2， ∴ m2(9m2−2)=0，解得 m=0 或 m=±​​​​. {0，，-} $