第二十章 勾股定理 单元复习学案2025－2026学年人教版数学八年级下册

第二十章勾股定理单元复习 2025-2026学年第二学期人教版（2024）八年级数学下册 知识点一 勾股定理 例1 设直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c. （1）已知a=12，b=5，则c= ；（2）已知a=3，c=4，则b= ； （3）已知c=10，b=9，则a= . 练习1-1 已知直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长为 . 练习1-2 已知平面直角坐标系中，点的A坐标为（-3，4），则点A到原点O的距离为 .图1 练习1-3 如图1，如图，点D在Rt△ABC的边AB上，AD=8，DB=2，CD=17. 求AC和BC的长. 图2 例2 如图2，等边三角形ABC的边长为4，则高AD = ；等边三角形ABC的 面积S△ABC = . 图3 练习2 如图3，过圆锥的顶点P和底面圆的圆心O的平面截圆锥得截面△PAB，其中PA=PB， AB是圆锥底面圆O的直径.已知PA=7，AB=4，则截面△PAB的面积S△PAB = . 图4 例3 如图4是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形 E的面积是 . 练习3-1 如图5，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正 方形．如果直角三角形较长直角边的长为m，较短直角边的长为n，若mn＝7，大正方形 的面积为30，则小正方形的边长为 . 图5 练3-2 如图6， 一个长方形由5个边长为1的正方形组成，请把它分割后拼接成一个正方形. 图6 知识点二 勾股定理的逆定理 例4 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 练习4-1 在△ABC中，的对边分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 练习4-2 若△ABC三边a，b，c满足，那么△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 图7 例5 如图7，每个小正方形的边长都是1. （1）四边形ABCD的面积 = ，周长 = . （2）∠BCD是直角吗？请说明理由. 例6 如图8，数轴上A点表示的数为-1，B点表示的数是2，过点B作BC⊥AB，且图8 BC＝2（单位长度），以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的一个交 点D表示的数为 . 知识点三 勾股定理和逆定理的应用 例7 如图9，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度DE为0.8 m，当秋千AD往前推送水平距离EF为3 m时到达AB的位置，此时秋千的踏板离地的垂直高度BF为1.8 m，秋千的绳索始终保持拉直的状态，求秋千的长度.图9 练习7-1 如图10，一根竹子高1丈，这段后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地图10 面的高度是 尺.（此题出自《九章算术》，其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺.） 练习7-2 如图11，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在边AB的中点C’处，若AB=6， BC=9，求BF的长.图11 图12 例9 去年月，我国海警在南海仁爱礁附近海域进行常态化巡逻，对正在骚扰中国渔船 的菲律宾橡皮艇依法管制并予以坚决驱离．管制结束后，上午6时我国海警舰艇与这艘 橡皮艇同时从渚碧礁基地P点出发．如图12所示，我国海警舰艇以每小时海里的速度 沿北偏东方向航行，该橡皮艇以每小时海里的速度沿某一方向航行．上午8时两船 分别到达相距海里M点和N点．则管制结束后橡皮艇沿 方向航行． 参考答案 知识点一 勾股定理 例1 设直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c. （1）已知a=12，b=5，则c= ；（2）已知a=3，c=4，则b= ； （3）已知c=10，b=9，则a= . 答案：（1）13，（2），（3） 练习1-1 已知直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长为 . 答案：10或2 练习1-2 已知平面直角坐标系中，点的A坐标为（-3，4），则点A到原点O的距离为 .图1 答案：5 练习1-3 如图1，如图，点D在Rt△ABC的边AB上，AD=8，DB=2，CD=17. 求AC和BC的长. 答案：在RT△ACD中，由勾股定理得, AB=AD+BD=10,在RT△ABC中，同理图2 例2 如图2，等边三角形ABC的边长为4，则高AD = ；等边三角形ABC的 面积S△ABC = . 答案：在等边△ABC中，∵AD⊥BC，∴BD=CD=2,∠BAD=30°，∴ S△ABC =AD×BC÷2= 练习2 如图3，过圆锥的顶点P和底面圆的圆心O的平面截圆锥得截面△PAB，其中PA=PB，图3 AB是圆锥底面圆O的直径.已知PA=7，AB=4，则截面△PAB的面积S△PAB = . 答案：在等腰△PAB中，PA=PB=7，OA=OB=2,PO⊥AB，∴ S△PAB =AB×PO÷2= 例3 如图4是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都图4 是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形 E的面积是 . 答案：S=2+5+1+2=10 练习3-1 如图5，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正 方形．如果直角三角形较长直角边的长为m，较短直角边的长为n，若mn＝7，大正方形图5 的面积为30，则小正方形的边长为 . 答案：由勾股定理得大正方形的面积=m²+n²=30，∵mn=7， ∴四个直角三角形的面积=4×mn÷2=14，∴小正方形面积=30-14=16，∴小正方形边长=4 练3-2 如图6， 一个长方形由5个边长为1的正方形组成，请把它分割后拼接成一个正方形. 图6 答案：沿图1所示的线切割，再按图2所示方式拼接，即可得到一个大正方形 知识点二 勾股定理的逆定理 例4 下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 答案：D，根据勾股定理的逆定理，只有D选项满足，其余选项均不满足 练习4-1 在△ABC中，的对边分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 答案：B，由a²=b²-c²得a²+c²=b²，根据勾股定理的逆定理可知∠B=90° 练习4-2 若△ABC三边a，b，c满足，那么△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 答案：D，由，得a=8，b=15，c=17，∵8²+15²=17²，根据勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形图7 例5 如图7，每个小正方形的边长都是1. （1）四边形ABCD的面积 = ，周长 = . （2）∠BCD是直角吗？请说明理由. 答案：（1）如图7-1，四边形ABCD的面积 =5×5-1×5÷2-1×5÷2-1×3÷2-2×4÷2=14.5 图7-1 （2）连接BD， ,∴∠BCD是直角 例6 如图8，数轴上A点表示的数为-1，B点表示的数是2，过点B作BC⊥AB，且图8 BC＝2（单位长度），以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的一个交 点D表示的数为 . 答案：由图可得AD=AC=,∴点D表示的数为 知识点三 勾股定理和逆定理的应用 例7 如图9，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度DE为0.8 m，当秋千AD往前推送水平距离EF为3 m时到达AB的位置，此时秋千的踏板离地的垂直高度BF为1.8 m，秋千的绳索始终保持拉直的状态，求秋千的长度.图9 答案：∵BC=EF=3,CD=BF-DE=1,设AC=x，则AB=AC=x+1， 在RT△ABC中，由勾股定理得x²+3²=（x+1）²，∴x=4，x+1=5 答：秋千长度为5米 练习7-1 如图10，一根竹子高1丈，这段后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地图10 面的高度是 尺.（此题出自《九章算术》，其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺.） 答案：设折断处离地x尺，则有（10-x）²=3²+x²，得x=4.55 练习7-2 如图11，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在边AB的中点C’处，若AB=6， BC=9，求BF的长.图11 答案：设BF=x，则C’F=CF=9-x，BC’=3, 在RT△C’BF中，由勾股定理得 （9-x）²=3²+x²，得x=4 即BF=4 图12 例9 去年月，我国海警在南海仁爱礁附近海域进行常态化巡逻，对正在骚扰中国渔船 的菲律宾橡皮艇依法管制并予以坚决驱离．管制结束后，上午6时我国海警舰艇与这艘 橡皮艇同时从渚碧礁基地P点出发．如图12所示，我国海警舰艇以每小时海里的速度 沿北偏东方向航行，该橡皮艇以每小时海里的速度沿某一方向航行．上午8时两船 分别到达相距海里M点和N点．则管制结束后橡皮艇沿 方向航行． 答案：由题得：∠YPM=50°MN=50,MP=20×（8-6）=40，NP=15×（8-6）=30 在△MNP中，MN²=2500，MP²+NP²=40²+30²=2500 所以MP²+NP²=MN²，所以∠MPN=90°，∠YPN=90°-∠YPM=40°， 管制结束后橡皮艇沿北偏西40°方向航行. 学科网（北京）股份有限公司 $